2027届高三物理（人教版2019）一轮复习：重难突破13 静电力的性质

该高中物理高考复习讲义聚焦静电力的性质专题，覆盖电荷守恒定律、库仑定律、电场强度、场强求解方法及电场线应用等核心考点，按“概念-规律-方法-应用”逻辑层次构建知识体系。通过考点梳理（含思维导图与重难诠释）、方法指导（叠加、对称等场强求解策略）、真题训练（分考向设计选择与解答题），帮助学生系统突破静电力难点，建立从基础到综合的解题思路。 讲义突出科学思维与模型建构，如通过“三个自由点电荷平衡”规律总结培养科学推理能力，利用对称法、补偿法解析连续带电体场强问题。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈机制，确保高效复习。助力学生提升物理观念与应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

重难突破13　静电力的性质 1. 理解电荷守恒定律和元电荷，掌握摩擦、接触、感应三种起电方式的实质及接触起电的电量分配，能正确建立点电荷这一理想化模型。 2. 理解库仑定律的内容、数学表达式与适用条件，掌握库仑力的方向判断与矢量叠加，能处理库仑力作用下带电体的平衡问题与加速问题。 3. 理解电场强度的概念、点电荷电场与电场强度叠加原理，掌握叠加、对称、补偿、微元等求场强方法，熟悉电场线特点及等量同种、异种电荷的电场分布，能结合电场线分析带电粒子的运动轨迹与平衡。 【思维导图】 考点一　电荷、电荷守恒定律与点电荷 1．两种电荷：自然界只存在正、负两种电荷。用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电；同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。电荷量用 Q（或 q）表示，单位是库仑，符号 C。 2．元电荷：电荷量的最小单位叫元电荷，其大小为 。电子和质子所带电荷量的绝对值都等于 e，任何带电体的电荷量都是 e 的整数倍，即 q=ne（n 为整数）。元电荷是电荷量的单位，不是电子或质子本身；带电粒子的电荷量与质量之比 q/m 叫比荷。 3．物体带电的实质：物体带电的过程实质上是电子得失（转移）的过程。失去电子的物体带正电，得到电子的物体带负电。 三种起电方式的比较 起电方式 起电过程 起电实质 电荷分布特点 摩擦起电 两种不同物体相互摩擦，电子在物体间转移 电子从一个物体转移到另一个物体 失电子者带正电，得电子者带负电，等量异号 接触起电 带电体与不带电导体接触，电荷重新分配 电子从一个物体转移到另一个物体 同种电荷；相同导体接触后电量平分（异种先中和） 感应起电 带电体靠近导体，导体内部电荷重新分布 电子在导体内部重新转移 近端感应出异种电荷，远端感应出同种电荷 4．电荷守恒定律：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量保持不变。它是自然界的基本守恒定律之一。 5．接触起电的电量分配：两个完全相同的金属导体接触后，同种电荷把总电荷量平分；异种电荷先发生中和，剩余的电荷量再由两导体平分。 6．点电荷：当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布对相互作用力的影响可以忽略时，带电体可看成带电的点，叫点电荷。它是一种理想化的物理模型，与力学中的质点类似，点电荷自身不一定很小，所带电荷量也不一定很少。 重难诠释　①三种起电方式转移的都是电子（负电荷），带正电的原子核（质子）并不移动；失电子带正电、得电子带负电。②元电荷 e 是电荷量的“最小单位”，不是电子或质子；任何带电体的电荷量都一定是 e 的整数倍。③接触起电时，两个完全相同的金属球：同种电荷接触后各带总电量的一半；异种电荷先中和、再把剩余电量平分，务必先判断电性再加减。④感应起电中导体的总电荷保持守恒（原来中性则仍中性），只是近端异种、远端同种；若导体接地，远端电荷被导走，导体就带上与带电体异种的电荷。 考点二　库仑定律 1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 2．表达式：，其中 r 为两点电荷间的距离，k 为静电力常量，。 3．方向：库仑力的方向在两点电荷的连线上。同种电荷相互排斥，库仑力沿连线背离对方；异种电荷相互吸引，库仑力沿连线指向对方。 4．适用条件：①真空中（空气中近似适用）；②点电荷（静止）。对一个均匀带电的球体（或球壳），在球外可以把它看成电荷集中于球心的点电荷，r 取两球心之间的距离。 5．库仑力是矢量：当多个点电荷同时存在时，每个点电荷对另一个点电荷的作用力都遵循库仑定律，并且彼此独立、互不影响，某一点电荷受到的力等于各电荷对它作用力的矢量和，遵循平行四边形定则。 库仑力与万有引力的比较 比较项目 库仑力 万有引力 产生原因 点电荷之间的相互作用 物体质量之间的相互作用 公式 方向 既有吸引力，也有排斥力 只有吸引力 常量 共同点 都遵循“平方反比”规律，都是非接触力，在真空中都能发生，计算时都可把均匀球体等效为中心处的质点（点电荷） 同左 重难诠释　①库仑定律只适用于真空中的点电荷；均匀带电球（壳）在球外可用球心距、等效为球心处的点电荷，但在球内不能这样处理。②当两个点电荷的距离 r 趋近于零时，点电荷模型已经失效，不能再用 得出“库仑力趋于无穷大”的结论。③库仑力是矢量：多个点电荷作用时，先分别判断每个力是吸引还是排斥、定出方向，再用平行四边形定则合成。④库仑力与万有引力都遵循平方反比、都能在真空中作用，但库仑力有吸引有排斥、且远强于万有引力，宏观带电体之间的万有引力通常可以忽略。 考点三　电场强度与点电荷的电场 1．电场：电荷周围存在的一种特殊物质，电场的基本性质是对放入其中的电荷产生力的作用（静电力）。电场是客观存在的，不依赖于试探电荷。 2．电场强度：放入电场中某点的电荷所受的静电力 F 与它的电荷量 q 的比值，叫该点的电场强度，定义式为 。单位是牛/库（N/C），也等于伏/米（V/m）。 3．电场强度的方向：规定正电荷在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向；负电荷所受静电力的方向与电场强度方向相反。 4．定义式的物理意义： 是电场强度的定义式，适用于一切电场；电场强度由电场本身（场源电荷及该点位置）决定，与是否放入试探电荷、试探电荷的大小及正负都无关。 5．点电荷的电场：真空中场源电荷 Q 在距它 r 处产生的电场强度为 。正点电荷的电场强度沿径向向外，负点电荷的电场强度沿径向向内；离点电荷越远，场强越小。 6．匀强电场：电场中各点的电场强度大小相等、方向相同，这样的电场叫匀强电场（如平行金属板之间、忽略边缘效应时），其电场线是平行等距、方向一致的直线。 7．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，这叫电场强度叠加原理，遵循平行四边形定则。 重难诠释　①注意区分定义式与决定式： 是定义式，适用于一切电场，且 E 与 q 无关； 只适用于真空中点电荷的电场，E 由场源 Q 和距离 r 决定。②电场强度的方向只规定为“正电荷受力的方向”，与该处放入的试探电荷是正是负无关；负电荷受力方向与场强相反。③电场强度是矢量，多个点电荷的场强要矢量合成（先分解或作平行四边形），不能直接代数相加；等量同种正电荷连线的中点，两个场强等大反向、合场强为零。④电场中某点的场强由场源电荷与位置决定，与该处有无试探电荷无关。 考点四　求解电场强度的方法 1．叠加法：多个点电荷在空间某点产生的电场强度，等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。先分别求各点电荷在该点的场强（大小、方向），再用平行四边形定则合成。 2．对称法：利用电荷分布在空间上的对称性，使垂直于对称轴（面）的各分量成对抵消，只计算沿对称轴方向的分量，可使复杂电场的叠加大大简化。 3．补偿（挖补）法：对于有缺口的带电圆环（或挖去一部分的球壳、球面），先把它“补”成一个完整规则的带电体，求出完整带电体在该点的场强，再减去“补入”那部分电荷在该点产生的场强，即 E=E完整−E补入。 4．微元法：把连续带电体（均匀带电圆环、圆盘、直线）分割成无数个足够小的电荷元，把每个电荷元看成点电荷，先由库仑定律求出每个电荷元在该点的场强，再利用对称性和叠加原理对所有电荷元的场强求矢量和（积分）。 四种求解电场强度方法的比较 方法 核心思路 适用对象 典型模型 叠加法 各点电荷单独产生的场强，再矢量求和 两个或多个点电荷 直角顶点处、中点处的场强 对称法 利用对称性使垂直分量抵消，只算沿轴分量 电荷分布对称的带电体 圆盘、圆环轴线上的场强 补偿（挖补）法 先补成规则整体求场，再减去补入部分的场 有缺口、被挖去一部分的带电体 缺角圆环、挖去的半球面 微元法 分割为点电荷微元，逐个求场再矢量求和 连续带电体（线、环、面） 均匀带电圆环轴线、带电直导线 重难诠释　①对称法的关键是找对称轴：垂直于对称轴的分量成对抵消，只需计算沿对称轴的分量，圆环轴线上的场强就是典型例子。②补偿法是叠加原理的逆用：把“不完整”补成“完整”求场，再减去补入部分的场，注意补入部分的电性与场强方向。③微元法处理连续带电体：先分元、再按点电荷公式写每个元的场、最后矢量求和，沿轴分量保留、垂直分量抵消。④无论哪种方法，场强始终是矢量，必须先分清方向再合成，切忌直接做代数加减。 考点五　电场线、特殊电场分布与静电力作用下的平衡 1．电场线：为了形象描述电场，在电场中画出的曲线，使曲线上每一点的切线方向都与该点的电场强度方向一致，曲线的疏密表示电场强度的大小。电场线是假想的模型，并非电场中客观存在。 2．电场线的特点：①起始于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），不闭合；②任意两条电场线不相交（电场中任一点只有一个场强方向）；③电场线不表示电荷的运动轨迹，只有在特定条件下才可能与轨迹重合；④电场线越密处场强越大，越疏处场强越小。 等量异种点电荷的电场线 等量同种点电荷的电场线 等量异种、等量同种点电荷的电场比较 比较项目 等量异种点电荷 等量同种（正）点电荷 连线上的场强 沿连线方向，中点 O 处最小但不为零 沿连线向外，中点 O 处为零 中垂线上的场强 中点 O 处最大，由 O 向两侧逐渐减小 中点 O 处为零，由 O 向外先增大后减小 中垂线上场强方向 平行于连线，由正电荷指向负电荷 沿中垂线由中点 O 向外 关于 O 对称两点 场强等大、同向 场强等大、反向 3．电场线与运动轨迹（“拐弯”模型）：当带电粒子运动轨迹与电场线不重合时，合力（电场力）一定指向轨迹的凹侧。画“速度线”（轨迹切线方向）与“力线”（正电荷沿电场线方向、负电荷逆电场线方向，且指向轨迹凹侧），由两线夹角判断：力与速度夹角为锐角时粒子加速，钝角时减速。当电荷正负、电场方向、运动方向三者均未知时，要先用假设法逐一分析。 4．静电力作用下的平衡：库仑力本质上也是一种力，处理带电体的平衡问题时，先确定研究对象（整体法、隔离法），再做受力分析（注意库仑力），画出受力示意图，最后按平衡条件列方程。当几何三角形与力的矢量三角形相似时，用相似三角形对应边成比例列式。 5．三个自由点电荷的共线平衡：三个点电荷仅在彼此库仑力作用下保持平衡，规律为“两同夹异、两大夹小、近小远大”，即两边电荷同种、中间电荷异种；中间电荷的电荷量最小；电量较小的外侧电荷离中间电荷更近。若外侧电荷为 、，中间电荷为 ，则 。 重难诠释　①电场线不是电荷的运动轨迹：电荷做曲线运动时，电场力（合力）一定指向轨迹凹侧，正电荷受力沿电场线方向、负电荷逆电场线方向，速度沿轨迹切线；力与速度成锐角加速、成钝角减速。②等量异种点电荷的中垂线上场强方向都平行于连线（由正指向负）、中点最大；等量同种正电荷连线中点场强为零、中垂线上由中点向外先增大后减小，这是高频易错点，务必对照电场线图记忆。③三自由点电荷平衡“两同夹异、两大夹小、近小远大”，可据已知电性、电量快速判断未知电荷的电性和电量大小。④处理带电小球（重力、绳的拉力、库仑力）平衡，正交分解、整体法、隔离法都适用；几何三角形与力的三角形相似时，用比例式求解最简便。 考向1　电荷守恒、起电方式与接触起电的电量分配 一、单选题 1．（25-26高一下·舟山中学·阶段检测）如图所示，在干燥环境中将带正电的小球靠近一对带有绝缘支架的空心枕形导体A和B时，发现导体A和B下方的一对金属箔张开。以下说法正确的是（     ） A．静电平衡之前，A中的带正电的原子核向B移动 B．待静电平衡时B的电势高于A C．导体中的感应电荷分布在导体的外部，且导体A的带电量大于导体B的带电量 D．用导线连接A和地面，数秒后断开连接再移走C，A和B都带上负电 2．（25-26高一下·常州戚墅堰高级中学·期中）如图所示，用金属网把验电器罩起来，使带电金属球靠近验电器，发现验电器的箔片没有张开。下列说法正确的是（     ） A．A、B两处由于静电感应会带上同种电荷 B．箔片没有张开，是因为感应出的负电荷都集中在验电器的金属小球上 C．箔片没有张开，是因为金属网内部电场强度处处为零 D．若将金属网换成绝缘网，验电器金属箔片也不会张开 3．（25-26高一下·贵州黔西·期中）如图，将悬在绝缘细线上带正电的小球A放在不带电的金属空心球壳B内（与内壁不接触），现在该区域加一场强为，方向水平向右的匀强电场，达到静电平衡时，下列判断正确的是（     ） A．B的右端带负电，A向右偏 B．B的左端带负电，A向左偏 C．B的右端带正电，A不偏左也不偏右 D．B的右端带负电，A不偏左也不偏右 4．（25-26高一下·山东肥城·期中）如图，在真空中把一绝缘导体向带负电的小球P缓缓靠近（不相碰）。下列说法中正确的是（     ） A．绝缘导体A端带负电 B．绝缘导体A端的感应电荷比B端多 C．导体内M点场强越来越大 D．导体的感应电荷在导体内M点产生的场强大于在N点产生的场强 5．（25-26高一下·江苏徐州铜山·期中）如图所示，带电金属球Q右侧有一电荷量极小的试探电荷，受到的电场力为。由于环境温度降低，Q收缩至虚线所示位置（所带电荷量不变），受到的电场力变为。随后，再用金属丝网将罩住，受到的电场力变为。则（　　） A． B． C． D． 考向2　库仑定律的理解与库仑力作用下的平衡问题 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽池州·期中）A、B两个完全相同的金属小球用绝缘支架固定，初始时A球带电量为，B球带电荷量为。将两球放在相距为（远大于小球半径）的位置，测得此时两球之间的库仑力大小为。现保持A球不动，将B球移去接触A球后放回原处，则此时两球之间的库仑力大小变为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽池州·期中）用绝缘细线悬挂两个大小相同的小球，它们带有同种电荷，质量分别为m1和m2，带电量分别为q1和q2，因静电力而使两悬线张开，分别与竖直方向成夹角和，且两球静止时同处一水平线上，若，则下述结论正确的是（     ） A．q1一定等于q2 B．一定满足 C．m1一定等于m2 D．必然同时满足q1=q2，m1=m2 3．（25-26高二上·安徽池州·期中）一个点电荷围绕另一个固定点电荷运动时，若只考虑静电力，则运动点电荷的运动规律满足天体运动中的开普勒定律。如图所示，电荷量为的点电荷固定在O点，电荷量为、质量为m的点电荷P绕O点沿椭圆轨道运动，轨道长轴两端点a、b到O的距离分别为r、3r。不计电荷的重力，静电力常量为k，则点电荷P的运动周期为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，水平天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一个正点电荷，不带电的小球a，带正电的小球b分别与跨过定滑轮的绝缘轻绳两端相连。开始时系统在图示位置静止，已知。在b球所带的电荷量缓慢减小为零之前，下列说法正确的是（     ） A．a球的质量小于b球的质量 B．a球的质量大于b球的质量 C．此过程中点电荷对b球的库仑力增大 D．此过程中点电荷对b球的库仑力减小 5．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，绝缘水平地面上固定有一带正电小球A，小球A正上方有一个轻小光滑定滑轮（忽略大小），绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个相同的带电小球B。已知两小球的质量均为m，电荷量均为q，重力加速度大小为g，静电力常量为k，两小球均可视为点电荷，拉力时，小球B对地面恰好无压力。然后继续缓慢拉动细线使小球B缓慢移动到定滑轮的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球B对地面恰好无压力时两小球间的距离为 B．小球B被拉动后，受到小球A的库仑力大小先变大再逐渐减小 C．小球B被拉动后，电场力对小球B先不做功后做正功 D．小球B恰好被拉到小球A正上方的过程中，拉力对小球B做的功为 三、解答题 6．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，把一电荷量为的小球A用绝缘细绳悬挂起来，若将电荷量为，带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距时，绳与竖直方向夹角，取，，且A、B两小球均可看成点电荷，求： (1)A、B两球间的库仑力大小； (2)A球的质量； (3)求B球在图中A处产生的电场强度的大小和方向。 7．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，A、B两点固定有电量相等且带正电的小球，两小球到其连线中点O的距离均为。现用两根长度均为的绝缘细线由A、B两点系一带电小球C，静止时，细线张力恰好为零，已知小球C的质量，电量，重力加速度，静电力常量，不计空气阻力。 (1)求小球C所处位置的电场强度大小； (2)求A、B处小球的电荷量Q； (3)若给小球C一初速度，使小球C恰能在竖直面内做圆周运动，求小球经过最低点时细线的拉力大小。 8．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，球心为、半径为的光滑绝缘半球形容器固定在水平面上，、两个完全相同的金属球带有同种电荷，两金属球的质量均为，球带电量为球带电量的4倍，将A球固定在容器最低点，B球在容器内壁某处处于静止状态，且与圆心的连线与竖直方向的夹角为，两球均可视为质点，重力加速度为，静电力常量为，求： (1)容器内壁对B球的支持力大小； (2)B球的带电量； (3)将B球与A球接触一下后再放回原处求此时A球与B球间库仑力大小。 考向3　三个自由点电荷的平衡与相似三角形法 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c（均视为点电荷），沿同一直线以相同速度v匀速运动，则下列说法正确的是（     ） A．若c与b互换位置，三个带电小球依旧能保持平衡 B．a对b的静电力可能是斥力 C．a的电荷量比b的电荷量大 D．若给a施加一个水平恒力，则三个球能一起运动且相互间的距离保持不变 2．（25-26高二上·乌海十中·期中）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球（可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下静止，以下判断正确的是（   ） A．间的静电力可能是斥力 B．间的静电力可能是引力 C．a的电荷量一定比b的电荷量多 D．a的电荷量一定与c的电荷量相等 3．（2027·贵州黔南·摸底）竖直放置的绝缘轻质弹簧一端固定于水平地面上，另一端连接带电小球A，在A球正上方有一用绝缘细线悬挂在空中的带电小球B，带电小球C恰好静止在A、B的正中间，如图所示。已知三个小球质量均为m，带电荷量绝对值相同且均可视为点电荷。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，则细线对小球B的拉力大小为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·渭南三贤中学·月考）如图所示，用两根等长的轻质绝缘细线把两个可视为点电荷的小球A、B悬挂在O点。两小球静止时，细线与竖直方向的夹角分别为α和，两小球的质量分别为和，电荷量绝对值分别为和。已知α等于，则（　　） A． 一定大于 B． 一定小于 C． 可能等于 D． 一定等于 二、多选题 5．（25-26高二上·威宁八中·期中）如图所示，带电荷量为的球1固定在倾角为、光滑绝缘斜面上的点，其正上方处固定一电荷量为的球2，斜面上距点处的点有质量为的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。当迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。为重力加速度，球的大小可忽略，下列说法正确的是（　　） A．球3运动至点的速度大小为，该过程球2对球3做功不为零 B．在点时，球1和3之间的力大于球2和3之间的力，且球3带正电 C．球3运动至中点时对斜面的压力大小为，此时球2对球3的作用力为 D．球3运动至点时弹簧的弹力为 三、解答题 6．（25-26高一下·武汉·期末）如图所示，用两根不可伸长的绝缘细线将A、B两带电小球悬挂于O点，电荷量分别为+9q、+q（电量为已知量），质量分别记为m1和m2（ 质量未知）静止时A、B两球处于同一水平线上，其中O点到B球的距离OB=L，∠AOB=90°，∠OAB=30°，带电小球均可视为点电荷，静电力常量为k。求： (1)A、B间的库仑力大小； (2)A、B两球的质量m1和m2之比； (3)O点的电场强度。 考向4　库仑力作用下带电体的加速运动 一、单选题 1．如图所示，相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q。在它们的中垂线上的C点，由静止释放一电荷量为q、质量为m的正试探电荷（不计重力）。静电力常量为k，则试探电荷运动过程中的最大加速度为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 2．（25-26高三上·济南·期中）如图所示，在光滑的绝缘水平面上，有两个质量相等、相距为、带电荷量分别为和的小球甲、乙，在水平恒力作用下做匀加速直线运动。若甲、乙两球的质量分别为和，带有异种电荷，现在甲球上施加水平向右大小为的作用力后，当两小球保持相对静止时，两小球间的距离为；若改用方向水平向左大小为的力作用在乙上后，两小球仍能保持相对静止时，则两小球间的距离为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（26-27高三上·海南中学·学情自测）如图所示，带电荷量为的正点电荷固定在倾角为的光滑绝缘斜面底端点，斜面上有、、三点，和相距为，为的中点，为的中点。现将一带电小球从点由静止释放，当带电小球运动到点时速度恰好为零。已知重力加速度为，带电小球在点处的加速度大小为，静电力常量为。则下列说法中正确的是（　　） A．小球从到的过程中，速度最大的位置在之间 B．小球运动到点时的加速度大小为 C．之间的电势差大于之间的电势差 D．之间的电势差 三、解答题 4．如图所示，A、B两个带电小球放置于绝缘且光滑的水平面上，A球电量为，B球电量为，两球质量相等，均视为点电荷。初始时A球固定，B球在水平拉力F的作用下静止，此时A、B两球间距离为。现调整B球位置使两球相距，且对B球施加与原来相同的拉力F，同时解除对A球的固定，A、B两球保持相对静止共同做加速运动。已知静电力常量为k，求： (1)拉力F的大小； (2)两球的距离。 考向5　电场强度的理解与叠加法求场强 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏连云港·期中）如图甲所示，水平面上、为两个固定点电荷，其中带正电，它们连线的延长线上有a、b两点。一带正电的试探电荷以一定的初速度沿直线从b点开始经a点向远处运动，其速度图像如图乙所示。则下列说法正确的是（     ） A．带正电 B．b点电场强度方向水平向左 C．在、之间放置一个点电荷，该点电荷可能处于平衡状态 D．该试探电荷经过足够长时间最终还会回到b点 2．（26-27高三上·贵州师大附中·入学考试）如图所示，等边三角形的三个顶点、、上分别固定一点电荷，点电荷的带电荷量分别为、、，已知、、分别为、、的中点，为三角形的中心，下列说法正确的是（     ） A．电子在点的电势能大于在点的 B．点和点的电场强度大小相同 C．从点到点，电势先减小后增大 D．正试探电荷沿直线从点运动到点，静电力先做负功后做正功 3．（25-26高二上·凤台龙潭高级中学·期末）在场强大小为2E的匀强电场中，A、B、C三个点构成等边三角形。在 B、C两点各放一个等量的正点电荷，A点的场强刚好为零。则B点电荷单独形成的电场在A点的场强大小为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 4．（26-27高三上·湖南邵阳·第一次学情检测）如图，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为2q、4q、6q、8q、10q的正点电荷，且电荷量为6q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度（　　） A．方向沿x轴负方向 B．方向与x轴负方向成18°夹角斜向下 C．大小为 D．大小为 5．（2026·海南·高考）如图，、、、是圆心为的圆周的四等分点，、分别为、的中点。在、分别固定一正点电荷，在、分别固定一负点电荷，则（     ） A．O点的电场强度为0 B．O点与点的电场强度大小相等 C．O点的电势比点的低 D．、两点的电势相等 考向6　对称法、补偿法、微元法求电场强度 一、单选题 1．（26-27高三上·安徽怀宁新安中学·开学）如图，半径为的金属球原来不带电，现将一个电荷量为、带正电的点电荷放在球心右侧处，、为球上两点，且、、、在同一直线上。已知静电力常量为，当金属球达到静电平衡时，下列说法正确的是（     ） A．点带负电荷 B．点的电势等于点的电势 C．点的电场强度大小为 D．感应电荷在点产生的电场强度大小为 2．（25-26高一下·北京师大附中·期末）如图，a、b、c、d、e、f是以O为球心的球面上的点，平面aecf与平面bedf垂直，分别在b、d两点放上等量异种点电荷，下列说法正确的是（     ） A．a、c、e、f四点电势不同 B．a、c、e、f四点电场强度相同 C．若电子沿直线运动，该过程中电子受到的电场力大小不变 D．若电子沿圆弧运动，该过程中电子的电势能增大 3．（25-26高二下·南海罗村高级中学·期中）半径为R的绝缘薄球壳固定，球心为O，球壳上均匀分布着电荷量为Q的正电荷（已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零）。A、B为过球心大圆截面上的两点，，取走B处极小的、面积为面上的电荷。现将一点电荷q置于OA延长线上距O点为2R的C点，A、C点位于O点同侧，若O点此时电场强度方向刚好沿的角平分线指向球面。（球面上剩余电荷分布不变，忽略点电荷q对球壳上电荷分布的影响），则q为（     ） A．正电荷， B．负电荷， C．正电荷， D．负电荷， 4．（26-27高二上·衡阳八中·开学考试）如图所示，一个绝缘半圆环上均匀分布有同种电荷，固定在绝缘水平面上，其在圆弧圆心处产生的电场强度大小为E。现自A点起截去左侧连续的圆弧，则剩余部分在圆心处的电场强度大小是（     ） A．E B．E C．E D．E 5．（26-27高二上·唐县一中·开学）如图所示，ABC为半径为R的半球壳，ABC整个球壳上均匀分布有正电荷，总电荷量为，O为圆心，M、B、O、N在同一直线上，且，球壳上电荷在M点处的电场强度为E，则下列判断正确的是（　　） A．N点处电场强度大小为 ，指向ON方向 B．N点处电场强度大小为 ，指向ON方向 C．N点的电场强度大小为，指向NO方向 D．N点处的电场强度大小为 ，指向ON方向 6．（25-26高一下·上高二中·期末）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面上均匀分布负电荷，总电荷量为q。球半径为R，球心为，为球面的对称轴，在轴线上有两点，且，。已知球面在M点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则N点的电场强度大小为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·浙江名校协作体·开学）如图甲所示，半径为且位置固定的细圆环上，均匀分布着总电荷量为的电荷，点为圆环的圆心，轴通过点且垂直于环面，点在轴上，它与点的距离为。轴上电势的分布图如图乙所示，现有一电量为，质量为的试探电荷从处静止释放。已知真空中点电荷产生的电场中某点的电势表达式为，为电荷到该点的距离，静电力常量为k。则（　　） A．沿正方向电场强度一直减小 B．轴上点的电势为 C．轴上点的电场强度为 D．点电荷到达点时速度为 8．如图所示，一半径为R的圆环上，均匀地分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面、过其环心的轴上有一点P，它与环心O的距离为l。静电力常量为k，则P点的电场强度E的表达式是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2027·广东佛山·一模）在大气静电研究与雷电防护的物理建模中，可将近地面局部雷云聚集的正电荷区域近似等效为一个孤立的正点电荷。如图所示，以等效正点电荷的位置为球心，绘制两个半径不同的同心球面1、2。其中a点位于球面1上，b点、c点位于球面2上。下列说法正确的是（     ） A．b点场强与c点场强相同 B．同一电荷在a点受电场力比b点大 C．正电荷从a点移到b点电势能增加 D．b点与c点电势相等 10．（高一·下·期末）如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，所带电荷量为，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球（大小不计），小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O的距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度大小为（     ） A． B． C． D． 考向7　电场线、特殊电场分布与“电场线＋轨迹”模型 一、单选题 1．（2027·海南海口·一模）如图实线为某区域内的电场线分布，虚线为一电子的运动轨迹。电子仅在电场力的作用下从点运动到点过程，则（　　） A．点的电势比点的高 B．点的电场强度比点的大 C．电子的动能减少 D．电子的电势能减少 2．（25-26高一下·西安第八十九中学·期末）将一不带电的金属球放置在电场中形成如实线所示的电场线（未画方向），一带正电的粒子仅在电场力的作用下自向运动的轨迹如虚线所示，忽略粒子对电场的影响，则下列说法正确的是（     ） A．金属球内部电场强度处处为0 B．电场线是客观存在，金属球对电场线有力的作用 C．粒子自向运动过程中受到的电场力方向不变 D．该粒子在点的电势能小于在点的电势能 3．（25-26高一下·舟山中学·开门考）如图所示，真空中两个等量异种点电荷分别固定在A、B两点，M、N是A、B连线上关于连线中点O对称的两点。关于M、N两点的电场强度，下列说法正确的是（     ） A．M、N两点场强大小相同，方向不同 B．M、N两点场强大小相同，方向相同 C．M、N两点场强大小不同，方向相同 D．M、N两点场强大小和方向都不相同 4．（25-26高一下·贵阳南湖实验中学·阶段检测）某电场区域的电场线分布如图所示，A、B、C为电场中的三个点，以下关于各点电场强度大小E、电势判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2027·广东佛山·一模）手机电容式触摸屏的核心部件可简化为平行板电容器。手指按压触摸屏，两极板与手指间电场线如图所示。若维持电容器工作电压恒定，下列说法正确的是（     ） A．点的电场强度比点大 B．点的电势比点高 C．手指按压触摸屏时，电容器处于充电状态 D．手指按压触摸屏时，等效电容器电容变小 6．（25-26高一下·常州戚墅堰高级中学·期中）如图为一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q。两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k。下列说法错误的是（     ） A．右侧的点电荷带负电 B．P、Q两点的电场强度不相同 C．两点电荷连线的中点处的电场强度大小为 D．在M点由静止释放一带正电的试探电荷，该电荷将沿电场线MP运动 7．（2027·浙江嘉兴·一模）如图所示，某空间放置有一带电的甲球，将另一不带电的金属球乙靠近甲球，最终形成稳定电场，其中实线为电场线，虚线为等势线，A、B、C、D为电场中的四个点。则（     ） A．甲球带负电荷 B．乙球的电势处处相等 C．A点电场强度大于D点的电场强度 D．负电荷从C移到B最后移到D，电势能先减小再增大 8．（26-27高三上·山东青岛·期初）如图所示，边长为L的等边三角形ABC位于水平面内，O为AC边中点，F为O点正上方一点，，在A、C两点分别固定等量正电荷，在F、B间固定光滑绝缘细杆。现将带负电小球套在细杆上并从F点释放，重力加速度为g。在小球下滑过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球电势能一直减小 B．小球电势能先增大后减小 C．运动到杆中点时，小球加速度大小为 D．运动到杆中点时，小球加速度大小为 二、多选题 9．（25-26高一下·银川北方民大附中·阶段检测（二））电鳗瞬时放电时可产生高压，电流通过水介质传导足以击晕大型猎物或敌人。电鳗瞬时放电时周围的电场可简化为两个点电荷产生的电场如图，图中描述A、B两个点电荷电场的部分电场线，下列说法正确的是（     ） A．A带正电，B带负电 B．A的电荷量小于B的电荷量 C．在M点由静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子会沿电场线运动到N点 D．除无穷远处外，B的左侧还有一处的电场强度为0 10．（25-26高二下·兰坪一中·开学）某带电粒子仅在电场力作用下由A点运动到B点，电场线、粒子在A点的初速度及运动轨迹如图所示，可以判定（　　） A．粒子在A点的加速度大于它在B点的加速度 B．粒子在A点的动能小于它在B点的动能 C．粒子在A点的电势能小于它在B点的电势能 D．电场中A点的电势高于B点的电势 一、单选题 1．（2026·徐州三中·最后一卷）如图所示，锥形空心金属带电导体，由圆柱形筒身和圆锥形尖端构成。用锥形取电器触碰导体表面后接触验电器，观察指针偏转情况。下列说法正确的是（　　） A．导体外表面电势高于内表面电势 B．导体筒身场强比尖端部分大 C．在导体筒身取电，指针偏转较为明显 D．在导体尖端取电，指针偏转较为明显 2．（26-27高三上·湖南湘潭第一中学·开学）如图所示，三个电荷量均为的点电荷M、N、S分别固定于边长为L的等边三角形的三个顶点处，其中O为等边三角形的中心，为SN的中点。已知点电荷在某点产生的电势（k为静电力常量，Q为点电荷的电荷量，r为该点到点电荷的距离），取无穷远处电势为零。则下列说法正确的是（     ） A．点电荷S所受库仑力的合力大小为 B．O点的电势为 C．O与点之间的电势差为 D．若在点处放一电荷量为Q的点电荷，则该点电荷所受静电力的大小为 3．（2026·广西河池·二模）如图甲所示，a、b两个粒子都带正电，带电荷量均为，a的质量为，b的质量为。时刻，a、b间距离为，a速度大小为，方向沿a、b连线指向b，b速度为0，仅在彼此静电力作用下，它们靠近后又被弹开，经过足够长时间，最终均做匀速直线运动。粒子运动轨迹在同一直线上，两粒子组成系统的电势能与两粒子间距离的关系为，图像如图乙所示。当两个粒子间的距离趋于无限远时，静电力可忽略。则（     ） A．两粒子距离最近时，系统的电势能最小 B．两粒子相互作用过程中，a的加速度先增大后减小 C．当两粒子间距离再次为时，系统的总能量为 D．两粒子从开始运动到距离趋于无限远的过程中，的动量变化量大小为 4．（2026·襄阳五中·适应性考试）如图所示，光滑绝缘圆形轨道水平放置在光滑绝缘桌面上，为圆心，、连线过点，，，在点固定正点电荷，点固定正点电荷，带正电的小球静止于轨道内侧点（、两点均位于圆内，且、、三点不共线），已知。下列说法正确的是（     ） A．与的电荷量大小之比为 B．点的电场强度方向垂直于向左 C．将小球的电荷量加倍后，它仍能静止在点 D．、连线上点电场强度最大 5．（2026·江苏扬州新华中学·最后一练）如图所示，质量为m、电荷量为Q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，另一个带电荷量也为Q的小球B固定于O点的正下方绝缘支架上。已知绳长OA为2l，O到B点的距离为l，平衡时A、B带电小球处于同一高度，重力加速度为g，静电力常量为k。则（     ） A．A、B间库仑力大小为 B．A、B间库仑力大小为2mg C．细线拉力大小为mg D．细线拉力大小为 6．（2026·湖南长沙第二十六中学·模拟）如图所示，两个质量均为的完全相同的金属球壳与，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支架上，两球心间的距离为，为球壳外半径的倍。若使它们带上等量异种电荷，电荷量的绝对值均为，那么、之间的万有引力与库仑力为（　　） A．， B．， C．， D．， 7．（2026·郑州某重点中学·考前学情自测）如图甲所示，平面直角坐标系处在匀强电场中，匀强电场与坐标平面平行，轴正半轴上各点的电势随变化的规律如图乙所示，轴正半轴上各点的电势随变化的规律如图丙所示，在坐标原点处沿轴正方向以大小为的速度射出一个比荷为的带正电的点电荷，不计粒子的重力，已知，则下列判断正确的是（     ） A．匀强电场的电场强度大小为 B．匀强电场的方向与轴正方向夹角为 C．粒子运动过程中的电势能先减小后增大 D．粒子运动过程中所经位置的最高电势为 8．（2026·巴中·零诊）如图所示，半径为的光滑绝缘圆环竖直放置，为最低点，为最高点，、分别固定等量异种点电荷，水平直径、间固定一光滑绝缘细杆，一质量为带电小球穿在细杆上，小球受到水平向左恒力（图中未画出）从点由静止运动到点。重力加速度为，小球视为点电荷。则小球在运动过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球电势能先减小后增大 B．小球在点的速率为 C．小球某时刻所受细杆支持力可能为零 D．小球在圆心点的速率为点的一半 9．（2027·浙江七彩阳光&浙南名校·一模）两个带异种电荷的导体周围产生的电场其电场线分布如图所示，则图中、、、四个点（     ） A．点场强最大 B．点与点的场强大小相等 C．同一检验电荷放在点的电势能最小 D．电子由点运动到点的过程中，电场力总功为负 10．（26-27高三上·浙江名校联盟·学情诊断）科研人员通过创新的侧壁极化铌酸锂（SPLN）波导技术，首次在薄膜铌酸锂平台上实现了毫瓦级（4.2mW）的片上紫外光产生。如图为电场仿真结果的简化示意图，图中实线为电场线，a、b关于中心竖直线对称。下列说法正确的是（　　） A．a、b场强相同 B．c点场强大于b点场强 C．a点电势高于c点电势 D．把电子从c点移到a点，电势能增加 二、多选题 11．（2026·深圳中荟高级中学·适应性练习）如图，在水平面上有A、B、C三个质量均为m的小球，A带正电，B带负电，C不带电，A、B带电量的绝对值均为Q，B、C两个小球用绝缘细绳连接在一起，当用外力F拉着A使得A静止，B、C也处于静止状态，已知其中一个球粗糙，其他两个球光滑，则（     ） A．A球一定受到四个力的作用 B．B球一定受到四个力的作用 C．C球一定受到两个力的作用 D．C球可能受到四个力作用 12．（2026·邢台清河中学·选拔考）如图所示，沿水平光滑绝缘细杆建立坐标系，把带电量为4q的带电小球固定在坐标原点，令一个带电量为－q的小球固定在处。另外两个可沿杆自由移动的圆环甲和乙分别带少量的正电荷和负电荷。已知带电体均可视为点电荷，且电荷量保持不变。则下列说法正确的是（     ） A．甲环套在处由静止释放，甲可以处于静止状态 B．乙环套在处由静止释放，乙可以处于静止状态 C．甲环套在处由静止释放，甲将做往复运动 D．乙环套在处由静止释放，乙将做往复运动 13．（2026·杭州二中·最后一卷）如图所示，将不带电导体AB，放在一个点电荷的电场中，点电荷的电荷量为，与导体AB的中心的距离为。当达到静电平衡时，若沿虚线1将导体分成A、B两部分，这两部分所带电荷量分别为、；若沿虚线2将导体分成两部分，这两部分所带电荷量分别为和。对于上述实验，下列判断不正确的是（     ） A．导体A端的电势低于B端的电势 B．，为正电荷 C．，为正电荷 D．导体AB的感应电荷在AB中心处产生的电场强度大小为，方向向右 14．（26-27高三上·四川·学情检测）在光滑绝缘水平桌面上，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，在坐标为的点和的点处分别固定电荷量为和的带电体（可视为点电荷），一电荷量为的小滑块用长为的绝缘轻绳与点相连。给小滑块一沿轴正方向的初速度，使滑块绕点逆时针做圆周运动，在此过程中，当滑块运动到图中点时电势能最小，记此时，则（     ） A．轴上有两个合电场强度为0的点 B．轴上电势最高的点是点 C． D． 三、解答题 15．（26-27高三上·贺州昭平中学·月考）如图所示，光滑水平轨道与半径的光滑竖直半圆轨道在点平滑连接。在过圆心的水平界面的下方有水平向右的匀强电场。现将质量、带电荷量的小球甲从水平轨道上的点由静止释放，小球甲与质量也为且静止在点的不带电小球乙碰撞后瞬间粘在一起形成物体丙，丙运动到点离开半圆轨道后做平抛运动，恰好经过界面上的点，点在点的正上方。已知、间的距离为，取重力加速度大小，甲、乙、丙均可视为质点，求： (1)丙经过轨道点时对轨道的作用力大小； (2)匀强电场的电场强度大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难突破13　静电力的性质 1. 理解电荷守恒定律和元电荷，掌握摩擦、接触、感应三种起电方式的实质及接触起电的电量分配，能正确建立点电荷这一理想化模型。 2. 理解库仑定律的内容、数学表达式与适用条件，掌握库仑力的方向判断与矢量叠加，能处理库仑力作用下带电体的平衡问题与加速问题。 3. 理解电场强度的概念、点电荷电场与电场强度叠加原理，掌握叠加、对称、补偿、微元等求场强方法，熟悉电场线特点及等量同种、异种电荷的电场分布，能结合电场线分析带电粒子的运动轨迹与平衡。 【思维导图】 考点一　电荷、电荷守恒定律与点电荷 1．两种电荷：自然界只存在正、负两种电荷。用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电，用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电；同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。电荷量用 Q（或 q）表示，单位是库仑，符号 C。 2．元电荷：电荷量的最小单位叫元电荷，其大小为 。电子和质子所带电荷量的绝对值都等于 e，任何带电体的电荷量都是 e 的整数倍，即 q=ne（n 为整数）。元电荷是电荷量的单位，不是电子或质子本身；带电粒子的电荷量与质量之比 q/m 叫比荷。 3．物体带电的实质：物体带电的过程实质上是电子得失（转移）的过程。失去电子的物体带正电，得到电子的物体带负电。 三种起电方式的比较 起电方式 起电过程 起电实质 电荷分布特点 摩擦起电 两种不同物体相互摩擦，电子在物体间转移 电子从一个物体转移到另一个物体 失电子者带正电，得电子者带负电，等量异号 接触起电 带电体与不带电导体接触，电荷重新分配 电子从一个物体转移到另一个物体 同种电荷；相同导体接触后电量平分（异种先中和） 感应起电 带电体靠近导体，导体内部电荷重新分布 电子在导体内部重新转移 近端感应出异种电荷，远端感应出同种电荷 4．电荷守恒定律：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移过程中，电荷的总量保持不变。它是自然界的基本守恒定律之一。 5．接触起电的电量分配：两个完全相同的金属导体接触后，同种电荷把总电荷量平分；异种电荷先发生中和，剩余的电荷量再由两导体平分。 6．点电荷：当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布对相互作用力的影响可以忽略时，带电体可看成带电的点，叫点电荷。它是一种理想化的物理模型，与力学中的质点类似，点电荷自身不一定很小，所带电荷量也不一定很少。 重难诠释　①三种起电方式转移的都是电子（负电荷），带正电的原子核（质子）并不移动；失电子带正电、得电子带负电。②元电荷 e 是电荷量的“最小单位”，不是电子或质子；任何带电体的电荷量都一定是 e 的整数倍。③接触起电时，两个完全相同的金属球：同种电荷接触后各带总电量的一半；异种电荷先中和、再把剩余电量平分，务必先判断电性再加减。④感应起电中导体的总电荷保持守恒（原来中性则仍中性），只是近端异种、远端同种；若导体接地，远端电荷被导走，导体就带上与带电体异种的电荷。 考点二　库仑定律 1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 2．表达式：，其中 r 为两点电荷间的距离，k 为静电力常量，。 3．方向：库仑力的方向在两点电荷的连线上。同种电荷相互排斥，库仑力沿连线背离对方；异种电荷相互吸引，库仑力沿连线指向对方。 4．适用条件：①真空中（空气中近似适用）；②点电荷（静止）。对一个均匀带电的球体（或球壳），在球外可以把它看成电荷集中于球心的点电荷，r 取两球心之间的距离。 5．库仑力是矢量：当多个点电荷同时存在时，每个点电荷对另一个点电荷的作用力都遵循库仑定律，并且彼此独立、互不影响，某一点电荷受到的力等于各电荷对它作用力的矢量和，遵循平行四边形定则。 库仑力与万有引力的比较 比较项目 库仑力 万有引力 产生原因 点电荷之间的相互作用 物体质量之间的相互作用 公式 方向 既有吸引力，也有排斥力 只有吸引力 常量 共同点 都遵循“平方反比”规律，都是非接触力，在真空中都能发生，计算时都可把均匀球体等效为中心处的质点（点电荷） 同左 重难诠释　①库仑定律只适用于真空中的点电荷；均匀带电球（壳）在球外可用球心距、等效为球心处的点电荷，但在球内不能这样处理。②当两个点电荷的距离 r 趋近于零时，点电荷模型已经失效，不能再用 得出“库仑力趋于无穷大”的结论。③库仑力是矢量：多个点电荷作用时，先分别判断每个力是吸引还是排斥、定出方向，再用平行四边形定则合成。④库仑力与万有引力都遵循平方反比、都能在真空中作用，但库仑力有吸引有排斥、且远强于万有引力，宏观带电体之间的万有引力通常可以忽略。 考点三　电场强度与点电荷的电场 1．电场：电荷周围存在的一种特殊物质，电场的基本性质是对放入其中的电荷产生力的作用（静电力）。电场是客观存在的，不依赖于试探电荷。 2．电场强度：放入电场中某点的电荷所受的静电力 F 与它的电荷量 q 的比值，叫该点的电场强度，定义式为 。单位是牛/库（N/C），也等于伏/米（V/m）。 3．电场强度的方向：规定正电荷在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向；负电荷所受静电力的方向与电场强度方向相反。 4．定义式的物理意义： 是电场强度的定义式，适用于一切电场；电场强度由电场本身（场源电荷及该点位置）决定，与是否放入试探电荷、试探电荷的大小及正负都无关。 5．点电荷的电场：真空中场源电荷 Q 在距它 r 处产生的电场强度为 。正点电荷的电场强度沿径向向外，负点电荷的电场强度沿径向向内；离点电荷越远，场强越小。 6．匀强电场：电场中各点的电场强度大小相等、方向相同，这样的电场叫匀强电场（如平行金属板之间、忽略边缘效应时），其电场线是平行等距、方向一致的直线。 7．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，这叫电场强度叠加原理，遵循平行四边形定则。 重难诠释　①注意区分定义式与决定式： 是定义式，适用于一切电场，且 E 与 q 无关； 只适用于真空中点电荷的电场，E 由场源 Q 和距离 r 决定。②电场强度的方向只规定为“正电荷受力的方向”，与该处放入的试探电荷是正是负无关；负电荷受力方向与场强相反。③电场强度是矢量，多个点电荷的场强要矢量合成（先分解或作平行四边形），不能直接代数相加；等量同种正电荷连线的中点，两个场强等大反向、合场强为零。④电场中某点的场强由场源电荷与位置决定，与该处有无试探电荷无关。 考点四　求解电场强度的方法 1．叠加法：多个点电荷在空间某点产生的电场强度，等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。先分别求各点电荷在该点的场强（大小、方向），再用平行四边形定则合成。 2．对称法：利用电荷分布在空间上的对称性，使垂直于对称轴（面）的各分量成对抵消，只计算沿对称轴方向的分量，可使复杂电场的叠加大大简化。 3．补偿（挖补）法：对于有缺口的带电圆环（或挖去一部分的球壳、球面），先把它“补”成一个完整规则的带电体，求出完整带电体在该点的场强，再减去“补入”那部分电荷在该点产生的场强，即 E=E完整−E补入。 4．微元法：把连续带电体（均匀带电圆环、圆盘、直线）分割成无数个足够小的电荷元，把每个电荷元看成点电荷，先由库仑定律求出每个电荷元在该点的场强，再利用对称性和叠加原理对所有电荷元的场强求矢量和（积分）。 四种求解电场强度方法的比较 方法 核心思路 适用对象 典型模型 叠加法 各点电荷单独产生的场强，再矢量求和 两个或多个点电荷 直角顶点处、中点处的场强 对称法 利用对称性使垂直分量抵消，只算沿轴分量 电荷分布对称的带电体 圆盘、圆环轴线上的场强 补偿（挖补）法 先补成规则整体求场，再减去补入部分的场 有缺口、被挖去一部分的带电体 缺角圆环、挖去的半球面 微元法 分割为点电荷微元，逐个求场再矢量求和 连续带电体（线、环、面） 均匀带电圆环轴线、带电直导线 重难诠释　①对称法的关键是找对称轴：垂直于对称轴的分量成对抵消，只需计算沿对称轴的分量，圆环轴线上的场强就是典型例子。②补偿法是叠加原理的逆用：把“不完整”补成“完整”求场，再减去补入部分的场，注意补入部分的电性与场强方向。③微元法处理连续带电体：先分元、再按点电荷公式写每个元的场、最后矢量求和，沿轴分量保留、垂直分量抵消。④无论哪种方法，场强始终是矢量，必须先分清方向再合成，切忌直接做代数加减。 考点五　电场线、特殊电场分布与静电力作用下的平衡 1．电场线：为了形象描述电场，在电场中画出的曲线，使曲线上每一点的切线方向都与该点的电场强度方向一致，曲线的疏密表示电场强度的大小。电场线是假想的模型，并非电场中客观存在。 2．电场线的特点：①起始于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），不闭合；②任意两条电场线不相交（电场中任一点只有一个场强方向）；③电场线不表示电荷的运动轨迹，只有在特定条件下才可能与轨迹重合；④电场线越密处场强越大，越疏处场强越小。 等量异种点电荷的电场线 等量同种点电荷的电场线 等量异种、等量同种点电荷的电场比较 比较项目 等量异种点电荷 等量同种（正）点电荷 连线上的场强 沿连线方向，中点 O 处最小但不为零 沿连线向外，中点 O 处为零 中垂线上的场强 中点 O 处最大，由 O 向两侧逐渐减小 中点 O 处为零，由 O 向外先增大后减小 中垂线上场强方向 平行于连线，由正电荷指向负电荷 沿中垂线由中点 O 向外 关于 O 对称两点 场强等大、同向 场强等大、反向 3．电场线与运动轨迹（“拐弯”模型）：当带电粒子运动轨迹与电场线不重合时，合力（电场力）一定指向轨迹的凹侧。画“速度线”（轨迹切线方向）与“力线”（正电荷沿电场线方向、负电荷逆电场线方向，且指向轨迹凹侧），由两线夹角判断：力与速度夹角为锐角时粒子加速，钝角时减速。当电荷正负、电场方向、运动方向三者均未知时，要先用假设法逐一分析。 4．静电力作用下的平衡：库仑力本质上也是一种力，处理带电体的平衡问题时，先确定研究对象（整体法、隔离法），再做受力分析（注意库仑力），画出受力示意图，最后按平衡条件列方程。当几何三角形与力的矢量三角形相似时，用相似三角形对应边成比例列式。 5．三个自由点电荷的共线平衡：三个点电荷仅在彼此库仑力作用下保持平衡，规律为“两同夹异、两大夹小、近小远大”，即两边电荷同种、中间电荷异种；中间电荷的电荷量最小；电量较小的外侧电荷离中间电荷更近。若外侧电荷为 、，中间电荷为 ，则 。 重难诠释　①电场线不是电荷的运动轨迹：电荷做曲线运动时，电场力（合力）一定指向轨迹凹侧，正电荷受力沿电场线方向、负电荷逆电场线方向，速度沿轨迹切线；力与速度成锐角加速、成钝角减速。②等量异种点电荷的中垂线上场强方向都平行于连线（由正指向负）、中点最大；等量同种正电荷连线中点场强为零、中垂线上由中点向外先增大后减小，这是高频易错点，务必对照电场线图记忆。③三自由点电荷平衡“两同夹异、两大夹小、近小远大”，可据已知电性、电量快速判断未知电荷的电性和电量大小。④处理带电小球（重力、绳的拉力、库仑力）平衡，正交分解、整体法、隔离法都适用；几何三角形与力的三角形相似时，用比例式求解最简便。 考向1　电荷守恒、起电方式与接触起电的电量分配 一、单选题 1．（25-26高一下·舟山中学·阶段检测）如图所示，在干燥环境中将带正电的小球靠近一对带有绝缘支架的空心枕形导体A和B时，发现导体A和B下方的一对金属箔张开。以下说法正确的是（     ） A．静电平衡之前，A中的带正电的原子核向B移动 B．待静电平衡时B的电势高于A C．导体中的感应电荷分布在导体的外部，且导体A的带电量大于导体B的带电量 D．用导线连接A和地面，数秒后断开连接再移走C，A和B都带上负电 【答案】D 【详解】A．由于C带正电，静电平衡之前，B中的电子向A定向移动，A错误； B．待静电平衡时，导体是等势体，则B的电势等于A的电势，B错误； C．导体中的感应电荷分布在导体的外部，因整个导体的净电荷为零，可知导体A的带电量等于导体B的带电量，C错误； D．用导线连接A和地面，因导体的电势高于大地，大地中的负电荷移向导体，中和了B端的正电荷并使整体带负电， 断开导线后，A和B均带负电，移走C后电荷重新分布，A和B仍带负电，D正确。 故选D。 2．（25-26高一下·常州戚墅堰高级中学·期中）如图所示，用金属网把验电器罩起来，使带电金属球靠近验电器，发现验电器的箔片没有张开。下列说法正确的是（     ） A．A、B两处由于静电感应会带上同种电荷 B．箔片没有张开，是因为感应出的负电荷都集中在验电器的金属小球上 C．箔片没有张开，是因为金属网内部电场强度处处为零 D．若将金属网换成绝缘网，验电器金属箔片也不会张开 【答案】C 【详解】A．由于静电感应，A、B两处会分别带上正电荷和负电荷，即带上异种电荷，A错误； BC．因金属网能实现静电屏蔽，内部电场强度处处为零，验电器不受外电场影响，箔片不张开，B错误，C正确。 D．若将金属网换成绝缘网，外部电场不会被屏蔽，受静电感应的影响，验电器金属箔片会张开，D错误。 故选C。 3．（25-26高一下·贵州黔西·期中）如图，将悬在绝缘细线上带正电的小球A放在不带电的金属空心球壳B内（与内壁不接触），现在该区域加一场强为，方向水平向右的匀强电场，达到静电平衡时，下列判断正确的是（     ） A．B的右端带负电，A向右偏 B．B的左端带负电，A向左偏 C．B的右端带正电，A不偏左也不偏右 D．B的右端带负电，A不偏左也不偏右 【答案】C 【详解】导体空腔处于外电场中时，由于静电感应的作用，导体球壳的左端将感应出负电荷，右端将感应出正电荷，而导体空腔内部完全不受外加电场的影响，故A不会偏转。 故选C。 4．（25-26高一下·山东肥城·期中）如图，在真空中把一绝缘导体向带负电的小球P缓缓靠近（不相碰）。下列说法中正确的是（     ） A．绝缘导体A端带负电 B．绝缘导体A端的感应电荷比B端多 C．导体内M点场强越来越大 D．导体的感应电荷在导体内M点产生的场强大于在N点产生的场强 【答案】D 【详解】A．根据静电感应可知导体内的自由电子受到排斥力向端移动，导致端失去电子带正电，故A错误； B．导体原本不带电，根据电荷守恒定律可得绝缘导体A端的感应电荷和B端一样多，故B错误； C．导体处于静电平衡状态，内部场强处处为零，可得导体内M点场强为零，故C错误； D．导体处于静电平衡状态，内部任意一点的合场强为零，N点场强也为零。感应电荷产生的场强和带电小球产生的场强等大、反向、共线，由于带电小球在M点产生的场强大于在N点产生的场强，故感应电荷在M点产生的场强也大于在N点产生的场强，故D正确。 故选D。 5．（25-26高一下·江苏徐州铜山·期中）如图所示，带电金属球Q右侧有一电荷量极小的试探电荷，受到的电场力为。由于环境温度降低，Q收缩至虚线所示位置（所带电荷量不变），受到的电场力变为。随后，再用金属丝网将罩住，受到的电场力变为。则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】带电金属球由于静电平衡，电荷只分布在外表面，对球外某点的电场，一个均匀带电的球体（或球壳）产生的电场，等效于把所有电荷集中在球心处产生的电场，电荷量Q不变，球心位置不变试探电荷位置也不变，因此点电荷到球心的距离不变，根据库仑定律可知 金属丝网相当于一个法拉第笼，具有静电屏蔽作用，金属网内部电场强度为零。试探电荷在金属网内部，不再受到外部金属球Q的电场力作用，因此 综上 故选A。 考向2　库仑定律的理解与库仑力作用下的平衡问题 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽池州·期中）A、B两个完全相同的金属小球用绝缘支架固定，初始时A球带电量为，B球带电荷量为。将两球放在相距为（远大于小球半径）的位置，测得此时两球之间的库仑力大小为。现保持A球不动，将B球移去接触A球后放回原处，则此时两球之间的库仑力大小变为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据库仑定律，初始状态两球的库仑力大小为 完全相同的金属球接触时，异种电荷先中和再平均分配，总电荷量为 因此接触后每个球的带电量为 放回原处后新的库仑力大小为 可得两球之间的库仑力大小变为 故选A。 2．（25-26高二上·安徽池州·期中）用绝缘细线悬挂两个大小相同的小球，它们带有同种电荷，质量分别为m1和m2，带电量分别为q1和q2，因静电力而使两悬线张开，分别与竖直方向成夹角和，且两球静止时同处一水平线上，若，则下述结论正确的是（     ） A．q1一定等于q2 B．一定满足 C．m1一定等于m2 D．必然同时满足q1=q2，m1=m2 【答案】C 【详解】A．题中电荷电量可能不同，也可能相同，但各自所受的电场力大小却相同，方向相反，故A错误； BCD．根据共点力平衡条件可得， 联立，解得 由于，则有，故C正确，BD错误。 故选C。 3．（25-26高二上·安徽池州·期中）一个点电荷围绕另一个固定点电荷运动时，若只考虑静电力，则运动点电荷的运动规律满足天体运动中的开普勒定律。如图所示，电荷量为的点电荷固定在O点，电荷量为、质量为m的点电荷P绕O点沿椭圆轨道运动，轨道长轴两端点a、b到O的距离分别为r、3r。不计电荷的重力，静电力常量为k，则点电荷P的运动周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆轨道半长轴为，由长轴两端点到的距离分别为和，知 对于库仑引力，类比万有引力中的开普勒第三定律。若取半径为的圆轨道，库仑力提供向心力 解得 推广到椭圆轨道，上式同样成立（换为半长轴） 代入， 得 故选A。 二、多选题 4．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，水平天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一个正点电荷，不带电的小球a，带正电的小球b分别与跨过定滑轮的绝缘轻绳两端相连。开始时系统在图示位置静止，已知。在b球所带的电荷量缓慢减小为零之前，下列说法正确的是（     ） A．a球的质量小于b球的质量 B．a球的质量大于b球的质量 C．此过程中点电荷对b球的库仑力增大 D．此过程中点电荷对b球的库仑力减小 【答案】AD 【详解】AB．设绳的拉力和库仑力大小分别为，。小球处于平衡状态，故 小球受绳拉力、重力和库仑力而平衡，其力三角形与相似，故 由上式和 整理得 已知，故，故A正确，B错误； CD．电荷量缓慢变化时，系统可看作始终处于平衡状态。由知，不变时不变。 由库仑定律，点电荷对小球的库仑力满足 与上述平衡关系联立得 因缓慢减小而右端保持不变，随之减小。 由，可知随减小而减小，故C错误，D正确。 故选AD。 5．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，绝缘水平地面上固定有一带正电小球A，小球A正上方有一个轻小光滑定滑轮（忽略大小），绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个相同的带电小球B。已知两小球的质量均为m，电荷量均为q，重力加速度大小为g，静电力常量为k，两小球均可视为点电荷，拉力时，小球B对地面恰好无压力。然后继续缓慢拉动细线使小球B缓慢移动到定滑轮的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球B对地面恰好无压力时两小球间的距离为 B．小球B被拉动后，受到小球A的库仑力大小先变大再逐渐减小 C．小球B被拉动后，电场力对小球B先不做功后做正功 D．小球B恰好被拉到小球A正上方的过程中，拉力对小球B做的功为 【答案】AC 【详解】A．设小球A到定滑轮的距离为H，A、B间的距离为L，小球B恰好离开地面时，静电力为 由平衡可知 解得，故A正确； BC．小球B被拉动后，一直处于平衡状态，其受力如图 设小球A、B之间的距离为，A球到滑轮的距离为H，根据相似三角形的关系 而库仑力为 可知B球移动到A球正上方过程中： ①两球之间的距离保持不变，小球B受到小球A的库仑力大小不变，库仑力对小球B不做功； ②从A球正上方到移动定滑轮的过程中，库仑力做正功，且库仑力逐渐减小，故全过程B受到小球A的库仑力大小先不变再逐渐减小，电场力对小球B先不做功后做正功，故B错误，C正确； D．由上可知，拉力对小球B做的功等于小球B重力势能的增加量，则有，故D错误。 故选AC。 三、解答题 6．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，把一电荷量为的小球A用绝缘细绳悬挂起来，若将电荷量为，带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距时，绳与竖直方向夹角，取，，且A、B两小球均可看成点电荷，求： (1)A、B两球间的库仑力大小； (2)A球的质量； (3)求B球在图中A处产生的电场强度的大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，水平向右 【详解】（1）根据库仑定律 代入数据解得A、B两球间的库仑力大小为 （2）对A球受力分析，根据平衡条件可得 解得A球的质量 （3）由点电荷电场强度公式 解得 B球带正电，电场方向从B指向外侧，因此B球在A处的电场方向水平向右。 7．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，A、B两点固定有电量相等且带正电的小球，两小球到其连线中点O的距离均为。现用两根长度均为的绝缘细线由A、B两点系一带电小球C，静止时，细线张力恰好为零，已知小球C的质量，电量，重力加速度，静电力常量，不计空气阻力。 (1)求小球C所处位置的电场强度大小； (2)求A、B处小球的电荷量Q； (3)若给小球C一初速度，使小球C恰能在竖直面内做圆周运动，求小球经过最低点时细线的拉力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球C所处位置的电场强度大小为E，根据小球C静止时，细线张力恰好为零，对小球C受力分析可知 解得 （2）因A、B两点固定有电量相等且带正电的小球，则两个点电荷在小球C所处位置产生的电场强度的大小相等，设一个带正电小球在C所处位置产生的电场强度的大小为，AC与AB连线的夹角为α，由已知条件可知 根据电场的叠加原理可知小球C所处位置的电场强度 解得 根据点电荷电场强度公式 解得 （3）若给小球C一初速度，使小球C恰能在竖直面内做圆周运动，则当小球C到达最高点时，细线张力为零，由对称性可知最高点和最低点的电场强度大小相等、方向相反，根据牛顿第二定律得， 解得 小球C从最高点运动到最低点的过程中，通过分析可知，只有重力做功，根据动能定理得 设小球C在最低点时细线的张力为F，根据牛顿第二定律得 解得 8．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，球心为、半径为的光滑绝缘半球形容器固定在水平面上，、两个完全相同的金属球带有同种电荷，两金属球的质量均为，球带电量为球带电量的4倍，将A球固定在容器最低点，B球在容器内壁某处处于静止状态，且与圆心的连线与竖直方向的夹角为，两球均可视为质点，重力加速度为，静电力常量为，求： (1)容器内壁对B球的支持力大小； (2)B球的带电量； (3)将B球与A球接触一下后再放回原处求此时A球与B球间库仑力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球B受力如图： 由题目所给条件知三个力互成，由平衡条件可得 （2）由平衡条件及库仑定律得 解得 （3）B球与A球接触一下再分开后，两球带电量均为，放回原处后由库仑定律得此时库仑力为 考向3　三个自由点电荷的平衡与相似三角形法 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c（均视为点电荷），沿同一直线以相同速度v匀速运动，则下列说法正确的是（     ） A．若c与b互换位置，三个带电小球依旧能保持平衡 B．a对b的静电力可能是斥力 C．a的电荷量比b的电荷量大 D．若给a施加一个水平恒力，则三个球能一起运动且相互间的距离保持不变 【答案】C 【详解】A．三个带电小球沿同一直线以相同速度v匀速运动，说明受力平衡，根据库仑力分析可知a、c小球代同种电荷，b球与a、c小球带异种电荷，若c与b互换位置，根据库仑力分析可知，三个带电小球无法保持平衡，只有符合“两同夹异”才能保持平衡状态，故A错误； B．只有符合两同夹异才能保持平衡状态，所以a对b的静电力一定是吸引力，故B错误； C．根据受到的库仑力特点分析可知，只有电荷量“两大夹小”才能保持平衡状态，所以a的电荷量比b的电荷量大，故C正确； D．假设给a施加一个向右的恒力后，三个球能向右运动且相互间的距离保持不变，以三个小球组成的系统为研究对象可得，三个球的加速度方向向右，以小球c为研究对象可得，小球c的受力不变，加速度为0，所以假设相矛盾，故D错误。 故选C。 2．（25-26高二上·乌海十中·期中）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球（可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下静止，以下判断正确的是（   ） A．间的静电力可能是斥力 B．间的静电力可能是引力 C．a的电荷量一定比b的电荷量多 D．a的电荷量一定与c的电荷量相等 【答案】C 【详解】ABC．三个带电小球在同一直线上仅在它们之间静电力的作用下处于静止，根据库仑定律，可知三个带电小球a、b、c满足电性“两同夹一异”，电荷量“两大夹一小”的规律，故判断得a、b间的静电力一定为引力，a的电荷量一定比b多，故AB错误，C正确； D．b电荷平衡，，因，所以，即a的电荷量一定小于c的电荷量相等，故D错误。 故选 C。 3．（2027·贵州黔南·摸底）竖直放置的绝缘轻质弹簧一端固定于水平地面上，另一端连接带电小球A，在A球正上方有一用绝缘细线悬挂在空中的带电小球B，带电小球C恰好静止在A、B的正中间，如图所示。已知三个小球质量均为m，带电荷量绝对值相同且均可视为点电荷。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，则细线对小球B的拉力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】C静止在A、B正中间，设A与C的距离为r，则B与C的距离也为r。三个小球电荷量绝对值相同，根据库仑定律 A、C间库仑力大小与B、C间库仑力大小相等，记为。 C受向下的重力，要保持平衡，A、B对C的库仑力必须均为向上，因此AC同种且与B异种。 因此平衡条件为： 解得 A、B间距为，A、B异种电荷相互吸引，库仑力大小为： B受力平衡： 故选C。 4．（25-26高二上·渭南三贤中学·月考）如图所示，用两根等长的轻质绝缘细线把两个可视为点电荷的小球A、B悬挂在O点。两小球静止时，细线与竖直方向的夹角分别为α和，两小球的质量分别为和，电荷量绝对值分别为和。已知α等于，则（　　） A． 一定大于 B． 一定小于 C． 可能等于 D． 一定等于 【答案】D 【详解】CD．对两球受力分析，如图所示 根据共点力平衡和几何关系可得， 由于 已知α等于β，则 则有 即，故C错误，D正确； AB．两球间的库仑力是作用力与反作用力，一定相等，与两个球带电量的多少无关，不能确定电荷的多少，故AB错误。 故选D。 二、多选题 5．（25-26高二上·威宁八中·期中）如图所示，带电荷量为的球1固定在倾角为、光滑绝缘斜面上的点，其正上方处固定一电荷量为的球2，斜面上距点处的点有质量为的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。当迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。为重力加速度，球的大小可忽略，下列说法正确的是（　　） A．球3运动至点的速度大小为，该过程球2对球3做功不为零 B．在点时，球1和3之间的力大于球2和3之间的力，且球3带正电 C．球3运动至中点时对斜面的压力大小为，此时球2对球3的作用力为 D．球3运动至点时弹簧的弹力为 【答案】BD 【详解】B．由题意可知三小球构成一个等边三角形，球1和3之间的力大于球2和3之间的力，弹簧处于压缩状态，故球1和3一定是斥力，球1带正电，则球3带正电，故B正确； A．球3运动至点时，弹簧的伸长量等于，根据对称性可知，球2对小球3做功为0，弹簧弹力做功为0，则根据动能定理有 解得，故A错误； D．球3在点时，设小球3的电荷量为，有 设弹簧的弹力为，根据受力平衡，沿斜面方向有 解得 小球运动至点时，弹簧的伸长量等于，根据对称性可知，此时弹簧的弹力大小仍为，所以D正确； C．当小球3运动至中点时，弹簧弹力为0，此时小球2对小球3的力为 斜面对小球的支持力为 根据牛顿第三定律可知，小球3对斜面的压力大小为，C错误。 故选BD。 三、解答题 6．（25-26高一下·武汉·期末）如图所示，用两根不可伸长的绝缘细线将A、B两带电小球悬挂于O点，电荷量分别为+9q、+q（电量为已知量），质量分别记为m1和m2（ 质量未知）静止时A、B两球处于同一水平线上，其中O点到B球的距离OB=L，∠AOB=90°，∠OAB=30°，带电小球均可视为点电荷，静电力常量为k。求： (1)A、B间的库仑力大小； (2)A、B两球的质量m1和m2之比； (3)O点的电场强度。 【答案】(1) (2)1:3 (3)，方向与AO连线成角，满足 【详解】（1）由几何关系可知，、间距为 根据库仑定律，、之间的库仑力大小为 （2）对、受力分析如图所示： 对球有 对球有 解得 （3）两个带电小球、在点产生的电场强度大小分别为， O点的电场强度大小为 方向与AO连线成角，满足 考向4　库仑力作用下带电体的加速运动 一、单选题 1．如图所示，相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q。在它们的中垂线上的C点，由静止释放一电荷量为q、质量为m的正试探电荷（不计重力）。静电力常量为k，则试探电荷运动过程中的最大加速度为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【详解】设中点为，在点上方处，则 每个点电荷对试探电荷的库仑力大小为 两力的竖直分量相同，水平分量抵消，故合力沿竖直方向，大小为 加速度 令，求其最大值。求导 令，得。此时 因此最大加速度 故选A。 2．（25-26高三上·济南·期中）如图所示，在光滑的绝缘水平面上，有两个质量相等、相距为、带电荷量分别为和的小球甲、乙，在水平恒力作用下做匀加速直线运动。若甲、乙两球的质量分别为和，带有异种电荷，现在甲球上施加水平向右大小为的作用力后，当两小球保持相对静止时，两小球间的距离为；若改用方向水平向左大小为的力作用在乙上后，两小球仍能保持相对静止时，则两小球间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当方向水平向右、大小为的力作用在甲上，甲、乙间的距离为r时，有， 若改用方向水平向左大小为的力作用在乙上后，设两小球间的距离保持为，并相对静止时有， 联立可得 故选D。 二、多选题 3．（26-27高三上·海南中学·学情自测）如图所示，带电荷量为的正点电荷固定在倾角为的光滑绝缘斜面底端点，斜面上有、、三点，和相距为，为的中点，为的中点。现将一带电小球从点由静止释放，当带电小球运动到点时速度恰好为零。已知重力加速度为，带电小球在点处的加速度大小为，静电力常量为。则下列说法中正确的是（　　） A．小球从到的过程中，速度最大的位置在之间 B．小球运动到点时的加速度大小为 C．之间的电势差大于之间的电势差 D．之间的电势差 【答案】BC 【详解】A．由题意可知，小球带正电，设小球在点受到的电场力为，由牛顿第二定律可得 解得 由库仑定律可知小球在点受到的电场力 小球在点受到的电场力 可知小球在点时受的合力方向向下，则加速度不等于零，且方向向下，故合力为0的位置在之间，即速度最大的位置在之间，A错误； B．小球在B点受到的电场力 由牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 B正确； C．点电荷产生的电场是非匀强电场，由点电荷的电场特点可知，之间的电场强度大于之间的电场强度， 则有之间的电势差大于之间的电势差，C正确； D．从点到点由动能定理可得 解得 D错误； 故选BC。 三、解答题 4．如图所示，A、B两个带电小球放置于绝缘且光滑的水平面上，A球电量为，B球电量为，两球质量相等，均视为点电荷。初始时A球固定，B球在水平拉力F的作用下静止，此时A、B两球间距离为。现调整B球位置使两球相距，且对B球施加与原来相同的拉力F，同时解除对A球的固定，A、B两球保持相对静止共同做加速运动。已知静电力常量为k，求： (1)拉力F的大小； (2)两球的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）初始时A固定，B静止，受力平衡，则有 （2）设每个小球质量为m，A、B共同加速的加速度为a，对A、B整体，由牛顿第二定律有 对A隔离分析，根据牛顿第二定律有 解得 考向5　电场强度的理解与叠加法求场强 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏连云港·期中）如图甲所示，水平面上、为两个固定点电荷，其中带正电，它们连线的延长线上有a、b两点。一带正电的试探电荷以一定的初速度沿直线从b点开始经a点向远处运动，其速度图像如图乙所示。则下列说法正确的是（     ） A．带正电 B．b点电场强度方向水平向左 C．在、之间放置一个点电荷，该点电荷可能处于平衡状态 D．该试探电荷经过足够长时间最终还会回到b点 【答案】B 【详解】A．由图像可知，试探电荷从向远处运动的过程中，速度先减小后增大，在点速度最小，加速度为零，即点合场强为零。带正电，在点产生的场强方向向右，要使点合场强为零，在点产生的场强方向必须向左，故带负电，故A错误。 B．试探电荷带正电，从点向点运动过程中速度减小，说明受到的电场力方向向左，故点电场强度方向水平向左，故B正确。 C．带正电，带负电，在、之间，产生的场强向右，产生的场强也向右，合场强不可能为零，故放置的点电荷不可能处于平衡状态，故C错误。 D．由图像可知，试探电荷最终速度趋于一个大于零的定值，说明它将一直向远处运动，不会回到点，故D错误。 故选B。 2．（26-27高三上·贵州师大附中·入学考试）如图所示，等边三角形的三个顶点、、上分别固定一点电荷，点电荷的带电荷量分别为、、，已知、、分别为、、的中点，为三角形的中心，下列说法正确的是（     ） A．电子在点的电势能大于在点的 B．点和点的电场强度大小相同 C．从点到点，电势先减小后增大 D．正试探电荷沿直线从点运动到点，静电力先做负功后做正功 【答案】A 【详解】A．M、N点离B点相等，则在+2q形成的电场中，M、N点电势相等，M点离A点的-q更近，N点离+q更近，则N点电势更高，因此电势关系为 电子电势能满足，电势越低电子电势能越大，因此电子在M点的电势能大于在N点的电势能，故A正确； B．设三角形边长为L，A、B处电荷在M点的场强为，方向从B指向A； B、C处电荷在N点的场强为，方向从B指向C； C点+q在M点的场强和A点-q在N点的场强大小相等，且分别与、垂直。由于，之后合成由勾股定理计算点和点的电场强度大小不相同，故B错误； C．A(-q)和C(+q)是等量异种电荷，其连线AC的中垂线是等势线，则电势变化由B(+2q)决定，故从P到O的路径上，靠近正电荷B的过程中，电势一直增大，故C错误； D．O点到N点的路径整体靠近正电荷B(+2q)、C(+q)，电势持续升高，正试探电荷电势能持续增大，静电力全程做负功，故D错误。 故选A。 3．（25-26高二上·凤台龙潭高级中学·期末）在场强大小为2E的匀强电场中，A、B、C三个点构成等边三角形。在 B、C两点各放一个等量的正点电荷，A点的场强刚好为零。则B点电荷单独形成的电场在A点的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据点电荷的场强公式，可知B、C处所放正电荷在A处的场强大小相等且设为E0，两场强方向夹角为60°，两电荷的合场强 方向竖直向上，由于A点的场强刚好为零，故 可得 故选B。 二、多选题 4．（26-27高三上·湖南邵阳·第一次学情检测）如图，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为2q、4q、6q、8q、10q的正点电荷，且电荷量为6q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度（　　） A．方向沿x轴负方向 B．方向与x轴负方向成18°夹角斜向下 C．大小为 D．大小为 【答案】ACD 【详解】AB．若五个顶点都放置电荷量为的负点电荷，根据对称性，五个等量负电荷在O点的合场强为0。因此原电荷分布可等效为：在五个顶点都补上（合场强抵消为0）后，剩余的电荷为，如图所示 可以看成是两组等量异种电荷的合场强，因为O点在两组等量异种电荷的中垂线上，合场强方向沿x轴负方向，合场强方向也沿x轴负方向，则O点处的电场强度沿x轴负方向，故A正确，B错误； CD．位置和O点连线与y轴负方向夹角为，则它们在O点合场强为 位置和O点连线与y轴正方向夹角为，则它们在O点合场强为 则O点处的电场强度大小为 由数学三角函数变换可得，故CD正确； 故选ACD。 5．（2026·海南·高考）如图，、、、是圆心为的圆周的四等分点，、分别为、的中点。在、分别固定一正点电荷，在、分别固定一负点电荷，则（     ） A．O点的电场强度为0 B．O点与点的电场强度大小相等 C．O点的电势比点的低 D．、两点的电势相等 【答案】AD 【详解】A．根据题意，由点电荷场强公式，由对称性可知，、固定的点电荷在O点产生的电场等大反向，、固定的点电荷在O点产生的电场等大反向，则O点的电场强度为0，故A正确； B．根据题意，由点电荷场强公式可知，各点电荷在点产生的电场，如图所示 由几何关系可得，点的电场强度大小为 则O点与点的电场强度大小不相等，故B错误； CD．根据题意，如图所示 由几何关系可知，过的直线是、固定的等量异种点电荷的中垂线，也是、固定的等量异种点电荷的中垂线，则是一条等势线，同理，过的直线是、固定的等量异种点电荷的中垂线，也是、固定的等量异种点电荷的中垂线，则是一条等势线，则、、三点的电势相等，故C错误，D正确。 故选AD。 考向6　对称法、补偿法、微元法求电场强度 一、单选题 1．（26-27高三上·安徽怀宁新安中学·开学）如图，半径为的金属球原来不带电，现将一个电荷量为、带正电的点电荷放在球心右侧处，、为球上两点，且、、、在同一直线上。已知静电力常量为，当金属球达到静电平衡时，下列说法正确的是（     ） A．点带负电荷 B．点的电势等于点的电势 C．点的电场强度大小为 D．感应电荷在点产生的电场强度大小为 【答案】B 【详解】A．根据静电感应原理，带正电的点电荷会吸引金属球内的自由电子向靠近它的端移动，导致端积聚负电荷，而端因失去电子而带正电荷，故A错误； B．当金属球达到静电平衡时，整个导体是一个等势体，其表面是一个等势面，因此球面上点的电势等于点的电势，即，故B正确； C．处于静电平衡状态的导体内部电场强度处处为零，所以点的合电场强度大小为，故C错误； D．点的合电场强度为零，即点电荷在点产生的电场强度与感应电荷在点产生的电场强度大小相等、方向相反。点电荷在点产生的场强大小为 所以感应电荷在点产生的电场强度大小也为，故D错误。 故选B。 2．（25-26高一下·北京师大附中·期末）如图，a、b、c、d、e、f是以O为球心的球面上的点，平面aecf与平面bedf垂直，分别在b、d两点放上等量异种点电荷，下列说法正确的是（     ） A．a、c、e、f四点电势不同 B．a、c、e、f四点电场强度相同 C．若电子沿直线运动，该过程中电子受到的电场力大小不变 D．若电子沿圆弧运动，该过程中电子的电势能增大 【答案】B 【详解】A．在等量异种电荷连线的中垂面上，任一点到两电荷的距离相等，电势叠加为 故，，，四点电势相同，故A错误； B．，，，四点均在球面与两电荷连线的中垂面上，到两电荷的距离及夹角关系均相同；两电荷在各点产生的电场强度叠加后方向均由指向，大小相同，故B正确； C．设球面半径为。在点，两电荷产生的电场强度方向相同，由点电荷场强公式和叠加原理得 在点，两电荷到该点的距离均为，垂直于方向的分量相互抵消，沿方向的分量相加，故 可见由点经点到点的过程中电场强度大小发生变化，故C错误； D．电子电势能满足。电子沿圆弧运动时始终位于中垂面，电势为零，电势能不变，故D错误。 故选B。 3．（25-26高二下·南海罗村高级中学·期中）半径为R的绝缘薄球壳固定，球心为O，球壳上均匀分布着电荷量为Q的正电荷（已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零）。A、B为过球心大圆截面上的两点，，取走B处极小的、面积为面上的电荷。现将一点电荷q置于OA延长线上距O点为2R的C点，A、C点位于O点同侧，若O点此时电场强度方向刚好沿的角平分线指向球面。（球面上剩余电荷分布不变，忽略点电荷q对球壳上电荷分布的影响），则q为（     ） A．正电荷， B．负电荷， C．正电荷， D．负电荷， 【答案】D 【详解】球壳面电荷密度为 处面积为的小面元带电荷量 完整均匀带电球壳在点的电场强度为零。处小面元在点产生的电场强度大小为 方向沿方向，故取走该小面元后，剩余球壳在点产生的电场强度大小仍为，方向沿方向。要使点合电场强度沿的角平分线指向球面，点电荷在点产生的电场强度必须沿方向，故为负电荷。由于沿、方向的两个电场强度夹角为，合电场强度沿其角平分线，故二者大小相等。由 解得 故选D。 4．（26-27高二上·衡阳八中·开学考试）如图所示，一个绝缘半圆环上均匀分布有同种电荷，固定在绝缘水平面上，其在圆弧圆心处产生的电场强度大小为E。现自A点起截去左侧连续的圆弧，则剩余部分在圆心处的电场强度大小是（     ） A．E B．E C．E D．E 【答案】C 【详解】如图1所示，可把半圆弧等分为AC、CD、DB三份，在O处激发场强分别为、、，三个场强大小相等，设为，根据对称性，方向垂直AB向下，、与方向的夹角均为60°。图1中合场强是、、的矢量合，可知 图2中合场强是、的矢量合，、夹角为，根据矢量的合成可知 故选C。 5．（26-27高二上·唐县一中·开学）如图所示，ABC为半径为R的半球壳，ABC整个球壳上均匀分布有正电荷，总电荷量为，O为圆心，M、B、O、N在同一直线上，且，球壳上电荷在M点处的电场强度为E，则下列判断正确的是（　　） A．N点处电场强度大小为 ，指向ON方向 B．N点处电场强度大小为 ，指向ON方向 C．N点的电场强度大小为，指向NO方向 D．N点处的电场强度大小为 ，指向ON方向 【答案】B 【详解】补全一个与原半球壳对称的右半球壳，构成半径为、总电荷量为的均匀带电完整球壳。由均匀带电球壳外部的电场等效于球心处点电荷产生的电场，完整球壳在点的电场大小为 方向沿方向。补全前后的球壳及点电场方向如图所示。 由对称性可知，补全的右半球壳在点产生的电场大小等于原左半球壳在点产生的电场大小，即，方向沿方向。由电场强度的叠加法则有 整理得 方向沿方向。 故选B。 6．（25-26高一下·上高二中·期末）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面上均匀分布负电荷，总电荷量为q。球半径为R，球心为，为球面的对称轴，在轴线上有两点，且，。已知球面在M点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则N点的电场强度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，绝缘球的左侧面为球面，右侧面为球面，则中间部分与构成的带电区域也占球面。 题目已知球面上均匀分布正电荷，总电荷量为。由于其由两个形状相同的球面构成且电荷均匀分布，因此左侧球面与中间球面各带电荷量为 已知带电量为的球面在点产生的电场强度大小为，根据正电荷电场分布特性，其方向水平向左。 由空间对称性可知，若右 球面也带电荷，其在对称点点产生的电场强度大小同样为，方向水平向右。 假设整个球面均匀分布着面密度相同的正电荷，则整个球面的总电荷量为 均匀带电球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。因此，该完整均匀带电球壳在点（距球心距离为）产生的电场强度为，方向水平向右。 根据电场叠加原理，完整球壳在点的电场等于左侧球面、中间球面以及右侧带电荷的球面在点产生电场的矢量和。因此，左侧和中间的球面在点产生的合电场强度为，方向水平向右。 实际情况中，右侧球面上均匀分布负电荷，总电荷量为。该电荷量是的-2倍，故实际的右侧球面 在 点产生的电场强度大小为，方向水平向左。 规定水平向右为正方向，则点的实际总电场强度为 球面与实际的右侧球面在处产生电场的矢量和，即 所以点电场强度的大小为 故选A。 7．（26-27高二上·浙江名校协作体·开学）如图甲所示，半径为且位置固定的细圆环上，均匀分布着总电荷量为的电荷，点为圆环的圆心，轴通过点且垂直于环面，点在轴上，它与点的距离为。轴上电势的分布图如图乙所示，现有一电量为，质量为的试探电荷从处静止释放。已知真空中点电荷产生的电场中某点的电势表达式为，为电荷到该点的距离，静电力常量为k。则（　　） A．沿正方向电场强度一直减小 B．轴上点的电势为 C．轴上点的电场强度为 D．点电荷到达点时速度为 【答案】D 【详解】A．图像斜率的绝对值表示电场强度的大小，由图乙可知，沿正方向电场强度先增大后减小。故A错误； B．将均匀带电圆环分成若干小线段，每个线段看成点电荷，则每个点电荷在x轴上P点的电势为 所有小线段的点电荷在x轴上P点的电势加起来为。故B错误； C．设P点与圆环上某一点的连线与x轴的夹角为，则， 根据电场叠加可得圆环在轴上点的电场强度为，故C错误； D．点电荷释放点的电势 释放点到P点，由动能定理得 解得点时速度为。故D正确。 故选D。 8．如图所示，一半径为R的圆环上，均匀地分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面、过其环心的轴上有一点P，它与环心O的距离为l。静电力常量为k，则P点的电场强度E的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将圆环等分为n小段，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，每一小段所带电荷量为 由点电荷电场强度公式可求得每一小段（如图）在P处的电场强度 由对称性可知，各小段在P处的电场强度垂直于轴向的分量相互抵消，而轴向分量之和即为带电圆环在P处的电场强度E，故，又 联立可得 故选D。 二、多选题 9．（2027·广东佛山·一模）在大气静电研究与雷电防护的物理建模中，可将近地面局部雷云聚集的正电荷区域近似等效为一个孤立的正点电荷。如图所示，以等效正点电荷的位置为球心，绘制两个半径不同的同心球面1、2。其中a点位于球面1上，b点、c点位于球面2上。下列说法正确的是（     ） A．b点场强与c点场强相同 B．同一电荷在a点受电场力比b点大 C．正电荷从a点移到b点电势能增加 D．b点与c点电势相等 【答案】BD 【详解】孤立正点电荷产生的电场中，以点电荷为球心的同一球面上各点电场强度大小相等、方向均沿半径向外，等势面是以点电荷为球心的球面。 A．b、c两点位于同一球面2上，电场强度大小相等，但方向不同，电场强度是矢量，故b、c两点电场强度不相同，故A错误； B．由可知，a点所在球面1的半径小于b点所在球面2的半径，a点离场源电荷更近，电场强度更大，由可知同一电荷在a点受到的电场力比在b点大，故B正确； C．正电荷从a点移到b点，即沿电场线方向由近及远移动，电场力做正功，电势能减小，故C错误； D．b、c两点位于同一等势面上，电势相等，故D正确。 故选BD。 10．（高一·下·期末）如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，所带电荷量为，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球（大小不计），小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O的距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AB．对小球，根据平衡条件可知 解得，故A正确，B错误； CD．由于圆环不能看作点电荷，我们取圆环上很小一部分，圆环总电荷量为Q，则该部分电荷量为，该部分电荷在小球处产生的电场强度大小为 方向沿该点与小球的连线指向小球；同理取与圆心对称的相同的一段，其电场强度与大小相等，如图所示 则合电场强度为 方向沿圆心与小球的连线向左；因圆环上各点均在小球处产生电场，则合电场强度大小为，故C错误，D正确。 故选AD。 考向7　电场线、特殊电场分布与“电场线＋轨迹”模型 一、单选题 1．（2027·海南海口·一模）如图实线为某区域内的电场线分布，虚线为一电子的运动轨迹。电子仅在电场力的作用下从点运动到点过程，则（　　） A．点的电势比点的高 B．点的电场强度比点的大 C．电子的动能减少 D．电子的电势能减少 【答案】D 【详解】A．沿电场线方向电势逐渐降低，从图中电场线的指向可知，点电势高于点，故A错误； B．电场线的疏密程度表示电场强度大小，由图可见点电场线比点更密集，因此点电场强度大于点，故B错误； CD．电子的运动轨迹向受力一侧弯曲，可判断电子所受电场力方向与电场线指向相反，电子从点运动到点过程中，电场力方向与速度方向（轨迹切线方向）的夹角小于，电场力做正功，因此电子的动能增大，电势能减少，故C错误，D正确。 故选D。 2．（25-26高一下·西安第八十九中学·期末）将一不带电的金属球放置在电场中形成如实线所示的电场线（未画方向），一带正电的粒子仅在电场力的作用下自向运动的轨迹如虚线所示，忽略粒子对电场的影响，则下列说法正确的是（     ） A．金属球内部电场强度处处为0 B．电场线是客观存在，金属球对电场线有力的作用 C．粒子自向运动过程中受到的电场力方向不变 D．该粒子在点的电势能小于在点的电势能 【答案】A 【详解】A．金属球处于静电平衡状态，金属内部自由电荷不再发生定向移动，因此金属球内部各处电场强度均为，故A正确； B．电场是客观存在的，而电场线是为了形象描述电场而人为引入的假想曲线，并非客观存在的实体，因此金属球不会对“电场线”产生力的作用，故B错误； C．带正电粒子仅受电场力作用，该电场为非匀强电场，不同位置电场强度方向不同，由可知粒子所受电场力方向发生改变，故C错误； D．由粒子从向运动时轨迹的弯曲方向可知，粒子所受电场力总体指向左侧，因粒子带正电，故电场方向也指向左侧。沿电场方向电势降低，因此，正电荷的电势能满足 所以，故D错误。 故选A。 3．（25-26高一下·舟山中学·开门考）如图所示，真空中两个等量异种点电荷分别固定在A、B两点，M、N是A、B连线上关于连线中点O对称的两点。关于M、N两点的电场强度，下列说法正确的是（     ） A．M、N两点场强大小相同，方向不同 B．M、N两点场强大小相同，方向相同 C．M、N两点场强大小不同，方向相同 D．M、N两点场强大小和方向都不相同 【答案】B 【详解】根据等量异种点电荷电场分布的对称性，、两点关于连线中点对称，两处电场线疏密程度相同，场强大小相等；在两电荷连线上，电场方向均由正电荷指向负电荷，即、两点场强方向相同。 故选B。 4．（25-26高一下·贵阳南湖实验中学·阶段检测）某电场区域的电场线分布如图所示，A、B、C为电场中的三个点，以下关于各点电场强度大小E、电势判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．电场线越密集，电场强度越大，由图可知点附近的电场线比点附近密集，因此，故A错误； B．由图可知点附近的电场线比点附近密集，因此，故B错误； C．沿电场线方向电势逐渐降低，过点作与电场线垂直的等势线，该等势线与、所在电场线的交点位于、之间，因此三点电势关系为 故，故C正确； D．由上述分析可知，故D错误。 故选C。 5．（2027·广东佛山·一模）手机电容式触摸屏的核心部件可简化为平行板电容器。手指按压触摸屏，两极板与手指间电场线如图所示。若维持电容器工作电压恒定，下列说法正确的是（     ） A．点的电场强度比点大 B．点的电势比点高 C．手指按压触摸屏时，电容器处于充电状态 D．手指按压触摸屏时，等效电容器电容变小 【答案】C 【详解】A．电场线越密的地方场强越大，电场线越疏的地方场强越小，由图可知，M点的电场强度小于N点的电场强度，故A错误； B．顺着电场线电势逐渐降低，则N点的电势大于M点的电势，故B错误； CD．手指按压触摸屏时，电容器两极板间距d减小，根据可知，电容C增大，又因为U不变，根据Q=CU可知，Q增大，即电容器处于充电状态，故C正确，D错误。 故选C。 6．（25-26高一下·常州戚墅堰高级中学·期中）如图为一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q。两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k。下列说法错误的是（     ） A．右侧的点电荷带负电 B．P、Q两点的电场强度不相同 C．两点电荷连线的中点处的电场强度大小为 D．在M点由静止释放一带正电的试探电荷，该电荷将沿电场线MP运动 【答案】D 【详解】A．因电场线由正电荷指向负电荷，可知右侧的点电荷带负电，A正确； B．P、Q两点的电场强度大小相同，但方向不相同，B正确； C．由场强叠加可知，两点电荷连线的中点处的电场强度大小为，C正确； D．因电场线为曲线，试探电荷受力沿切线方向，则在M点由静止释放一带正电的试探电荷，该电荷不会沿电场线MP运动，D错误。 此题选择错误的，故选D。 7．（2027·浙江嘉兴·一模）如图所示，某空间放置有一带电的甲球，将另一不带电的金属球乙靠近甲球，最终形成稳定电场，其中实线为电场线，虚线为等势线，A、B、C、D为电场中的四个点。则（     ） A．甲球带负电荷 B．乙球的电势处处相等 C．A点电场强度大于D点的电场强度 D．负电荷从C移到B最后移到D，电势能先减小再增大 【答案】B 【详解】A．电场线从正电荷出发，终止于负电荷。图中电场线从甲球向外发散，说明甲球带正电，故A错误； B．乙球是处于静电平衡的金属导体。静电平衡时，整个金属导体是等势体，导体表面和内部电势处处相等，故B正确； C．电场线疏密表示场强大小。D点电场线比A点更密集，所以，故C错误； D．沿电场线电势降低，因此，且负电荷所处位置电势越高，负电荷电势能越小，因此负电荷从C移到B最后移到D，电势能先增大再减小，故D错误。 故选B。 8．（26-27高三上·山东青岛·期初）如图所示，边长为L的等边三角形ABC位于水平面内，O为AC边中点，F为O点正上方一点，，在A、C两点分别固定等量正电荷，在F、B间固定光滑绝缘细杆。现将带负电小球套在细杆上并从F点释放，重力加速度为g。在小球下滑过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球电势能一直减小 B．小球电势能先增大后减小 C．运动到杆中点时，小球加速度大小为 D．运动到杆中点时，小球加速度大小为 【答案】D 【详解】AB．A、C为等量正电荷，O是AC中点。水平面内的OB段是AC的中垂线，电场方向沿中垂线背离O点；FO是竖直方向的AC中垂线，电场方向也沿FO背离O点。带负电的小球受到的电场力方向与电场方向相反，始终指向O点。小球从F沿杆下滑到B的过程中，到O点的距离先减小后增大。负电荷靠近O运动时，电场力做正功，电势能减小；远离O运动时，电场力做负功，电势能增大。因此小球电势能先减小后增大，AB错误； CD．等边三角形边长为L，O是AC中点，故， 由勾股定理得 同时水平面内等边三角形的高 因此 是等腰直角三角形，细杆FB与竖直方向夹角为45°。杆的中点恰好是FB的中点，由几何关系可知，该点电场方向与细杆垂直。因此电场力沿细杆方向的分量为0，沿杆方向的合力仅为重力的分力，则小球加速度大小为 ，故C错误，D正确。 故选D。 二、多选题 9．（25-26高一下·银川北方民大附中·阶段检测（二））电鳗瞬时放电时可产生高压，电流通过水介质传导足以击晕大型猎物或敌人。电鳗瞬时放电时周围的电场可简化为两个点电荷产生的电场如图，图中描述A、B两个点电荷电场的部分电场线，下列说法正确的是（     ） A．A带正电，B带负电 B．A的电荷量小于B的电荷量 C．在M点由静止释放一个带正电的粒子，仅在静电力的作用下，粒子会沿电场线运动到N点 D．除无穷远处外，B的左侧还有一处的电场强度为0 【答案】AD 【详解】A．电场线是从正电荷出发，终止于负电荷。电场线从A出发，部分终止于B，所以A带正电，B带负电，故A正确； B．由图可知，A附近的电场线比B附近的电场线密，则A附近的场强必比B附近的场强大，A的电荷量大于B的电荷量，故B错误； C．由于M点和N点在同一条电场线上且电场线为曲线，所以该粒子仅在静电力作用下不可能沿电场线运动，故C错误； D．由于A带正电，B带负电，且A的电荷量大于B的电荷量，根据点电荷场强公式 结合场强叠加原理可知，除无穷远处外，B的左侧还有一处的电场强度是0，故D正确。 故选AD。 10．（25-26高二下·兰坪一中·开学）某带电粒子仅在电场力作用下由A点运动到B点，电场线、粒子在A点的初速度及运动轨迹如图所示，可以判定（　　） A．粒子在A点的加速度大于它在B点的加速度 B．粒子在A点的动能小于它在B点的动能 C．粒子在A点的电势能小于它在B点的电势能 D．电场中A点的电势高于B点的电势 【答案】BD 【详解】A．电场线的疏密表示电场强度大小，B点电场线比A点更密，说明，由可知，粒子在B点加速度更大，故A错误； B．粒子受力指向轨迹的凹侧，可知粒子所受电场力沿电场线向上；粒子从A运动到B，电场力方向与位移方向夹角为锐角，电场力做正功，由动能定理可知粒子动能增加，因此A点动能小于B点动能，故B正确； C．电场力做正功时电势能减小，因此A点电势能大于B点电势能，故C错误； D．沿电场线方向电势逐渐降低，因此A点电势高于B点电势，故D正确。 故选BD。 一、单选题 1．（2026·徐州三中·最后一卷）如图所示，锥形空心金属带电导体，由圆柱形筒身和圆锥形尖端构成。用锥形取电器触碰导体表面后接触验电器，观察指针偏转情况。下列说法正确的是（　　） A．导体外表面电势高于内表面电势 B．导体筒身场强比尖端部分大 C．在导体筒身取电，指针偏转较为明显 D．在导体尖端取电，指针偏转较为明显 【答案】D 【详解】AB．导体为等势体，外表面与内表面电势相等，故A错误； B．电荷在导体表面的分布是不均匀的，突出的位置，电荷比较密集，即尖端电荷分布较多，电场强度较大，故B错误； CD．导体尖端电荷密度较大，所以用尖端取电，指针偏转较为明显，故C错误，D正确。 故选D。 2．（26-27高三上·湖南湘潭第一中学·开学）如图所示，三个电荷量均为的点电荷M、N、S分别固定于边长为L的等边三角形的三个顶点处，其中O为等边三角形的中心，为SN的中点。已知点电荷在某点产生的电势（k为静电力常量，Q为点电荷的电荷量，r为该点到点电荷的距离），取无穷远处电势为零。则下列说法正确的是（     ） A．点电荷S所受库仑力的合力大小为 B．O点的电势为 C．O与点之间的电势差为 D．若在点处放一电荷量为Q的点电荷，则该点电荷所受静电力的大小为 【答案】C 【详解】A．由库仑定律可知，点电荷M、N对点电荷S的库仑力大小均为 由平行四边形定则可知，点电荷S所受库仑力的合力大小，故A错误； B．设O点到各点电荷的距离为，则有 解得 由于电势为标量，结合点电荷的电势公式可知，O点的电势，故B错误； C．点到点电荷M的距离 点的电势 O与点之间的电势差，故C正确； D．N、S在点处的场强为零，则点处的电场强度大小 若在点处放一电荷量为Q的点电荷，则该点电荷所受静电力的大小，故D错误。 故选C。 3．（2026·广西河池·二模）如图甲所示，a、b两个粒子都带正电，带电荷量均为，a的质量为，b的质量为。时刻，a、b间距离为，a速度大小为，方向沿a、b连线指向b，b速度为0，仅在彼此静电力作用下，它们靠近后又被弹开，经过足够长时间，最终均做匀速直线运动。粒子运动轨迹在同一直线上，两粒子组成系统的电势能与两粒子间距离的关系为，图像如图乙所示。当两个粒子间的距离趋于无限远时，静电力可忽略。则（     ） A．两粒子距离最近时，系统的电势能最小 B．两粒子相互作用过程中，a的加速度先增大后减小 C．当两粒子间距离再次为时，系统的总能量为 D．两粒子从开始运动到距离趋于无限远的过程中，的动量变化量大小为 【答案】B 【详解】A．由电势能公式，越小，电势能越大。两粒子距离最近时最小，系统电势能最大，故A错误； B．两粒子相互作用过程中，二者间距先减小（靠近阶段）、后增大（弹开阶段），库仑力 由牛顿第二定律可得，则加速度先增大后减小，故B正确； C．系统总能量守恒，初始总能量为初动能加初始电势能 总能量不随距离变化，当两粒子距离再次为时，总能量仍为，故C错误； D．系统不受外力，动量守恒；当两粒子距离回到初始距离时，电势能和初始相等，动能相等，满足一维弹性碰撞规律。动量守恒可得 机械能守恒 解得 之后由于粒子间的排斥力，会继续加速，最终速度会大于，初始动量为0，因此动量变化量大小，故D错误。 故选B。 4．（2026·襄阳五中·适应性考试）如图所示，光滑绝缘圆形轨道水平放置在光滑绝缘桌面上，为圆心，、连线过点，，，在点固定正点电荷，点固定正点电荷，带正电的小球静止于轨道内侧点（、两点均位于圆内，且、、三点不共线），已知。下列说法正确的是（     ） A．与的电荷量大小之比为 B．点的电场强度方向垂直于向左 C．将小球的电荷量加倍后，它仍能静止在点 D．、连线上点电场强度最大 【答案】C 【详解】对小球P受力分析可知，因AB两点的点电荷对小球的斥力分别沿AP和BP方向，小球P受轨道的弹力指向圆心， A．小球静止，合力为零，如图所示，因为，根据角平分线特征可知OP平分，则，则两正点电荷对P点的小球的电场力大小相等，即，解得，A错误； B．由上述分析可知，P点的电场方向沿OP方向，B错误； C．小球电荷量加倍，仍满足，小球仍能静止在P点，C正确； D．A、B连线上O点场强为，则O点场强最小。A、B连线上接近A点（或B点）处点电荷场强大于O点，D错误。 故选C。 5．（2026·江苏扬州新华中学·最后一练）如图所示，质量为m、电荷量为Q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，另一个带电荷量也为Q的小球B固定于O点的正下方绝缘支架上。已知绳长OA为2l，O到B点的距离为l，平衡时A、B带电小球处于同一高度，重力加速度为g，静电力常量为k。则（     ） A．A、B间库仑力大小为 B．A、B间库仑力大小为2mg C．细线拉力大小为mg D．细线拉力大小为 【答案】D 【详解】A．根据题述和图中几何关系可知，A、B间的距离为 根据库仑定律，可得库仑力大小为，故A错误； BC．设OA与竖直方向OB的夹角，满足 得 对小球A受力分析，如图所示，竖直方向平衡 得 水平方向平衡，故B错误，C错误； D．将代入 得 ，故 D正确。 故选D。 6．（2026·湖南长沙第二十六中学·模拟）如图所示，两个质量均为的完全相同的金属球壳与，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支架上，两球心间的距离为，为球壳外半径的倍。若使它们带上等量异种电荷，电荷量的绝对值均为，那么、之间的万有引力与库仑力为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】两个金属球壳质量分布均匀，壳层厚度和质量分布均匀，可以等效为质量集中于球心的质点。两球心距离为，因此万有引力公式严格适用 两球壳带等量异种电荷，由于静电感应，电荷在球壳上重新分布。异种电荷相互吸引，电荷会聚集在靠近彼此的一侧，导致实际电荷中心间距小于球心距。库仑定律的点电荷公式要求电荷均匀分布或距离远大于自身尺寸，本题，它们之间的距离并不是很大，不满足点电荷条件，因此 故选D。 7．（2026·郑州某重点中学·考前学情自测）如图甲所示，平面直角坐标系处在匀强电场中，匀强电场与坐标平面平行，轴正半轴上各点的电势随变化的规律如图乙所示，轴正半轴上各点的电势随变化的规律如图丙所示，在坐标原点处沿轴正方向以大小为的速度射出一个比荷为的带正电的点电荷，不计粒子的重力，已知，则下列判断正确的是（     ） A．匀强电场的电场强度大小为 B．匀强电场的方向与轴正方向夹角为 C．粒子运动过程中的电势能先减小后增大 D．粒子运动过程中所经位置的最高电势为 【答案】A 【详解】AB．由乙图可知，沿轴正方向电势升高，电势沿轴的变化率为，由匀强电场中，结合匀强电场中沿电场方向电势逐点降低的规律可知，电场强度的方向分量；同理由丙图得，由矢量合成得 设电场方向与轴正方向的夹角为，由两分量的大小关系得 题给，即，与所求正切值不相等，所以电场方向与轴负方向的夹角为，电场方向指向第三象限，与轴正方向的夹角为，故A正确，B错误； CD．粒子带正电，在匀强电场中所受电场力方向与电场方向相同，加速度方向沿电场方向指向第三象限；取轴正方向、轴正方向为正方向，由牛顿第二定律得沿方向，沿方向 代入数据得，； 粒子沿方向做匀变速直线运动，沿方向做初速度为零的匀加速直线运动，两方向的位移方程为， 代入数据得， 由电场力做功 电势差的定义 得空间各点的电势为 将上两式代入得 上式右边是二次项系数为负的二次函数，故随时间先增大后减小，即粒子所经位置的电势先升高后降低，电势能也先增大后减小，由二次函数的性质可知，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，故CD错误。 故选A。 8．（2026·巴中·零诊）如图所示，半径为的光滑绝缘圆环竖直放置，为最低点，为最高点，、分别固定等量异种点电荷，水平直径、间固定一光滑绝缘细杆，一质量为带电小球穿在细杆上，小球受到水平向左恒力（图中未画出）从点由静止运动到点。重力加速度为，小球视为点电荷。则小球在运动过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球电势能先减小后增大 B．小球在点的速率为 C．小球某时刻所受细杆支持力可能为零 D．小球在圆心点的速率为点的一半 【答案】C 【详解】A．A、C是竖直放置的等量异种点电荷，水平细杆BD是等量异种电荷连线的中垂线，整条中垂线为等势线，小球从B到D的过程中电势始终不变，因此电势能保持恒定，故A错误； B．BD作为等量异种电荷的中垂线，电场线垂直于等势面、沿竖直方向，因此电场力与水平位移方向垂直，电场力不做功；重力方向竖直向下，同样与水平位移垂直，重力也不做功，只有水平恒力F对小球做功。从B到D的总位移为，由动能定理： 解得，故B错误； C．BD上的电场强度方向竖直向下，若小球带负电，受到的电场力方向竖直向上；且电场强度在O点最大、向B和D两侧逐渐减小，因此小球受到的竖直向上的电场力从B到D先增大后减小。则可能存在某位置，竖直向上的电场力恰好与向下的重力平衡，此时小球竖直方向合力为零，细杆对小球的支持力为零，因此小球某时刻所受细杆支持力可能为零，故C正确； D．小球水平方向合力恒为F，做初速度为零的匀加速直线运动，加速度。由匀变速直线运动公式，从B到O满足 从B到D满足 可得，并非D点速率的一半，故D错误。 故选C 。 9．（2027·浙江七彩阳光&浙南名校·一模）两个带异种电荷的导体周围产生的电场其电场线分布如图所示，则图中、、、四个点（     ） A．点场强最大 B．点与点的场强大小相等 C．同一检验电荷放在点的电势能最小 D．电子由点运动到点的过程中，电场力总功为负 【答案】D 【详解】AB．电场线的疏密反映电场强度的强弱，图中点电场线较为稀疏，点的电场线比点密集，故点并非场强最大的位置，点场强小于点场强，故A、B错误； C．沿电场线电势降低，可判断左侧导体带正电、右侧导体带负电，电势从左向右逐渐降低，点靠近负导体，是四点中电势最低的位置。检验电荷的电势能满足，可知电势能的大小和检验电荷正负有关，若检验电荷为负，电势最低的点电势能最大，若检验电荷为正，则点电势能最小，选项未限定检验电荷的电性，故C错误； D．由上述分析可知，点的电势高于点，因此 电子由点运动到点的过程中，电场力总功为 即电场力总功为负，故D正确。 故选D。 10．（26-27高三上·浙江名校联盟·学情诊断）科研人员通过创新的侧壁极化铌酸锂（SPLN）波导技术，首次在薄膜铌酸锂平台上实现了毫瓦级（4.2mW）的片上紫外光产生。如图为电场仿真结果的简化示意图，图中实线为电场线，a、b关于中心竖直线对称。下列说法正确的是（　　） A．a、b场强相同 B．c点场强大于b点场强 C．a点电势高于c点电势 D．把电子从c点移到a点，电势能增加 【答案】D 【详解】电场线性质：电场线疏密表示场强大小；沿电场线电势逐渐降低。 A．a、b关于中线对称，场强大小相等，但方向不同，场强是矢量，场强不相同，故A错误； B．b点电场线比c点更密集，所以，故B错误； C．顺着电场线电势降低，看电场线走向，，c电势高于a，故C错误； D．电子带负电， 从，电势降低，负电荷在电势越低位置电势能越大，所以电子电势能增加，故D正确。 故选D。 二、多选题 11．（2026·深圳中荟高级中学·适应性练习）如图，在水平面上有A、B、C三个质量均为m的小球，A带正电，B带负电，C不带电，A、B带电量的绝对值均为Q，B、C两个小球用绝缘细绳连接在一起，当用外力F拉着A使得A静止，B、C也处于静止状态，已知其中一个球粗糙，其他两个球光滑，则（     ） A．A球一定受到四个力的作用 B．B球一定受到四个力的作用 C．C球一定受到两个力的作用 D．C球可能受到四个力作用 【答案】ABD 【详解】A．由于B球受到A球对其水平向右的库仑力作用，所以B球和C球组成的系统一定受到水平向左的摩擦力作用，故粗糙的球必在B或C中，B、C才能静止，因此A球受到F、库仑力、重力和支持力四个力作用，故A正确； BCD．若B球粗糙，则B球受到库仑力，摩擦力，重力和支持力四个力作用，C球受到重力和支持力两个力作用；若C球粗糙，则B球受到库仑力、拉力、重力和支持力四个力作用，C球受到拉力、摩擦力、重力和支持力四个力作用，故BD正确，C错误。 故选ABD。 12．（2026·邢台清河中学·选拔考）如图所示，沿水平光滑绝缘细杆建立坐标系，把带电量为4q的带电小球固定在坐标原点，令一个带电量为－q的小球固定在处。另外两个可沿杆自由移动的圆环甲和乙分别带少量的正电荷和负电荷。已知带电体均可视为点电荷，且电荷量保持不变。则下列说法正确的是（     ） A．甲环套在处由静止释放，甲可以处于静止状态 B．乙环套在处由静止释放，乙可以处于静止状态 C．甲环套在处由静止释放，甲将做往复运动 D．乙环套在处由静止释放，乙将做往复运动 【答案】AD 【详解】A．设带电圆环电荷量为，在区域距离原点处受力平衡，根据库仑定律，两个固定电荷对圆环的库仑力大小相等、方向相反 解得 即处为所有电荷的共同平衡位置，与圆环带电性质无关。甲环带正电，在处受力平衡，细杆光滑无摩擦力，因此可以保持静止状态，故A正确； B．乙环带负电，在处，原点处对其吸引力向右，大小为 处的对其排斥力向左，大小为 合力向右，乙环无法静止，故B错误； C．区域的电场沿轴负向，区域电场沿轴正向，甲带正电，由处释放，将沿着轴负向运动，由处释放，将一直沿轴正向运动，无法做往复运动，故C错误； D．乙带负电，由处释放，将沿着轴正向运动，根据能量守恒，小环越过处运动一段距离后速度为零，接下来将向x轴负向运动，可知圆环乙将做往复运动，故D正确。 故选AD。 13．（2026·杭州二中·最后一卷）如图所示，将不带电导体AB，放在一个点电荷的电场中，点电荷的电荷量为，与导体AB的中心的距离为。当达到静电平衡时，若沿虚线1将导体分成A、B两部分，这两部分所带电荷量分别为、；若沿虚线2将导体分成两部分，这两部分所带电荷量分别为和。对于上述实验，下列判断不正确的是（     ） A．导体A端的电势低于B端的电势 B．，为正电荷 C．，为正电荷 D．导体AB的感应电荷在AB中心处产生的电场强度大小为，方向向右 【答案】AC 【详解】A．导体处于静电场中，达到静电平衡，故A、B的电势相等，故A错误； BC．根据静电感应现象可知，导体近端感应负电荷，远端感应正电荷，即和为正电，和为负电；导体原来不带电，只是在电荷C的作用下，导体中的自由电子向B部分移动，使B部分有多余电子而带负电；A部分少了电子而带正电。根据电荷守恒可知，A部分转移的电子数目和B部分多余的电子数目是相同的，因此无论从哪一条虚线切开，两部分的电荷量总是相等的，故B正确，C错误； D．导体处于静电平衡，因此导体AB的感应电荷在AB中心处产生的电场强度与点电荷在AB中心处产生的电场强度大小相等，方向相反。故感应电荷在AB中心处产生的电场强度大小为 方向向右，故D正确。 选不正确的，故选AC。 14．（26-27高三上·四川·学情检测）在光滑绝缘水平桌面上，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，在坐标为的点和的点处分别固定电荷量为和的带电体（可视为点电荷），一电荷量为的小滑块用长为的绝缘轻绳与点相连。给小滑块一沿轴正方向的初速度，使滑块绕点逆时针做圆周运动，在此过程中，当滑块运动到图中点时电势能最小，记此时，则（     ） A．轴上有两个合电场强度为0的点 B．轴上电势最高的点是点 C． D． 【答案】BD 【详解】A．两个点电荷均为正电荷，在点左侧，两个正电荷的电场方向均沿轴负方向，合场强不可能为0；在点右侧，两个正电荷的电场方向均沿轴正方向，合场强不可能为0；仅在、两点之间的轴上，两个电荷的电场方向相反，可由点电荷场强公式 解得唯一零场强点，因此轴上合场强为0的点仅有1个，故A错误； B．两个正电荷在轴上任意点的场强均存在水平和竖直两个方向的分量，其中点的电荷量为，点的电荷量为，故轴上电场水平分量方向向右；在轴的正半轴，电场竖直分量方向向上，负半轴电场竖直分量方向向下。因此若将一带正电的试探电荷从点沿轴的正、负半轴移动到无穷远处，电场力均做正功，电势能降低，电势降低，因此轴上电势最高的点是点，故B正确； CD．滑块在以为圆心、为半径的圆周上运动，正电荷电势能最小的位置，对应圆周上电势的极小值点，则该点的电场强度方向沿圆周径向（即沿向外），此时电场的切向分量为0，电势取极值。如图所示 可知 结合点电荷场强， 解得 因此，故C错误，D正确。 故选BD。 三、解答题 15．（26-27高三上·贺州昭平中学·月考）如图所示，光滑水平轨道与半径的光滑竖直半圆轨道在点平滑连接。在过圆心的水平界面的下方有水平向右的匀强电场。现将质量、带电荷量的小球甲从水平轨道上的点由静止释放，小球甲与质量也为且静止在点的不带电小球乙碰撞后瞬间粘在一起形成物体丙，丙运动到点离开半圆轨道后做平抛运动，恰好经过界面上的点，点在点的正上方。已知、间的距离为，取重力加速度大小，甲、乙、丙均可视为质点，求： (1)丙经过轨道点时对轨道的作用力大小； (2)匀强电场的电场强度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）丙从点水平飞出，恰好经过点。由图中几何关系，竖直下降距离为，水平位移为。设从到的时间为，竖直方向满足 水平方向满足 代入数据得，在点取丙为研究对象，指向圆心为正方向，重力和轨道支持力均指向圆心。由牛顿第二定律得 代入数据得 根据牛顿第三定律，丙对轨道的作用力大小为 （2）小球甲从到的过程中，电场力做功为。由动能定理，取小球甲为研究对象，有 甲、乙碰撞后粘在一起，碰撞时间极短，水平方向动量守恒 丙从运动到的过程中，电场只在到的下半部分区域内存在，电场力做功为；丙上升高度为，重力做功为。由动能定理得 由前述甲从到的动能定理和碰撞时的动量守恒式，得 代入数据得。 2 学科网（北京）股份有限公司 $