2027届高考物理一轮复习讲义 重难突破5 万有引力综合

该高中物理讲义聚焦万有引力综合专题，涵盖开普勒定律、万有引力定律、天体质量密度计算、卫星运动规律、宇宙速度、变轨问题及双星多星模型等高考核心考点，按“定律-应用-模型”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生系统突破重难。 讲义突出科学思维与模型建构，如双星模型中引导学生用几何关系确定轨道半径，变轨问题通过表格对比速度关系，配合分层练习（单选、多选、解答题），助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难突破5　万有引力综合 1. 理解开普勒三大定律，掌握万有引力定律的内容、公式与适用条件，会用万有引力定律和“黄金代换”计算天体的质量与密度。 2. 掌握卫星环绕运动的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系，理解三个宇宙速度以及近地卫星、同步卫星的特点。 3. 掌握卫星变轨规律、椭圆轨道与航天能量变化，会分析双星及多星模型，能综合解决万有引力与航天问题。 【思维导图】 考点一　开普勒行星运动定律 1．第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；不同行星的椭圆轨道一般不同。 2．第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等；由它可知行星在近日点速率最大、远日点速率最小（近快远慢）。 3．第三定律（周期定律）：行星公转轨道半长轴 a 的三次方跟公转周期 T 的二次方之比为常量，即 ；常量 k 只与中心天体有关，与环绕天体无关。轨道近似为圆时，半长轴取轨道半径 r，即 r³/T²=k。 开普勒三大定律 定律 内容 关键结论 第一定律（轨道） 所有轨道为椭圆，太阳在一个焦点上 焦点不是椭圆的几何中心 第二定律（面积） 相等时间内连线扫过相等面积 近日点快、远日点慢 第三定律（周期） a³/T²=k k 只由中心天体决定 重难诠释　①第三定律不仅适用于行星绕太阳，也适用于卫星绕行星；只有绕“同一中心天体”运动的星体，常量 k 才相同、才可互相比较。②椭圆半长轴 a=(r近+r远)/2。③比较椭圆轨道上的速度大小用第二定律：离中心天体越近速率越大。④中学阶段多数轨道近似为圆，此时半长轴就是轨道半径。 考点二　万有引力定律与天体质量、密度的计算 1．内容：自然界中任何两个有质量的物体都相互吸引，引力方向沿两物体连线，大小跟质量乘积成正比、跟距离二次方成反比，即 2．引力常量 G=6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²，由卡文迪什扭秤实验首次较准确测出。公式适用于两个质点；质量均匀分布的球体可把质量看作集中在球心，r 取两球心间距。 3．万有引力与重力：忽略地球自转时，地面物体所受重力等于万有引力，即 ，由此得到黄金代换式 （M、R 为中心天体质量、半径，g 为其表面重力加速度）。 4．计算中心天体质量（只能求中心天体，求不出环绕天体）：（1）环绕法，由万有引力提供向心力 ，得 ；（2）重力法（黄金代换）。 5．中心天体的密度：；若为近地卫星，r≈R，则 ，只需测出环绕周期即可估测中心天体密度。 天体质量的两种测算方法 方法 依据公式 需要测量的量 环绕法 GMm/r²=m·4π²r/T² → M=4π²r³/(GT²) 轨道半径 r、环绕周期 T 重力法 mg=GMm/R² → M=gR²/G 表面重力加速度 g、天体半径 R 重难诠释　①环绕法中环绕天体自身质量 m 被约去，故只能求中心天体质量，不能求环绕天体质量。②务必区分中心天体半径 R 与卫星轨道半径 r：r=R+h（h 为距地面高度）。③黄金代换 GM=gR² 是联系“天上环绕”与“地面重力”的桥梁；换一个中心天体，要用它自己的 g、R。④考虑自转时，赤道上重力略小于万有引力（差额提供随天体自转的向心力），两极处重力才等于万有引力。 考点三　卫星（环绕天体）的运动规律 1．基本思路：万有引力全部提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力： 2．四个推论（M 为中心天体质量，r 为轨道半径）：线速度 ；角速度 ；周期 ；向心加速度 。 3．（25-26高一上·武昌实验中学·期末）“高轨低速大周期”：对绕同一中心天体运动的圆轨道卫星，轨道半径 r 越大，线速度 v、角速度 ω、向心加速度 a 越小，而周期 T 越大；上述各量都与卫星自身质量 m 无关。 各物理量随轨道半径 r 的变化（中心天体 M 不变） 物理量 表达式 r 增大时 线速度 v 减小 角速度 ω 减小 周期 T 增大 向心加速度 a 减小 重难诠释　①上述规律的前提是“万有引力全部提供向心力”的稳定圆轨道，且中心天体相同（M 相同）才能直接比较。②轨道半径 r 是卫星到地心的距离，不是离地高度。③v、ω、T、a 只由 M 和 r 决定，与卫星质量、形状无关，同一轨道上不同卫星快慢相同。④绕不同中心天体（如绕地球与绕太阳）时 M 不同，不能套用此单调关系。 考点四　宇宙速度与同步卫星 1．第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9 km/s：物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，。它是人造卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球做圆轨道运动的最大环绕速度。 2．第二宇宙速度（脱离速度）v2=11.2 km/s：达到后可挣脱地球引力束缚，不再绕地球运行；第三宇宙速度 v3=16.7 km/s：达到后可挣脱太阳引力束缚、飞出太阳系。 3．近地卫星：轨道半径 r≈R，它是周期最小（约 84 min）、环绕速度最大（等于 7.9 km/s）的人造卫星。 4．地球同步卫星（通信卫星）：相对地面静止，具有“五定”——定周期（T=24h，等于地球自转周期）、定轨道平面（赤道平面正上方）、定高度（h≈3.6×10⁴km）、定速率（v≈3.1km/s）、定位置（定点于赤道上空）；所有同步卫星都在同一圆轨道上。 赤道物体、近地卫星、同步卫星的比较（易混） 比较对象 向心力来源 轨道位置 周期 赤道上随地球自转物体 万有引力的一小部分提供自转向心力 地面 r=R 24h 近地卫星 万有引力全部提供向心力 r≈R 约84min 同步卫星 万有引力全部提供向心力 赤道上空 r≈6.6R 24h 重难诠释　①第一宇宙速度有“双重身份”：最小发射速度、最大环绕速度；发射越高所需发射速度越大，但稳定运行的环绕速度越小。②同步卫星必须在赤道平面内同一高度，故各国同步卫星都在同一圆轨道，只是定点经度不同。③比较三类对象：同步卫星与赤道物体 ω、T 相同（等于地球自转角速度），由 a=ω²r 知同步卫星向心加速度大；近地卫星与同步卫星都由万有引力提供向心力，r 越大 v 越小、T 越大。线速度关系为：近地卫星＞同步卫星＞赤道物体。 考点五　卫星变轨、椭圆轨道与航天能量 1．椭圆轨道：卫星在椭圆轨道上由万有引力提供向心力，由开普勒第二定律知近地点速度最大、远地点速度最小；其周期由第三定律 决定，a 为椭圆半长轴。 2．变轨规律：在切点处向后喷气加速，所需向心力增大而万有引力不足以维持原圆轨道，卫星做离心运动，由低轨进入较高的椭圆轨道；向前喷气减速则由高轨进入较低轨道。即“升轨加速、降轨减速”。 3．切点速度：椭圆近地点速度大于同半径内侧圆轨道速度，远地点速度小于同半径外侧圆轨道速度；稳定后高圆轨道速度小于低圆轨道速度（高轨低速）。 4．航天能量：卫星机械能 E=Ek+Ep，取无穷远势能为零时引力势能 （为负值）；轨道半径越大，动能越小而引力势能增加得更多，总机械能越大。加速升轨发动机做正功、机械能增加，减速降轨机械能减少。 变轨过程各量比较（低轨Ⅰ→椭圆Ⅱ→高轨Ⅲ） 比较点 速度关系 说明 近地点 P vⅡP＞vⅠ P 点加速进入转移椭圆 远地点 Q vⅢ＞vⅡQ Q 点加速进入高圆轨道 稳定圆轨道 vⅠ＞vⅢ 高轨低速 同一点加速度 相等 加速度只由万有引力决定 重难诠释　①变轨瞬间喷气使速度突变，但位置和万有引力未变，故加速度不突变；同一位置无论经过哪个轨道，加速度 a=GM/r² 都相同。②椭圆近、远地点速度不能直接套用圆轨道公式 ，应结合机械能守恒或开普勒定律判断。③判断速度要同时用“切点变轨规律”和“高轨低速”，并区分“变轨瞬间”与“稳定运行”两种状态。④轨道越高机械能越大，但运行动能反而越小，二者不可混淆。 考点六　双星与多星模型 1．双星模型：两颗相距 L 的恒星，在彼此间万有引力作用下绕连线上的共同圆心 O 做匀速圆周运动，运动过程中两星间距 L 保持不变。 2．双星特点：两星角速度 ω、周期 T 相同，相互万有引力大小相等、互为向心力；由 得 r1∶r2=m2∶m1，且 r1+r2=L，即轨道半径与质量成反比；线速度之比 v1∶v2=r1∶r2=m2∶m1。 3．双星总质量：联立可得 ，测出间距 L 与周期 T 即可求两星总质量。注意式中用的是两星间距 L，而不是各自的轨道半径。 4．多星模型（三星、四星）：各星在相互万有引力的合力作用下绕共同圆心做匀速圆周运动，轨道半径由几何对称性确定——正三角形三星的圆心在三角形中心，正方形四星的圆心在正方形中心。解题先由几何关系确定轨道半径，再令“所受万有引力的合力指向圆心并等于 mω²r”。 重难诠释　①双星的轨道半径 r1、r2 是两星到共同质心 O 的距离，不是两星间距 L，且 L=r1+r2；万有引力公式中的距离是 L，而圆周运动半径是各自的 r，两者绝不能混用。②双星 ω、T 一定相同，这是列方程的纽带。③多星问题要对每个星体做受力分析，把其他各星的万有引力矢量合成，合力必须恰好指向共同圆心（否则不能稳定共转）。④直线型三星中间星体所受两侧引力方向相反，注意与正三角形构型区分。 考向1　开普勒定律与行星（卫星）运动 一、单选题 1．（25-26高一上·武昌实验中学·期末）中国空间站离地高度约为，地球静止卫星（绕地公转周期）离地高度约为，地球半径约为。利用以上数据计算航天员在内看到日出的次数可能为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【详解】由题意知，地球静止卫星的轨道半径 空间站所在轨道半径约为 由开普勒第三定律可知空间站运行周期满足 将代入解得 24小时内，空间站绕行圈数 因此航天员在内可看到日出次数约为15次。 故选B。 2．（2026·巴中·零诊）在火星与木星之间的主小行星带有一颗直径约10.2公里的小行星，国际小天体命名委员会批准命名为“袁隆平星”，以此致敬袁隆平院士毕生贡献。已知该小行星自转周期约5.4小时，公转周期为5.27年，忽略行星间的相互作用，则此小行星绕太阳公转半径与地球绕太阳公转轨道半径之比约为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】开普勒第三定律：绕同一中心天体运动的天体，满足，为轨道半径，为公转周期，只和中心天体有关。 设小行星轨道半径，公转周期；地球轨道半径，公转周期。 则 得 代入数值 故选B。 3．（26-27高三上·六安毛坦厂中学东部新城校区·开学）如图所示，A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动。已知B卫星的轨道半径是A卫星轨道半径的k倍，B卫星做圆周运动的周期与A卫星做圆周运动的周期之差为T，则卫星A的周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意有 又 根据开普勒第三定律有 解得 故选D。 4．（25-26高一下·湖北武汉·期末）“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，将地球绕日一年转360度分为24份，每15度为一个节气。立春、立夏、立秋、立冬分别作为春、夏、秋、冬四季的起始，如图所示为地球公转位置与节气的对照图。下列说法中正确的是（     ） A．从节气划分来看，一年四季的时间一样长 B．太阳对地球的万有引力大于地球对太阳的万有引力 C．太阳系中，开普勒第三定律中的值由太阳质量决定 D．地球转到夏至点与冬至点时的线速度大小相同 【答案】C 【详解】A．题图把每个节气按黄经相差划分，但地球沿椭圆轨道运行，太阳位于焦点，地球公转速度并不恒定。由开普勒第二定律，单位时间内扫过的面积相等，近日点附近角速度较大、远日点附近角速度较小；四季对应的角度虽均为，所需时间不相等，故A错误； B．太阳和地球间的万有引力是一对相互作用力。由牛顿第三定律，这两个力大小相等、方向相反，分别作用在太阳和地球上，故B错误； C．设行星质量为，绕太阳运动的轨道半长轴为、周期为。在圆轨道等效模型中，万有引力提供向心力，有 左、右两侧分别表示万有引力和向心力。又由周期定义得 其中为轨道线速度。联立得 这说明同一中心天体下周期与轨道半长轴满足固定比例。椭圆轨道的开普勒第三定律保持相同的中心天体依赖关系，因此只由太阳质量决定，故C正确； D．太阳位于地球椭圆公转轨道的一个焦点，冬至附近地球更接近近日点，夏至附近更接近远日点。由开普勒第二定律，近日点附近公转速度较大、远日点附近较小，所以两处线速度大小不同，故D错误。 故选C。 二、多选题 5．（25-26高一上·湖北襄阳襄城四中·期末）水星是太阳系八大行星中体积最小的行星，水星和地球绕太阳公转的方向相同且轨道共面，其运行轨道均为椭圆，水星轨道更靠近太阳，如图所示。下列说法正确的是（     ） A．水星绕太阳运行的周期小于地球的周期 B．水星、地球的椭圆轨道具有相同的焦点 C．地球在椭圆轨道上运动的速度大小不变 D．相等时间内，水星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等 【答案】AB 【详解】A．水星轨道更靠近太阳，可知水星轨道的半长轴小于地球轨道的半长轴，根据开普勒第三定律可知水星绕太阳运行的周期小于地球的周期，故A正确； B．根据开普勒第一定律可知水星、地球的椭圆轨道具有相同的焦点，即太阳，故B正确； C．由开普勒第二定律知，地球在相等时间内和太阳的连线扫过的面积相等，但是地球和太阳的距离在变化，可知地球在椭圆轨道上运动的速度大小在变化，故C错误； D．由开普勒第二定律知，同一行星在相等时间内和太阳的连线扫过的面积相等，可知水星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积不相等，故D错误。 故选AB。 考向2　万有引力与天体质量、密度的计算 一、单选题 1．（26-27高三上·湖南益阳·质量监测）嫦娥七号，是中国探月工程四期关键任务之一，由着陆器、轨道器、巡视器、飞跃器和中继卫星等组成，主要是对月球极区进行科学探测，特别是对月球的水分布进行探测，完成月球极区高精度着陆和阴影坑飞跃探测，预计巡视器进入环月圆轨道飞行时，角速度为ω，轨道高度与月球半径之比为，引力常量为G，则月球的平均密度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设月球半径为，由题意轨道高度 因此巡视器的轨道半径 巡视器做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力： 约去巡视器质量，解得月球质量 月球平均密度，月球体积 则将和代入得：，故A正确。 故选A。 2．（25-26高一下·无锡太湖高级中学·期中）要使相距较远的两物体间的万有引力减小到原来的，下列选项中可以的是（     ） A．使两物体的质量各减小到原来的，距离变为原来的2倍 B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍 C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变 D．使两物体间的距离和质量都减小到原来的 【答案】C 【详解】A．根据万有引力定律，原引力为。两物体质量均变为原来的一半、距离变为时，万有引力为，故A错误； B．其中一个物体质量变为原来的一半、距离变为时，万有引力为，故B错误； C．两物体质量不变、距离变为时，万有引力为，故C正确； D．两物体质量和距离均变为原来的一半时，质量乘积和距离平方均变为原来的四分之一，二者比例不变，万有引力仍为，故D错误。 故选C。 二、多选题 3．（25-26高一上·西安高新一中·期末）我国某探测器在距地球表面高度为的轨道绕地球飞行过程中，在时间内探测器转过的角度为，观察地球表面时的最大视角，探测器运行轨道为圆形，引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．探测器运行的速度大小是 B．探测器运行的速度大小是 C．地球的质量 D．地球的质量 【答案】BC 【详解】AB．已知，即， 由几何关系，过探测器作地球的两条切线，构成直角三角形，可得 解得地球半径 因此探测器的轨道半径 时间内探测器转过角度，因此角速度 线速度，故A错误，B正确； CD．探测器做圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理得地球质量 代入、，得，故C正确，D错误。 故选BC。 4．（26-27高二上·长沙长郡中学·开学）“二十四节气”是起源于上古时期，商周发展，西汉纳入《太初历》，被列入我国第一批国家级非物质文化遗产名录。不同节气地球与太阳的相对位置如图所示，下列说法正确的是（     ） A．地球绕太阳环绕至冬至时线速度最大 B．地球绕太阳环绕至夏至时受到太阳的引力最大 C．地球公转轨道半长轴的三次方与公转周期平方之比与月球公转轨道半长轴三次方与公转周期平方之比相等 D．地球公转的线速度最大值与最小值之比等于地心到太阳中心最大距离与最小距离之比 【答案】AD 【详解】A．根据开普勒第二定律（面积定律），行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，当地球位于冬至位置时，距离太阳最近（近日点），因此公转的线速度最大，故A正确； B．根据万有引力定律​ 地球在夏至时距离太阳最远（远日点），此时受到的太阳引力最小，而非最大，故B错误； C．根据开普勒第三定律 常数只与中心天体的质量有关。地球绕太阳公转的中心天体是太阳，月球绕地球公转的中心天体是地球，两者的中心天体不同，因此这个比值不相等，故C错误； D．根据开普勒第二定律，线速度与距离的乘积是常数，则有 即，故D正确。 故选AD。 5．（25-26高一下·重庆永川萱花中学·期中）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R，下列说法不正确的是（     ） A．三颗卫星对地球引力的合力大小为 B．两颗卫星之间的引力大小为 C．一颗卫星对地球的引力大小为 D．地球对一颗卫星的引力大小为 【答案】AD 【详解】A．三颗卫星对地球的引力大小相等，方向两两成，由对称性可知合力为，故A错误； B．两颗卫星间距为 由万有引力定律得，故B正确； CD．地球与任一卫星的中心距为，两者间万有引力大小均为 是卫星距地球表面的高度，故C正确，D错误。 故选AD。 6．（25-26高一下·北大附中·期中）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（     ） A．公转周期约为6年 B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐增大 C．从远日点到近日点速度大小逐渐减小 D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 【答案】BD 【详解】A．根据题意，设地球与太阳间距离为，则小行星公转轨道的半长轴为 由开普勒第三定律有 解得，故A错误； B．从远日点到近日点，小行星与太阳间距离减小，由万有引力定律 可知，小行星受太阳引力增大，故B正确； C．由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C错误； D．小行星和地球绕太阳转时，所受合力为万有引力，由牛顿第二定律有 解得 可知 即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的，故D正确。 故选BD。 三、解答题 7．（25-26高三上·福州第一中学·期末）北京时间2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，与空间站成功对接后，神舟十六号上的3名航天员进驻中国空间站，与神舟十五号乘组进行在岗轮换，再现6名航天员“太空会师”名场面。空间站的轨道可近似看成距地面高度为的圆轨道，其周期为，已知地球半径为，引力常量。 (1)求地球的平均密度； (2)求地球表面的重力加速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）空间站绕地球做匀速圆周运动，有 地球密度 解得 （2）在地球表面上 解得 8．（25-26高一下·武汉华中科技大学附属中学·阶段检测）如图所示，A、B是绕地球做圆周运动的两颗卫星，已知其轨道半径分别为r1、r2，A的运行周期为T1，地球半径为R，万有引力常量为G，求： (1)B卫星的周期T2； (2)地球的密度ρ； (3)地球表面的重力加速度g（忽略地球自转）。 【答案】(1) (2) (3)g 【详解】（1）根据开普勒第三定律有 解得 （2）卫星绕地球做圆周运动万有引力提供向心力，则有 地球的体积为 地球的密度为 （3）忽略地球自转时，重力等于万有引力 结合卫星A的向心力公式 可得 联立解得 考向3　卫星环绕规律与“高轨低速”及变轨问题 一、单选题 1．（26-27高一下·湖北恩施·期末）神舟二十三号首次将3.5小时快速交会对接技术与径向对接模式结合，被称为“太空穿针”，技术难度更高。其变轨过程可简化为下图所示：轨道Ⅰ为神舟二十三号初始的近地圆轨道（高度约200 km），轨道Ⅱ为椭圆转移轨道，轨道Ⅲ为空间站所在的目标圆轨道（高度约400 km）。轨道Ⅰ与轨道Ⅱ相切于P点，轨道Ⅱ与轨道Ⅲ相切于Q点，若轨道Ⅲ的半径约为轨道Ⅰ半径的1.03倍。则下列说法正确的是（     ） A．P点处，神舟二十三号在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅱ上的加速度 B．Q点处，神舟二十三号从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要向后喷气（加速） C．飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的全过程中，在轨道Ⅰ的P点处速度最大 D．轨道Ⅲ上的运行速度约为轨道Ⅰ上的倍 【答案】B 【详解】A．飞船在点的加速度由万有引力决定，满足 点到地心的距离相等，因此飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的P点处加速度相等，故A错误； B．轨道Ⅱ是椭圆轨道，在远地点处飞船做近心运动，万有引力大于所需向心力，若要变轨到更高的圆轨道Ⅲ，需要增大所需向心力，因此要向后喷气加速，使万有引力恰好等于圆轨道运行的向心力，故B正确。 C．飞船在轨道Ⅰ的点引力等于需要的向心力，要进入椭圆轨道Ⅱ，需要加速使需要的向心力增大，引力小于需要的向心力，飞船在点做离心运动， 因此飞船在轨道Ⅱ上点的速度大于在轨道Ⅰ上点的速度，故C错误。 D．圆轨道的运行速度满足万有引力提供向心力 可得圆轨道线速度大小 已知，代入可得，即轨道Ⅲ的速度是轨道Ⅰ的，故D错误。 故选B。 2．（26-27高三上·哈尔滨第六中学·阶段性测试（一））我国一箭12星，首个太空计算卫星星座成功入轨。如图所示该系统中的两颗卫星A和B绕地球做匀速圆周运动。卫星A、卫星B的轨道半径rA<rB，线速度大小分别为vA、vB，角速度大小分别为ωA、ωB，周期分别为TA、TB，向心加速度大小分别为aA、aB，已知，下列说法正确的是（     ） A．vA<vB B．ωA<ωB C．TA<TB D．aA<aB 【答案】C 【详解】A．地球质量为。对卫星，万有引力提供向心力 对卫星，万有引力提供向心力 由两式化简并结合题给的轨道半径大小关系得 因此，故A错误； BC．对卫星，万有引力提供向心力 对卫星，万有引力提供向心力 由两式化简并结合题给的轨道半径大小关系得 由周期与角速度的关系，可知，故B错误，C正确； D．对卫星沿半径方向应用牛顿第二定律 对卫星沿半径方向应用牛顿第二定律 由两式化简并结合题给的轨道半径大小关系得，故D错误。 故选C。 3．（25-26高一下·武汉华中科技大学附属中学·阶段检测）自1970年4月24日我国第一颗人造卫星“东方红一号”顺利升空，到2024年底，我国已发射各式卫星、飞船、空间站等人造天体600余颗。如图所示，a为近地空间站，b为极地卫星，c为运行在倾斜同步轨道上的北斗导航卫星，d为地球静止同步轨道气象卫星。已知b的轨道半径大于a的轨道半径，小于c的轨道半径，则下列说法中正确的是（     ） A．卫星b绕地球运动的周期为1天 B．a、b、c、d的运行速度大小关系为 C．北斗导航卫星c可能定位在北京上空，相对地面保持静止 D．卫星c与d的周期、加速度及所受地球引力都相等 【答案】B 【详解】A．b为极地卫星，其轨道半径小于地球同步卫星，周期小于24小时，故A错误； B．a、b、c、d做圆周运动的向心力皆由地球对其的万有引力提供，由 可得 因为，所以，故B正确； C．同步轨道卫星c，其周期为24小时，但其速度方向与地面上各点线速度方向不同，不可能相对地面静止，故C错误； D．c与d的速度、周期、加速度大小均相等，但卫星的质量关系不清楚，故其所受地球引力未必相等，故D错误。 故选B。 4．（26-27高三上·南京中华中学·综合练习）我国于2016年第三季度发射“天宫二号”空间实验室，第四季度“神舟十一号”飞船搭乘两名航天员与“天宫二号”对接。空间实验室由长征运载火箭送入近地点为Q，远地点为P的椭圆轨道，P点离地面高度为h，地球中心位于椭圆的一个焦点上，“天宫二号”飞行几周后变轨进入预定圆轨道，如图所示，3为预定圆轨道，已知“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈历时为t，引力常量为G，地球半径为R，则下列说法正确的是（     ） A．由题中给出的信息可以计算出地球的质量 B．“天宫二号”从Q点开始沿椭圆轨道向P点运动过程中，机械能不守恒 C．“天宫二号”从Q点开始沿椭圆轨道向P点运动过程中，动能先增大后减小 D．“天宫二号”在椭圆轨道上的P点的向心加速度小于在预定轨道上的P点的加速度 【答案】A 【详解】A．“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，故周期为，根据万有引力提供向心力 得地球的质量 故A正确； B．“天宫二号”从Q点开始沿椭圆轨道向P点运行的过程中，只受到地球的引力，只有地球的引力做功，故机械能守恒，故B错误； C．“天宫二号”从Q点开始沿椭圆轨道向P点运行的过程中，距离地球越来越远，地球的引力做负功，根据动能定理可知，动能越来越小，故C错误； D．“天宫二号”在椭圆轨道上的P点受到的万有引力等于在预定轨道上的P点受到的万有引力，故 “天宫二号”在椭圆轨道上的P点的向心加速度等于在预定轨道上的P点的加速度，故D错误。 故选A。 5．（26-27高三上·佳木斯一中·阶段检测）北京时间2025年3月26日23时55分，西昌卫星发射中心长征三号乙运载火箭点火起飞，天链二号04星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。发射可简化为如图所示过程，先将卫星发射到半径为r的圆轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，卫星运动到A点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ，运动到椭圆轨道Ⅱ的远地点B时，再次变轨进入半径为2r的圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。下列判断正确的是（　　） A．要实现从椭圆轨道Ⅱ的B处进入圆轨道Ⅲ，发动机需要向前喷气 B．卫星在轨道Ⅰ与轨道Ⅲ上运行的周期之比为 C．卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于轨道Ⅲ上的机械能 D．卫星在轨道Ⅰ上A点的加速度小于在轨道Ⅱ上A点的加速度 【答案】B 【详解】A．轨道Ⅱ相对于轨道Ⅲ是低轨道，由低轨道变轨到高轨道，需要在切点位置加速，即要实现从椭圆轨道Ⅱ的处进入圆轨道Ⅲ，发动机需要向后喷气，故A错误； B．卫星在轨道Ⅰ与轨道Ⅲ上运行过程，根据开普勒第三定律有   解得   故B正确； C．结合上述可知，卫星由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ，需要先后在与位置加速，即卫星在轨道Ⅰ上的机械能小于轨道Ⅲ上的机械能，故C错误； D．根据牛顿第二定律 化简得 可知卫星在轨道Ⅰ上A点的加速度等于在轨道Ⅱ上A点的加速度，故D错误。 故选B。 6．（25-26高三下·新乡盐店庄中学·期中）如图是“嫦娥二号”奔月示意图。在地球上空第一次变轨是由椭圆轨道a变为椭圆轨道b，然后卫星通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道MN。“嫦娥二号”最终成为绕月卫星。在月球上空又一次变轨是由椭圆轨道d变为近月圆轨道c。则（     ） A．卫星在轨道a上运动的周期大于在轨道b上运动的周期 B．卫星在轨道c和轨道d上运动通过点时的加速度相等 C．卫星在轨道c和轨道d上运动通过点时线速度相等 D．卫星在轨道c上经过点时的速度大于它在轨道d上经过点时的速度 【答案】B 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道b上运动的半径较大，则周期较大，故A错误； B．根据万有引力提供向心力有 解得 卫星在轨道c和轨道d上运动通过点时的半径相等，则加速度相等，故B正确； CD．卫星在月球上空变轨是由椭圆轨道d点火减速，做近心运动进入近月圆轨道c，则卫星在轨道c上经过点时的速度小于它在轨道d上经过点时的速度，故CD错误； 故选B。 二、多选题 7．如图所示，是同一轨道平面内的三颗人造地球卫星，下列说法正确的是（　　） A．根据万有引力定律，可知线速度vA＜vB＜vC B．根据万有引力定律，可知向心力FA＞FB＞FC C．角速度ωA＞ωB＞ωC D．向心加速度aA＞aB＞aC 【答案】CD 【详解】A．根据引力提供向心力得 得线速度推导式 轨道半径越大线速度越小，因此正确关系应为，故A错误； B．向心力公式为 向心力大小不仅和轨道半径有关，还和卫星自身质量相关，题目未给出三颗卫星的质量关系，无法比较向心力大小，故B错误； C．由角速度推导式 轨道半径越大角速度越小，因此正确关系应为，故C正确； D．由向心加速度推导式 轨道半径越大向心加速度越小，因此，故D正确。 故选CD。 8．（25-26高一下·贵阳五中·期中）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（     ） A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过Q点时的速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 【答案】BD 【详解】AB．卫星分别在1、3圆轨道时，卫星与地球之间的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即 解得， 由于轨道3的半径大于轨道1，则卫星在轨道3上的速率和角速度都小于轨道1，故A错误，B正确； C．卫星需要在轨道1上的Q点加速才能使卫星做离心运动，进入2轨道，所以卫星在轨道1上经过Q点时的速度小于它在轨道2上经过Q点时的速度，故C错误； D．根据 可知 由于轨道2上的P点和轨道3上的P点是同一位置，则加速度相等，故D正确。 故选BD。 考向4　宇宙速度与同步卫星问题 一、单选题 1．（25-26高一下·无锡太湖高级中学·期中）2025年2月11日，我国使用长征八号甲运载火箭，以一箭9星方式，成功将卫星互联网低轨02组卫星送入预定圆周轨道，这些卫星轨道位于地面上方500～1000公里，则02组卫星（     ） A．发射速度比第一宇宙速度大 B．运行周期比同步卫星的大 C．向心加速度比同步卫星的小 D．运行速度比第一宇宙速度大 【答案】A 【详解】A．第一宇宙速度是卫星在地球近地圆轨道上做匀速圆周运动所需的最小发射速度。02组卫星的轨道高于近地轨道，将卫星送入更高轨道需要增加机械能，因此发射速度大于第一宇宙速度，故A正确； B．设卫星轨道半径为，周期为。万有引力定律给出，匀速圆周运动的向心力为。由两式相等得到本题的周期方程 整理得 02组卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以其运行周期小于同步卫星，故B错误； C．对卫星沿轨道半径方向应用牛顿第二定律，万有引力提供向心力，有 整理得 02组卫星的轨道半径小于同步卫星，故其向心加速度大于同步卫星，故C错误； D．对卫星应用万有引力定律和匀速圆周运动的向心力公式，有 整理得 轨道半径越大，圆轨道运行速度越小；第一宇宙速度对应近地圆轨道，因此02组卫星的运行速度小于第一宇宙速度，故D错误。 故选A。 2．（25-26高三上·曲靖一中·期末）黑洞是密度超大的星球，吸纳一切，光也逃不了。科学界已经证实了宇宙中黑洞的存在，某同学思考若地球仅质量变大形成一个黑洞，地球半径R和月、地间距离r不变，那么月球的环绕周期最接近下列哪个数值（已知月球绕地球运动的时间近似为30天，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s）（　　） A．10 h B．10 min C．10 s D．1 min 【答案】D 【详解】根据题意由逃逸速度等于光速的条件有 解得 设地球原质量，由第一宇宙速度，有 解得 根据万有引力定律 则月球绕地球运动的周期 则周期之比为 原周期 解得新周期 最接近1min。 故选D。 3．关于宇宙速度，下列说法正确的是（     ） A．第一宇宙速度是人造卫星沿圆轨道运行时的最大速度 B．第一宇宙速度是地球同步卫星的发射速度 C．人造地球卫星运行时的速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 D．第三宇宙速度是物体脱离地球的最小发射速度 【答案】A 【详解】A．根据万有引力提供向心力，可知 求得卫星圆轨道环绕速度 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，此时轨道半径近似等于地球半径，是所有圆轨道卫星中最小的，对应环绕速度最大，因此第一宇宙速度是人造卫星沿圆轨道运行时的最大速度，故A正确； B．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，地球同步卫星轨道高度远大于近地卫星，发射过程需要克服更多引力做功，发射速度大于第一宇宙速度，故B错误； C．人造地球卫星仍受地球引力束缚，运行速度小于第二宇宙速度，沿圆轨道运行的卫星速度不超过第一宇宙速度，故C错误； D．第二宇宙速度是物体脱离地球引力束缚的最小发射速度，第三宇宙速度是物体脱离太阳引力束缚的最小发射速度，故D错误。 故选A。 4．（25-26高一下·山西晋中祁县中学·阶段检测）如图所示，a为近地空间站，b为运行在晨昏线上空的观测卫星，c为运行在倾斜同步轨道上的北斗导航卫星，d为地球静止同步轨道气象卫星。已知b的轨道半径大于a的轨道半径，小于c的轨道半径，则下列说法中正确的是（     ） A．观测卫星b绕地球运动的周期为1天 B．a、b、c、d的运行速度大小关系为va>vb>vc=vd C．北斗导航卫星c可能定位在北京上空，相对地面保持静止 D．卫星c与d的周期、加速度、动能及所受地球引力都相等 【答案】B 【详解】AB．卫星绕地球做圆周运动时，地球引力提供向心力。对质量为、轨道半径为的卫星，由万有引力定律和向心力公式得 整理得 所以轨道半径越大，运行速度越小。由周期定义得 代入前式得 已知轨道半径大小规律为 同步卫星的周期为，由周期关系可知 由速度关系可知，故A错误，B正确； C．同步卫星只有运行在赤道平面内，且公转方向与地球自转方向相同，才能相对地面静止。卫星运行在倾斜同步轨道上，轨道平面不在赤道平面内，不能相对北京地面保持静止，故C错误； D．卫星与均为同步卫星，周期相同，由前式可知轨道半径相同，因此它们的加速度大小相同。两卫星的动能分别满足，所受地球引力大小满足；由于题目未给出两卫星质量相等，动能和所受地球引力不一定相等，故D错误。 故选B。 5．（26-27高三上·扬州新华中学·开学考）某卫星绕地球做匀速圆周运动，运行周期为12小时。下列说法正确的是（　　） A．该卫星的高度大于同步卫星 B．该卫星运行过程中加速度恒定 C．该卫星的运行速度小于地球第一宇宙速度 D．该卫星在太空中所受地球引力比在地面上大 【答案】C 【详解】A．同步卫星周期为，由万有引力提供向心力 解得 可知轨道半径越小周期越小，该卫星周期小于同步卫星周期，故轨道半径更小，卫星的高度低于同步卫星，故A错误； B．卫星做匀速圆周运动，加速度为向心加速度，大小不变但方向始终指向地心，随运动不断变化，加速度不恒定，故B错误； C．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是所有圆轨道卫星的最大环绕速度，由 得 轨道半径越大线速度越小，该卫星轨道半径大于近地卫星，故运行速度小于第一宇宙速度，故C正确； D．由万有引力公式，卫星在轨道上到地心的距离大于地球半径，故所受地球引力比在地面上小，故D错误。 故选C。 二、多选题 6．（26-27高二上·承德·开学）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体万有引力为零。P、Q两个星球的质量分布均匀，忽略自转影响，它们的重力加速度大小随物体到星球中心的距离r变化的图像如图所示，关于P、Q星球，下列说法正确的是（     ） A．P、Q两星球的半径之比为1∶2 B．P、Q两星球质量之比为1∶8 C．Q星球的密度大于P星球的密度 D．P、Q两星球第一宇宙速度大小之比为2∶1 【答案】AB 【详解】AB．由题图可知，两星球表面的重力加速度大小和半径之比都是1∶2，即 在星球表面万有引力等于重力，则有 解得 则两星球的质量之比，故AB正确； C．根据密度 联立整理得 所以两星球密度相同，故C错误； D．第一宇宙速度v满足 解得 则两星球的第一宇宙速度大小之比，故D错误。 故选AB。 7．（26-27高三上·福建福州·开学）2024年11月1日，中国气象局发布了风云四号C星首套观测图像。风云四号C星是全球综合探测能力最强的地球静止轨道气象卫星，为天气预报、环境监测、防灾减灾提供高精度服务。关于风云四号C星说法正确的是（     ） A．可以定点在福州正上方 B．运行的线速度小于第一宇宙速度 C．向心加速度小于地球表面的重力加速度 D．若地球自转周期增大，地球静止轨道卫星的轨道半径要减小 【答案】BC 【详解】A．地球静止轨道卫星相对地面保持静止，必须在赤道平面内做圆周运动，其运行轨道位于赤道正上方，因此只能定点在赤道上某点的正上方，福州不在赤道上，所以风云四号C星不可以定点在福州正上方，故A错误； B．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 解得 地球第一宇宙速度等于卫星在地球表面轨道绕地球做匀速圆周运动的线速度，所以风云四号C星运行的线速度小于第一宇宙速度，故B正确； C．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 解得 可知风云四号C星的向心加速度小于卫星在地球表面轨道绕地球做匀速圆周运动的向心加速度，即小于地球表面的重力加速度，故C正确； D．由万有引力提供向心力得 可得 若地球自转周期增大，地球静止轨道卫星的轨道半径要增大，故D错误。 故选BC。 8．（2026·延边二中·一诊）潮汐锁定是指一天体在绕另一天体公转时，由于潮汐力的作用，其自转周期逐渐与公转周期同步。若银河系中一双星系统中A、B星处于互相潮汐锁定状态，绕同一点做匀速圆周运动，已知A、B两星的质量之比为，半径之比为，下列说法正确的是（     ） A．A、B两星的公转轨道半径之比为 B．A、B两星“赤道”上放置的物体速度之比为 C．A、B两星的第一宇宙速度之比为 D．A、B两星的同步卫星轨道半径之比为 【答案】BC 【详解】A．设，两星的质量分别为，，绕共同圆心的公转轨道半径分别为，，公转角速度均为。由牛顿第二定律，万有引力分别提供两星做圆周运动的向心力，有 整理得，故A错误； B．潮汐锁定使两星的自转周期均等于共同公转周期，因此自转角速度相同，设为。设两星半径分别为，，由线速度与角速度的关系，两星赤道处物体的线速度分别为， 所以，故B正确； C．设绕，两星表面附近做匀速圆周运动的卫星质量均为，其第一宇宙速度分别为，。由万有引力提供向心力，分别有， 整理得， 所以，故C正确； D．潮汐锁定使两星的自转角速度均等于共同公转角速度，设为。设两星同步卫星的质量均为，轨道半径分别为，。由万有引力提供向心力，分别有， 整理得 所以，故D错误。 故选BC。 9．（25-26高三上·四川崇州怀远中学·期末）我国将在2030年前后实施火星采样返回。若a为火星表面赤道上的物体，b为轨道在火星赤道平面内的近火星表面卫星，c为在赤道上空的火星同步卫星，卫星c和卫星b的轨道半径之比为，两卫星的绕行方向相同，下列说法正确的是（　　） A．卫星和卫星绕火星运动的周期之比8：1 B．的线速度大小关系为 C．的向心加速度大小关系为 D．的角速度大小关系为 【答案】AD 【详解】A．根据万有引力提供向心力得 解得 火星静止卫星c和卫星b的轨道半径之比为4：1，卫星c和卫星b的周期之比为，故A正确； BCD．火星静止卫星的角速度等于火星自转角速度，则知a与c的角速度大小相等，即 根据 因卫星c的轨道半径大于火星的半径，可知 根据 因卫星c的轨道半径大于火星的半径，可知 对于卫星b与c，根据万有引力提供向心力可得 可得，， 因卫星b的轨道半径小于卫星c的轨道半径，则，， 由上分析可知，三者的线速度大小关系为 角速度大小关系为 向心加速度大小关系为，故BC错误，D正确。 故选AD。 考向5　双星与多星模型 一、单选题 1．（2026·南宁三中·二调）在遥远的太阳系边缘，有两颗孤独而坚定的星球——冥王星与卡戎（如图甲）。冥王星与卡戎可看成一个双星系统，它们绕着O点做匀速圆周运动（如图乙），已知卡戎和冥王星的质量分别为m和8m，二者星球半径分别为r和2r，两星球球心之间的距离为L。在彼此绕行的过程中，忽略其他天体的影响，下列说法正确的是（     ） A．双星系统转动周期为 B．双星系统转动周期为 C．冥王星与卡戎的第一宇宙速度之比为 D．冥王星与卡戎的第一宇宙速度之比为 【答案】A 【详解】AB．由题意可知，冥王星与卡戎可看成一个双星系统，设冥王星圆周运动半径为，卡戎圆周运动半径为，可得 对冥王星根据引力提供向心力可得 对卡戎根据引力提供向心力可得 双星系统转动角速度 其中冥王星质量 解得双星系统转动周期为，故A正确，B错误； CD．某卫星在冥王星近圆轨道做匀速圆周运动，万有引力提供向心力有 某卫星在卡戎近圆轨道做匀速圆周运动，万有引力提供向心力有 解得冥王星与卡戎的第一宇宙速度之比，故CD错误。 故选A。 2．（25-26高一下·内蒙古包头·期末）如图，、、三颗赤道上方的卫星位于正三角形的三个顶点上恰好能实现环赤道全球通信。卫星的转动方向与地球自转方向相同。已知地球半径为，地球表面两极处的重力加速度为（仅考虑地球对卫星的作用力）。则该三颗卫星绕地球转动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】三颗卫星位于正三角形三个顶点，地球赤道截面为该正三角形的内切圆，内切圆半径为地球半径R，正三角形顶点到地心的距离为卫星轨道半径r。 由正三角形性质：内切圆半径为外接圆半径的一半，得 地球表面两极处，物体重力等于万有引力，有 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 解得 故选B。 二、多选题 3．（26-27高二上·山东日照·开学考试）“双星系统”由相距较近的两颗恒星组成，它们在彼此间引力作用下绕连线上的某一点做匀速圆周运动。若某双星系统由甲、乙两恒星组成，其中甲的质量为m，乙的质量为M，两恒星中心之间的距离为L，万有引力常量为G．下列判断正确的是（     ） A．甲与乙的线速度大小之比为 B．甲做圆周运动的轨道半径为 C．该双星系统的周期为 D．若甲、乙间距保持不变，甲的一部分物质转移到乙上，则双星系统的周期增大 【答案】BC 【详解】AB．双星系统的核心特点是两星绕共同圆心做匀速圆周运动，角速度ω、周期T完全相同，彼此间的万有引力提供各自的向心力，两星轨道半径之和等于两星间距L。 对甲星 对乙星 联立可得 结合，解得 ， 由线速度，两星角速度相同，因此 故A错误，B正确； C．将，代入甲的向心力公式，整理得 结合周期，可得，故C正确。 D．由上述周期公式可知，当两星间距L不变时，若甲的转移到乙上，总质量保持不变，因此双星的周期T也不变，故D错误。 故选BC。 4．（2026·渭南韩城·考前学情自测）在浩瀚宇宙中存在着很多稳定的天体系统，整个系统由两个以上的天体组成。例如三星系统，质量相等的三个天体分别位于等边三角形的三个顶点，且绕同一个点做匀速圆周运动，已知相邻两星体的距离为r，整个系统的运行周期为T，不考虑系统外星体的作用力，引力常量为G，下列分析正确的是（　　） A．三个星体的质量均为 B．相邻两个星体之间的万有引力大小为 C．星体运行的线速度大小为 D．若三个星体质量增大，系统稳定存在且周期不变，则相邻两星体距离r变大 【答案】CD 【详解】AB．轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，根据几何关系可得 解得 根据题意可知，三颗星的质量相同，设为m，根据牛顿第二定律可得 联立解得 所以两个星体间的万有引力大小为，故AB错误； C．线速度大小为，故C正确； D．由以上分析可知 若三个星体质量增大，系统稳定存在且周期不变，则相邻两星体距离r变大，故D正确。 故选CD。 三、解答题 5．（26-27高三上·衡水二中·开学）从动力学规律来看，地月系统可以等效为双星系统，它们在彼此的万有引力作用下，围绕连线上某点各自做匀速圆周运动。如图所示，地球与月球绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。若地球的质量为m1，月球的质量为m2，地球做匀速圆周运动的半径为r1，地球、月球均可视为质点。求： (1)月球做匀速圆周运动的半径r2； (2)在相等时间内，地球与O点、月球与O点的连线扫过的面积之比S1∶S2。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）地球、月球间万有引力提供彼此向心力；二者角速度相等；轨道半径之和等于 地月间距 对地球： 对月球：· 联立可得 解得 （2）质点绕圆心匀速圆周运动，时间内扫过的扇形面积可表示为 设在这一时间内地球与月球扫过面积分别为、 则， 故 把代入上式，可得 6．（25-26高三上·安阳一中·练习（三））由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若引力常数为G，A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a。 (1)求星体B所受的合力大小； (2)求该三星系统的周期。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对B星体进行受力分析，如图所示 B星体所受A、C星体的万有引力大小分别为， 根据几何关系可得星体B所受合力大小为 （2）根据受力分析图可知 星体B所受的合力提供向心力，则 解得 一、单选题 1．（26-27高三上·贺州昭平中学·月考）2026年7月10日12时15分，长征十号乙运载火箭在海南商业航天发射场发射升空，成功将卫星送入预定轨道。随后，火箭一子级垂直返回，在回收船上通过网系捕获方式成功回收。这是我国首次成功实施运载火箭一子级可控回收，也是全球首次实现运载火箭海上网系回收，标志着我国在重复使用火箭技术领域取得历史性突破。假设卫星进入轨道后做匀速圆周运动，其轨道半径为，周期为，引力常量为，则可求出（     ） A．卫星受到地球万有引力的大小 B．地球的质量 C．卫星的密度 D．地球的体积 【答案】B 【详解】ABC．根据题意，由万有引力提供向心力有 整理可得 可知，可求出地球的质量，由于不知卫星的质量和半径，也无法求出卫星的质量，则不可求卫星受到地球万有引力的大小和卫星的密度，故AC错误，B正确； D．由于不知道地球的半径和地球的密度，则无法求出地球的体积，故D错误。 故选B。 2．（2027·湖南湘潭·一模）“太空天梯”是经典的航天科幻设想，天梯一端固定于地球赤道，其中轴线过地心，随地球一起绕地心转动，如下图所示。现利用天梯将货物从地球赤道基地运送至静止轨道空间站A，某时刻质量为m的货物到达离地心距离为r的位置P（未到达空间站A），且相对天梯静止。此时在空间站A外侧有卫星B同向绕地运行，且两者相距最近，经过时间t后，A、B第一次相距最远，已知地球质量为M，自转周期为T。下列说法正确的是（　　） A．到达位置P时，天梯内的货物处于完全失重状态 B．P位置天梯外部某物体脱落时，将沿距离地心为r的轨道做匀速圆周运动 C．到达位置P时，天梯对货物的作用力大小为，方向沿天梯指向地心 D．卫星B绕地球做圆周运动的周期为 【答案】D 【详解】A．太空电梯随地球自转，角速度与地球自转角速度相同。只有在同步轨道高度，万有引力才恰好提供向心力，宇航员处于完全失重状态；在低于同步轨道处，万有引力大于所需向心力，电梯对宇航员有支持力，宇航员并非处于完全失重状态，故A错误； B．P位置天梯外部某物体脱落时，支持力变为零，物体只受万有引力，此时万有引力大于物体做圆周运动所需向心力，物体将做近心运动，故不能沿距离地心为r的轨道做匀速圆周运动，故B错误； C．根据牛顿第二定律可得 所以 方向沿天梯背离地心，故C错误； D．空间站A为同步卫星，周期为T，卫星B与A同向运行，经过时间t第一次相距最远，说明两者转过的角度差为π，即 解得，故D正确。 故选D。 3．（2027·贵州黔南·摸底）截至2026年6月7日，鹊桥二号中继卫星已在近月点高度约为200 km、远月点高度约为16000 km的环月椭圆轨道上运行了796天。设鹊桥二号的加速度大小为a，其到月心的距离为r，则鹊桥二号从远月点到近月点的过程中，a随变化的关系图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】鹊桥二号绕月运行时，月球对卫星的万有引力提供卫星运动所需的合力。由万有引力定律 由牛顿第二定律，卫星的加速度大小满足 联立两式得 其中和月球质量均为定值，所以与成反比。卫星从远月点运动到近月点时，减小而增大，关系图像应为随增大而单调减小、且曲线逐渐变缓的反比例曲线。 故选D。 4．（2027·浙江七彩阳光&浙南名校·一模）某火星探测器接近火星时，在第一次减速后沿半长轴为的椭圆轨道Ⅰ上绕火星运动，然后在点（近火点）再次减速后，探测器沿半径为的圆轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动，其速率为，已知火星的半径为，引力常量为，则（     ） A．轨道Ⅰ的周期为 B．火星的质量为 C．火星上的第一宇宙速度为 D．沿椭圆轨道Ⅰ运动时，在点的加速度大于 【答案】A 【详解】A．根据开普勒第三定律，绕同一中心天体（火星）运行的卫星，其轨道半长轴的三次方与周期平方的比值为定值，即 对圆轨道Ⅱ，其半长轴（半径）为，周期为 椭圆轨道Ⅰ的半长轴为，故火星探测器在轨道Ⅰ的周期满足 解得，故A正确； B．探测器在半径为的圆轨道Ⅱ上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，满足 解得火星的质量为，故B错误； C．第一宇宙速度是近火表面的环绕速度，满足万有引力提供向心力 代入 解得，故C错误； D．根据牛顿第二定律，探测器沿椭圆轨道Ⅰ运动时，在点的加速度由万有引力决定，即 代入 解得，故D错误。 故选A。 5．（2027·浙江强基联盟·一模）太空碎片会对航天器带来危害。空间站绕地球做逆时针方向的匀速圆周运动，如图中实线所示，太为了避开碎片，空间站在点以极短时间喷射气体，喷射方向沿径向（图中箭头所示）。变轨后轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则空间站（     ） A．变轨后的运动周期变小 B．变轨前、后经过点的速率变小 C．变轨前的速率比变轨后的远地点速率大 D．变轨前、后经过点的向心加速度大小不变 【答案】C 【详解】A．因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故A错误； B．变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，即空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大，故B错误； C．设变轨后远地点到地球球心为半径的圆轨道的速度为，由万有引力提供向心力有 可得 可知，变轨前的速率大于，从远地点进入椭圆轨道需减速做近心运动，则变轨后的远地点速率小于，则有变轨前的速率比变轨后的远地点速率大，故C正确； D．由牛顿第二定律有 解得 可知，变轨前、后经过点的加速度大小不变，由于变轨前的加速度即为向心加速度，变轨后经过点时加速度为切向加速度和向心加速度的合加速度，则变轨前、后经过点的向心加速度大小改变，故D错误。 故选C。 6．（2026·贵阳一中·模拟）如图所示，某星球赤道上的点有一卫星观测站，高空中有一探测卫星B，其轨道与赤道共面。探测卫星B的绕行方向与该星球自转方向相反，角速度为该星球自转角速度的2倍。已知该星球半径为，高空探测卫星B距星球表面的高度也为，星球表面的重力加速度为。卫星观测站能持续监测到探测卫星B的时间最长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设星球自转角速度为，探测卫星轨道半径为。在星球表面，由万有引力近似等于重力得。整理得 探测卫星绕该星球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 代入 整理得，设观测站半径与卫星半径的夹角为。刚好可监测时，视线与点处地平线重合，即。在直角三角形中，，，故 可得，因此每次连续可监测对应的相对转角最大为 因探测卫星绕行方向与星球自转方向相反，观测站与卫星的相对角速度为 最长监测时间为 故选D。 7．（25-26高三上·陕西安康·二调）英国物理学家卡文迪许在实验室里通过对几个铅球之间万有引力的测量，比较准确地得出了引力常量的数值。若卡文迪许测出两个质量均为m，球心间距为r的铅球之间的万有引力大小为F，已知地球的质量为M、半径为R，不计地球自转的影响，则下列说法正确的是（     ） A．引力常量 B．在地球表面上，每个铅球受到的重力大小均为 C．若两个铅球间的距离为2r，则它们之间的万有引力大小为4F D．地球的第一宇宙速度为 【答案】B 【详解】A．对质量均为、间距为的两铅球，由万有引力定律得 整理得，故A错误； B．不计地球自转，铅球在地球表面的重力等于地球对它的万有引力，由万有引力定律得，代入前述结果得，故B正确； C．两铅球间距变为时，由万有引力定律得，故C错误； D．设近地卫星质量为，由万有引力提供向心力得 代入前述引力常量并整理得，故D错误。 故选B。 8．（2026·贵州·最后一卷）2025年11月19日12时01分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将实践三十号A、B、C星发射升空。如图所示，若A、B、C星绕地球在各自的轨道上做匀速圆周运动，线速度大小分别为vA、vB、vC，则A、B、C星的线速度大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得 整理得 由题图可知，所以解得 故选B。 9．（2026·甘肃·高考）关于地球的重力加速度，考虑地球自转，下列说法正确的是（     ） A．两极地表的重力加速度最大 B．地球表面的重力加速度处处相等 C．地球表面的重力加速度方向处处指向地心 D．同一地点上空，距离地面越高，重力加速度越大 【答案】A 【详解】A．两极处物体随地球自转的轨道半径为0，自转向心力为0，万有引力全部等于重力，满足；其余纬度处万有引力需分出一部分提供自转向心力，重力小于万有引力，因此两极地表重力加速度最大，故A正确； B．不同纬度处物体随地球自转的轨道半径不同，自转向心力不同，重力加速度随纬度升高而增大，且同一纬度处海拔越高重力加速度越小，并非处处相等，故B错误； C．重力是万有引力的一个分力，仅赤道和两极处重力方向指向地心，其余位置重力方向为竖直向下，不指向地心，故C错误； D．同一地点上空，距离地面高度为处，重力加速度近似满足 越大越小，故D错误。 故选A。 10．（2026·深圳中荟高级中学·适应性练习）宇宙中存在一种特殊的三星系统，如图，甲、乙、丙是始终位于同一直线上的离其它恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则（     ） A．甲、丙恒星的线速度相同 B．甲、丙恒星的加速度相同 C．甲、丙恒星绕乙运行的周期为 D．甲、丙恒星的线速度大小为 【答案】D 【详解】A．线速度是矢量，甲、丙绕乙做圆周运动，线速度方向沿各自轨道切线方向，方向不同，因此线速度不相同，故A错误； B．加速度是矢量，甲、丙的向心加速度分别指向乙，方向相反，因此加速度不相同，故B错误； CD．甲受到乙的万有引力（指向圆心乙）和丙的万有引力（指向圆心乙）作用，两个引力的合力提供甲做圆周运动的向心力，则 解得，，故C错误，D正确。 故选D。 11．（2026·驻马店经济开发区高级中学·质量检测）“千帆星座”首批组网卫星的发射仪式于8月5日在太原举行，这标志着中国版“星链”计划已全面启动，若将所有目前运行在约550千米高度的卫星，降低至约480千米轨道，则下列说法正确的是（     ） A．降轨过程中需要点火加速 B．降轨后卫星的线速度大小变大 C．降轨后卫星与地面间的通讯传输时间变长 D．降轨后卫星绕地球运动的周期变长 【答案】B 【详解】A．由高轨道到低轨道是通过对该卫星点火减速后降低轨道来实现的，A错误； B．由可知，因此降轨后卫星的线速度大小变大，B正确； C．由于低轨道卫星距地球表面更近，电磁波传输距离变短，因此降轨后卫星与地面间的通讯传输时间变短，C错误； D．降轨后卫星的周期变短，D错误。 故选B。 12．（2026·陕西榆林·预测四）中山大学团队发现了通过双星并合形成的极年轻白矮星，相关成果于2025年9月15日发表在国际权威期刊The Astrophysical Journal Letters上。如图所示，A、B两恒星绕A、B连线上的点做匀速圆周运动，形成一个稳定的双星系统。若只考虑两恒星之间的万有引力，A、B两恒星的质量之比为，则（     ） A．A、B两恒星的角速度之比为 B．A、B两恒星的轨道半径之比为 C．A、B两恒星的向心加速度大小之比为 D．A、B两恒星的动能之比为 【答案】D 【详解】A．双星系统中两恒星的角速度相同，故A错误； B．由万有引力提供向心力，有 可知 则A、B 两恒星的轨道半径之比为2:1，故B错误； C．由万有引力提供向心力，有F=mAaA=mBaB 可知，A、B两恒星的向心加速度大小之比为2:1，故C错误； D．由动能 可知，A、B两恒星的动能之比为，故D正确。 故选D。 二、多选题 13．2026年，我国加速推进载人登月工程。如图为一次模拟任务，载有“揽月”着陆器的“梦舟”飞船先沿环月圆轨道I运行，在P点短暂点火后进入椭圆轨道II，并在近月点Q实施着陆。下列说法正确的是（     ） A．飞船在P点从轨道I进入轨道II时速度增大 B．飞船在轨道I上的运行周期大于在轨道II上的运行周期 C．飞船在轨道I上P点的加速度大于在轨道II上P点的加速度 D．飞船在轨道II上运行时，经过P点的速度小于经过Q点的速度 【答案】BD 【详解】A．根据卫星变轨规律，卫星由高轨道到低轨道，需要点火减速，飞船在P点从轨道I进入轨道II时，速度减小，故A错误； B．由开普勒第三定律，绕同一中心天体运行的轨道满足。圆轨道I的半长轴为 椭圆轨道II的半长轴小于，因此，故B正确； C．飞船在轨道上任一点的引力加速度由万有引力定律和牛顿第二定律决定， 两条轨道在点到月心的距离都为，所以该点加速度大小相等，故C错误； D．在椭圆轨道II上，飞船从点运动到点过程中机械能守恒，故有 由于远月点到月心的距离大于近月点到月心的距离，所以 即经过点的速度小于经过点的速度，故D正确。 故选BD。 14．（2026·长沙望城六中·模考）中国北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统（）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统（GLONASS）之后第三个成熟的卫星导航系统．如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知、、三颗卫星均做圆周运动，是地球同步卫星，则（     ） A．卫星的速度小于卫星的速度 B．卫星的加速度大于卫星的加速度 C．卫星的线速度大于赤道上的物体随地球自转的线速度 D．卫星的周期小于卫星的周期 【答案】AC 【详解】根据万有引力提供向心力，可得 可得，， A．由可知半径大的线速度小，即卫星的速度小于卫星的速度，故A正确； B．由可知半径相同加速度大小相等，卫星的加速度大小等于卫星的加速度大小，故B错误； C．、的半径相等，则、的线速度相等，是地球同步卫星，则和赤道上的物体角速度相等，根据可知，故C正确； D．由可得半径大的周期大，即卫星的周期大于卫星的周期，故D错误。 故选AC。 三、解答题 15．（26-27高三上·南京中华中学·期初统测）2020年诺贝尔物理学奖授予黑洞的理论研究和天文观测的三位科学家。他们发现某明亮恒星绕银河系中心O处的黑洞做圆周运动，利用多普勒效应测得该恒星做圆周运动的速度为v，用三角视差法测得地球到银河系中心的距离为L，明亮恒星的运动轨迹对地球的最大张角为2θ，如图所示。已知万有引力常量为G。求： (1)恒星绕银河系中心黑洞运动的周期T； (2)银河系中心黑洞的质量M。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设恒星绕黑洞做圆周运动的半径为，则有， 解得 （2）恒星受到黑洞对它的万有引力提供向心力，设恒星的质量为，有 解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难突破5　万有引力综合 1. 理解开普勒三大定律，掌握万有引力定律的内容、公式与适用条件，会用万有引力定律和“黄金代换”计算天体的质量与密度。 2. 掌握卫星环绕运动的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系，理解三个宇宙速度以及近地卫星、同步卫星的特点。 3. 掌握卫星变轨规律、椭圆轨道与航天能量变化，会分析双星及多星模型，能综合解决万有引力与航天问题。 【思维导图】 考点一　开普勒行星运动定律 1．第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；不同行星的椭圆轨道一般不同。 2．第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等；由它可知行星在近日点速率最大、远日点速率最小（近快远慢）。 3．第三定律（周期定律）：行星公转轨道半长轴 a 的三次方跟公转周期 T 的二次方之比为常量，即 ；常量 k 只与中心天体有关，与环绕天体无关。轨道近似为圆时，半长轴取轨道半径 r，即 r³/T²=k。 开普勒三大定律 定律 内容 关键结论 第一定律（轨道） 所有轨道为椭圆，太阳在一个焦点上 焦点不是椭圆的几何中心 第二定律（面积） 相等时间内连线扫过相等面积 近日点快、远日点慢 第三定律（周期） a³/T²=k k 只由中心天体决定 重难诠释　①第三定律不仅适用于行星绕太阳，也适用于卫星绕行星；只有绕“同一中心天体”运动的星体，常量 k 才相同、才可互相比较。②椭圆半长轴 a=(r近+r远)/2。③比较椭圆轨道上的速度大小用第二定律：离中心天体越近速率越大。④中学阶段多数轨道近似为圆，此时半长轴就是轨道半径。 考点二　万有引力定律与天体质量、密度的计算 1．内容：自然界中任何两个有质量的物体都相互吸引，引力方向沿两物体连线，大小跟质量乘积成正比、跟距离二次方成反比，即 2．引力常量 G=6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²，由卡文迪什扭秤实验首次较准确测出。公式适用于两个质点；质量均匀分布的球体可把质量看作集中在球心，r 取两球心间距。 3．万有引力与重力：忽略地球自转时，地面物体所受重力等于万有引力，即 ，由此得到黄金代换式 （M、R 为中心天体质量、半径，g 为其表面重力加速度）。 4．计算中心天体质量（只能求中心天体，求不出环绕天体）：（1）环绕法，由万有引力提供向心力 ，得 ；（2）重力法（黄金代换）。 5．中心天体的密度：；若为近地卫星，r≈R，则 ，只需测出环绕周期即可估测中心天体密度。 天体质量的两种测算方法 方法 依据公式 需要测量的量 环绕法 GMm/r²=m·4π²r/T² → M=4π²r³/(GT²) 轨道半径 r、环绕周期 T 重力法 mg=GMm/R² → M=gR²/G 表面重力加速度 g、天体半径 R 重难诠释　①环绕法中环绕天体自身质量 m 被约去，故只能求中心天体质量，不能求环绕天体质量。②务必区分中心天体半径 R 与卫星轨道半径 r：r=R+h（h 为距地面高度）。③黄金代换 GM=gR² 是联系“天上环绕”与“地面重力”的桥梁；换一个中心天体，要用它自己的 g、R。④考虑自转时，赤道上重力略小于万有引力（差额提供随天体自转的向心力），两极处重力才等于万有引力。 考点三　卫星（环绕天体）的运动规律 1．基本思路：万有引力全部提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力： 2．四个推论（M 为中心天体质量，r 为轨道半径）：线速度 ；角速度 ；周期 ；向心加速度 。 3．（25-26高一上·武昌实验中学·期末）“高轨低速大周期”：对绕同一中心天体运动的圆轨道卫星，轨道半径 r 越大，线速度 v、角速度 ω、向心加速度 a 越小，而周期 T 越大；上述各量都与卫星自身质量 m 无关。 各物理量随轨道半径 r 的变化（中心天体 M 不变） 物理量 表达式 r 增大时 线速度 v 减小 角速度 ω 减小 周期 T 增大 向心加速度 a 减小 重难诠释　①上述规律的前提是“万有引力全部提供向心力”的稳定圆轨道，且中心天体相同（M 相同）才能直接比较。②轨道半径 r 是卫星到地心的距离，不是离地高度。③v、ω、T、a 只由 M 和 r 决定，与卫星质量、形状无关，同一轨道上不同卫星快慢相同。④绕不同中心天体（如绕地球与绕太阳）时 M 不同，不能套用此单调关系。 考点四　宇宙速度与同步卫星 1．第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9 km/s：物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，。它是人造卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球做圆轨道运动的最大环绕速度。 2．第二宇宙速度（脱离速度）v2=11.2 km/s：达到后可挣脱地球引力束缚，不再绕地球运行；第三宇宙速度 v3=16.7 km/s：达到后可挣脱太阳引力束缚、飞出太阳系。 3．近地卫星：轨道半径 r≈R，它是周期最小（约 84 min）、环绕速度最大（等于 7.9 km/s）的人造卫星。 4．地球同步卫星（通信卫星）：相对地面静止，具有“五定”——定周期（T=24h，等于地球自转周期）、定轨道平面（赤道平面正上方）、定高度（h≈3.6×10⁴km）、定速率（v≈3.1km/s）、定位置（定点于赤道上空）；所有同步卫星都在同一圆轨道上。 赤道物体、近地卫星、同步卫星的比较（易混） 比较对象 向心力来源 轨道位置 周期 赤道上随地球自转物体 万有引力的一小部分提供自转向心力 地面 r=R 24h 近地卫星 万有引力全部提供向心力 r≈R 约84min 同步卫星 万有引力全部提供向心力 赤道上空 r≈6.6R 24h 重难诠释　①第一宇宙速度有“双重身份”：最小发射速度、最大环绕速度；发射越高所需发射速度越大，但稳定运行的环绕速度越小。②同步卫星必须在赤道平面内同一高度，故各国同步卫星都在同一圆轨道，只是定点经度不同。③比较三类对象：同步卫星与赤道物体 ω、T 相同（等于地球自转角速度），由 a=ω²r 知同步卫星向心加速度大；近地卫星与同步卫星都由万有引力提供向心力，r 越大 v 越小、T 越大。线速度关系为：近地卫星＞同步卫星＞赤道物体。 考点五　卫星变轨、椭圆轨道与航天能量 1．椭圆轨道：卫星在椭圆轨道上由万有引力提供向心力，由开普勒第二定律知近地点速度最大、远地点速度最小；其周期由第三定律 决定，a 为椭圆半长轴。 2．变轨规律：在切点处向后喷气加速，所需向心力增大而万有引力不足以维持原圆轨道，卫星做离心运动，由低轨进入较高的椭圆轨道；向前喷气减速则由高轨进入较低轨道。即“升轨加速、降轨减速”。 3．切点速度：椭圆近地点速度大于同半径内侧圆轨道速度，远地点速度小于同半径外侧圆轨道速度；稳定后高圆轨道速度小于低圆轨道速度（高轨低速）。 4．航天能量：卫星机械能 E=Ek+Ep，取无穷远势能为零时引力势能 （为负值）；轨道半径越大，动能越小而引力势能增加得更多，总机械能越大。加速升轨发动机做正功、机械能增加，减速降轨机械能减少。 变轨过程各量比较（低轨Ⅰ→椭圆Ⅱ→高轨Ⅲ） 比较点 速度关系 说明 近地点 P vⅡP＞vⅠ P 点加速进入转移椭圆 远地点 Q vⅢ＞vⅡQ Q 点加速进入高圆轨道 稳定圆轨道 vⅠ＞vⅢ 高轨低速 同一点加速度 相等 加速度只由万有引力决定 重难诠释　①变轨瞬间喷气使速度突变，但位置和万有引力未变，故加速度不突变；同一位置无论经过哪个轨道，加速度 a=GM/r² 都相同。②椭圆近、远地点速度不能直接套用圆轨道公式 ，应结合机械能守恒或开普勒定律判断。③判断速度要同时用“切点变轨规律”和“高轨低速”，并区分“变轨瞬间”与“稳定运行”两种状态。④轨道越高机械能越大，但运行动能反而越小，二者不可混淆。 考点六　双星与多星模型 1．双星模型：两颗相距 L 的恒星，在彼此间万有引力作用下绕连线上的共同圆心 O 做匀速圆周运动，运动过程中两星间距 L 保持不变。 2．双星特点：两星角速度 ω、周期 T 相同，相互万有引力大小相等、互为向心力；由 得 r1∶r2=m2∶m1，且 r1+r2=L，即轨道半径与质量成反比；线速度之比 v1∶v2=r1∶r2=m2∶m1。 3．双星总质量：联立可得 ，测出间距 L 与周期 T 即可求两星总质量。注意式中用的是两星间距 L，而不是各自的轨道半径。 4．多星模型（三星、四星）：各星在相互万有引力的合力作用下绕共同圆心做匀速圆周运动，轨道半径由几何对称性确定——正三角形三星的圆心在三角形中心，正方形四星的圆心在正方形中心。解题先由几何关系确定轨道半径，再令“所受万有引力的合力指向圆心并等于 mω²r”。 重难诠释　①双星的轨道半径 r1、r2 是两星到共同质心 O 的距离，不是两星间距 L，且 L=r1+r2；万有引力公式中的距离是 L，而圆周运动半径是各自的 r，两者绝不能混用。②双星 ω、T 一定相同，这是列方程的纽带。③多星问题要对每个星体做受力分析，把其他各星的万有引力矢量合成，合力必须恰好指向共同圆心（否则不能稳定共转）。④直线型三星中间星体所受两侧引力方向相反，注意与正三角形构型区分。 考向1　开普勒定律与行星（卫星）运动 一、单选题 1．（25-26高一上·武昌实验中学·期末）中国空间站离地高度约为，地球静止卫星（绕地公转周期）离地高度约为，地球半径约为。利用以上数据计算航天员在内看到日出的次数可能为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 2．（2026·巴中·零诊）在火星与木星之间的主小行星带有一颗直径约10.2公里的小行星，国际小天体命名委员会批准命名为“袁隆平星”，以此致敬袁隆平院士毕生贡献。已知该小行星自转周期约5.4小时，公转周期为5.27年，忽略行星间的相互作用，则此小行星绕太阳公转半径与地球绕太阳公转轨道半径之比约为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（26-27高三上·六安毛坦厂中学东部新城校区·开学）如图所示，A、B两卫星绕地球做匀速圆周运动。已知B卫星的轨道半径是A卫星轨道半径的k倍，B卫星做圆周运动的周期与A卫星做圆周运动的周期之差为T，则卫星A的周期为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖北武汉·期末）“二十四节气”起源于黄河流域，是上古农耕文明的产物。地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，将地球绕日一年转360度分为24份，每15度为一个节气。立春、立夏、立秋、立冬分别作为春、夏、秋、冬四季的起始，如图所示为地球公转位置与节气的对照图。下列说法中正确的是（     ） A．从节气划分来看，一年四季的时间一样长 B．太阳对地球的万有引力大于地球对太阳的万有引力 C．太阳系中，开普勒第三定律中的值由太阳质量决定 D．地球转到夏至点与冬至点时的线速度大小相同 二、多选题 5．（25-26高一上·湖北襄阳襄城四中·期末）水星是太阳系八大行星中体积最小的行星，水星和地球绕太阳公转的方向相同且轨道共面，其运行轨道均为椭圆，水星轨道更靠近太阳，如图所示。下列说法正确的是（     ） A．水星绕太阳运行的周期小于地球的周期 B．水星、地球的椭圆轨道具有相同的焦点 C．地球在椭圆轨道上运动的速度大小不变 D．相等时间内，水星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等 考向2　万有引力与天体质量、密度的计算 一、单选题 1．（26-27高三上·湖南益阳·质量监测）嫦娥七号，是中国探月工程四期关键任务之一，由着陆器、轨道器、巡视器、飞跃器和中继卫星等组成，主要是对月球极区进行科学探测，特别是对月球的水分布进行探测，完成月球极区高精度着陆和阴影坑飞跃探测，预计巡视器进入环月圆轨道飞行时，角速度为ω，轨道高度与月球半径之比为，引力常量为G，则月球的平均密度为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·无锡太湖高级中学·期中）要使相距较远的两物体间的万有引力减小到原来的，下列选项中可以的是（     ） A．使两物体的质量各减小到原来的，距离变为原来的2倍 B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍 C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变 D．使两物体间的距离和质量都减小到原来的 二、多选题 3．（25-26高一上·西安高新一中·期末）我国某探测器在距地球表面高度为的轨道绕地球飞行过程中，在时间内探测器转过的角度为，观察地球表面时的最大视角，探测器运行轨道为圆形，引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．探测器运行的速度大小是 B．探测器运行的速度大小是 C．地球的质量 D．地球的质量 4．（26-27高二上·长沙长郡中学·开学）“二十四节气”是起源于上古时期，商周发展，西汉纳入《太初历》，被列入我国第一批国家级非物质文化遗产名录。不同节气地球与太阳的相对位置如图所示，下列说法正确的是（     ） A．地球绕太阳环绕至冬至时线速度最大 B．地球绕太阳环绕至夏至时受到太阳的引力最大 C．地球公转轨道半长轴的三次方与公转周期平方之比与月球公转轨道半长轴三次方与公转周期平方之比相等 D．地球公转的线速度最大值与最小值之比等于地心到太阳中心最大距离与最小距离之比 5．（25-26高一下·重庆永川萱花中学·期中）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R，下列说法不正确的是（     ） A．三颗卫星对地球引力的合力大小为 B．两颗卫星之间的引力大小为 C．一颗卫星对地球的引力大小为 D．地球对一颗卫星的引力大小为 6．（25-26高一下·北大附中·期中）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（     ） A．公转周期约为6年 B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐增大 C．从远日点到近日点速度大小逐渐减小 D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 三、解答题 7．（25-26高三上·福州第一中学·期末）北京时间2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，与空间站成功对接后，神舟十六号上的3名航天员进驻中国空间站，与神舟十五号乘组进行在岗轮换，再现6名航天员“太空会师”名场面。空间站的轨道可近似看成距地面高度为的圆轨道，其周期为，已知地球半径为，引力常量。 (1)求地球的平均密度； (2)求地球表面的重力加速度。 8．（25-26高一下·武汉华中科技大学附属中学·阶段检测）如图所示，A、B是绕地球做圆周运动的两颗卫星，已知其轨道半径分别为r1、r2，A的运行周期为T1，地球半径为R，万有引力常量为G，求： (1)B卫星的周期T2； (2)地球的密度ρ； (3)地球表面的重力加速度g（忽略地球自转）。 考向3　卫星环绕规律与“高轨低速”及变轨问题 一、单选题 1．（26-27高一下·湖北恩施·期末）神舟二十三号首次将3.5小时快速交会对接技术与径向对接模式结合，被称为“太空穿针”，技术难度更高。其变轨过程可简化为下图所示：轨道Ⅰ为神舟二十三号初始的近地圆轨道（高度约200 km），轨道Ⅱ为椭圆转移轨道，轨道Ⅲ为空间站所在的目标圆轨道（高度约400 km）。轨道Ⅰ与轨道Ⅱ相切于P点，轨道Ⅱ与轨道Ⅲ相切于Q点，若轨道Ⅲ的半径约为轨道Ⅰ半径的1.03倍。则下列说法正确的是（     ） A．P点处，神舟二十三号在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅱ上的加速度 B．Q点处，神舟二十三号从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要向后喷气（加速） C．飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的全过程中，在轨道Ⅰ的P点处速度最大 D．轨道Ⅲ上的运行速度约为轨道Ⅰ上的倍 2．（26-27高三上·哈尔滨第六中学·阶段性测试（一））我国一箭12星，首个太空计算卫星星座成功入轨。如图所示该系统中的两颗卫星A和B绕地球做匀速圆周运动。卫星A、卫星B的轨道半径rA<rB，线速度大小分别为vA、vB，角速度大小分别为ωA、ωB，周期分别为TA、TB，向心加速度大小分别为aA、aB，已知，下列说法正确的是（     ） A．vA<vB B．ωA<ωB C．TA<TB D．aA<aB 3．（25-26高一下·武汉华中科技大学附属中学·阶段检测）自1970年4月24日我国第一颗人造卫星“东方红一号”顺利升空，到2024年底，我国已发射各式卫星、飞船、空间站等人造天体600余颗。如图所示，a为近地空间站，b为极地卫星，c为运行在倾斜同步轨道上的北斗导航卫星，d为地球静止同步轨道气象卫星。已知b的轨道半径大于a的轨道半径，小于c的轨道半径，则下列说法中正确的是（     ） A．卫星b绕地球运动的周期为1天 B．a、b、c、d的运行速度大小关系为 C．北斗导航卫星c可能定位在北京上空，相对地面保持静止 D．卫星c与d的周期、加速度及所受地球引力都相等 4．（26-27高三上·南京中华中学·综合练习）我国于2016年第三季度发射“天宫二号”空间实验室，第四季度“神舟十一号”飞船搭乘两名航天员与“天宫二号”对接。空间实验室由长征运载火箭送入近地点为Q，远地点为P的椭圆轨道，P点离地面高度为h，地球中心位于椭圆的一个焦点上，“天宫二号”飞行几周后变轨进入预定圆轨道，如图所示，3为预定圆轨道，已知“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈历时为t，引力常量为G，地球半径为R，则下列说法正确的是（     ） A．由题中给出的信息可以计算出地球的质量 B．“天宫二号”从Q点开始沿椭圆轨道向P点运动过程中，机械能不守恒 C．“天宫二号”从Q点开始沿椭圆轨道向P点运动过程中，动能先增大后减小 D．“天宫二号”在椭圆轨道上的P点的向心加速度小于在预定轨道上的P点的加速度 5．（26-27高三上·佳木斯一中·阶段检测）北京时间2025年3月26日23时55分，西昌卫星发射中心长征三号乙运载火箭点火起飞，天链二号04星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功。发射可简化为如图所示过程，先将卫星发射到半径为r的圆轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，卫星运动到A点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ，运动到椭圆轨道Ⅱ的远地点B时，再次变轨进入半径为2r的圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。下列判断正确的是（　　） A．要实现从椭圆轨道Ⅱ的B处进入圆轨道Ⅲ，发动机需要向前喷气 B．