1.2 一元二次方程的根的判别式课时6 课件2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过回顾求根公式及解方程步骤，引导学生解三个典型方程观察b²-4ac值与根的关系，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解判别式定义及根的三种情况。 其亮点在于结合数学思维与模型意识，通过例1总结“一化二定三算四判”步骤培养推理能力，例2参数问题构建不等式模型发展应用意识。学生能通过实例掌握抽象概念，教师可借助清晰流程和丰富例题提升教学效率。

1.2 课时6 一元二次方程的根的判别式 1.理解一元二次方程根的判别式的定义与推导由来. 2.掌握 Δ>0、Δ=0、Δ<0 对应的三种实数根情况，熟记判别规律. 3.会不解方程判别方程根的情况；能根据根的情况反向求解参数. 1.一元二次方程的求根公式是什么? 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ （1）把方程化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0）； （2）写出a、b、c 的值； （3）求出b2 －4ac 的值; （特别注意：当 b2 －4ac＜0 时没有实数根．） （4）代入求根公式：x = （5）写出方程的解. 做一做： 用公式法解下列方程： (1) x2＋x－1＝0 ；(2) x2＋2x3＝0；(3) 2x2－2x＋1＝0． 解：(1)∵ a=1，b=1，c=-1， b2-4ac=12-4×1×(-1)=5, x1 = , x2 = . （2）∵ a=1，b=2，c=3， b2-4ac=(2)2-4×1×3=0, x1 = x2 = . (3) 2x2－2x＋1＝0. （3）∵ a=2，b=-2，c=1， b2-4ac=(-2) 2-4×2×1=-4＜0, ∴  这个方程没有实数根. 思考1：观察上述方程的根的情况， 方程(1)有 实数根，此时b2-4ac 0； 方程(2)有 实数根，此时b2-4ac 0； 方程(3) 实数根，此时b2-4ac 0. 两个不相等的 两个相等的 没有 思考2：能否不解方程得出方程的解的情况呢？ ＞ = ＜ 我们把式子 b²−4ac 叫作一元二次方程 ax²+bx+c=0（a 不等于 0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ ”表示，即 Δ=b²−4ac. 根的判别式 一元二次方程 （a 0）的根的情况: 当Δ＞0时，有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，没有实数根. 例1：不解方程，判别下列方程根的情况，并与同伴交流总结解题步骤. (1) 2x²+3x−4=0； (2) 16y²+9=24y； (3) 5 (x²+1)−7x=0. 解：(1) 由 a=2，b=3，c=−4，Δ=3²−4×2×(−4)=41>0， 可得原方程有两个不相等的实数根. (2) 原方程可变形为16y²−24y+9=0， 由 a=16，b=−24，c=9，Δ=(−24)²−4×16×9=0， 可得原方程有两个相等的实数根. (3) 原方程可变形为5x²−7x+5=0. 由 a=5，b=−7，c=5，Δ=(−7)²−4×5×5=−51<0，可得原方程没有实数根. 一化：化成一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)； 二定：确定 a、b、c 的值 (带自身正负号) 三算：代入计算 Δ=b²−4ac； 四判：根据 Δ 正负判断根的三种情况. 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的基本步骤： 1.判断下列一元二次方程的根的情况： ( 1 ) x2 + 2x - 5 = 0； ( 2 ) 2x2 - 5x + 6 = 0； ( 3 ) x2 + 1 = 2x； ( 4 ) x2 + kx + k - 1 = 0. 解：( 1 )∵a = 1，b = 2，c = -5， ∴Δ = b2 - 4ac = 22 - 4 × 1 × ( -5 ) = 24 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根； ( 2 )∵a = 2，b = -5，c = 6， ∴Δ = b2 - 4ac = ( -5 )2- 4 × 2 × 6 = -23 < 0， ∴方程无实数根； 分析：先求出Δ的值， 再根据Δ的值的正负判断. ( 3 ) x2 - 2x + 1 = 0， ∵a = 1，b = -2，c = 1， ∴Δ = b2 - 4ac = ( - 2 )2 - 4 × 1 × 1 = 0， ∴方程有两个相等的实数根； ( 4 ) ∵a = 1，b = k，c = k - 1， ∴Δ = b2 - 4ac = k2 - 4 × 1 × ( k - 1) = ( k - 2 )2 ≥ 0， ∴方程有两个实数根. ( 3 ) x2 + 1 = 2x； ( 4 ) x2 + kx + k - 1 = 0. ∵方程有两个实数根 ，∴Δ≥0， 即， ， ， 解得 . 例2：已知关于 x 的方程 x²−2 (k−2) x+k²=0 有两个实数根，求 k 的取值范围. 1.已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－k＝0有实数根，则 k 的取值范围是 ( )． A．k≤－1 B．k≥－1 C．k＜－1 D．k＞－1 B 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 Δ＞0 Δ＝0 Δ ≥0 思考：判别关于 x 的一元二次方程 x²+kx+k−1=0 的实数根的情况. a=1，b=k，c=k−1. Δ=b²−4ac=k²−4×1×(k−1)=k²−4k+4=(k−2)². ∵ 任意实数的平方都是非负数，∴ Δ=(k−2)²≥0 恒成立. ① 当 k≠2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实数根； ② 当 k=2 时，Δ=0，方程有两个相等的实数根. 综上，无论 k 取任何实数，该方程总有实数根. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 判别式的情况 根 的 情 况 定 理 与 逆 定 理 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 Δ＞0 两个不相等的实数根 Δ＝0 两个相等的实数根 Δ＜0 无实数根 1.下列一元二次方程中，无实数根的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0 D 2.若关于x的一元二次方程x2-4x＋5=a有实数根，则a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 D 3. 不解方程，判别下列一元二次方程的根的情况： (1)2x2＋3x－4＝0；　(2)16y2＋9＝24y；　(3)5(x2＋1)－7x＝0. 解：(1)∵a＝2，b＝3，c＝-4， ∴b2－4ac＝32－4×2×(-4)＝9＋32＝41＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． (2)原方程化为16y2－24y＋9＝0. ∵a＝16，b＝-24，c＝9， ∴b2－4ac＝(-24)2－4×16×9＝0， ∴原方程有两个相等的实数根． 解：原方程化为5x2－7x＋5＝0. ∵a＝5，b＝-7，c＝5， ∴ b2－4ac＝(-7)2－4×5×5＝49－100＝-51<0， ∴原方程无实数根． (3)5(x2＋1)－7x＝0. $