江苏南京师范大学附属中学、天一中学、海安高级中学、海门中学2025-2026学年高二下学期6月测试数学试卷

南师附中、天一、海安、海门2027届高二年级6月测试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．若随机变量，且，则的值为 A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8 3．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 5．为研究空气相对湿度x和土壤含水量y之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x，y进行线性回归分析．若在此图中加上点P后，再次对x，y进行线性回归分析，则下列说法正确的是 A．x，y不具有线性相关性 B．x，y线性相关性变强 C．相关系数r变小 D．x，y负相关 6．某校高二年级开设数学、物理、化学、生物四个竞赛课程，小李，小王，小陈三名同学，每人至少选一个课程，至多选两个课程，且每个课程恰有1人选择，则不同的选择方法种数为 A．72 B．36 C．18 D．24 7．某平台有的文章由生成，为识别文章，平台使用一款检测系统．该系统对生成文章的识别率为，但对人类撰写的文章会有的概率误判为生成．现从平台上随机抽取一篇文章，如果被该系统判定为生成，那么这篇文章实际是生成的概率为 A． B． C． D． 8．已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，x，，且平面，则的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，且，则 A． B． C． D． 10．已知，则 A． B． C． D．今天是星期二，天后是星期三 11．已知函数，，则下列选项正确的是 A． B．函数的最小值为2a C．若有且仅有一个实根，则 D．若有三个实根，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中，的系数为________． 13．已知，，，则________． 14．某同学进行一项摸球试验，已知袋中装有三个形状、大小均相同的小球，分别标有数字1，2，3．某同学从袋中有放回地依次随机摸出一球：若连续摸出三次奇数编号的球，则试验成功；连续摸出两次偶数编号的球，则试验失败．则该同学试验成功的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知集合，集合． （1）若，，求实数m的取值范围； （2）设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 16．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求点A到平面的距离． 17．某社团调研男女同学课余运动偏好，统计数据如下列联表： 喜爱球类 喜爱慢跑 合计 男生 24 16 40 女生 12 28 40 合计 36 44 80 （1）依据小概率值的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关； （2）从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取10人，再从这10人中随机选6人，设X为6人中喜爱球类与喜爱慢跑人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18．已知函数． （1）当，求函数在处的切线方程； （2）若函数在单调递增，求a的取值范围； （3）当，求证：． 19．某工厂生产某种商品的成本为每件2a元（），正常售价为每件4a元．该商品的市场需求量为随机变量X（单位：万件），当产量大于市场需求量时会造成商品积压，积压的商品必须降价处理，按每件a元售出（假设降价后所有积压商品均可售出）．根据一段时间的统计，得到该商品的市场需求量X的频率分布表如下： X（万件） 1 2 3 4 5 6 7 频率 0.01 0.02 0.04 0.07 0.10 0.12 0.13 X（万件） 8 9 10 11 12 13 14 频率 0.12 0.11 0.09 0.07 0.05 0.03 0.04 以该商品需求量的频率代替其概率．设计划产量为n（n为正整数，）万件时，该商品的总利润为随机变量（单位：万元）． （1）求； （2）当时，求的分布列（用含a的式子表示）； （3）证明：，并求计划产量n的值，使总利润的数学期望最大． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高二数学6月份考试卷答案 参考答案 2 3 4 6 > 8 9 10 11 D A D D C B C B BCD AC ABD 3 32 12.9 13.8 14.51 15.1)已知1={3≤x≤6，B={≤m-l或xr≥2m-,若4nB=0, m-1<3 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组( 2m-1>6 4分 7 <m<4 4 解得2 即m的取值范围为 6分 (2)若D是qg的充分条件，则A二B,即A的所有元素都属于B, 7分 因此有两种情况： 04≤{讣≤m-1号，此时m-1≥6，解得m≥7.9分 ②4c{之2m-,此时2m-1≤3，解得m≤2. 