第十三章三角形单周末单元自主练习卷2 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学三角形单元复习卷，覆盖三角形定义、性质、动态应用等核心知识，结合空竹文化情境与分层设计，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10小题|三角形定义（1题）、直角三角形判定（2题）、等腰三角形周长（5题）|第10题以空竹文化为情境，体现文化传承，培养数学眼光| |填空题|5小题|等腰三角形周长（11题）、三边关系化简（12题）、三角板角度计算（13题）|第14题结合面积与垂线段，渗透几何直观| |解答题一|3小题|三角形内角识别（16题）、平移作图（17题）、角度推理（18题）|第17题融合作图与几何变换，强化空间观念| |解答题二|3小题|动态几何（19题）、面积应用（20题）、多边形角度探究（21题）|第21题从三角形到五边形递进，培养推理意识与创新应用|

2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学第十三章三角形自主单元练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列命题不正确的是（   ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 4．下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A．B．C．D． 5．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 6．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 7．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 8．如图，是的中线，点分别为的中点，若的面积为4．则的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 9．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题(共5小题） 11．如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 12．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 13．如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为________． 14．如图，在中，，该三角形的面积为18，O是边上任意一点，于点E，于点F，则等于______． 15．如图所示，，则的度数为__度． 三、解答题一(共3小题） 16．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 17．如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)在图中画出边上的高和中线． 18．如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 四、解答题二(共3小题） 19．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点C运动，P、Q同时出发，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度； (2)当时，求的面积； (3)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 20．如下图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，两点同时出发，运动时间为． (1)当运动时间为时，__________，__________；（用含的代数式表示） (2)若的面积是面积的，求的值． 21．按要求回答以下问题 【问题】 (1)如图1，在中，，的平分线与的平分线相交于点．求的度数． 【探究】 (2)如图2，在四边形中，，，是四边形的一个外角．平分，平分，则________． 【应用】 (3)如图3，在五边形中，设，，，是五边形的一个外角，平分，平分，则_____________．（用含有，，的代数式表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学第十三章三角形自主单元练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，故选：C． 2．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 3．下列命题不正确的是（   ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 【答案】C 【详解】对于A，锐角三角形中，任意两个内角之和都大于，选项说法正确，不符合题意； 对于B，三角形中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意； 对于C，由定义三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故C说法错误，符合题意； 对于D，三角形中至少有一个角小于等于，选项说法正确，不符合题意．故选：C． 4．下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：根据三角形高的定义：线段是的高，则需要满足，垂足落在边（或延长线）上． 选项A、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项B、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项C、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项D、，垂足为，在边上，完全符合三角形高的定义． 5．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ∵， ∴无法构成三角形，此情况舍去. 当为底边长时，腰长为. ∵， ∴可构成三角形，此情况成立，故该等腰三角形的底长为． 6．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 7．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 故选：C． 8．如图，是的中线，点分别为的中点，若的面积为4．则的面积是（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】解：∵是的中点，的面积为， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 9．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，分别平分和，，， ∴， ∴. 10．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长交于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题(共5小题） 11．如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 【答案】22 【详解】解：∵等腰三角形的腰长和底边分别为9和4， ∴它的周长为． 12．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 13．如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为________． 【答案】 【详解】解：直尺的对边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，三角板下方与相等的内错角为． 已知三角板含锐角，由角的和差关系： ． 14．如图，在中，，该三角形的面积为18，O是边上任意一点，于点E，于点F，则等于______． 【答案】4 【详解】解：如图所示：连接， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 15．如图所示，，则的度数为__度． 【答案】250 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 三、解答题一(共3小题） 16．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 17．如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)在图中画出边上的高和中线． 【答案】(1)；，， (2) 18．如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)猜想：； 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即此时在左侧， ∴ ． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 四、解答题二(共3小题） 19．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点C运动，P、Q同时出发，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度； (2)当时，求的面积； (3)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1) (2) (3)时，为等腰直角三角形 【详解】（1）解：∵点P速度为，运动t秒，，， ∴， 点Q速度为，运动t秒， ∴； （2）解：当时，， 为直角三角形，面积= （cm²）； （3）解：∵长方形中，， ∴为等腰直角三角形时，，即 解得：； 验证：时，，符合题意． 20．如下图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，两点同时出发，运动时间为． (1)当运动时间为时，__________，__________；（用含的代数式表示） (2)若的面积是面积的，求的值． 【答案】(1)，； (2)的值为2； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 整理得：，解得：． 答：的值为2． 21．按要求回答以下问题 【问题】 (1)如图1，在中，，的平分线与的平分线相交于点．求的度数． 【探究】 (2)如图2，在四边形中，，，是四边形的一个外角．平分，平分，则________． 【应用】 (3)如图3，在五边形中，设，，，是五边形的一个外角，平分，平分，则_____________．（用含有，，的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：平分， ， 平分的外角， ， 在和中，由三角形外角性质得，， ， ，即， ； （2）如图，延长、交于点， 同理可得，， ， ， ，， ， ； （3）如图，延长、交于点，记、的交点为， 同理可得，， 平分，平分， ，， 设，， ， 在四边形中，， ，即①， 在、中，由三角形内角和定理可得，， ， ，即②， 得， 解得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $