1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(第1课时)空间中点、直线和平面的向量表示 课时作业-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习通过“基础巩固-更上层楼-探究发现”三层设计，以空间向量与法向量为核心，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|方向向量共线、法向量概念及坐标运算|以选择、填空为主，如第1题方向向量共线判定，夯实基础| |更上层楼|法向量综合应用、线面关系判定|含多选题（第13题）和解答题，结合正方体情境提升推理能力| |探究发现|复杂几何体中法向量、线面交点|依托平行六面体（第15题）等情境，培养空间观念与创新意识|

课时作业(七) 1．已知向量a＝(2，－1，3)和b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A．－1　　　　　　　　 B．1或－1 C．－3 D．1 2．【多选题】下列说法正确的是(　　) A．平面Oxy的法向量常取(0，0，1) B．平面Ozx的法向量常取(0，1，0) C．平面Oyz的法向量常取(1，0，0) D．如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此平面垂直 3．在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2＝(　　) A．2 B．0 C．1 D．4 4．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(－1，0，0)，B(0，0，1)，C(1，1，1)，则下列向量可以作为平面ABC的一个法向量的是(　　) A．(0，0，0) B．(－2，2，2) C．(1，1，－1) D．(－1，－1，1) 5．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(1，1，1) B. C. D. 6．已知点A(2，－1，2)在平面α内，n＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是(　　) A．(1，－1，1) B. C. D. 7．已知直线l过点P(1，0，－1)，且l平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是(　　) A．(1，－4，2) B. C. D．(0，－1，1) 8．已知直线a，b的方向向量分别为a＝(1，0，－1)，b＝(1，－1，0)，且直线a，b均平行于平面α，平面α的单位法向量为____________(写出一个即可)． 9．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a＝________． 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，以F为原点建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量． 11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A－BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为(　　) A．(0，1，0) B．(0，1，1) C．(1，1，1) D．(1，1，0) 12．已知平面α内的两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　) A．－1，2 B．1，－2 C．1，2 D．－1，－2 13.【多选题】在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出的下列结论中正确的是(　　) A．直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2) B．直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D．平面B1CD的一个法向量为(1，－1，－1) 14．空间直角坐标系中，n1＝(2，1，1)与n2＝(0，2，1)分别为平面α与β的法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为________(写出一个方向向量的坐标即可)． 15.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，2AB＝2AD＝AA1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°.设＝a，＝b，＝c，则平面A1BD的一个法向量为(　　) A．6a＋6b－c B．2a＋3b＋c C．2a＋3b－c D．a＋b－c 16．在空间直角坐标系中，已知A(2，0，0)，B(1，1，1)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，若线段PD与平面ABC交于F点，则＝________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(七) 1．已知向量a＝(2，－1，3)和b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A．－1　　　　　　　　 B．1或－1 C．－3 D．1 答案　A 解析　由题意得a∥b，所以解得x＝－1. 2．【多选题】下列说法正确的是(　　) A．平面Oxy的法向量常取(0，0，1) B．平面Ozx的法向量常取(0，1，0) C．平面Oyz的法向量常取(1，0，0) D．如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此平面垂直 答案　ABC 解析　平面Oxy的法向量常取(0，0，1)，故A正确；平面Ozx的法向量常取(0，1，0)，故B正确；平面Oyz的法向量常取(1，0，0)，故C正确；根据线面垂直的判定定理知只有平面内的两直线相交时才正确，因此D错误． 3．在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2＝(　　) A．2 B．0 C．1 D．4 答案　C 解析　由题意得，＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2)，又a为平面ABC的法向量，则有即则y＝1，y2＝1. 4．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(－1，0，0)，B(0，0，1)，C(1，1，1)，则下列向量可以作为平面ABC的一个法向量的是(　　) A．(0，0，0) B．(－2，2，2) C．(1，1，－1) D．(－1，－1，1) 答案　B 解析　设平面ABC的法向量为m＝(x，y，z)，由已知得＝(1，0，1)，＝(2，1，1)，则取x＝1，则m＝(1，－1，－1)，对比各选项知，只有B选项中的向量与m平行，可表示为－2m. 5．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(1，1，1) B. C. D. 答案　B 6．已知点A(2，－1，2)在平面α内，n＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是(　　) A．(1，－1，1) B. C. D. 答案　B 解析　设平面α内的一点为P(x，y，z)(不与点A重合)，连接AP，则＝(x－2，y＋1，z－2)，因为n＝(3，1，2)是平面α的一个法向量，所以⊥n，所以·n＝3(x－2)＋y＋1＋2(z－2)＝0，即3x＋y＋2z＝9，3×1＋(－1)＋2×1＝4≠9，故A不正确；3×1＋3＋2×＝9，故B正确；3×1＋(－3)＋2×＝3≠9，故C不正确；3×(－1)＋3＋2×＝－3≠9，故D不正确．故选B. 7．已知直线l过点P(1，0，－1)，且l平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是(　　) A．(1，－4，2) B. C. D．(0，－1，1) 答案　D 解析　连接PM，因为＝(0，2，4)，直线l平行于向量a，所以设n是平面α的法向量，则必须满足把选项代入验证，只有D不满足．故选D. 8．已知直线a，b的方向向量分别为a＝(1，0，－1)，b＝(1，－1，0)，且直线a，b均平行于平面α，平面α的单位法向量为____________(写出一个即可)． 答案　 解析　设平面α的单位法向量为m＝(x，y，z)，则＝1①， 因为直线a，b均平行于平面α， 所以有⇒ 由①②③可得x＝y＝z＝或x＝y＝z＝－， 故平面α的单位法向量为或. 9．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，若点P(a，1，1)在平面ABC内，则a＝________． 答案　－1 解析　设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，又＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，所以取x＝1，得n＝(1，1，1)，因为P(a，1，1)在平面ABC内，连接AP，则n·＝a－1＋1＋1＝0，解得a＝－1. 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，以F为原点建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量． 解析　如图，连接PF，CF. 因为PA＝PB，F为AB的中点， 所以PF⊥AB， 又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB， 所以PF⊥平面ABCD. 因为AB＝BC，∠ABC＝60°， 易得CF⊥AB. 所以CF，AB，PF两两垂直． 以F为坐标原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则F(0，0，0)，P，D， C，则E. 所以＝，＝. 设平面DEF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则即 所以令y＝2，则x＝，z＝－2. 所以平面DEF的一个法向量为m＝(，2，－2)． 11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A－BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为(　　) A．(0，1，0) B．(0，1，1) C．(1，1，1) D．(1，1，0) 答案　B 解析　根据题意，设BD＝AB＝CD＝1，则D(0，1，0)，C(1，1，0)，A(0，0，1)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，设平面ACD的一个法向量为m＝(x，y，z)，则有令y＝1，可得z＝1，则m＝(0，1，1)．故选B. 12．已知平面α内的两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　) A．－1，2 B．1，－2 C．1，2 D．－1，－2 答案　A 解析　向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，则c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由于c为平面α的法向量，则 即 解得 13.【多选题】在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出的下列结论中正确的是(　　) A．直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2) B．直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D．平面B1CD的一个法向量为(1，－1，－1) 答案　AC 解析　由题意B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)． 则＝(－1，1，1)，因此向量(－2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确； 设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)，则 又＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)，所以有 令x＝1，可得n＝(1，1，1)，故C正确； 设平面B1CD的法向量为m＝(a，b，c)，则 又＝(－1，0，0)，所以有 令b＝1，得m＝(0，1，1)，故D不正确． 14．空间直角坐标系中，n1＝(2，1，1)与n2＝(0，2，1)分别为平面α与β的法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为________(写出一个方向向量的坐标即可)． 答案　(答案不唯一) 解析　设直线l的一个方向向量为d＝(x，y，z)，依题意可知所以令y＝1，则z＝－2，x＝，所以d＝. 15.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，2AB＝2AD＝AA1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°.设＝a，＝b，＝c，则平面A1BD的一个法向量为(　　) A．6a＋6b－c B．2a＋3b＋c C．2a＋3b－c D．a＋b－c 答案　A 解析　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，2AB＝2AD＝AA1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°， 不妨设AB＝2，则a·b＝2×2cos 60°＝2，a·c＝b·c＝2×4cos 60°＝4， 设平面A1BD的法向量为n＝xa＋yb＋zc，而＝a－b，＝a－c， 则整理得令z＝－1，得x＝6，y＝6，所以n＝6a＋6b－c， 所以平面A1BD的一个法向量为6a＋6b－c. 16．在空间直角坐标系中，已知A(2，0，0)，B(1，1，1)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，若线段PD与平面ABC交于F点，则＝________． 答案　2 解析　由题意知，＝(－1，1，1)，＝(－2，1，0)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝2，z＝－1，所以n＝(1，2，－1)为平面ABC的一个法向量， 因为F在线段PD上，设＝λ＝λ(0，2，－2)＝(0，2λ，－2λ)，0<λ<1， 连接AF，AP，所以＝(－2，0，2)，＝＋＝(－2，2λ，－2λ＋2)，由·n＝0可得－2＋4λ＋2λ－2＝0， 所以λ＝，即＝，所以＝2. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $