2.3 一元二次方程的根与系数的关系（题型专练，3大题型+培优）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 针对“一元二次方程的根与系数的关系”，通过基础理解、关系应用、综合拓展三层递进设计，实现从单一知识点到几何综合的巩固路径，强化运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|已知一根求另一根（单一知识点）|选择填空为主，夯实概念应用| |关系应用层|根与系数关系直接应用（公式应用）|选择与计算结合，强化运算能力| |综合拓展层|结合判别式与几何情境（综合应用）|证明与几何应用，发展推理意识|

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 题型一 已知方程的一个根求另一个根 1．已知x＝0是方程x2+2x+a＝0的一个根，则方程的另一个根为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2 【答案】C 【解答】解：∵x＝0是方程x2+2x+a＝0的一个根， ∴a＝0， ∴x2+2x＝0， ∴x＝0或﹣2， ∴方程的另一个根为﹣2， 故选：C． 2．若x＝1是一元二次方程x2﹣x﹣3m2+m＝0的一个根，则方程的另一根为　 　 ． 【答案】0． 【解答】解：设方程另一个根为x＝t，根据题意得t+1＝1， ∴t＝0， 则方程的另一个根是0． 故答案为：0． 3．已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b＝　 　 ，另一个根是　 　 ． 【答案】﹣2，3． 【解答】解：由题知， 因为﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根， 所以（﹣1）2﹣b﹣3＝0， 解得b＝﹣2． 因为方程x2+bx﹣3＝0的两根之积为﹣3，且一个根为﹣1， 所以方程的另一个根为3． 故答案为：﹣2，3． 4．如果x＝﹣2是关于x的一元二次方程（x﹣4）2﹣n＝0的一个根，求n的值及方程的另一个根． 【答案】n＝36，方程的另一个根为10． 【解答】解：将x＝﹣2代入得：（﹣2﹣4）2﹣n＝0， 解得：n＝36， ∴方程为：（x﹣4）2﹣36＝0， ∴（x﹣4）2＝36， 解得：x1＝﹣2，x2＝10， ∴另一根为：x＝10． 题型二 根于系数间的关系 1．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝2， 故选：A． 2．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【答案】A 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 3．设a，b是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2019 B．2018 C．2015 D．2016 【答案】D 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2017＝0的实数根， ∴a2+a﹣2017＝0， ∴a2+a＝2017， ∵a，b是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2017+（﹣1）＝2016． 故选：D． 4．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个实数根，则代数式的值为（　　） A．8 B．16 C．24 D．28 【答案】B 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝3， 所以原式＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝52﹣3×3＝16． 故选：B． 题型一 根与系数间的关系综合应用 1．已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）3；（2）． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， 所以． （1） ＝3； （2） ． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析；（2）m＝1；2 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m ＝（m﹣2）2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得1+t＝m+2①，1×t＝2m②， ②﹣①得﹣1＝m﹣2， 解得m＝1， 把m＝1代入②得t＝2， 所以m的值为1，方程的另一个根为2． 3．已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 【答案】（1）见解析；（2）k的值为﹣4． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4k ＝k2+4k+4﹣4k ＝k2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k， ∴﹣（k+2）﹣k＝6， 解得：k＝﹣4． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，另两边AB、BC恰好是该方程的两个根，请求出k的值． 【答案】（1）见解析；（2）12． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k） ＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k ＝1＞0， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：x， 解得x1＝k，x2＝k+1， ∵两边AB、BC恰好是该方程的两个根， ∴AB＝k+1，BC＝k， ∴∠C＝90°， ∴k2+52＝（k+1）2， 解得k＝12， 即k的值为12． 1．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且，则k的值是　 　 ． 【答案】1． 【解答】解：由根与系数的关系得x1+x2＝2k，， ∵， ∴， ∴（2k）2﹣2（k2﹣k）＝4， 整理可得k2+k﹣2＝0， 解得k＝﹣2或k＝1， ∵一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）＝4k≥0， ∴k≥0， ∴k＝1． 故答案为：1． 2．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为 　 　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵n2+2n﹣1＝0， ∴n≠0， 将n2+2n﹣1＝0的两边同时除以n，得：10． 即， 又∵m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m． ∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ∴2+1＝3， 故答案为：3． 3．已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0 （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）9 【解答】（1）证明：根据题意得：Δ＝[﹣（3k+3）]2﹣4（2k2+4k+2）＝（k+1）2． ∵无论k为何值，总有（k+1）2≥0， ∴无论k为何值，原方程都有实数根； （2）∵关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0的两实数根是x1、x2， ∴x1+x2＝3k+3，x1x2＝2k2+4k+2， ∴由x1x2+2x1+2x2＝36，得2k2+4k+2+2（3k+3）＝36， 整理，得（k+7）（k﹣2）＝0． 解得k1＝﹣7（舍去），k2＝2． ∴x1x22（k+1）2＝（2+1）2＝9． 即菱形的面积是9． 4．已知在关于x的分式方程2①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个实数根x1，x2，且满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），k为负整数时，试判断m2≤4是否成立，并说明理由． 【答案】（1）k≥﹣1且k≠1，2，（2）成立，理由见解答． 【解答】解：（1）解分式方程①得x． ∵方程①的根为非负数， ∴，解得k≥﹣1且k≠1． 又一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0中，2﹣k≠0，所以k≠2． 综上所述可知k≥﹣1且k≠1，2． （2）m2≤4成立．理由如下： ∵k是负整数，k≥﹣1且k≠1，2， ∴k＝﹣1． ∵方程②有两个实数根x1，x2， ∴ ∴n． 化简x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），得（x1+x2）2＝3x1x2+k2，将代入，得（﹣m）2＝3n+（﹣1）2， ∴m2﹣4n＝1，n③，Δ＝（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n＝9m2﹣48n＞0④，把③代入④得9m2﹣480， 整理，可得m2≤4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 题型一 已知方程的一个根求另一个根 1．已知x＝0是方程x2+2x+a＝0的一个根，则方程的另一个根为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2 2．若x＝1是一元二次方程x2﹣x﹣3m2+m＝0的一个根，则方程的另一根为　 　 ． 3．已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b＝　 　 ，另一个根是　 　 ． 4．如果x＝﹣2是关于x的一元二次方程（x﹣4）2﹣n＝0的一个根，求n的值及方程的另一个根． 题型二 根于系数间的关系 1．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 2．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 3．设a，b是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2019 B．2018 C．2015 D．2016 4．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个实数根，则代数式的值为（　　） A．8 B．16 C．24 D．28 题型一 根与系数间的关系综合应用 1．已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 3．已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，另两边AB、BC恰好是该方程的两个根，请求出k的值． 1．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且，则k的值是　 　 ． 2．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为 　 　 ． 3．已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0 （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积． 4．已知在关于x的分式方程2①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个实数根x1，x2，且满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），k为负整数时，试判断m2≤4是否成立，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxx k com 2.3一元二次方程的根与 基础达标题 一元二次方程的根与系数的关系 能力提升题 拓展培优题 A 基础达标题 题型一己知方程的一个根求另一个根 1.C 2.0. 3.-2,3. 4.n=36,方程的另一个根为10. 题型二根于系数间的关系 1.A 2.A 3.D 4.B 能力提升题 题型一根与系数间的关系综合应用 1.(1)3:2)￥. 2.(1)见解析；(2)m=1;2 3.(1)见解析；(2)k的值为-4. 4.(1)见解析；(2)12. 1/2 上好每一堂课 系数的关系 题型一己知方程的一个根求另一个根 题型二根于系数间的关系 题型一根与系数间的关系综合应用 命学科网·上好课 1.1. 2.3. 3.(1)见解析；(2)9 4.(1)k≥-1且k≠1,2，(2) www zxxk.com 上好每一堂课 ● 拓展培优题 成立，理由见解答。 2/2