福建省厦门市2026-2027学年高一上学期期中模拟数学试卷

**基本信息** 覆盖集合、函数、不等式核心模块，通过基础题与综合题梯度设计，考察数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高一上期中教学目标。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、命题否定、函数定义域等|如第4题结合幂函数图象特征辨析参数，考察几何直观| |多选|3/18|集合关系、函数性质、基本不等式|如第11题围绕a+b=1综合考察ab、a²+b²等最值，体现运算能力| |填空|3/15|集合相等、函数最值、二次函数区间性质|如第14题结合二次函数单调性求参数范围，考察空间观念| |解答|5/77|集合运算、含参不等式、函数单调性证明等|如第17题定义法证明单调性，第19题分类讨论二次函数区间最值，突出推理能力与数学表达|

厦门市2026—2027学年度第一学期高一年级期中模拟 数学试卷 2026年11月 （满分150分　考试时间120分钟） 学校：__________　班级：__________　姓名：__________　座号：__________ 本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合 A = {x | −1 < x < 3}，B = {x | x ≥ 2}，则 A ∩ B =（ ） A．{x | 2 ≤ x < 3} B．{x | −1 < x < 2} C．{x | x > −1} D．{x | x ≥ 2} 2．命题“∃x ∈ R，x² + 2x + 3 < 0”的否定是（ ） A．∃x ∈ R，x² + 2x + 3 ≥ 0 B．∀x ∈ R，x² + 2x + 3 < 0 C．∀x ∈ R，x² + 2x + 3 ≥ 0 D．∃x ∈ R，x² + 2x + 3 > 0 3．函数 f(x) = √(2x − 4) / (x − 3) 的定义域是（ ） A．[2, +∞) B．(2, +∞) C．[2, 3) ∪ (3, +∞) D．(2, 3) ∪ (3, +∞) 4．如图1，某幂函数 y = xᵃ 的图象经过原点，在第一象限内单调递增，且其图象在第一象限内上凸（增长速度逐渐变慢），则实数 a 的值可能是（ ） A．−1 B．1/2 C．1 D．2 图1　幂函数图象 5．已知 a > b，则下列不等式一定成立的是（ ） A．a² > b² B．1/a < 1/b C．a + c > b + c D．ac > bc 6．已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时，f(x) = x² − 2x，则 f(−1) =（ ） A．1 B．−1 C．3 D．−3 7．若 x > 0，y > 0，且 x + 2y = 2，则 1/x + 2/y 的最小值为（ ） A．4 B．9/2 C．5 D．6 8．已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x ≥ 0 时，f(x) = x² − 4x。若关于 x 的方程 f(x) = m 有四个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A．(−4, 0) B．(−4, 0] C．[−4, 0) D．(0, 4) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对（选对但不全）得3分，有选错得0分。 9．设 A，B 为非空集合，其关系如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．空集是任何集合的子集 B．由图2可知 A ⊆ B，则 A ∪ B = A C．“x > 1”是“x > 0”的充分不必要条件 D．集合 {x | (x − 1)(x − 2) = 0} = {1, 2} 图2　集合 A，B 的关系图 10．已知函数 f(x) = x² − 2x + 3，则下列说法正确的是（ ） A．f(x) 的图象关于直线 x = 1 对称 B．f(x) 的最小值为 2 C．f(x) 在区间 (−∞, 1) 上单调递增 D．f(x) 的值域为 [2, +∞) 11．已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 1，则下列说法正确的是（ ） A．ab 的最大值为 1/4 B．a² + b² 的最小值为 1/2 C．1/a + 1/b 的最小值为 4 D．a² + b² 的最大值为 1 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合 A = {1, a}，B = {a², 1}，若 A = B，则实数 a = ________。 13．函数 f(x) = x + 4/(x − 1)（x > 1）的最小值为 ________。 14．已知函数 f(x) = x² − 2x + 2 在区间 [0, m] 上的最大值为 2，最小值为 1，则实数 m 的取值范围是 ________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知集合 A = {x | x² − 2x − 3 ≤ 0}，B = {x | 2m − 1 < x < 2m + 3}。 （1）求集合 A；（4分） （2）当 m = 1 时，求 A ∩ B 与 A ∪ B；（5分） （3）若 B ⊆ A，求实数 m 的值。（4分） 16．（本小题满分15分） 已知关于 x 的不等式 ax² − 3x + 2 > 0 的解集为 {x | x < 1 或 x > b}。 （1）求实数 a，b 的值；（6分） （2）解关于 x 的不等式 x² − (b + m)x + bm ≤ 0（m ∈ R）。（9分） 17．（本小题满分15分） 已知函数 f(x) = x + 4/x（x > 0）。 （1）判断 f(x) 在区间 (0, 2) 上的单调性，并用定义加以证明；（9分） （2）求 f(x) 在区间 [1, 4] 上的最大值和最小值。（6分） 18．（本小题满分17分） 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时，f(x) = x² − 2x，其图象位于 y 轴右侧的部分如图3所示。 图3　函数 f(x) 在 y 轴右侧的图象 （1）求函数 f(x) 在 R 上的解析式；（7分） （2）解不等式 f(x) > 0；（6分） （3）写出 f(x) 的单调递增区间（不必证明）。（4分） 19．（本小题满分17分） 已知函数 f(x) = x² − 2ax + 2，x ∈ [−1, 1]。图4给出了 a 取不同值时函数图象的对称轴位置图。 图4　对称轴随 a 变化的位置图 （1）当 a = 1 时，求 f(x) 的最大值和最小值；（5分） （2）求 f(x) 在区间 [−1, 1] 上的最小值 g(a)；（7分） （3）若 f(x) ≥ 0 对任意 x ∈ [−1, 1] 恒成立，求实数 a 的取值范围。（5分） 参考答案与解析 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．【答案】A 【解析】A = {x | −1 < x < 3}，B = {x | x ≥ 2}，两集合取公共部分得 2 ≤ x < 3，故 A ∩ B = {x | 2 ≤ x < 3}，选 A。 2．【答案】C 【解析】存在量词命题的否定是全程量词命题，且需否定结论。“∃x ∈ R，x² + 2x + 3 < 0”的否定为“∀x ∈ R，x² + 2x + 3 ≥ 0”，选 C。 3．【答案】C 【解析】要使式子有意义，需被开方数非负且分母不为零：由 2x − 4 ≥ 0 得 x ≥ 2；由 x − 3 ≠ 0 得 x ≠ 3。故定义域为 [2, 3) ∪ (3, +∞)，选 C。 4．【答案】B 【解析】由图象过原点且在 (0, +∞) 上单调递增、图象上凸（增长速度逐渐变慢），可知该幂函数为 0 < a < 1 的情形。四个选项中只有 1/2 满足 0 < 1/2 < 1，故选 B。（a = −1 时图象不过原点且在 (0, +∞) 上递减；a = 1 时为过原点的一条直线；a = 2 时图象上凹。） 5．【答案】C 【解析】A 错误，如 a = 1，b = −2 时 a > b，但 a² < b²；B 错误，如 a = 1，b = −2 时 1/a = 1 > 1/b = −1/2；C 正确，不等式两边同加同一实数 c 不等号方向不变；D 错误，当 c ≤ 0 时不成立。故选 C。 6．【答案】A 【解析】f(1) = 1² − 2×1 = −1。因为 f(x) 为奇函数，所以 f(−1) = −f(1) = 1，选 A。 7．【答案】B 【解析】由“乘1法”：1/x + 2/y = (1/x + 2/y)·(x + 2y)/2 = 1/2[1 + 2y/x + 2x/y + 4] = 1/2[5 + 2y/x + 2x/y] ≥ 1/2[5 + 2√(2y/x · 2x/y)] = 1/2(5 + 4) = 9/2。当且仅当 2y/x = 2x/y 且 x + 2y = 2，即 x = y = 2/3 时取等号。故选 B。 8．【答案】A 【解析】当 x ≥ 0 时，f(x) = x² − 4x = (x − 2)² − 4，其最小值为 f(2) = −4。又 f(x) 为偶函数，图象关于 y 轴对称，故当 x ≤ 0 时最小值也为 −4（在 x = −2 处取得）。方程 f(x) = m 有四个不同实根，等价于水平直线 y = m 与图象有四个交点，结合图象需 −4 < m < 0，选 A。 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．【答案】ACD 【解析】A 正确，空集是任何集合的子集；B 错误，由图2知 A ⊆ B（A 是 B 的子集），此时 A ∪ B = B 而非 A，故“A ∪ B = A”不成立；C 正确，x > 1 ⇒ x > 0，但 x > 0 推不出 x > 1，故“x > 1”是“x > 0”的充分不必要条件；D 正确，方程 (x − 1)(x − 2) = 0 的根为 1 和 2。故选 ACD。 10．【答案】ABD 【解析】f(x) = x² − 2x + 3 = (x − 1)² + 2。对称轴为直线 x = 1，A 正确；最小值为 f(1) = 2，B 正确；在 (−∞, 1) 上单调递减，C 错误；值域为 [2, +∞)，D 正确。故选 ABD。 11．【答案】ABC 【解析】由基本不等式：A 中 ab ≤ ((a + b)/2)² = 1/4，当 a = b = 1/2 时取最大值 1/4，正确；B 中 a² + b² ≥ (a + b)²/2 = 1/2，正确；C 中 1/a + 1/b = (a + b)/(ab) = 1/(ab) ≥ 4，正确；D 中因 a, b > 0 且 a + b = 1，恒有 a² + b² < 1（需 a 或 b 为 0 才等于 1，取不到），故最大值为 1 错误。故选 ABC。 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．【答案】0 【解析】由 A = B 得 a² = a，即 a(a − 1) = 0，解得 a = 0 或 a = 1。又集合 A = {1, a} 中元素应互异，故 a ≠ 1，所以 a = 0。 13．【答案】5 【解析】因为 x > 1，所以 x − 1 > 0。f(x) = x + 4/(x − 1) = (x − 1) + 4/(x − 1) + 1 ≥ 2√4 + 1 = 4 + 1 = 5。当且仅当 x − 1 = 4/(x − 1)，即 x = 3 时取等号。故最小值为 5。 14．【答案】[1, 2] 【解析】f(x) = x² − 2x + 2 = (x − 1)² + 1，其最小值 1 在 x = 1 处取得。要使 f(x) 在 [0, m] 上的最小值为 1，需 1 ∈ [0, m]，即 m ≥ 1。又 f(0) = 2，要使最大值为 2，需 f(m) ≤ 2，即 m² − 2m + 2 ≤ 2，即 m² − 2m ≤ 0，解得 0 ≤ m ≤ 2。