1.2 一元二次方程的解法同步练习2026-2027学年苏科版数学 九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“知识点梳理-典例精讲-分层训练”为路径，覆盖直接开平方法等6个知识点，通过基础巩固、能力提升、拓展探究、综合训练四层设计，实现从单一方法到综合应用的递进，培养数学抽象、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直接开平方法、配方法等单一知识点|选择/填空/解答题对应基础考点，如解方程步骤训练| |能力提升|判别式应用、换元法等综合知识|结合几何（等腰三角形）、参数讨论，提升推理能力| |拓展探究|分类讨论、阅读理解型问题|通过绝对值方程、三角形形状判断，发展创新意识| |综合训练|多种解法选择、跨知识点整合|方法辨析题（因式分解变形）、根与系数关系应用，强化应用意识|

苏科版九年级上册数学 · 课时作业 1.2　一元二次方程的解法　课时作业 苏科版 九年级上册 第1章 一元二次方程　（建议用时：60分钟） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、知识点梳理 知识点1　直接开平方法 形如 或 的方程，当 时，可以两边直接开平方求解，这种方法叫做直接开平方法。 （1）当 时，方程 有两个不相等的实数根 ，； （2）当 时，方程有两个相等的实数根 ； （3）当 时，因为任何实数的平方都不是负数，所以方程没有实数根。 知识点2　配方法 通过配成完全平方式，把一元二次方程转化为 的形式，再用直接开平方法求解，这种解法叫做配方法。 配方的关键：当二次项系数为1时，方程两边都加上一次项系数一半的平方。即 。 下图用面积直观地说明了配方的道理： 表示一个正方形与两个长方形的面积和，补上一个边长为3的小正方形（面积 ），就拼成一个边长为 的大正方形，即 。 配方法的几何解释 用配方法解方程 （）的一般步骤： ①化1：方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1；②移项：把常数项移到方程右边；③配方：两边同加一次项系数一半的平方；④变形：左边写成完全平方的形式；⑤开方：若右边是非负数，用直接开平方法求解。 知识点3　公式法 一元二次方程 （），当 时，它的根是 ，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 用公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式，确定 ，， 的值（注意符号）；②求出 的值；③若 ，代入求根公式求出方程的根；若 ，则方程没有实数根。 知识点4　一元二次方程根的判别式 式子 叫做一元二次方程 （）根的判别式。 判别式的值 方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 注意：“方程有实数根”包含“有两个不相等的实数根”和“有两个相等的实数根”两种情况，即 ；利用判别式求参数时，不要忘记二次项系数不为0的条件。 知识点5　因式分解法 把方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的积，再令每个因式分别为0，从而求出方程的根，这种方法叫做因式分解法。其依据是：若 ，则 或 。 常用的因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），以及 型的分解。 知识点6　解法的选择 （1）方程缺一次项或能化为 的形式，优先用直接开平方法；（2）方程一边为0，另一边易于分解，优先用因式分解法；（3）二次项系数为1且一次项系数为偶数时，可用配方法；（4）公式法适用于所有一元二次方程，是“通法”。 易错警示：解方程 时，不能两边同除以 ，否则会丢失 这个根。 二、典例精讲 【例1】用直接开平方法解方程：（1）；（2）。 解：（1）移项得 ，，所以 ，； （2），所以 ，。 【例2】用配方法解方程：（1）；（2）。 解：（1）移项得 ，配方得 ，即 ，所以 ，，； （2）两边同除以2，得 ，移项得 ，配方得 ，即 ，所以 ，，。 【例3】用公式法解方程 。 解：，，，， 所以 ，即 ，。 【例4】用因式分解法解方程：（1）；（2）。 解：（1）移项得 ，即 ，所以 ，； （2）移项得 ，由平方差公式得 ，即 ，所以 ，。 【例5】已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围。 解：由题意得 ，解得 。 三、基础巩固 （一）选择题 1．方程 的解是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 ，配方后得到的方程是（　　） A． B． C． D． 3．方程 的解是（　　） A． B． C．， D．， 4．一元二次方程 的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．用公式法解方程 ，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 6．若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为（　　） A．1 B． C．4 D． 7．方程 的解是（　　） A． B． C．， D．， 8．等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 （二）填空题 9．方程 的解是________________。 10．若 ，则 ______，______；若 ，则 ______，______。 11．方程 的根是________________。 12．对于方程 ，______，方程的根是________________。 13．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是________________。 14．若方程 的两个根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形斜边的长为________。 15．已知 ，则 的值为________。 16．代数式 的最小值是________。 （三）解答题 17．用直接开平方法解下列方程： （1）；　　（2）；　　（3）。 18．用配方法解下列方程： （1）；　　（2）；　　（3）。 19．用公式法解下列方程： （1）；　　　　（2）； （3）；　　　　（4）。 20．用因式分解法解下列方程： （1）；　　（2）；　　（3）； （4）；　　（5）。 21．选择适当的方法解下列方程： （1）；（2）；（3）。 22．已知关于 的一元二次方程 。 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；（2）当 时，求方程的根。 23．下面是小明解方程 的过程： 解：两边同除以 ，得 。所以原方程的解是 。 小明的解法对吗？如果不对，请指出错误原因并给出正确解法。 四、能力提升 24．若 是一个完全平方式，则 的值是（　　） A．3 B． C． D．9 25．若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 且 26．已知关于 的方程 。 （1）求证：无论 取何实数，该方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的一边长 ，另两边长 ， 恰好是这个方程的两个根，求△ 的周长。 27．解方程 。（提示：设 ） 28．试说明：无论 取何实数，代数式 的值总大于0，并求出它的最小值。 五、拓展探究 29．阅读材料：解方程 。 解：①当 时，原方程化为 ，解得 ，（不合题意，舍去）；②当 时，原方程化为 ，解得 ，（不合题意，舍去）。所以原方程的根是 ，。 请参照上述方法解方程 。 30．已知 ，， 是△ 的三边长，且关于 的方程 有两个相等的实数根，试判断△ 的形状，并说明理由。 六、综合训练 31．用因式分解法解方程 ，正确的变形是（　　） A． B． C． D． 32．若 ，则 的值为________。 33．若关于 的一元二次方程 （）的两个根分别是 与 ，则 的值为________。 34．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根。 （1）求 的取值范围；（2）若 取符合条件的最大整数，求此时方程的根。 参考答案与解析 三、基础巩固 1．C　解析：。 2．A　解析：移项得 ，两边加 得 ，即 。 3．C　解析： 或 ，所以 ，。 4．D　解析：，所以方程没有实数根。 5．A　解析：，，，，所以 。 6．A　解析：，所以 。 7．C　解析：移项得 ，即 ，所以 ，。易错：两边同除以 会丢根。 8．B　解析：方程的两根为2和5。若腰长为2，则三边为2，2，5，因为 ，不能构成三角形；若腰长为5，则三边为5，5，2，能构成三角形，周长为12。 9．，　解析：。 10．16；4；；　解析：常数项为一次项系数一半的平方，，。 11．，　解析：。 12．25；，　解析：，。 13． 且 　解析： 且 。 14．　解析：方程两根为2和3，斜边长为 。 15．3　解析：设 （），则 ，即 ，， 或 （舍去）。 16．3　解析：，当 时取最小值3。 17．解：（1），，； （2），，； （3），，，。 18．解：（1），，，，，； （2），，，，； （3）两边同除以3，得 ，配方得 ，即 ，，所以 ，。 19．解：（1），，即 ，； （2），，，； （3），，； （4），所以原方程没有实数根。 20．解：（1），，，； （2），； （3），即 ，，； （4），，； （5），，，。 21．解：（1），即 ，，； （2），，即 ，； （3）整理得 ，，，即 ，。 22．解：（1），所以 ； （2）当 时，方程为 ，，，。 23．解：不对。因为 可能为0，两边同除以 会丢失 这个根。 正确解法：移项得 ，，所以 ，。 四、能力提升 24．C　解析：，所以 ，。 25．A　解析：当 时，方程为 ，有实数根 ；当 时，，得 且 。综上，。 易错点：题目没有说“一元二次方程”，所以要考虑 的情况。 26．（1）证明：，所以无论 取何实数，方程总有实数根。 （2）解：方程可化为 ，两根为 ，。 ①若 ，则两根相等，，三边为1，2，2，能构成三角形，周长为5；②若 ， 中有一个等于 ，则 ，三边为1，1，2，因为 ，不能构成三角形。所以△ 的周长为5。 27．解：设 ，原方程化为 ，，，。 当 时，，，，； 当 时，，，，。 所以原方程的根为 ，，，。 28．解：。因为 ，所以 ，即代数式的值总大于0。当 时，代数式取得最小值3。 五、拓展探究 29．解：①当 ，即 时，原方程化为 ，即 ，解得 ，符合题意； ②当 ，即 时，原方程化为 ，即 ，，解得 或 （不合题意，舍去）。 所以原方程的根是 ，。 30．解：△ 是等腰三角形。理由如下： 因为方程是一元二次方程，所以 ，即 。又方程有两个相等的实数根，所以 ， 所以 或 ，因此△ 是等腰三角形。 六、综合训练 31．A　解析：，，所以 。 32．　解析：原式可化为 ，所以 ，，。 33．4　解析：方程 的两根互为相反数，所以 ，，两根为2和 ，所以 。 34．解：（1），所以 ； （2） 的最大整数值为0，此时方程为 ，，，。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $