精品解析：福建厦门市第十中学2024-2025学年高一上学期期中阶段性检测数学试题

厦门十中2024—2025学年（上）高一年级期中阶段性检测 数学试题 满分150分 考试时间120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 5. 函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ） A. － B. C. － D. 7. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A. 甲同学和乙同学 B. 丙同学和乙同学 C. 乙同学和甲同学 D. 丙同学和甲同学 8. 已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但选不全的得3分，有选错的得0分. 9. 下列函数是指数函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递增区间为 D. 若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则_________. 13. 已知是奇函数，当时，，则__________. 14. 定义域为的函数满足条件： ①，，恒有； ②； ③， 则不等式的解集是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）求； （2）求； （3）设集合且，写出集合的所有子集. 16. 已知函数. （1）若的解集为，求，； （2）若，，，求的最小值. 17. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明. 18. 心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ （2）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； （3）若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 19. 已知函数． （1）求与，与的值； （2）由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门十中2024—2025学年（上）高一年级期中阶段性检测 数学试题 满分150分 考试时间120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合相等的定义，即可求解. 【详解】由可知，. 故选：A 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】由题可得，解得且，所以函数的定义域为； 故选：B 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出方程的根，利用充分条件，必要条件的定义判断即可； 【详解】由，可得或， 所以，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，以及对数的运算法则，即可求解. 【详解】由函数， 可得. 故选：B. 5. 函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值即可判断 【详解】解：函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数，所以其图像关于轴对称，所以排除A，B， 因为，所以排除C， 故选：D 6. 已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ） A. － B. C. － D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的定义得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b 【详解】∵在[a - 1，2a]上是偶函数 ∴有：b＝0，且a－1＝－2a ∴a＝ ∴a＋b＝ 故选：B 【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值 7. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A. 甲同学和乙同学 B. 丙同学和乙同学 C. 乙同学和甲同学 D. 丙同学和甲同学 【答案】C 【解析】 【分析】判断出，，的大小关系即可得出答案. 【详解】，．∵．∴． 又∵，，∴． ∴有． 又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄． 故选：C. 8. 已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，，成立，转化为，逐步求解，即可得到本题答案. 【详解】因为，所以， 所以. 设，因为，即 所以在单调递增，最小值为， 因为，，，即， 所以， 令，易得，所以，即， 显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为. 故选：B 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但选不全的得3分，有选错的得0分. 9. 下列函数是指数函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数函数的定义逐一判断即可. 【详解】解：对于A，函数不是指数函数， 对于B，函数是指数函数； 对于C，函数是指数函数； 对于D，函数不是指数函数. 故选：BC. 10. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例排除AD，利用不等式的性质与作差法可判断BC，从而得解. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，故，所以，故B正确； 对于C，因为，则，，， 则，所以，故C正确； 对于D，取，满足， 但，即不成立，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递增区间为 D. 若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数解析式代值计算即可判断A；根据分段函数解析式，分别求得值域，求并集即可判断B；画出函数图象即可判断CD． 【详解】A选项，，A选项正确； B选项，当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为，B选项正确； C选项，由图象可知，函数的单调递增区间为，所以C选项错误； D选项，由图可知，若有三个不等实根，则直线与图象有三个不同交点，由数形结合得，当时符合，故D选项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，根据题意，幂函数的图象过点，代入计算即可求解. 【详解】设函数，又因为幂函数的图象过点， 所以，解得：，所以函数， 故答案为：. 13. 已知是奇函数，当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，，则可求得答案. 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，所以. 故答案为： 14. 定义域为的函数满足条件： ①，，恒有； ②； ③， 则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案. 【详解】①，，，恒有， 所以在上单调递增； ②，， 所以是偶函数；所以在上递减； ③，； 不等式可转化为或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【点睛】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）求； （2）求； （3）设集合且，写出集合的所有子集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用集合的并集运算即可得解； （2）利用集合的补集运算与交集运算即可得解； （3）利用集合的交集运算，结合常用数集的定义求得集合，从而写出其所有子集，由此得解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以或， 又，所以. 【小问3详解】 因为，， 所以， 故且， 所以的所有子集为. 16. 已知函数. （1）若的解集为，求，； （2）若，，，求的最小值. 【答案】（1）， （2）9 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，是方程的两根，利用韦达定理运算求解； （2）由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 因为的解集为，可知，是方程的两根， 则，解得，. 【小问2详解】 因为，即， 且，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当，时，的最小值为9. 17. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明. 【答案】（1） （2）在上单调递增， 证明如下：因为， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 【解析】 【分析】（1）根据 是幂函数得 ，再根据 是偶函数，且在 上单调递增得 为正偶数，从而求解出 解析式. （2）求出 解析式后根据单调性定义证明函数 的单调性. 【小问1详解】 ∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. 【小问2详解】 略. 18. 心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ （2）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； （3）若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 【答案】（1）开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟 （2）接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟 （3）不能，当时，由解得， 当时，因为，满足要求 ， 当时，由解得， 当时，因为，不满足要求 ， 因为分钟<12分钟 所以老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数求最大值； （2）根据分段函数解析式求函数值； （3）分3段求出的解. 【小问1详解】 由题意可知，当时，， 所以当时，的最大值为60， 当时，， 当时，，， 当时，， 所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟. 【小问2详解】 ，，， 则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟. 【小问3详解】 略. 19. 已知函数． （1）求与，与的值； （2）由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）猜想：， 证明：∵对于任意的，都有， ∴ 故； （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入解析式计算函数值即可； （2）借助（1）的结论先猜想再利用解析式化简计算即可； （3）根据（2）的结论分组求和即可. 【小问1详解】 因为，故， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 故， ， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $