精品解析：江苏苏州市昆山中学2025-2026学年高一第二学期模块测试（第二次月考）数学试题

江苏省昆山中学2025―2026学年第二学期 高一模块测试二试卷 数学学科 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】因为，则，故的虚部为. 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形， 且，，， 所以的面积为． 3. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥母线，进而求出圆锥的高. 【详解】由圆锥的底面半径为1，得侧面展开图半圆弧长为，因此该半圆半径为2， 即圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为. 故选：C 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，把在上的投影向量化简为，代入坐标计算即得. 【详解】在上的投影向量为. 故选：D. 5. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式得，从而得或，结合分析得，故，最后利用三角形面积公式、诱导公式列方程求边长. 【详解】由，结合二倍角正弦公式得， 又，且，则或， 所以或， 当，则，此时，且，显然不存在， 当，则，且且，则， 由， 又， 所以，则，故（负值舍去）. 7. 如图，正方体上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转，下列四个选项中为线段旋转所得图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据的中点到旋转轴的距离小于、两点到旋转轴距离，得到A、C项不符合题意．再由所得旋转体的侧面上有无数条直线且直线的方向与转轴不共面，可得A项不符合题意．由此可得只有D项符合题意． 【详解】解：设正方体的棱长等于， 的中点到旋转轴的距离等于，而、两点到旋转轴的距离等于， 的中点旋转一周，得到的圆较小，可得所得旋转体的中间小，上、下底面圆较大． 由此可得A、C项不符合题意，舍去． 又在所得旋转体的侧面上有无数条直线，且直线的方向与转轴不共面， B项不符合题意，只有D项符合题意． 故选：D． 8. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 10. 如图所示，正方体的棱长为2，M为棱（不包括端点）上的动点，在M的运动过程中，下列选项正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 过、M、D三点的平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 C. 当点M为中点时，过、M、D三点的平面把正方体分成两部分的体积之比为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用三棱锥的体积公式求解即可；对于B，过点M作交于点G，连接，可得截面为四边形，即可判定；对于C，由B选项可得当点M为中点时，为的中点，可得为三棱台。利用台体的体积公式求解即可.对于D，将平面沿展开到与同一个平面，所以的最小值为. 【详解】对于A选项，，故A选项错误； 对于B选项，过点M作交于点G，连接，则截面为四边形，因为，， 所以，且与不相等，由于,则，则四边形为等腰梯形，故B选项正确； 对于C选项，由B选项可得当点M为中点时，为的中点， 则立体图形为三棱台 所以，，，故C选项正确； 对于D选项，如图，将平面沿展开到与同一个平面， 连接,所以的最小值为，,故D正确. 11. 如图正方形的边长为，，分别为边，上的点，则下列正确的是（ ） A. 若为的中点且，则 B. 的周长为，则的大小为 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用两角和的正切计算后判断ABD，根据面积公式计算后判断C. 【详解】设，，， A选项，若为的中点且，则， 所以，，则， 所以=，所以A选项正确； B选项，的周长为，则， 即，平方化简得：①， 由A选项解析得：， 展开得：，代入①式得：， 又因为，所以的大小为，所以B选项正确； C选项，若，则，， ， 若C选项恒成立，则，即：，解得：，不是恒成立， 所以C选项错误； D选项，若，则，由B选项解析得：， 代入得：， 所以， 又因为为锐角，所以正切函数和正弦函数同为单调递增函数， 所以当取得最小值时，也取得最小值， 此时的最小值为，所以D选项错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知复数 ，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再结合复数运算法则计算模. 【详解】由题意得， 所以 13. 如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 【答案】 【解析】 【详解】在平行四边形中，，对角线交点是中点， 因此， 因为是的中点，所以， ， ，得，，因此. 14. 如图，是一个棱长均为的八面体，设其中心为点，已知，，过点，，作该八面体的截面，所得截面面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】作出平面，，截八面体上面正四棱锥的截面，再借助共线向量定理的推论及余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】直线交于点，交的延长线于，，连接， 则四边形是过点，，的平面截正八面体上面正四棱锥所得截面， 由是正方形的中心，， 得，而. 于是分别是的中点，， 因为，所以，所以， 在中，令则， 由点共线，得， 则是的中点，， 令，于是， 由点共线，得， 在中，， 由余弦定理得， 在中，，， ， 而， 因此， 由正八面体的对称性得所求截面面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 （1）求 的值; （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的基本关系求出和的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值； （2）利用两角和的余弦公式求出的值，并求出角的取值范围，即可求出的值. 【小问1详解】 且，. 且， 因此，； 【小问2详解】 由（1）知，，，， ， 、，， 因此，. 16. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）求； （2）已知为的垂心，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可以求得； （2）利用垂心和三角形面积计算公式，结合三角函数辅助角公式进行求解. 【小问1详解】 由余弦定理得：，代入 得：，化简得：， 又因为，所以，解得：， 又因为是锐角三角形，所以. 【小问2详解】 设的外接圆半径为，由正弦定理得：，得：， 因为为的垂心，所以，. 由于为的垂心，则，，所以， 在中，由正弦定理得： 所以，而，， 所以，所以， 同理得，则，， 所以， 已知，所以，，因为是锐角三角形， 所以满足条件：，，解得：， 所以 利用二倍角公式代入合并得：， 由辅助角公式得：， ，则，，所以，即： 面积的取值范围是. 17. 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）求证：平面平面PAD； （2）求证：； 【答案】（1） 因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形， 所以， 又平面平面， 则平面， 同理平面平面， 可得平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 因为底面ABCD为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，根据线面平行证明面面平行； （2）根据线面平行的性质证明线线平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 【答案】（1）6；（2）（i）；（ii）至少为米. 【解析】 【分析】（1）用余弦定理列方程，结合基本不等式求得，也即两机器人运动路程和的最大值. （2）（i）利用正弦定理求得； （ii）设，利用余弦定理求得，求得的最大值，由此求得的最小值. 【详解】（1）如图，在中 由余弦定理得，， 所以 所以，（当且仅当时等号成立） 故两机器人运动路程和的最大值为 （2）（i）在中 由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，故， 由正弦定理可得 所以 （ii）设，则， 由余弦定理可得， 所以 所以 由题意得对任意恒成立， 故，当且仅当时取到等号． 答：矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲． 【点睛】正弦定理、余弦定理是解题的重要数学知识，二次函数最值的求法在本题中是重要的方法. 19. 设D为边AB上一点，满足，，记，． （1）若，，求CD的长； （2）若，其中为定值，试用，表示的面积，并求其最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设CD长为x，可知，，再利用正切的二倍角公式可求解； （2）先利用正弦定理得到、，利用三角形面积公式、两角差的余弦公式及辅助角公式可得，再利用正弦函数的最值和即可求解. 【小问1详解】 解：设CD长为x，当时，，， 则，，因为， 所以，即 所以，得， 所以，即为； 【小问2详解】 解：在中，，则， 由正弦定理得， 又，所以， 所以，， 则的面积 ， 又， 所以 当，即时，S有最大值， 又的面积等于， 故的面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省昆山中学2025―2026学年第二学期 高一模块测试二试卷 数学学科 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 3. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 7. 如图，正方体上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转，下列四个选项中为线段旋转所得图形是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 10. 如图所示，正方体的棱长为2，M为棱（不包括端点）上的动点，在M的运动过程中，下列选项正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 过、M、D三点的平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 C. 当点M为中点时，过、M、D三点的平面把正方体分成两部分的体积之比为 D. 的最小值为 11. 如图正方形的边长为，，分别为边，上的点，则下列正确的是（ ） A. 若为的中点且，则 B. 的周长为，则的大小为 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知复数 ，则 _______. 13. 如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 14. 如图，是一个棱长均为的八面体，设其中心为点，已知，，过点，，作该八面体的截面，所得截面面积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 （1）求 的值; （2）求的值. 16. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）求； （2）已知为的垂心，求面积的取值范围． 17. 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）求证：平面平面PAD； （2）求证：； 18. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 19. 设D为边AB上一点，满足，，记，． （1）若，，求CD的长； （2）若，其中为定值，试用，表示的面积，并求其最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $