精品解析：江苏无锡市宜兴市第二高级中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段性考试数学试卷

2026年春学期高一年级第一次阶段性考试 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 9 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求x. 【详解】∵，，， ∴， ∴ ， 故选：B. 2. 若复数满足（为虚数单位），则= A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以因此 考点：复数的模 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】当时，，， 此时，故，故充分性成立， 当时，满足，解得， 故此时必要性成立，故C正确. 故选：C 4. 若正方体的棱长为1，则三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为正方体的棱长为1， 所以,即三棱锥的每一个面都是等边三角形且边长为， 所以三棱锥的表面积. 5. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简得，故或者，进而可判断出三角形的形状. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 整理可得：， 即，所以或者， 所以或， 而当时则， 所以三角形为直角三角形， 所以， 则中，这时，分母为0无意义 所以，三角形为等腰三角形. 6. 设复数满足，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设，得出的关系，结合其几何意义求解最值. 【详解】设，，， 相当于圆上的点到原点距离的最大值， 即圆心到原点距离加半径：. 故选：B 7. 若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算确定G的位置，可得B、H、D三点共线，利用三点共线得，再由不等式求最值即可. 【详解】设，， 因为，所以，， 所以点G是的重心， 设点D是AC的中点，则，B、G、D共线，如图， 又． 因为B、H、D三点共线，所以， 所以，当且仅当，即，时取等号，即的最小值是. 故选：C． 8. 点O是内一点，且满足．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简得到，设，判断出三点共线，得出，进而由求出答案. 【详解】由可得，设，即，可知三点共线，且反向共线，如下图所示： 故，. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由斜二测画法的规则复原为原图形，求解相关量逐项判断即可. 【详解】 如图1，在中，作交于点， 因为，所以，， 又 ，所以，，， 利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图2所示. 由斜二测画法，可得，，， 所以，， . 故选：ABD. 10. 已知与是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设出复数，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】由题意，复数与是共轭虚数，设、，且， 则，当时，由于复数不能比较大小，∴A选项不一定正确， 又由、，∴，∴B选项一定正确； 由，∴C选项一定正确， 由不一定是实数，∴D选项不一定正确. 故选：BC. 11. 在给出的下列命题中，正确的是（ ） A. 已知点在所在的平面内，满足，则点是的外心 B. 已知平面向量，，满足，，则为等腰直角三角形 C. 已知平面向量，，满足，且，则是等边三角形 D. 在矩形ABCD中，，，动点在以点为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为1． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知即可得出A项正确；由已知可得出点在的平分线上，且，只能得出等腰三角形；根据已知可得出是的外心、重心、垂心，即可得出C项；由已知求出半径，以点为坐标原点，写出点的坐标，用三角函数表示出，然后用辅助角公式，即可得出最值. 【详解】对于A项，由已知可得点到三个顶点的距离相等，且在所在的平面内，所以点是的外心，故A正确； 对于B项，因为，所以点在的平分线上. 又，所以，所以. 所以，是等腰三角形，但无法确定是否为直角三角形，故B项错误； 对于C项，由，结合A的结论，可知点是的外心. 又，即. 如图1，取中点为，则， 所以，所以共线，且， 所以，点为的重心. 又，所以，所以， 所以，点为的垂心. 综上可知，是等边三角形，故C项正确； 对于D项， 如图2，过点作，垂足为， 因为，由， 可得，，即圆的半径. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，， 因为在圆上，根据三角函数的定义，可设点， 则，，. 由可知， 所以，. 设，，，则. 当时，取最大值1，有最大值3； 当时，取最小值，有最小值1. 故D项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：建立适当的坐标系，得出点的坐标，用坐标表示向量的运算，进而根据三角函数的性质，即可解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意可得，当三点共线时，取得最值，结合图形可求得结果. 【详解】连接，则，， 因为，所以, 因为点是圆及其内部任意一点， 所以，且当三点共线时，取得最值， 当取得最大值时，以为对角线，以为邻边方向作平行四边形, 则和为等边三角形， 所以， 所以， 所以的最大值为， 同理可求得的最小值为， 所以， 故答案为： 13. 已知向量满足，，则在上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律可得，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标. 【详解】由题设，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 14. 截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学在公路、两点处测得基站顶部处的仰角分别为、，且.该同学沿着公路的边缘从处走至处一共走了.则山高为__________m.（该同学的身高忽略不计） 【答案】 【解析】 【分析】设，则，然后利用直角三角形，直角三角形，结合三角函数的定义表示出，，最后在三角形中，利用余弦定理列出关于的方程求解即可． 【详解】如图，设，则， 又由已知得，为直角三角形， 且，， 所以由，为直角三角形得： ，， 解得，， 在中，又，， 由余弦定理得：， 即， 解得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，复数． （1）若对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）若的共轭复数与复数相等，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由实部虚部均大于0，联立关于的不等式组即可求解； （2）写出的共轭复数，再由复数与复数的实部与虚部相等，列方程组求解的值. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以的取值范围是． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为与复数相等， 所以，解得． 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 17. 如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N． （1）若，求证：C、M、N三点共线； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） 证明：当时， ，， 故，故C、M、N三点共线，即得证 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，化简得证明即可； （2）根据，代入化简可得，再根据二次函数的最值分析最小值即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，，故，故，故当时，取得最小值，即的最小值为 18. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A，B，C均为三角形内角解得. （2）根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【小问1详解】 由三角形的内角和定理得， 此时就变为 . 由诱导公式得，所以. 在中，由正弦定理知， 此时就有 ，即， 再由二倍角的正弦公式得，， 解得. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，又，所以， 则 . 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简求值即可. （2）①由平面向量基本定理、向量的运算表示与，关系，根据余弦定理及基本不等式运算即可. ②由正弦定理表示,利用基本不等式求值即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， 展开得：， ，而,， 故， ，， ，故． 【小问2详解】 ① ， ， ， ， ， 根据余弦定理：， ， 令， 则 ， 则当且仅当时等号成立， 解得：时， 时，取最小值． ② 为的角平分线 在中，由正弦定理得， 即， ,, ， ． 又，,， ，当且仅当时等号成立， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期高一年级第一次阶段性考试 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 9 C. D. 4 2. 若复数满足（为虚数单位），则= A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若正方体的棱长为1，则三棱锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 6. 设复数满足，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 7. 若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 8. 点O是内一点，且满足．则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（ ） A. B. C. D. 10. 已知与是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在给出的下列命题中，正确的是（ ） A. 已知点在所在的平面内，满足，则点是的外心 B. 已知平面向量，，满足，，则为等腰直角三角形 C. 已知平面向量，，满足，且，则是等边三角形 D. 在矩形ABCD中，，，动点在以点为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为1． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是__________． 13. 已知向量满足，，则在上的投影向量的坐标为_____. 14. 截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学在公路、两点处测得基站顶部处的仰角分别为、，且.该同学沿着公路的边缘从处走至处一共走了.则山高为__________m.（该同学的身高忽略不计） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，复数． （1）若对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）若的共轭复数与复数相等，求的值． 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 17. 如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N． （1）若，求证：C、M、N三点共线； （2）若，求的最小值． 18. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $