精品解析：江苏无锡市宜兴市阳羡高级中学2025-2026学年高二下学期4月练习数学试题

高二年级练习 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. 20 B. 40 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由排列、组合数公式求解即可． 【详解】． 故选：B． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，令，求得，得到的解析式，进而求得的值. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得， 所以，可得. 3. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，结合切点坐标通过点斜式推导切线方程即可. 【详解】对函数求导得：，根据导数的几何意义，函数在切点处的导数值等于切线斜率， 因此在点处的切线斜率. 已知切线过点，代入直线点斜式方程得：，整理可得. 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围． 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以函数在上的最大值为，所以， 所以的取值范围为． 5. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】二项展开式的通项公式为， 整理得：， 令，解得：， 展开式中常数项为：. 6. 小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（ ） A. 96种 B. 72种 C. 60种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得5个窗花的全排列，再求得春字在两端的种数，结合间接法，即可求解. 【详解】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 7. 函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，令，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 因为函数在区间上存在最大值与最小值， 所以，所以. 8. ，，当时，均有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将不等式变形，通过构造函数将条件转化为函数单调性问题，再利用导数研究恒成立，分离参数后根据自变量范围求出参数的最小值。 【详解】，，当时，，整理可得，即， 即，即， 令，，则，，当时，， 所以函数在上单调递减，即，， 即，由，得，所以， 即实数的取值范围是． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】由知，故A正确； 由知，故B错误； 例如，则，即，故C错误； 因为，， 所以，故D正确. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 若方程有6个不等实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先进行求导，借助单调性即可判断出AB； 选项C，为数形结合思想，转化为，画图判断交点问题； 选项D，为复合函数问题，为偶函数，图像关于轴对称，所以要使在时有3个解即可. 【详解】解：对于A选项，的定义域为，所以A选项错误； 对于B选项，，令可得， 即函数在上单调递增，， 即，所以B选项正确； 对于C选项，令，即， 有3个不同的零点等价于函数和函数有3个不同的交点， 由图像可知，，解得，所以C选项正确； 对于D选项，方程有6个不等实数根等价于函数和函数有6个不同的交点， 由图像可知，，所以D选项正确． 11. 以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕.现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译､礼仪､司机三项工作可以安排，下列说法正确的是（ ） A. 每人安排一项工作的不同方法数为 B. 每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C. 若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 D. 每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理判断A，根据分组分配问题判断B；根据分类加法计数原理及组合知识求解判断C，根据分步乘法计数原理求解判断D. 【详解】对于A，由分步乘法计数原理可得，每人安排一项工作的不同方法数为，故A错误； 对于B，每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加， 则每项工作的人数分别为或， 故不同的安排方法， 而，故B错误； 对于C，若丙做翻译，则不同的安排方法为， 若丙不做翻译，则不同的安排方法为， 故不同的安排方法为，故C正确； 对于D，每人安排一项做翻译或司机中的一项工作，共有种安排方法， 如果人都安排做翻译或司机，共有2种安排，故不同的安排方法数为，故D正确. 故选：CD. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为， 对函数求导得， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 13. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】第4项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，由题意得，即，所以，所以，得. 14. 三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种. 【答案】10 【解析】 【详解】由题设，若三人为甲、乙、丙，传递过程如下： 甲①②③④甲， 其中①④一定不会是甲，所以中间四个人的可能情况为： {乙，甲，乙，丙}、{乙，甲，丙，乙}、{乙，丙，甲，乙}、{乙，丙，甲，丙}、{乙，丙，乙，丙}、{丙，甲，乙，丙}、{丙，甲，丙，乙}、{丙，乙，甲，乙}、{丙，乙，甲，丙}、{丙，乙，丙，乙}，共10种情况. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数 （1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ （3）若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分选到0和没有选到0两种情况，利用排列组合公式，即可求解； （2）对个位进行分类，利用排列数公式，即可求解； （3）利用间接法，结合排列组合公式，即可求解. 【小问1详解】 若选到0，则0不能排在首位，有种方法， 若没有选到0，则有种方法， 综上可知，共有种方法； 【小问2详解】 个位是偶数的数是偶数， 若个位是0，则有种方法， 若个位不是0，则个位是2，4，6中的一个数字，有3种方法，千位有5种方法，中间两位有种方法，则有种方法， 综上可知，共有种方法； 【小问3详解】 中选出4个数字组成一个四位数，共有个数字，其中四位数有5且有6的数字，有个四位数， 则个四位数， 综上可知，若5和6至多出现1个，可以组成个没有重复数字的四位数. 16. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）唱歌节目排在两头，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先排两头的唱歌节目，再排中间的5个节目，即可得解； （2）第一步，先将2个唱歌节目全排列，再将这2个唱歌节目看成一个整体，第二步，先将3个舞蹈节目全排列，再将这3个舞蹈节目看成一个整体，第三步，把这两个整体进行全排列，此时这两个整体的全排列，形成3个空，将2个小品节目插入这3个空中，即可得解； （3）先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【小问1详解】 2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； 【小问2详解】 2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； 【小问3详解】 7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 17. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求，根据其正负性得出函数的单调性即可； （2）令，根据得出，接着利用导数得出的单调性，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，则， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 等价于， 令，则在上恒成立， 则，得， 因为， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. 18. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 【答案】（1）当时，函数在区间上单调递增； 当 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 【解析】 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当 时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【小问1详解】 由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当 时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）若是的极大值点，求的值 （2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，由可得的取值，根据的取值检验极值点即可得结论； （2）先结合导函数求出函数的最小值，再进行分类讨论，结合零点存在性定理求解； （3）构造函数，求导函数，再结合的取值不同分类讨论即可． 【小问1详解】 又得， 当时，，此时是极大值点 当时，，此时是极小值点 ； 【小问2详解】 ，则， 令得，即在递减； 令得，即在递增， 故最小值为， ①当，即时，恒成立，故无零点，不满足题意； ②当，即时，当时恒成立，故有1个零点，不满足题意； ③当，即时，，且，（或者时，）， 由零点的存在性定理可知在上有1个零点， 又，则， 则在上递增，上递减， 则，即，则，当且仅当时取等， 则，（或者时，）， 故由零点的存在性定理可知在上有1个零点，即在上有两个零点， 综上：有两个零点，则. 【小问3详解】 ，则， 令，则， ①当时，， 的最小值为，的最小值为； ②当时，，则在递减，且时，， 故不能恒成立； ③当时，令可得，即在上递增， 令可得，即在上递减， 故， 则， 故， 令，故， 令， 则， 令可得，即在递减； 令可得，即在递增则， 则的最小值为，当且仅当时取得等号. 综上可知，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级练习 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值是（ ） A. 20 B. 40 C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 6. 小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（ ） A. 96种 B. 72种 C. 60种 D. 48种 7. 函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. ，，当时，均有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 若方程有6个不等实数根，则 11. 以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕.现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译､礼仪､司机三项工作可以安排，下列说法正确的是（ ） A. 每人安排一项工作的不同方法数为 B. 每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C. 若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 D. 每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为__________. 13. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，则__________. 14. 三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数 （1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？ （2）可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ （3）若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 16. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）唱歌节目排在两头，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 17. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 19. 已知函数. （1）若是的极大值点，求的值 （2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $