精品解析：2026年江苏省淮安市中考数学试题

淮安市2026年中考数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查，适宜采用全面调查的是（ ） A. 洪泽湖的水质情况 B. 神舟二十三号飞船零部件的合格情况 C. 一批节能灯管的使用寿命 D. 某市公民保护环境的意识 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中国青铜器在世界享有极高的声誉和艺术价值．下列关于如图所示青铜器的三视图描述，正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图、俯视图各不相同 6. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（ ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：=______． 10. 地球赤道的长度约为．数据用科学记数法可表示为__________． 11. 不等式组的解集为__________． 12. 若等腰三角形的周长为10，腰长为3，则它的底边长为__________． 13. 为优选水稻品种，农科所分析了甲、乙两种水稻的单穗质量（单位：），计算出样本方差分别为，，由此可推断__________种水稻的质量更稳定．（填“甲”或“乙”） 14. 如图，与互为补角．若，则__________． 15. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 16. 已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 小明计划假期来淮安品尝美食，他打算从个特色菜（A．软兜长鱼；B．盱眙龙虾；C．钦工肉圆；D．开洋蒲菜；E．平桥豆腐）中随机选择． （1）若小明从这个特色菜中随机选择个，则选中“软兜长鱼”的概率为__________． （2）小明先从A，B，C中随机选择个菜，再从D，E中随机选择个菜．请用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中B，D两个菜品的概率． 21. 某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． （1）求该团队成人与儿童的人数． （2）请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 22. 国家体育总局、教育部等部门相关文件明确要求中小学生每天体育锻炼时间不少于．为响应号召，某校大幅增加学生在校体育锻炼时长，并动员学生节假日也要积极进行体育锻炼． 【数据收集】该校在动员前、后分别随机抽取了名学生进行问卷调查，了解学生节假日锻炼情况． 节假日锻炼情况调查问卷 亲爱的孩子： 你好！为了解大家的节假日锻炼情况，诚邀你参与本次匿名调查． 1．你喜欢的锻炼方式有（ ） A．跳绳 B．骑行 C．跑步 D．球类运动 E．游泳 F．其他 2．一般情况下，你节假日的每天锻炼时长为__________．（单位：） …… 【数据整理】对所收集问卷中的节假日每天锻炼时长数据进行整理，用（单位：）表示时长，分成五组：A组，B组，C组，D组，E组． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 动员前 动员后 2 2 【问题解决】 （1）填空：__________，动员前中位数落在__________组． （2）该校共有名学生，分别估计动员前与动员后该校学生中节假日每天锻炼时长不低于的人数． （3）结合两次调查数据，对该校学生节假日每天锻炼时长的变化情况作出评价． 23. 如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． （1）求和的值． （2）求的面积． （3）当时，的取值范围是__________． 24. 我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． （1）点与点在水平方向上的距离为__________． （2）求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 25. “运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 26. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． （1）如图1，延长交于点，与相等吗？证明你的结论． （2）如图2，当时，连接交于点，求的值． （3）如图3，连接交于点，连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 27. 综合与实践 【主题】探索天坛的回音奥秘 【情境】天坛是中华优秀传统文化的重要载体，其皇穹宇外围的圆形围墙——回音壁，是世界建筑史上声学与几何学结合的典范．回音壁的墙面由磨砖对缝砌成，光滑坚硬，结构类似凹面镜，声波可经墙面多次规则反射，实现远距离清晰传声．为了方便探索天坛的回音奥秘，将回音壁的俯视图近似看作圆（如图1），该圆的直径为． 声音在空气中传播的速度约为，声波反射类似光的传播，遵循反射定律：如图2，在内，为入射声波，为反射声波，为法线，． 【任务一】确定“三音石”位置 若站在回音壁内的某块石头上拍掌，其声波等距地传到回音壁，又被回音壁等距反射回到该石头位置，如此往复，可以听到三次回声，因此这块石头称作“三音石”． （1）请在图3中作出“三音石”的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若在“三音石”位置拍掌，则在该位置听到相邻两次回声间隔为__________． 【任务二】体验远距离对话 若两人分别站在东、西配殿后的回音壁旁，一人斜对着回音壁轻声说话，另一人可以借助回音壁对声音的反射清楚地听到对方的声音． （3）如图4，点，在回音壁上，它们之间的距离为，紧贴点的声源发出的一束声波经墙面顺时针反射，在第8次反射时恰好到达点，求这束声波到达点的时间．（参考数据：，） 【任务三】探究反射路径区域 据测定，入射声波与回音壁的切线所成的角小于时，其反射声波不会被回音壁内的建筑遮挡． （4）如图5，有一个动态声源按固定方向（与回音壁在点处的切线所成的角为，）发出一束声波，若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为__________．（结果用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮安市2026年中考数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个实数中，最大的数是． 2. 下列人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：把该图形沿着虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形，故Ａ选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合， 该图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 3. 下列调查，适宜采用全面调查的是（ ） A. 洪泽湖的水质情况 B. 神舟二十三号飞船零部件的合格情况 C. 一批节能灯管的使用寿命 D. 某市公民保护环境的意识 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵洪泽湖的水质情况调查范围广，一批节能灯管的使用寿命调查具有破坏性，某市公民保护环境的意识调查范围大， ∴均适宜抽样调查，A、C、D不符合题意； ∵神舟二十三号飞船零部件的合格情况要求极高精度，需逐一检查， ∴适宜全面调查，B符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算正确； D、，计算错误． 5. 中国青铜器在世界享有极高的声誉和艺术价值．下列关于如图所示青铜器的三视图描述，正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图、俯视图各不相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义，分别从正面、左面、上面观察几何体，即可求解. 【详解】解：主视图是从正面观察得到的图形，呈现为宽长方形主体上方有双耳，下方有足； 左视图是从左面观察得到的图形，呈现为窄长方形主体，宽度与主视图不同； 俯视图是从上面观察得到的图形，呈现为长方形顶面及双耳顶部； 综上，主视图、左视图、俯视图各不相同，故选项D符合题意. 6. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆周角定理可得，，作差可求出，最后利用三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 7. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴确定，的正负、大小及绝对值大小关系． 【详解】解：由数轴可知，且， ， ，，， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的． 8. 在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（ ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将温度值分别代入函数关系式逐一验证排除即可． 【详解】解：将分别代入四个选项，所得值均为101，与表格数据一致． 将代入各选项： A． ，排除． B． ，符合． C． ，排除． D． ，排除． 将代入B选项，得； 将代入B选项，得，均与表格数据一致． 因此，与之间的函数关系可能是． 第Ⅱ卷（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：=；故答案为． 点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键． 10. 地球赤道的长度约为．数据用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 不等式组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到原不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． 12. 若等腰三角形的周长为10，腰长为3，则它的底边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形两腰相等，求出底边，再验证即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等，周长为，腰长为， ∴底边长为 ， 则底边长为4. 13. 为优选水稻品种，农科所分析了甲、乙两种水稻的单穗质量（单位：），计算出样本方差分别为，，由此可推断__________种水稻的质量更稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】 乙 【解析】 【分析】方差反映数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，质量越稳定，只需比较两种水稻样本方差的大小即可判断． 【详解】解：∵方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，稳定性越好， 又∵，， ∴乙种水稻的质量更稳定． 14. 如图，与互为补角．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由与互为补角可判定，再利用平行线的性质及邻补角定义求解． 【详解】解：∵与互为补角， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【解析】 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 16. 已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）分别计算绝对值、算术平方根、零指数幂，再合并计算即可； （2）用配方法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，  ∴， ∴ ， 解得：，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【解析】 【详解】解：， 当时，原式． 19. 如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，点在上，点在上， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质，得到，．结合已知条件，通过等式的性质推导和的数量关系，同时结合推导和的位置关系．最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形． 【详解】略 20. 小明计划假期来淮安品尝美食，他打算从个特色菜（A．软兜长鱼；B．盱眙龙虾；C．钦工肉圆；D．开洋蒲菜；E．平桥豆腐）中随机选择． （1）若小明从这个特色菜中随机选择个，则选中“软兜长鱼”的概率为__________． （2）小明先从A，B，C中随机选择个菜，再从D，E中随机选择个菜．请用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中B，D两个菜品的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算即可； （2）画树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况，其中同时选中B、D的情况有种，所以小明恰好选中B，D两个菜品的概率为． 【小问1详解】 解：个特色菜每个被选中的机会相同， 选中“软兜长鱼”的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图，如下图所示： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中同时选中B、D的情况有种， 小明恰好选中B，D两个菜品的概率为． 21. 某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． （1）求该团队成人与儿童的人数． （2）请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 【答案】（1）该团成人有4人，儿童有3人 （2）最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元 【解析】 【分析】（1）设该团队成人有x人，儿童有y人，根据题意列方程组去求解即可； （2）根据成人有4人，儿童有3人，结合票务信息制定不同方案，分别求出所需费用，然后比较大小即可解答． 【小问1详解】 解：设该团队成人有x人，儿童有y人， 根据题意，得 解得 答：该团队成人有4人，儿童有3人； 【小问2详解】 解：方案一：按照A方案购票，则所需费用为1190元； 方案二：购买两个B套票，一个儿童票，则所需费用为（元）； 方案三：购买一个B套票，两个C套票，则所需费用为（元）； 方案四：购买四个C套票，则所需费用为（元）； ∵， ∴按照方案三购票最省钱， 答：最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元． 22. 国家体育总局、教育部等部门相关文件明确要求中小学生每天体育锻炼时间不少于．为响应号召，某校大幅增加学生在校体育锻炼时长，并动员学生节假日也要积极进行体育锻炼． 【数据收集】该校在动员前、后分别随机抽取了名学生进行问卷调查，了解学生节假日锻炼情况． 节假日锻炼情况调查问卷 亲爱的孩子： 你好！为了解大家的节假日锻炼情况，诚邀你参与本次匿名调查． 1．你喜欢的锻炼方式有（ ） A．跳绳 B．骑行 C．跑步 D．球类运动 E．游泳 F．其他 2．一般情况下，你节假日的每天锻炼时长为__________．（单位：） …… 【数据整理】对所收集问卷中的节假日每天锻炼时长数据进行整理，用（单位：）表示时长，分成五组：A组，B组，C组，D组，E组． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 动员前 动员后 2 2 【问题解决】 （1）填空：__________，动员前中位数落在__________组． （2）该校共有名学生，分别估计动员前与动员后该校学生中节假日每天锻炼时长不低于的人数． （3）结合两次调查数据，对该校学生节假日每天锻炼时长的变化情况作出评价． 【答案】（1）；C （2）动员前锻炼时长不低于的人数为人，动员后锻炼时长不低于的人数为人． （3）动员后该校学生节假日每天锻炼时长不低于的人数比动员前的人数有明显增加，故学校进行动员活动，可以鼓励学生每天锻炼时长的增加． 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其他四组的人数，即可得D组中的值，再根据中位数的定义求得动员前中位数落在C组． （2）先结合题意，分别求出动员前和动员后锻炼时长不低于的人数所占百分比，再分别乘以，即可求得该校有名学生时动员前与动员后该校学生中节假日每天锻炼时长不低于的人数． （3）结合动员前与动员后，对学生锻炼时长的变化进行评价即可，答案不唯一，合理即可． 【小问1详解】 解：由图可得， ∵对名学生进行问卷调查， ∴动员前中位数是第人和第人时长的平均数， 又∵动员前A组、B组人数之和为，动员前A组、B组、C组人数之和为， ∴动员前中位数落在C组． 【小问2详解】 解：由图可得，动员前锻炼时长不低于的人数为人，动员后锻炼时长不低于的人数为人， ∴动员前锻炼时长不低于的人数所占百分比为， 动员后锻炼时长不低于的人数所占百分比为， ∴当该校有名学生时，估计动员前锻炼时长不低于的人数为（人）， 动员后锻炼时长不低于的人数为（人）． 【小问3详解】 略 23. 如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． （1）求和的值． （2）求的面积． （3）当时，的取值范围是__________． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得和的值． （2）先将代入中，求得点坐标为，，结合即可求得的面积． （3）根据图象和点的坐标即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入中，即， ∴， 将代入中，即， 解得：． 【小问2详解】 解：将代入中，即， 解得：， ∴点坐标为， ∴， 又∵， ∴的高为， ∴． 【小问3详解】 解：由上可得， ∵，　　 故结合图象可得当时，的取值范围是． 24. 我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． （1）点与点在水平方向上的距离为__________． （2）求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点,可知，进而根据余弦值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点,可知，进而可知,点与点在竖直方向上的距离为． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点, ∵， ∴, 在中，， ∴ ∴点与点在水平方向上的距离为． 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点, ， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． 25. “运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 （2）拱顶到水面的距离为 【解析】 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【小问1详解】 解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 26. 如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． （1）如图1，延长交于点，与相等吗？证明你的结论． （2）如图2，当时，连接交于点，求的值． （3）如图3，连接交于点，连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：相等，理由如下， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由对称可得 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴； （2） （3）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 由对称可得， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵在正方形中，是对角线， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴与的数量关系为． 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可； （2）延长交于点，交延长线于点，设，同（1）可得，，设，则，则，对运用勾股定理求解，再由，求解即可； （3）证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点，交延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴设，， ∵ ∴， 同（1）可得，， 设，则 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 略 27. 综合与实践 【主题】探索天坛的回音奥秘 【情境】天坛是中华优秀传统文化的重要载体，其皇穹宇外围的圆形围墙——回音壁，是世界建筑史上声学与几何学结合的典范．回音壁的墙面由磨砖对缝砌成，光滑坚硬，结构类似凹面镜，声波可经墙面多次规则反射，实现远距离清晰传声．为了方便探索天坛的回音奥秘，将回音壁的俯视图近似看作圆（如图1），该圆的直径为． 声音在空气中传播的速度约为，声波反射类似光的传播，遵循反射定律：如图2，在内，为入射声波，为反射声波，为法线，． 【任务一】确定“三音石”位置 若站在回音壁内的某块石头上拍掌，其声波等距地传到回音壁，又被回音壁等距反射回到该石头位置，如此往复，可以听到三次回声，因此这块石头称作“三音石”． （1）请在图3中作出“三音石”的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若在“三音石”位置拍掌，则在该位置听到相邻两次回声间隔为__________． 【任务二】体验远距离对话 若两人分别站在东、西配殿后的回音壁旁，一人斜对着回音壁轻声说话，另一人可以借助回音壁对声音的反射清楚地听到对方的声音． （3）如图4，点，在回音壁上，它们之间的距离为，紧贴点的声源发出的一束声波经墙面顺时针反射，在第8次反射时恰好到达点，求这束声波到达点的时间．（参考数据：，） 【任务三】探究反射路径区域 据测定，入射声波与回音壁的切线所成的角小于时，其反射声波不会被回音壁内的建筑遮挡． （4）如图5，有一个动态声源按固定方向（与回音壁在点处的切线所成的角为，）发出一束声波，若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为__________．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1） 如图所示，点即为求作的“三音石”的位置； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得“三音石”的位置为圆形回音壁圆心的位置．在上任取三点，连接，，分别作，的垂直平分线，，交点即为“三音石”的位置； （2）声音反射到“三音石”上，再反射到回音壁上，再由回音壁反射回来经过的路程长为，即可求得时间； （3）设圆心为，设由发出的声波为，连接，，，，作于，作于，进而求得， ， ，得出 ，，根据，求得，求得声波总长为，即可求这束声波到达点的时间； （4）设圆心为，声波为，过点的的切线为，连接，作于，由 为的切线，得，根据，得，进而根据解直角三角形得，由声源沿回音壁顺时针连续运动一周，得其反射声波“扫过”区域的面积为以为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积，列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，声音反射到“三音石”上，再反射到回音壁上， 再由回音壁反射回来经过的路程长为， 时间为； 【小问3详解】 解：设圆心为，设由发出的声波为，连接，，，，作于，作于， ， ， 该圆的直径为， ， 中，， ， ， ， ， 所对的圆心角为，声波经过8次反射， ， 中，，， ， ， ， 中，， 即， ， 声波总长为， 这束声波到达点的时间为； 【小问4详解】 解：设圆心为，声波为，过点的的切线为，连接，作于， 为的切线， ， ，即， 中，， ， ，即， ， 若声源沿回音壁顺时针连续运动一周，则其反射声波“扫过”区域的面积为以为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积， 得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $