第十三章三角形学生自主单元练习卷2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学三角形单元复习卷，覆盖稳定性、三边关系等核心知识点，通过基础题与探究题梯度设计，培养几何直观、推理能力与应用意识，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|三角形稳定性、三边关系、直角三角形识别|结合生活情境（如木门加固），考查基础概念| |填空题|5|角度计算、等腰三角形周长、角平分线综合|融入代数与几何综合（如非负性求边长）| |解答题一|3|平行线与三角形、中点性质、坐标平移|基础推理与计算，衔接图形变换| |解答题二|3|角平分线与高探究、动点问题、内外角平分线规律|分层探究（如21题多图规律推导），培养创新意识|

2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学第十三章三角形自主单元练习卷 一、单选题(共10小题） 1．如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 2．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A．B． C． D． 3．如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 4．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 5．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：6，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 6．下列说法中错误的是（    ） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线都在三角形内部 C．锐角三角形的三条中线一定交于同一点 D．三角形的三条高交于同一点 7．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在边上，，，．若斜边，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．观察下列图形，则第6个图形中三角形的个数是（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 二、填空题(共5小题） 11．如图，______． 12．若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 13．如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 14．如图，，与交于点，，，，则的长是______． 15．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 三、解答题一(共3小题） 16．如图，点D，E，F分别是的边，，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求证：． 17．如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． (1)请在图中画出； (2)写出平移后的三个顶点的坐标：（______，______），（______，______），（_____，____）； (3)求的面积． 四、解答题二(共3小题） 19．中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 20．如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 21．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是与的角平分线 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 探究2： (1)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3： (2)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 探究4： (3)如图4中，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学第十三章三角形自主单元练习卷 一、单选题(共10小题） 1．如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【详解】解：小李在木门板上钉了一个加固板，门板上形成了三角形结构，这样做的道理是三角形具有稳定性． 2．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵三角形两边长分别为，， ∴第三边长x应满足， 即， 在数轴上表示为： 3．如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵在中，，是 边上的高， ∴，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 4．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 5．一个三角形三个内角的度数之比为2：3：6，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【详解】由题意可设三个内角分别为2x°，3x°，6x°， 由三角形内角和定理可知：2x+3x+6x=180，解得x=， ∴6x=＞90， 所以三角形为钝角三角形， 故选D． 【点睛】此题考查三角形内角和定理，由条件计算出角的大小是解题的关键． 6．下列说法中错误的是（    ） A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线都在三角形内部 C．锐角三角形的三条中线一定交于同一点 D．三角形的三条高交于同一点 【答案】D 【详解】解： 三角形的高、中线、角平分线都是线段，此说法正确，故项不符合题意； 三角形的三条中线都在三角形内部，此说法正确，故不符合题意； 锐角三角形的三条中线一定交于同一点，此说法正确，故不符合题意； 三角形的三条高线所在的直线交于一点，故符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线的概念，理解三角形的高线、中线、角平分线的概念是解题的关键． 7．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：三角形内角和满足 A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意。 B ， ， 是直角三角形，不符合题意。 C ， ， 是直角三角形，不符合题意。 D ， ， 解得，，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 8．如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点、、分别为、、的中点， ，，，， ，， 阴影部分的面积为， ， ， ． 9．将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在边上，，，．若斜边，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为等腰三角形， ， ∴, ∵， ， ∴, ∴, ∵， ∴． 10．观察下列图形，则第6个图形中三角形的个数是（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【详解】第1个图形中有4个三角形， 第2个图形中有8个三角形， 第3个图形中有12个三角形，，… 第n个图形中有个三角形， 所以，第6个图形中有个三角形． 故选：A． 【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 二、填空题(共5小题） 11．如图，______． 【答案】 【详解】解：如图， ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴． 12．若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形的两边， 当为腰时，，不满足三角形三边的关系，故舍去， ∴等腰三角形的三边分别为：，，． ∴等腰三角形的周长为， 故答案为：． 13．如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【答案】/度 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 14．如图，，与交于点，，，，则的长是______． 【答案】 【详解】解：，即， 以为底时，的高为， ， ，即， 以为底时，的高为， ， ∴， ∴， 把，，代入得： ． 15．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 【答案】/ 【详解】解：与的平分线交于点， ， ， ， ， 同理可得， …… 以此类推， 的大小为． 三、解答题一(共3小题） 16．如图，点D，E，F分别是的边，，上的点，且． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2)证明：， 又，， ∴， 解得：， ， ． 17．如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． (1)请在图中画出； (2)写出平移后的三个顶点的坐标：（______，______），（______，______），（_____，____）； (3)求的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)，；0，1；，0 (3)5 【详解】（1）解：略； （2）解：由（1）中图形可得，，； （3）解：如图： 即面积为5． 四、解答题二(共3小题） 19．中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵和的角平分线交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 20．如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或 【详解】（1）解：在中, ，, 根据运动的特点可知：点运动的距离为， ∵, ∴, 即点在上, ∴, ∴, 故答案为: ； （2）解：∵在中， , ， 当点在上, 如图， 的面积等于15 ， ， ， 解得：(秒)； 当点在上, 如图, 此时：点P运动的距离为： 的面积等于15 ， ， ， ， ， ， 解得：(秒)； 综上：经过 秒或秒, 的面积等于； （3） 解：当是以为底边的等腰三角形时，如图， 即有 ， ， 根据运动的特点，可得点P运动的距离为：， ， 解得： (秒)； 当 是以为底边的等腰三角形时，如图， 过点作于点， ∵在等腰中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 根据运动的特点，可得点运动的距离为：， ∴， 解得：； 综上所述： 或． 21．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： ∵和分别是与的角平分线 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 探究2： (1)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 探究3： (2)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 探究4： (3)如图4中，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则 ． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵和分别是与外角的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． (2)解：，理由如下： ∵和分别是外角与外角的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． (3) 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：同（1）可知，， ， ， 归纳类推得：（为正整数）， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $