1.2一元二次方程的解法-直接开平方法同步练习2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦直接开平方法，分层设计从概念辨析到创新应用，梯度合理，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念理解（单选5）、基本运算（填空7-8、解答11）|占比60%，夯实直接开平方步骤与根的判别| |提升层|实际应用（解答12）|结合自由落体情境，培养模型意识与数据处理能力| |拓展层|创新探究（解答13-14）|通过几何构造、新解法迁移，发展推理与创新意识|

苏科版九年级数学上 1.2一元二次方程的解法-直接开平方法（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．若方程的根是有理数，则的值可能是（     ） A． B．3 C． D．4 3．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．若关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为（     ） A．3 B．9 C． D． 5．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 二、填空题 7．方程解为_________． 8．若，该方程的解为______． 9．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 10．已知是关于的一元二次方程的一个根，则正数的值为________． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)； (3)． 12．意大利物理学家伽利略（GalileoGalilei，1564—1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，求铁球的落地时间t．（精确到） 13．三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 14．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版九年级数学上 1.2一元二次方程的解法-直接开平方法（同步练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D A A D A 1．B 【分析】将各选项方程整理为的形式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，移项，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、，移项，得， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、，系数化为，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 2．D 【详解】由，可得． ∵ 方程的根是有理数， ∴ ，且是有理数的平方． A选项，，不符合要求，选项A错误； B选项，不是有理数的平方，根为无理数，选项B错误； C选项，，不符合要求，选项C错误； D选项中，，根为，是有理数，选项D正确． 3．A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 4．A 【分析】先根据方程的根，求得，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得． 原方程为， 移项得. 开平方，得． 方程的另一个根为． 5．D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 6．A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 7． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 8． ， 【详解】解： 或 ∴，． 9．4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 【详解】解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 10． 【分析】将根代入原方程，得到关于的一元二次方程，求解后筛选出正数即可得到结果． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 解得或， 是正数， ． 11．(1) (2)方程无实数根 (3) 【详解】（1）解： 即； （2）解： ∵， ∴原方程无实数根； （3）解： 即． 12．铁球的落地时间约为 【分析】将已知数值代入自由落体关系式，解关于t的一元二次方程，根据实际意义舍去负数解，再对算术平方根取近似值，精确到． 【详解】解：由题意得，，， ， 化简得， ， ， 答：铁球的落地时间约为． 13．(1) (2) ；该一元二次方程的正实数根为； 【分析】（1）根据题意可得，构造边长为的大正方形，再仿照例题求解即可； （2）根据题意可得，构造边长为的大正方形，可求出大正方形的面积为，也为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴一元二次方程的一个正实数根为； （2）解：∵， ∴， ∴； 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∵在所构造的图形中大正方形的面积为81， ∴，， ∴或，， ∴或， ∴该一元二次方程的正实数根为． 14．(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $