1.2 一元二次方程的解法 第6课时 （课件） 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过复习求根公式，结合三个二次项、一次项系数相同而常数项不同的方程，引导学生观察根的情况差异，搭建从公式法到判别式的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于以对比观察和推理探究培养数学眼光与思维，如通过方程系数对比让学生自主发现Δ的作用，配方变形推理Δ意义渗透推理意识，数学文化介绍和探究问题激发兴趣与应用能力。学生能提升观察推理能力，教师可借助清晰路径和多样化练习提高教学效果。

授课老师： 授课时间：202X.X 第1章 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法 第6课时 公式法（2） 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？ 求根公式为x＝(b2－4ac≥0). 2 导入新课 请用公式法解下列方程： (1) x2－4x＋3＝0；(2) x2－4x＋4＝0；(3) x2－4x＋5＝0. 解 (1) a＝1，b＝－4，c＝3，b2－4ac＝4＞0，x＝，所以原方程的两个实数根为x1＝1，x2＝3. (2) a＝1，b＝－4，c＝4，b2－4ac＝0，x＝，所以原方程的两个实数根为x1＝x2＝2. (3) a＝1，b＝－4，c＝5，b2－4ac＝－4＜0，所以原方程无实数根. 3 导入新课 观察三个方程，它们的系数有什么联系和区别？ 它们的二次项系数和一次项系数分别相同，但常数项不同. 能说出上面方程的根的情况吗？ 方程(1)有两个不相等的实数根，方程(2)有两个相等的实数根，方程(3)没有实数根. 这三个方程根的情况不同，是什么决定了这种差异？ b2－4ac的符号. 4 新知探究 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方，可以变形为(x＋)2＝，能根据这个式子说一说，这个方程是否有根取决于什么吗？ 因为4a2＞0，所以这个方程是否有实数根取决于b2－4ac. 任务一：探究一元二次方程根的情况取决于什么 5 新知探究 b2－4ac的符号有哪些情况？各种情况下，这个方程的根各有几 个呢？ b2－4ac的符号有三种情况： 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac＜0时，方程没有实数根. 6 新知探究 把式子b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac. 根据前面的讨论，能说说怎样由判别式Δ的符号判别一元二次方程的根的情况吗？ 任务二：生成概念 7 新知探究 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况： 当Δ＞0时，有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，没有实数根. 8 新知探究 判别式的思想可以追溯到法国数学家韦达——他虽然没有直接写出Δ＝b2－4ac，但他对根与系数关系的研究为判别式奠定了基础. 后来，笛卡儿、牛顿等数学家进一步完善了方程根的性质分析，逐渐形成了今天使用的判别式概念. 判别式不仅是判断实数根的工具，在代数几何、微分方程等更高深的数学领域也有着广泛应用. 任务三：数学文化熏陶 9 新知探究 例1 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) 2x2＋3x－4＝0；(2) 16y2＋9＝24y；(3) 5(x2＋1)－7x＝0 解题步骤：先化为一般形式→确定a，b，c的值→计算Δ ＝b2－4ac的值→根据Δ的符号判断根的情况. 解 (1)由a＝2，b＝3，c＝－4，Δ＝32－4×2×(－4)＝41＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根. 任务四：知识迁移与运用 10 新知探究 (2)原方程可变形为16y2－24y＋9＝0. 由a＝16，b＝－24，c＝9，Δ＝(－24)2－4×16×9＝0， 可得原方程有两个相等的实数根. (3)原方程可变形为5x2－7x＋5＝0. 由a＝5，b＝－7，c＝5，Δ＝(－7)2－4×5×5＝－51＜0， 可得原方程没有实数根. 11 新知探究 例2 判别关于x的一元二次方程x2＋kx＋k－1＝0的实数根的情况. 解 由a＝1，b＝k，c＝k－1， Δ＝k2－4×1×(k－1)＝k2－4k＋4＝(k－2)2. 因为(k－2)2≥0，即Δ≥0， 所以原方程一定有实数根. 12 新知探究 探究：若一元二次方程的二次项系数与常数项异号，则原方程是否一定有实数根？ 这里的一元二次方程指的是何种形式？ 一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 由二次项系数和常数项异号可以得到怎样的结论？ 因为二次项系数a和常数项c异号，所以ac＜0. 能判断方程实数根的情况吗？ 因为ac＜0，所以－ac＞0，所以Δ＝b2－4ac＞0. 方程必有两个不相等的实数根. 13 1．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等实数根的是( ) A．x2－2x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2＋x－1＝0 D．x2＋1＝0 C 课堂练习 2. 广州期末关于x的方程x2－x＋k2＋2＝0的根的情况为( 　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 C 3. D 关于x的一元二次方程kx2＋3x－1＝0有实数根，则k的取值范围是(　　) 5．已知关于x的方程x2－4x＋a＝0有两个相同的实数根，则a的值是 。 6．已知关于x的方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值是 。 4 -1 7．不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)x2－10x＋25＝0； (2)x2＝x－2； (3)x2－3x＋4＝0。 解：∵Δ＝(－10)2－4×1×25＝0， ∴原方程有两个相等的实数根。 解：化为一般形式为x2－x＋2＝0， ∵Δ＝(－1)2－4×1×2＝－7<0， ∴原方程没有实数根。 解：∵Δ＝(－3)2－4×1×4＝2＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根。 8．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋2k－2＝0。 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围。 (1)证明：Δ＝b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4×(2k－2) ＝k2－6k＋9＝(k－3)2， ∵(k－3)2≥0，即Δ≥0， ∴此方程总有两个实数根。 (2)解：x＝， 解得 x1＝k－1，x2＝2， ∵此方程有一个根大于0且小于1，而x2＞1， ∴0＜x1＜1，即0＜k－1＜1。∴1＜k＜2。 9．关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0有实数根。 (1)求k的取值范围； 解：(1)由条件可知Δ＝(－3)2－4×1×k≥0， 解得k≤。 (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m－2)x2＋x＋m－4＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，求此时m的值。 解：∵k≤，∴k的最大整数为2。 方程x2－3x＋k＝0则为x2－3x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 由条件可知当x＝1时， (m－2)＋1＋m－4＝0， 解得m＝； 当x＝2时，4(m－2)＋2＋m－4＝0， 解得m＝2，而m－2≠0，∴m的值为。 10. 解：(1)[－4，3]*[2，－6]＝(－4)×2－3×(－6)＝10. 我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，d]＝ac－bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5－2×1＝13. (1)求[－4，3]*[2，－6]的值； (2)已知关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围． 23 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？ 判别式的定义、判别式与根的关系、判别式的应用. 2.判别式在求根公式中起什么作用？ 决定方程是否有实数根以及根是否相等. 3.使用判别式时需要注意什么？ 方程必须化为一般形式、准确确定各项系数. 24 A．k≤－ B．k≤且k≠0 C．k≥－ D．k≥－且k≠0 解：根据题意，得x(mx＋1)－m(2x－1)＝0， 整理，得mx2＋(1－2m)x＋m＝0. ∵关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根， ∴b2－4ac＝(1－2m)2－4m·m≥0且m≠0， 解得m≤且m≠0. $