综上 1 ≤ m ≤ 2，故 m 的取值范围是 [1, 2]。 四、解答题（共77分） 15．（本小题满分13分） 【解析】 （1）由 x² − 2x − 3 ≤ 0 得 (x − 3)(x + 1) ≤ 0，解得 −1 ≤ x ≤ 3，所以 A = [−1, 3]。（4分） （2）当 m = 1 时，B = {x | 1 < x < 5}。 　　A ∩ B = {x | 1 < x ≤ 3}；（3分） 　　A ∪ B = {x | −1 ≤ x < 5}。（2分） （3）对任意 m，有 2m + 3 > 2m − 1，故 B = (2m − 1, 2m + 3) 恒为非空集合。由 B ⊆ A 得 2m − 1 ≥ −1 且 2m + 3 ≤ 3，即 m ≥ 0 且 m ≤ 0，所以 m = 0。（4分） 【易错点】端点值是否取到要格外注意：B 为开区间，(2m − 1, 2m + 3) 的端点不影响 B ⊆ A 的判断，故允许 2m − 1 = −1 与 2m + 3 = 3 同时成立；另外不要忽略 B 为非空集合（本题恒成立）。 16．（本小题满分15分） 【解析】 （1）因为不等式 ax² − 3x + 2 > 0 的解集为 {x | x < 1 或 x > b}（形如“两根之外”），所以抛物线开口向上，a > 0，且 1，b 是方程 ax² − 3x + 2 = 0 的两个根。 　　将 x = 1 代入方程：a × 1² − 3 × 1 + 2 = 0，即 a − 1 = 0，解得 a = 1。（2分） 　　由根与系数的关系：1 + b = 3/a = 3，1 × b = 2/a = 2，均得 b = 2。（3分） 　　故 a = 1，b = 2。（1分，合计6分） （2）由（1）知 b = 2，原不等式为 x² − (2 + m)x + 2m ≤ 0，即 (x − 2)(x − m) ≤ 0。 　　①当 m < 2 时，解集为 [m, 2]；（3分） 　　②当 m = 2 时，不等式化为 (x − 2)² ≤ 0，解集为 {2}；（3分） 　　③当 m > 2 时，解集为 [2, m]。（3分） 　　综上：m < 2 时解集为 [m, 2]；m = 2 时解集为 {2}；m > 2 时解集为 [2, m]。（合计9分） 【易错点】含参数的一元二次不等式要按“两根大小”分类讨论，且注意原不等式为“≤0”，端点应取到（闭区间）；m = 2 时不能简单写作 [m, 2] = [2, 2]，应说明解集为单元素集合 {2}。 17．（本小题满分15分） 【解析】 （1）f(x) 在区间 (0, 2) 上单调递减。（2分） 　　证明：任取 x₁，x₂ ∈ (0, 2)，且 x₁ < x₂，则 　　f(x₁) − f(x₂) = (x₁ + 4/x₁) − (x₂ + 4/x₂) = (x₁ − x₂) + 4(1/x₁ − 1/x₂) 　　= (x₁ − x₂) + 4(x₂ − x₁)/(x₁x₂) = (x₁ − x₂)[1 − 4/(x₁x₂)] = (x₁ − x₂)(x₁x₂ − 4)/(x₁x₂)。（3分） 　　因为 0 < x₁ < x₂ < 2，所以 0 < x₁x₂ < 4，故 x₁x₂ − 4 < 0；又 x₁ − x₂ < 0，x₁x₂ > 0， 　　所以 (x₁ − x₂)(x₁x₂ − 4) > 0，即 f(x₁) − f(x₂) > 0，f(x₁) > f(x₂)。（3分） 　　故 f(x) 在区间 (0, 2) 上单调递减。（1分，合计9分） （2）同（1）的证明方法可得：当 2 < x₁ < x₂ 时 x₁x₂ > 4，x₁x₂ − 4 > 0，此时 f(x₁) − f(x₂) < 0，故 f(x) 在 (2, +∞) 上单调递增。于是 f(x) 在 [1, 2] 上递减、在 [2, 4] 上递增。 　　所以最小值为 f(2) = 2 + 4/2 = 4；（3分） 　　最大值在端点处取得：f(1) = 1 + 4 = 5，f(4) = 4 + 1 = 5，故最大值为 5。（3分） 　　即 f(x) 在 [1, 4] 上的最小值为 4，最大值为 5。（合计6分） 【易错点】①用定义证明单调性时，须按“取元、作差、变形、定号、下结论”书写，变形到能直接判断符号为止；②判断 f(x₁) − f(x₂) 的符号时，务必交代 x₁x₂ 的取值范围；③求 [1, 4] 上的最值不能只看端点，应结合单调性（在 x = 2 处取最小）。 18．（本小题满分17分） 【解析】 （1）因为 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0) = 0。（1分） 　　当 x < 0 时，−x > 0，代入 x > 0 时的表达式得 f(−x) = (−x)² − 2(−x) = x² + 2x。 　　又 f(−x) = −f(x)，所以 −f(x) = x² + 2x，即 f(x) = −x² − 2x。（4分） 　　综上，f(x) = { x² − 2x, x > 0；0, x = 0；−x² − 2x, x < 0 }。（2分，合计7分） （2）不等式 f(x) > 0 需分类讨论： 　　当 x > 0 时，x² − 2x > 0，即 x(x − 2) > 0，解得 x > 2；（2分） 　　当 x < 0 时，−x² − 2x > 0，即 x² + 2x < 0，解得 −2 < x < 0；（2分） 　　当 x = 0 时，f(0) = 0，不满足。 　　综上，解集为 (−2, 0) ∪ (2, +∞)。（2分，合计6分） （3）单调递增区间为 (−∞, −1] 和 [1, +∞)。（4分） 【易错点】①求分段函数解析式时，x = 0 处的取值容易遗漏（由奇函数性质得 f(0) = 0）；②解不等式要按 x > 0、x = 0、x < 0 分段讨论，最后取并集；③写单调区间时，两端递增区间之间用“和”或“，”连接，不能用并集符号 ∪ 把不连续区间“并”起来。 19．（本小题满分17分） 【解析】 （1）当 a = 1 时，f(x) = x² − 2x + 2 = (x − 1)² + 1，其图象开口向上，对称轴为 x = 1。 　　因为 x ∈ [−1, 1]，函数在该区间上单调递减，所以最小值为 f(1) = 1，最大值为 f(−1) = (−1)² − 2×(−1) + 2 = 5。（5分） （2）f(x) = (x − a)² + 2 − a²，图象开口向上，对称轴为 x = a。按对称轴与区间 [−1, 1] 的位置分类： 　　①当 a ≤ −1 时，区间 [−1, 1] 位于对称轴右侧，f(x) 在 [−1, 1] 上单调递增，故 g(a) = f(−1) = 1 + 2a + 2 = 2a + 3；（2分） 　　②当 −1 < a < 1 时，对称轴在区间内，最小值在顶点处取得，g(a) = f(a) = 2 − a²；（3分） 　　③当 a ≥ 1 时，区间 [−1, 1] 位于对称轴左侧，f(x) 在 [−1, 1] 上单调递减，故 g(a) = f(1) = 1 − 2a + 2 = 3 − 2a。（2分） 　　于是 g(a) = { 2a + 3, a ≤ −1；2 − a², −1 < a < 1；3 − 2a, a ≥ 1 }。（合计7分） （3）f(x) ≥ 0 对任意 x ∈ [−1, 1] 恒成立，等价于最小值 g(a) ≥ 0。由（2）： 　　①a ≤ −1 时，2a + 3 ≥ 0，解得 a ≥ −3/2，此时 −3/2 ≤ a ≤ −1； 　　②−1 < a < 1 时，2 − a² ≥ 0，解得 −√2 ≤ a ≤ √2，在本区间内恒成立； 　　③a ≥ 1 时，3 − 2a ≥ 0，解得 a ≤ 3/2，此时 1 ≤ a ≤ 3/2。 　　综上，实数 a 的取值范围是 [−3/2, 3/2]。（5分） 【易错点】①求含参二次函数在闭区间上的最值，关键是比较对称轴与区间的位置关系，分类的“分界点”是 a = −1 与 a = 1；②分类讨论时各段的端点归属要使定义域不重不漏；③恒成立问题转化为最小值 g(a) ≥ 0，注意在各段内分别求解后取并集。 —— 试卷及参考答案结束 —— 第 页（共 页） 学科网（北京）股份有限公司 $