1.2 课时4 因式分解法解一元二次方程 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上册“因式分解法解一元二次方程”同步练，以“原理-方法-应用”三阶分层设计，覆盖6个核心知识点，通过基础巩固与综合应用培养推理意识和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|原理理解与形式识别|零积性质辨析题（如知识点01方程转化），强化抽象能力| |方法应用层|提公因式/公式/十字相乘法|分类型专项训练（如知识点02-04不同因式分解法），提升运算能力| |综合提升层|步骤规范与实际应用|结合三角形边长等情境题（如课时训练解答题），发展应用意识|

2026-2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训川练 第1章一元二次方程 1.2一元二次方程的解法 课时4因式分解法解一元二次方程 课时目标 理解因式分解法解一元二次方程的原理，掌握“若b=0,则a=0或b=0”的降次 思想，能识别适用该方法的方程特征（一边为0，另一边可分解）。 2. 能熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式和十字相乘法对一元二次方程左 边进行因式分解，并正确求解。 3. 掌握因式分解法的解题步骤，能正确将方程化为一边为零的形式，避免两边同除以含 未知数的整式导致漏根的错误。 课时目录 知识点01：因式分解法解一元二次方程的原理 知识点02：提公因式法因式分解解方程 知识点03：公式法因式分解解方程 知识点04：十字相乘法因式分解解方程 119 知识点05：方程一边为零、另一边可分解的形式识别 知识点06：因式分解法解一元二次方程的步骤 知识点01：因试分解法解一元二次方程的原理 因式分解法的理论依据是“若b=0,则a=0或b=0”的零积性质。将一元二次方程通过 因式分解化为A·B=0的形式，则A=0或B=0,从而将一元二次方程降次为两个一元一 次方程求解。 例如：方程x2一3x=0可因式分解为x(x一3)=0，则x=0或x一3=0，解得x1=0,x2=3。 注意：使用因式分解法的前提是方程的一边为0，另一边能分解为两个一次因式的乘积。 若原方程不是这种形式，需先移项使右边为0，再因式分解。 1.(26-27九年级上江苏南京开学考试)解方程 0r-2x-8=0 (②(2x-5}-(x+4)2=0 2.(26-27九年级上·浙江温州开学考试)解方程：x2+2x-3=0. 3.(26-27九年级上浙江温州开学考试)解方程：4x2-4x=0. 4.(26-27九年级上浙江温州开学考试)解方程： 0r-2r=3 (②*(6x+2)=x+2 ■知识点02：提公因式法因式分解解方程 当方程左边各项含有公共因式时，可提取公因式进行因式分解。步骤： 移项使方程右边为0： 提取公因式，将方程化为“公因式×另一个因式=0”的形式： 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程： 分别求解。 219 例如：解方程3x2-6x=0→提取公因式3x得3x(x-2)=0→3x=0或x一2=0→x1=0,2= 2。又如：解方程(x-1)x十2)=x一1→移项得x一1)x十2)一x一1)=0→提取公因式(x一1)得 (x-1)[x+2)-1]=0,即(x-1)x+1)=0→x-1=0或x+1=0→x=1,x2=-1。易错点： 两边直接约去公因式（如3x2=6x两边约去x得3x=6)，会导致漏解x=0,必须移项后提 取公因式。 5.(26-27九年级上河南信阳开学考试)解一元二次方程： (x-3}2=2x(x-3) 6,(24-25八年级下广东湛江期末)解方程：(x-2列+x-2=0 7(26-27九年级上陕西西安开学考试)解方程：(3x-2'+(2-3x)=0 8(26-27九年级上江苏泰州开学考试)解方程：(x-)-8x-8 知识点03：公式法因式分解解方程 利用乘法公式对左边进行因式分解，主要包括平方差公式和完全平方公式。 平方差公式：a一b=(a十b)(a一b),适用于形如“平方项减平方项”的方程。例如：解方 程x2-9=0→(x十3)0x-3)=0→x1=3,x2=一3。 完全平方公式：㎡±2b+b=(b)?,适用于形如"平方项±2倍乘积十平方项"的方程。例 如：解方程x2-6x+9=0→(x一3)2=0→x1=x2=3。又如：解方程4x2-12x+9=0→(2x-3)2 =0→x1=x2=1.5。使用公式法时需先识别方程是否符合公式的结构特征。 9x+1)2=4(x-1)2 9.(25-26九年级上全国课后作业)运用平方差解方程： 10.(25-26八年级下辽宁大连期末)解方程：x2-1=x+1. 11.(25-26九年级上河南南阳期末)解方程.(2x--4(2x-)+3=0 12.(25-26九年级上江苏扬州阶段检测)请阅读下列材料： 解方程(--5(x2-)+4=0 解法如下： 将r-1视为一个整体，然后设-1=y,则(x-=y, 319 2-5y+4=0 原方程可化为 ，解得 y=1y2=4 当=时-1， 解得±2 4时，子-1=4，解得=士5 (2)当= 综合(1)(2)，可得原方程的解为=V2,=-5,x=V5,x=-5 请你参考明明同学的思路，解方程(x-°-5(x--6=0 知识点04：十字相乘法因式分解解方程 对于形如x2+px十q=0（二次项系数为1)的方程，若能找到两个数、n满足m十n=p且 n=q,则x2+px十q=(c十m)x十)，从而实现因式分解。 例如：解方程x2+5x十6=0，需找两数满足和为5、积为6，即2和3，故原式=(x十2)x十 3)=0→x1=-2,X2=-3。 对于二次项系数不为1的方程ax2+bx十c=0,需使用广义十字相乘法：将a分解为：a, c分解为c1c2,使hc2十c1=b,则r2+br十c=(ax十c)(a2x十c)。例如：解方程2x2-7x +3=0,2=2×1,3=(-1)×(-3),且2×(-3)+1×(-1)=-7，故原式=(2x-1)x-3)= 0→x1=0.5,x2=3。 十字相乘法是速度最快的因式分解方法，但适用范围有限，需通过练习熟练掌握。 13.(26-27九年级上山东济南开学考试)解方程：2x2-5x-3=0, 14.(26-27九年级上四川内江开学考试)解方程：5x2-3x=x+1. 15.(26-27九年级上黑龙江大庆开学考试)解方程：x2-4x-5=0. 16.(26-27九年级上北京开学考试)解方程：x2-2x-8=0, 知识点05：方程一边为零、另一边可分解的形式识别 使用因式分解法的关键是方程一边为0，另一边能分解为两个一次因式的积。 常见形式： 419 左边有公因式，如x2-3x=0: 左边是平方差，如x2-16=0: 左边是完全平方，如x2+4x十4=0： 左边可用十字相乘，如x2一3x+2=0。 若原方程不是右边为0，必须先移项整理。例如：x(x十2)=x十2，应化为x(x十2)一(x十2)= 0,再分解。 17.(26-27九年级上云南昆明开学考试)解方程： 0(x-3)=x-3 22x-7x+3=0 18.(25-26九年级上陕西安康阶段检测)解方程：（0-刂+2y(-川=0 19.(25-26八年级上·安徽六安阶段检测)我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次” 来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法.例：解方程：(2x+3-8(2x+3)+15=0 解：将2r+3 2x+3=y 视为一个整体，设 则原方程可化为：广-8y+15=0 (y-3)y-5)=0 因式分解得： ,解得片=3为=5 当少3 3时.2+3=3.解得=0，当=5时，2x+35 ，解得专1 综上，原方程的解为=0，戈=1 请参考例题，解下列方程： a)3x-5x2-2=0 2x2-4x/+3x2-12x-18=0 20.(25-26八年级下浙江绍兴期中)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：2=xx,-35=(-5)x(+7) 5/9 +7 x -5 ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： +7=7x x-5=-5x 7x+（-5x)=2x x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”， 根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0.所以方程x2+2x-35=0可以这样求解：方程左边因式分 解得x+7x-5)=0 所以原方程的解为-7.为=5 【解决问题】 (1)分解因式：x2+5x+4=(x+)(x+) (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①x2-10x+21=0: ②2024x2+2019x-5=0. 知识点06：因式分解法解一元二次方程的步骤 步骤： 将方程化为一般形式，使右边为0： 对左边进行因式分解（根据情况选择提公因式、公式法或十字相乘法）； 根据“若b=0,则α=0或b=0”,将二次方程转化为两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，得到原方程的两个解。 注意：因式分解必须彻底，直到每个因式都是一次式为至。 21.(26-27九年级上广东广州开学考试)计算与解方程.解方程：x2-4x=12 22.(25-26八年级下陕西西安期末)解下列方程：2x2+7x-4=0. 23.(25-26八年级下·甘肃嘉峪关期末)解方程： 6/9 a)-5x=0 g-7x+6=0 24.(25-26八年级下陕西咸阳期末)解方程：3x2-x-4=0. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·山东烟台·期末)等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于x的一元二次方程 x2-8x+k=0 的两实根，则的值为() A.12 B.16 C.2或4 D.12或16 2.(25-26八年级下山东泰安·期末)若实数、n分别满足方程m2-5m+6=0,n2-5n+6=0,且 m≠n m2+n2 ,则 的值为() A.12 B.13 C.14 D.15 3.(25-26八年级下河南漯河期末)关于x的一元二次方程x-4x+c=0的一个根为x=3,那么它的另 一个根为x=() A.-3 B.1 C.3 D.-7 4.(25-26八年级下·江苏宿迁·期末)已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 x2-14x+48=0 的一个根，则此三角形的周长为() A.13 B.14 C.15 D.13或15 二、填空题 5.(25-26八年级下山东青岛期末)已知 x-x+3)=0,则x-的值为 6.(25-26八年级下·安徽马鞍山期末)一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程x2-6x+8=0 7/9 的根，则这个三角形的周长为 7.(25-26八年级下·上海黄浦期末)当m= 时，函数'=(3-m）x+m2-2m-3 (m是常数)是 正比例函数. 8.(22-23八年级下·浙江杭州阶段检测)在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的 2x(x-3)=(x+2)(x+4)-28」 最长边或最短边是方程 其中一个解，那么这个直角三角形的面积是 三、解答题 3(x-2)2=x2-4 9.(25-26九年级上·河北保定·阶段检测)对于解方程 ，小刚的做法如下： 3(x-2)2=(x+2)(x-2) 解：等号右边因式分解，得 ，…步骤① 等号两边同时除以(x-2),得3(x-2)=(x+2),…步骤② 去括号，得3x-6=x+2,…步骤③ 移项、合并同类项，得2x=8,…步骤④ 系数化为1.得x=4.…步骤⑤ (1)已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 (填序号). (2)请给出正确的解答过程， 10.(25-26九年级上：江苏扬州阶段检测)阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的 基本数学思想一一转化，把未知转化为己知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程. 例如，一元三次方程”-2-3x=0通过因式分解可以把它转化为-2x-3引=0，解方程=0和 x2-2x-3=0 x3-2x2-3x=0 可得方程 的解。 问题： ()方程r-22-3x=0 的解是=0书= 3= (2)求方程x3=6x2+16x的解： 819 拓展： (3)用“转化”思想求方程2r-6r+3=x- 的解， 919 2026－2027学年度苏科版数学九年级上册课时同步训练 第1章 一元二次方程 1．2 一元二次方程的解法 课时4 因式分解法解一元二次方程 ▌课时目标 1. 理解因式分解法解一元二次方程的原理，掌握“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的降次思想，能识别适用该方法的方程特征（一边为0，另一边可分解）。 2. 能熟练运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式和十字相乘法对一元二次方程左边进行因式分解，并正确求解。 3. 掌握因式分解法的解题步骤，能正确将方程化为一边为零的形式，避免两边同除以含未知数的整式导致漏根的错误。 ▌课时目录 知识点01：因式分解法解一元二次方程的原理 知识点02：提公因式法因式分解解方程 知识点03：公式法因式分解解方程 知识点04：十字相乘法因式分解解方程 知识点05：方程一边为零、另一边可分解的形式识别 知识点06：因式分解法解一元二次方程的步骤 ▌知识点01：因式分解法解一元二次方程的原理 因式分解法的理论依据是“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的零积性质。将一元二次方程通过因式分解化为A·B＝0的形式，则A＝0或B＝0，从而将一元二次方程降次为两个一元一次方程求解。 例如：方程x²－3x＝0可因式分解为x(x－3)＝0，则x＝0或x－3＝0，解得x₁＝0，x₂＝3。注意：使用因式分解法的前提是方程的一边为0，另一边能分解为两个一次因式的乘积。若原方程不是这种形式，需先移项使右边为0，再因式分解。 1．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）解方程 (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 由平方差公式得， 化简得， ∴或， 解得，； 2．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）解方程：． 【答案】， 【分析】本通过因式分解法对一元二次方程进行求解． 【详解】解：． ， 或， ，． 3．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 或 ，； 4．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得； （2）解：， ， ， 或， ． ▌知识点02：提公因式法因式分解解方程 当方程左边各项含有公共因式时，可提取公因式进行因式分解。步骤： 1. 移项使方程右边为0； 2. 提取公因式，将方程化为“公因式×另一个因式＝0”的形式； 3. 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程； 4. 分别求解。 例如：解方程3x²－6x＝0→提取公因式3x得3x(x－2)＝0→3x＝0或x－2＝0→x₁＝0，x₂＝2。又如：解方程(x－1)(x＋2)＝x－1→移项得(x－1)(x＋2)－(x－1)＝0→提取公因式(x－1)得(x－1)[(x＋2)－1]＝0，即(x－1)(x＋1)＝0→x－1＝0或x＋1＝0→x₁＝1，x₂＝－1。易错点：两边直接约去公因式（如3x²＝6x两边约去x得3x＝6），会导致漏解x＝0，必须移项后提取公因式。 5．（26-27九年级上·河南信阳·开学考试）解一元二次方程：． 【答案】解： 或 ， 6．（24-25八年级下·广东湛江·期末）解方程：． 【答案】 【分析】用分解因式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 提公因式可得：， 可得：或， 当时，可得：， 当，可得：， 方程的解为，． 7．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）解方程： 【答案】，； 【详解】解：原方程可变形为， 提取公因式得， 即， 因此或， 解得，； 8．（26-27九年级上·江苏泰州·开学考试）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 整理得：， 因式分解得：， 则或， 解得：． ▌知识点03：公式法因式分解解方程 利用乘法公式对左边进行因式分解，主要包括平方差公式和完全平方公式。 1. 平方差公式：a²－b²＝(a＋b)(a－b)，适用于形如“平方项减平方项”的方程。例如：解方程x²－9＝0→(x＋3)(x－3)＝0→x₁＝3，x₂＝－3。 2. 完全平方公式：a²±2ab＋b²＝(a±b)²，适用于形如"平方项±2倍乘积＋平方项"的方程。例如：解方程x²－6x＋9＝0→(x－3)²＝0→x₁＝x₂＝3。又如：解方程4x²－12x＋9＝0→(2x－3)²＝0→x₁＝x₂＝1.5。使用公式法时需先识别方程是否符合公式的结构特征。 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）运用平方差解方程： 【答案】，． 【分析】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，方程移项后，左边利用平方差公式分解，再利用两数相乘积为两数至少有一个为转化为两个一元一次方程求出解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：方程移项得：， 分解因式得：， 整理得：， 所以或， 解得：，． 10．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， ， 或， ，． 11．（25-26九年级上·河南南阳·期末）解方程：． 【答案， 【分析】令，根据换元法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： 令，则 ∴ ∴， 当时，， 当时，， 故， 12．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． ▌知识点04：十字相乘法因式分解解方程 对于形如x²＋px＋q＝0（二次项系数为1）的方程，若能找到两个数m、n满足m＋n＝p且mn＝q，则x²＋px＋q＝(x＋m)(x＋n)，从而实现因式分解。 例如：解方程x²＋5x＋6＝0，需找两数满足和为5、积为6，即2和3，故原式＝(x＋2)(x＋3)＝0→x₁＝－2，x₂＝－3。 对于二次项系数不为1的方程ax²＋bx＋c＝0，需使用广义十字相乘法：将a分解为a₁·a₂，c分解为c₁·c₂，使a₁c₂＋a₂c₁＝b，则ax²＋bx＋c＝(a₁x＋c₁)(a₂x＋c₂)。例如：解方程2x²－7x＋3＝0，2＝2×1，3＝(－1)×(－3)，且2×(－3)＋1×(－1)＝－7，故原式＝(2x－1)(x－3)＝0→x₁＝0.5，x₂＝3。 十字相乘法是速度最快的因式分解方法，但适用范围有限，需通过练习熟练掌握。 13．（26-27九年级上·山东济南·开学考试）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 14．（26-27九年级上·四川内江·开学考试）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， 或， 解得，． 15．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， 或， 解得； 16．（26-27九年级上·北京·开学考试）解方程：． 【答案】， 【分析】对二次三项式因式分解，即可求解． 【详解】解： 或， ∴，； ▌知识点05：方程一边为零、另一边可分解的形式识别 使用因式分解法的关键是方程一边为0，另一边能分解为两个一次因式的积。 常见形式： 1. 左边有公因式，如x2－3x＝0； 2. 左边是平方差，如x2－16＝0； 3. 左边是完全平方，如x2＋4x＋4＝0； 4. 左边可用十字相乘，如x2－3x＋2＝0。 若原方程不是右边为0，必须先移项整理。例如：x(x＋2)＝x＋2，应化为x(x＋2)－(x＋2)＝0，再分解。 17．（26-27九年级上·云南昆明·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，转化为一元一次方程求解； （2）将方程左边用十字相乘法分解因式，转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 或 解得，． （2） 或 解得，． 18．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， 或， ∴． 19．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 20．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（_）（_） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴， ∴原方程的解为，； ②，     ， ∴， ∴原方程的解为，． ▌知识点06：因式分解法解一元二次方程的步骤 步骤： 1. 将方程化为一般形式，使右边为0； 2. 对左边进行因式分解（根据情况选择提公因式、公式法或十字相乘法）； 3. 根据“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，将二次方程转化为两个一元一次方程； 4. 分别解这两个一元一次方程，得到原方程的两个解。 注意：因式分解必须彻底，直到每个因式都是一次式为至。 21．（26-27九年级上·广东广州·开学考试）计算与解方程．解方程： 【答案】， 【分析】先移项整理为标准一元二次方程，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 22．（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列方程：． 【答案】，； 【详解】解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； 23．（25-26八年级下·甘肃嘉峪关·期末）解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，； 24．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：因式分解得， ∴或， 解得，． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 3．（25-26八年级下·河南漯河·期末）关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 二、填空题 5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据因式乘积为的性质，若两个因式的乘积为，则至少有一个因式为，先求出的所有可能值，再代入计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 6．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 【答案】16 【分析】先解一元二次方程得到方程的两个根，再根据三角形三边关系判断符合题意的第三边长度，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：解方程，得． 设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， 所以第三边长为． 所以三角形的周长为． 7．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）当________时，函数（是常数）是正比例函数． 【答案】 【分析】根据正比例函数是（k为常数，），即常数项为零且一次项系数不为零，解答即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得：． 8．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程其中一个解，那么这个直角三角形的面积是____________． 【答案】或 【分析】先整理方程得，解得，，分两种情况讨论：当为这个直角三角形的最短边时，求得直角三角形的面积是；当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是． 【详解】解：由方程，可整理得， 解得，， ∴当为这个直角三角形的最短边时，这个直角三角形的面积是； 当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是； ∴这个直角三角形的面积是或． 三、解答题 9．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ (1)已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2) 解：已知， 因式分解并移项： ， ； 提公因式： ； 化简求解： ， ， 则或， 解得，． 【分析】本题一元二次方程的解法，等式的基本性质，理解“等式两边不能同时除以一个可能为 0 的代数式”是解题关键． （1）步骤②直接除以，未考虑可能为的情况，会丢失方程的根； （2）先对原方程右边因式分解，移项后提公因式，将方程化为乘积为的形式，再令各因式为，可求得方程的两个根． 【详解】（1）解： 根据题意，可知步骤②两边同时除以， 未考虑可能为的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②． （2）略 10．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题： （1）方程的解是，______，______； （2）求方程的解； 拓展： （3）用“转化”思想求方程的解． 【答案】（1），； （2），，． （3） 【分析】本题主要考查了解一元高次方程，解一元二次方程，解无理方程，解题时要能读懂题意，灵活运用分解因式是关键． （1）依据题意，解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，仿照例题分析即可得解； （3）依据题意，首先两边同时平方，然后解高次方程可以得解． 【详解】解：（1）由题意，解方程， ． ，． 故答案为：3，； （2）由题意，， ． ． ． ，，； （3）由题意，两边同时平方得， ． ． ． ． ，，． ， ，均不符合题意． 方程的解为． / 学科网（北京）股份有限公司 $