2.3 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的根与系数的关系”，通过复习求根公式衔接新课，先引导学生填写方程根与系数关系表格发现规律，再结合求根公式推导韦达定理，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动学生用数学眼光观察根与系数联系，通过代数推理培养数学思维，例题练习覆盖不同形式方程，规范解题步骤强化数学语言表达，助力学生掌握定理应用，提升教师教学效率。

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 苏科版2024 • 九年级 • 数学 • 上学期 盐城市北蒋实验学校 九年级数学备课组 1 1、 一元二次方程的求根公式是什么？ 复习引入 1、 填写下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？ 新课讲解 方 程 x1 x2 x1+x2 x1•x2 x²－3x+2=0         x²+3x+2=0         x²－5x+6=0         x²+5x+6=0         1 2 3 2 －1 －2 －3 2 2 3 5 6 －2 －3 －5 6 新课讲解 比较一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2－4ac ≥ 0)两个实数根的表达式： 它们有何特征？你能发现根与系数之间有哪些联系？ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ≥0时，两个实数根由方程的各项系数a，b，c确定的. 反过来，根据两根表达式的特征，通过下面的计算可以发现，方程系数之间的关系也可以用两根实数根表示： 新课讲解 由此可以得到如下一元二次方程的根与系数的关系： 新课讲解 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根实数根x1，x2，则 x1 + x2 =， x1 . x2 = . 上述根与系数的关系也称为韦达定理. (书本第45页例1)不解方程，判断下列方程是否有实数根，求两根的和与两根的积： (1) x2＋2x－5=0； (2) 2x2＋x=1. 例题讲解 (1)∵a=1，b=2，c=－5 ∴Δ=b2－4ac=22－4×1×(－5)=4+20=24＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根. 设方程两根分别为x1，x2，则 x1+x2=－ =－=－，x1•x2= = (2)原方程即：2x2＋x－1=0 ∵a=2，b=1，c=－1 ∴Δ=b2－4ac=12－4×2×(－1)=1+8=9＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根. 设方程两根分别为x1，x2，则 x1+x2=－ =－，x1•x2= = 尝试练习 (书本第46页练习1)不解方程，判断下列方程是否有实数根，求两根的和与两根的积： (1) x2－4x+1=0； (2) 2x2－3x=2； (3) 3x2+2x=0； (4) 4x2=1； (1)∵a=1，b=－4，c=1 ∴Δ=b2－4ac=(－4)2－4×1×1=16－4=12＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根. 设方程两根分别为x1，x2，则 x1+x2=－ =－ =4，x1•x2= = (2)原方程即：2x2－3x－2=0 ∵a=2，b=－3，c=－2 ∴Δ=b2－4ac=(－3)2－4×2×(－2)=9+16=25＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根. 设方程两根分别为x1，x2，则 x1+x2=－ =－，x1•x2= = 尝试练习 (书本第46页练习1)不解方程，判断下列方程是否有实数根，求两根的和与两根的积： (1) x2－4x+1=0； (2) 2x2－3x=2； (3) 3x2+2x=0； (4) 4x2=1； (3)∵a=3，b=2，c=0 ∴Δ=b2－4ac=22－4×3×0=4－0=4＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根. 设方程两根分别为x1，x2，则 x1+x2=－ =－，x1•x2= = (4)原方程即：4x2－1=0 ∵a=4，b=0，c=－1 ∴Δ=b2－4ac=02－4×4×(－1)=0+16=16＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根. 设方程两根分别为x1，x2，则 x1+x2=－ =－，x1•x2= = 例题讲解 (书本第45页例2)已知方程 x2+x+c=0的一个实数根是 ，求另一个实数根和常数项. 设方程的另一个实数根为x1，由根与系数的关系，得 x1+=－=－1 解得：x1=－1－ = 再由根与系数的关系，得 c=x1×=×==－1 所以方程的另一个根是 ，常数项是－1. 这题是否有其它的方法来求解？ 尝试练习 (书本第46页练习2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个实数根： (1) 如果两根互为相反数，那么方程的系数满足什么条件？ (2) 如果两根互为倒数，那么方程的系数满足什么条件？ 解：设方程的两个实数根为x1，x2，由根与系数的关系，得 x1+x2=－，x1•x2= (1)若两根互为相反数，则x1+x2=0，所以－=0，所以b=0且a≠0 (2)若两根互为倒数，则x1•x2=1，所以=1，所以a=c≠0 例题讲解 （2026春•义乌市月考）设x1，x2为方程2x2－7x+2＝0的两根，试求下列各式的值： 因为x1，x2为方程2x2－7x+2＝0的两根， 所以x1+x2=－=－=，x1•x2= = =1. (1)+ = == 例题讲解 (书本第41页例7)不解方程，判别下列方程的根的情况： (1) 2x2+3x－4 = 0； (2) 16y2+9 = 24y； (3)5(x2+1)－7x = 0 解：(1)因为a=2，b=3，c=－4 所以Δ=b2－4ac=32－4×2×(－4)=41＞0 所以原方程有两个不相等的实数根. 解：(2)原方程即：16y2－24y+9 =0 因为a=16，b=－24，c=9 所以Δ=b2－4ac=(－24)2－4×16×9=576－576=0 所以原方程有两个相等的实数根. 解：(3)原方程即：5x2－7x+5 =0 因为a=5，b=－7，c=5 所以Δ=b2－4ac=(－7)2－4×5×5=49－100=－51＜0 所以原方程没有实数根. 尝试练习 (书本第42页练习)不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）x2＋3x－1 = 0 （2）x2－6x＋5 = 0 解：(1)因为a=1，b=3，c=－1 所以Δ=b2－4ac=32－4×1×(－1)=9+4=13＞0 所以原方程有两个不相等的实数根. 解：(2)因为a=1，b=－6，c=5 所以Δ=b2－4ac=(－6)2－4×1×5=36－20=16＞0 所以原方程有两个不相等的实数根. 尝试练习 (书本第42页练习)不解方程，判别下列方程的根的情况： （3）2y2－3y＋4 = 0 （4） 解：(3)因为a=2，b=－3，c=4 所以Δ=b2－4ac=(－3)2－4×2×4=9－32=－23＜0 所以原方程没有实数根. 解：(4)原方程即：x2－2x+5=0 因为a=1，b=－2，c=5 所以Δ=b2－4ac=(－2)2－4×1×5=20－20=0 所以原方程有两个相等的实数根. 例题补解 (1)（2024秋•毕节市月考）当m为何值时，一元二次方程(m2－1)x2+2(m－1)x+1＝0： ①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根； ③方程有实数根？ ④没有实数根． 解：Δ＝[2(m﹣1)]2﹣4(m2﹣1)＝4m2－8m+4－4m2+4=－8m+8， ①∵原方程有两个不相等的实数根 ∴Δ＞0， 解得：m＜1且m≠﹣1； 即：Δ=－8m+8＞0， 且m2﹣1≠0， ②∵原方程有两个相等的实数根； ∴Δ＞0， 即：Δ=－8m+8=0， 解得：m=1 而m2﹣1≠0， ∴原方程不可能有两个相等的实数根； 例题补讲 (1)（2024秋•毕节市月考）当m为何值时，一元二次方程(m2－1)x2+2(m－1)x+1＝0： ①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根； ③方程有实数根？ ④没有实数根． 解：Δ＝[2(m﹣1)]2﹣4(m2﹣1)＝4m2－8m+4－4m2+4=－8m+8， ③∵原方程有实数根； ∴Δ≥0， 即：Δ=－8m+8≥0， 解得：m≤1 ④∵原方程没有实数根； ∴Δ＜0， 即：Δ=－8m+8＜0， 解得：m＞1 (书本第42页探究)判别关于x的一元二次方程x2＋kx+k－1 = 0的实数根的情况. 解：∵Δ=b2－4ac=k2－4×1×(k－1)＝k2－4k+4=(k－2)2 ≥ 0 ∴原方程有两个实数根. 例题补讲 3、（2024秋•沙洋县月考）若关于x的方程x2+2x－m+1＝0没有实数根，请说明关于x的方程x2+mx+12m－1＝0一定有两个不相等的实数根． 例题补讲 证明：∵关于x的方程x2+2x－m+1＝0没有实数根， ∴Δ1＝22－4(－m+1)=4+4m－4=4m＜0， 解得m＜0， 又∵方程x2+mx+12m－1＝0的判别式 Δ2＝m2－4×1×(12m－1)=m2－48m+4， ∴Δ2＞0， ∴关于x的方程x2+mx+12m－1＝0一定有两个不相等的实数根． 尝试练习 (1)（2024秋•同步）当m为何值时，关于x的一元二次方程mx2－8x+1＝0． ①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根． 解：∵方程mx2﹣8x+1＝0为一元二次方程，∴m≠0； 而Δ＝b2﹣4ac＝(﹣8)2﹣4m＝64﹣4m． ①∵原方程有两个不相等的实数根 ∴Δ＞0，即：64﹣4m＞0，解得：m＜16 ∴当m＜16且m≠0时，原方程有两个不相等的实数根； ②∵原方程有两个相等的实数根 ∴Δ=0，即：64﹣4m=0，解得：m=16 ∴当m＝16时，原方程有两个相等的实数根， ③∵原方程没有实数根 ∴Δ＜0，即：64﹣4m＜0，解得：m＞16 ∴当m＞16时，原方程无实数根． 尝试练习 (2)（2025秋•湘阴县月考）已知：关于x的方程2x2+kx－1＝0， 求证：方程有两个不相等的实数根． 证明：∵a＝2，b＝k，c＝－1， ∴Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2+8， ∵无论k取何值，k2 ≥ 0， ∴k2+8＞0，即Δ＞0， ∴方程2x2+kx－1＝0有两个不相等的实数根． 尝试练习 (3)（2024•凉州区校级一模）若关于x的方程mx2－(2m－1)x+(m+1)＝0没有实数根，求m的取值范围． 解：当m＝0时，方程为x+1＝0，x＝－1，不符合题意； 当m ≠ 0时，根据题意，得Δ＝(2m－1)2－4m(m+1)＜0， 解得m＞18， ∴m的取值范围为：m＞18． 尝试练习 （2025秋•同步）已知关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2+ax+a＝1是否一定有两个不相等的实数根，并说明理由． 解：关于x的方程x2+ax+a＝1一定有两个不相等的实数根，理由如下： ∵关于x的方程x2+2x－a+1＝0没有实数根， ∴ Δ1＝B2－4AC＝22－4(－a+1)=4a＜0，解得a＜0， 又∵关于x的方程x2+ax+a＝1的 Δ2＝B2﹣4AC＝a2－4(a－1)＝a2－4a+4＝(a－2)2， 而a＜0， ∴Δ2＝(a－2)2＞0， ∴关于x的方程x2+ax+a＝1一定有两个不相等的实数根． 课堂小结 这节课，你的收获是--- $