11分 综上，m的取值范围是m≤2或m≥7.13分 ABLCD 16.(1)因为 ,所以四边形ABCM为平行四边形，则BCIIAM, 又BC￠平面PAM,AMc平面PAM,所以BC∥平面PAM.6分 (2)如图建立坐标系，则1,0,0)，B1,1,0),C(0,2,0),D0,0,0).P0,0,). 设平面PBC法向量为n=(x,y,2), -”明 n.PB=0 x+y-tz=0 8分 平面BCD的法向量为m=(0,0,), 10分 2 n.m c0s60°= →t=v6 1×1+1+ 4 因为二面角大小60°，所以 13分 4B月 √6 4 所以A到平面PBC的距离等于 n 15分 17.(1)提出零假设H:运动偏好与性别无关. 1分 X2= n(ad-be)2 80×(24×28-16×12)2_8 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 36×44×40×40 11 ≈7.273>X6s=3.841 ,4分 所以有95%的把握认为运动偏好与性别有关. 6分 (2)按分层抽样10名男生中喜爱球类有6人，喜爱慢跑有4人. X的可能取值为0,2,4,6,7分 PX=0=c,C-8 C。21 8分 P(X=2)-Ci-C+CCi=1 C 2 9分 P(X=4)=S 8C4-4 C。35 10分 P(X=)= Cro 210 11分 所以X的分布列为 X 0 3 6 8 1-2 1 21 35 210 所以 13分 EX)=0x8+2x+4×4+6xL-52 1 21 2 35 021035. 15分 18.1)当a=1时，f)=e24-2sin-x,f0)=0,对f求导： f'x)=(2x+1)e2-2cosx-1, 2分 代入x=0得切线斜率：k=f'(0)=-2, 因此切线方程为y=-2x.4分 (2)f(x)=xe2*-2sinx-a f(x)=(2x+10e2x-2cosx-a≥0， 6分 令8x)=(2x+1)e2-2cosx,则a≤g)在(0，+o)恒成立， 求g(x)在(0，+0)的最小值即可. 对8x)求导：g'()=(4x+4)e2+2sinx, 当x>0时，4x+4>4,e2r>1,故(4x+4e2>4,同时2sinx∈[-2,2]， 因此8'()>4-2=2>0 所以8(0)在(0，+o)上单调递增， 8分 8(x)在(0，+0)的最小值为8(0)=-1， 因此a的取值范围是：（-0，-]」 10分 (3)当a≤1时，f)≥e2-2sinx-x.由切线不等式， 当x>0时，sinx<x且lhx≤x-1,所以只需证e2-2x-x>x-l, e2r+1>4 即x 13分 )=e2+ 令 x,求导得： r(x=2e2x-2hx=4e2+、2 >0 因此在(0，+∞)上h()单调递增， =2e-4>0 又因为0 所以存在唯一的 )0 因此h(在0，)上单调递减，在(，+0)上单调递增， (6)=e2+1-J+1>4 h(x)在xo处取到最小值 x02x, 所以h()>4在(0，+0)上恒成立， 因此，当a≤1时，不等式成立.17分 67 19.【答案】(1)86： (2)见解析： (3)n=9 P(X≤10X≥)=P5≤x≤10 0.67-67 【解析】(1) P(x≥5) 0.67+0.1986 (2)当x≥5时，W,=5×2a=10a 当x=4时，W,=4×2a+(5-4)x(←m)=7a 当x=3时，W,=3×2a+(6-3)×(-a)=4a 当x=2时，W=2×2a+(5-2)×(-a)=a, 当x=1时，W,=1×2a+(5-1)×(-a)=-2a 则分布列为： W -2a Q Aa 7a 10a P 0.01 0.02 0.04 0.07 0.86 (3)生产了n万件，市场需求x万件. 当x≥n时，W,=2an 当x<n时，m=2ax+(n-x)(-a)=3ax-an E()-ok-a).P(x-)+2-Px-) 1 -n -P=)-am吃P=+2a直= -23ak.P=k)-am--PX≥m+2an-PX≥n) ak:p(=k)+3an-p(x=n)-on =3a2kplx≥)-3a2k-px≥k++3apc≥m)-am =35x2-3o2+小Ax2≥+43a2Px2+43ar2-om =3al-Px≥)-30：n-Px≥0+3a-2PK≥k+）+3am-Px≥m0-am =3al-Px≥+3a-5Px≥k+l)-am k= =3a.∑Px2k)-an ,得证 E(W）-E(g.)=3a2P(x≥k-3a立Px≥k)-an+)+am =3aP(x≥n+l1)-a=3a ≥n+)- 当n≤8时， P(x2n+1)>3.E(W)-E(W)>0. 当n≥9时， P2n+D<3,E(W)-E(W,)0, 则E(m,)最大，故n=9.