卫星在轨道Ⅰ与轨道Ⅲ上运行的周期之比为 C．卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于轨道Ⅲ上的机械能 D．卫星在轨道Ⅰ上A点的加速度小于在轨道Ⅱ上A点的加速度 6．（25-26高三下·新乡盐店庄中学·期中）如图是“嫦娥二号”奔月示意图。在地球上空第一次变轨是由椭圆轨道a变为椭圆轨道b，然后卫星通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道MN。“嫦娥二号”最终成为绕月卫星。在月球上空又一次变轨是由椭圆轨道d变为近月圆轨道c。则（     ） A．卫星在轨道a上运动的周期大于在轨道b上运动的周期 B．卫星在轨道c和轨道d上运动通过点时的加速度相等 C．卫星在轨道c和轨道d上运动通过点时线速度相等 D．卫星在轨道c上经过点时的速度大于它在轨道d上经过点时的速度 二、多选题 7．如图所示，是同一轨道平面内的三颗人造地球卫星，下列说法正确的是（　　） A．根据万有引力定律，可知线速度vA＜vB＜vC B．根据万有引力定律，可知向心力FA＞FB＞FC C．角速度ωA＞ωB＞ωC D．向心加速度aA＞aB＞aC 8．（25-26高一下·贵阳五中·期中）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（     ） A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过Q点时的速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 考向4　宇宙速度与同步卫星问题 一、单选题 1．（25-26高一下·无锡太湖高级中学·期中）2025年2月11日，我国使用长征八号甲运载火箭，以一箭9星方式，成功将卫星互联网低轨02组卫星送入预定圆周轨道，这些卫星轨道位于地面上方500～1000公里，则02组卫星（     ） A．发射速度比第一宇宙速度大 B．运行周期比同步卫星的大 C．向心加速度比同步卫星的小 D．运行速度比第一宇宙速度大 2．（25-26高三上·曲靖一中·期末）黑洞是密度超大的星球，吸纳一切，光也逃不了。科学界已经证实了宇宙中黑洞的存在，某同学思考若地球仅质量变大形成一个黑洞，地球半径R和月、地间距离r不变，那么月球的环绕周期最接近下列哪个数值（已知月球绕地球运动的时间近似为30天，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s）（　　） A．10 h B．10 min C．10 s D．1 min 3．关于宇宙速度，下列说法正确的是（     ） A．第一宇宙速度是人造卫星沿圆轨道运行时的最大速度 B．第一宇宙速度是地球同步卫星的发射速度 C．人造地球卫星运行时的速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 D．第三宇宙速度是物体脱离地球的最小发射速度 4．（25-26高一下·山西晋中祁县中学·阶段检测）如图所示，a为近地空间站，b为运行在晨昏线上空的观测卫星，c为运行在倾斜同步轨道上的北斗导航卫星，d为地球静止同步轨道气象卫星。已知b的轨道半径大于a的轨道半径，小于c的轨道半径，则下列说法中正确的是（     ） A．观测卫星b绕地球运动的周期为1天 B．a、b、c、d的运行速度大小关系为va>vb>vc=vd C．北斗导航卫星c可能定位在北京上空，相对地面保持静止 D．卫星c与d的周期、加速度、动能及所受地球引力都相等 5．（26-27高三上·扬州新华中学·开学考）某卫星绕地球做匀速圆周运动，运行周期为12小时。下列说法正确的是（　　） A．该卫星的高度大于同步卫星 B．该卫星运行过程中加速度恒定 C．该卫星的运行速度小于地球第一宇宙速度 D．该卫星在太空中所受地球引力比在地面上大 二、多选题 6．（26-27高二上·承德·开学）已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体万有引力为零。P、Q两个星球的质量分布均匀，忽略自转影响，它们的重力加速度大小随物体到星球中心的距离r变化的图像如图所示，关于P、Q星球，下列说法正确的是（     ） A．P、Q两星球的半径之比为1∶2 B．P、Q两星球质量之比为1∶8 C．Q星球的密度大于P星球的密度 D．P、Q两星球第一宇宙速度大小之比为2∶1 7．（26-27高三上·福建福州·开学）2024年11月1日，中国气象局发布了风云四号C星首套观测图像。风云四号C星是全球综合探测能力最强的地球静止轨道气象卫星，为天气预报、环境监测、防灾减灾提供高精度服务。关于风云四号C星说法正确的是（     ） A．可以定点在福州正上方 B．运行的线速度小于第一宇宙速度 C．向心加速度小于地球表面的重力加速度 D．若地球自转周期增大，地球静止轨道卫星的轨道半径要减小 8．（2026·延边二中·一诊）潮汐锁定是指一天体在绕另一天体公转时，由于潮汐力的作用，其自转周期逐渐与公转周期同步。若银河系中一双星系统中A、B星处于互相潮汐锁定状态，绕同一点做匀速圆周运动，已知A、B两星的质量之比为，半径之比为，下列说法正确的是（     ） A．A、B两星的公转轨道半径之比为 B．A、B两星“赤道”上放置的物体速度之比为 C．A、B两星的第一宇宙速度之比为 D．A、B两星的同步卫星轨道半径之比为 9．（25-26高三上·四川崇州怀远中学·期末）我国将在2030年前后实施火星采样返回。若a为火星表面赤道上的物体，b为轨道在火星赤道平面内的近火星表面卫星，c为在赤道上空的火星同步卫星，卫星c和卫星b的轨道半径之比为，两卫星的绕行方向相同，下列说法正确的是（　　） A．卫星和卫星绕火星运动的周期之比8：1 B．的线速度大小关系为 C．的向心加速度大小关系为 D．的角速度大小关系为 考向5　双星与多星模型 一、单选题 1．（2026·南宁三中·二调）在遥远的太阳系边缘，有两颗孤独而坚定的星球——冥王星与卡戎（如图甲）。冥王星与卡戎可看成一个双星系统，它们绕着O点做匀速圆周运动（如图乙），已知卡戎和冥王星的质量分别为m和8m，二者星球半径分别为r和2r，两星球球心之间的距离为L。在彼此绕行的过程中，忽略其他天体的影响，下列说法正确的是（     ） A．双星系统转动周期为 B．双星系统转动周期为 C．冥王星与卡戎的第一宇宙速度之比为 D．冥王星与卡戎的第一宇宙速度之比为 2．（25-26高一下·内蒙古包头·期末）如图，、、三颗赤道上方的卫星位于正三角形的三个顶点上恰好能实现环赤道全球通信。卫星的转动方向与地球自转方向相同。已知地球半径为，地球表面两极处的重力加速度为（仅考虑地球对卫星的作用力）。则该三颗卫星绕地球转动的周期为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（26-27高二上·山东日照·开学考试）“双星系统”由相距较近的两颗恒星组成，它们在彼此间引力作用下绕连线上的某一点做匀速圆周运动。若某双星系统由甲、乙两恒星组成，其中甲的质量为m，乙的质量为M，两恒星中心之间的距离为L，万有引力常量为G．下列判断正确的是（     ） A．甲与乙的线速度大小之比为 B．甲做圆周运动的轨道半径为 C．该双星系统的周期为 D．若甲、乙间距保持不变，甲的一部分物质转移到乙上，则双星系统的周期增大 4．（2026·渭南韩城·考前学情自测）在浩瀚宇宙中存在着很多稳定的天体系统，整个系统由两个以上的天体组成。例如三星系统，质量相等的三个天体分别位于等边三角形的三个顶点，且绕同一个点做匀速圆周运动，已知相邻两星体的距离为r，整个系统的运行周期为T，不考虑系统外星体的作用力，引力常量为G，下列分析正确的是（　　） A．三个星体的质量均为 B．相邻两个星体之间的万有引力大小为 C．星体运行的线速度大小为 D．若三个星体质量增大，系统稳定存在且周期不变，则相邻两星体距离r变大 三、解答题 5．（26-27高三上·衡水二中·开学）从动力学规律来看，地月系统可以等效为双星系统，它们在彼此的万有引力作用下，围绕连线上某点各自做匀速圆周运动。如图所示，地球与月球绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。若地球的质量为m1，月球的质量为m2，地球做匀速圆周运动的半径为r1，地球、月球均可视为质点。求： (1)月球做匀速圆周运动的半径r2； (2)在相等时间内，地球与O点、月球与O点的连线扫过的面积之比S1∶S2。 6．（25-26高三上·安阳一中·练习（三））由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若引力常数为G，A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a。 (1)求星体B所受的合力大小； (2)求该三星系统的周期。 一、单选题 1．（26-27高三上·贺州昭平中学·月考）2026年7月10日12时15分，长征十号乙运载火箭在海南商业航天发射场发射升空，成功将卫星送入预定轨道。随后，火箭一子级垂直返回，在回收船上通过网系捕获方式成功回收。这是我国首次成功实施运载火箭一子级可控回收，也是全球首次实现运载火箭海上网系回收，标志着我国在重复使用火箭技术领域取得历史性突破。假设卫星进入轨道后做匀速圆周运动，其轨道半径为，周期为，引力常量为，则可求出（     ） A．卫星受到地球万有引力的大小 B．地球的质量 C．卫星的密度 D．地球的体积 2．（2027·湖南湘潭·一模）“太空天梯”是经典的航天科幻设想，天梯一端固定于地球赤道，其中轴线过地心，随地球一起绕地心转动，如下图所示。现利用天梯将货物从地球赤道基地运送至静止轨道空间站A，某时刻质量为m的货物到达离地心距离为r的位置P（未到达空间站A），且相对天梯静止。此时在空间站A外侧有卫星B同向绕地运行，且两者相距最近，经过时间t后，A、B第一次相距最远，已知地球质量为M，自转周期为T。下列说法正确的是（　　） A．到达位置P时，天梯内的货物处于完全失重状态 B．P位置天梯外部某物体脱落时，将沿距离地心为r的轨道做匀速圆周运动 C．到达位置P时，天梯对货物的作用力大小为，方向沿天梯指向地心 D．卫星B绕地球做圆周运动的周期为 3．（2027·贵州黔南·摸底）截至2026年6月7日，鹊桥二号中继卫星已在近月点高度约为200 km、远月点高度约为16000 km的环月椭圆轨道上运行了796天。设鹊桥二号的加速度大小为a，其到月心的距离为r，则鹊桥二号从远月点到近月点的过程中，a随变化的关系图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2027·浙江七彩阳光&浙南名校·一模）某火星探测器接近火星时，在第一次减速后沿半长轴为的椭圆轨道Ⅰ上绕火星运动，然后在点（近火点）再次减速后，探测器沿半径为的圆轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动，其速率为，已知火星的半径为，引力常量为，则（     ） A．轨道Ⅰ的周期为 B．火星的质量为 C．火星上的第一宇宙速度为 D．沿椭圆轨道Ⅰ运动时，在点的加速度大于 5．（2027·浙江强基联盟·一模）太空碎片会对航天器带来危害。空间站绕地球做逆时针方向的匀速圆周运动，如图中实线所示，太为了避开碎片，空间站在点以极短时间喷射气体，喷射方向沿径向（图中箭头所示）。变轨后轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则空间站（     ） A．变轨后的运动周期变小 B．变轨前、后经过点的速率变小 C．变轨前的速率比变轨后的远地点速率大 D．变轨前、后经过点的向心加速度大小不变 6．（2026·贵阳一中·模拟）如图所示，某星球赤道上的点有一卫星观测站，高空中有一探测卫星B，其轨道与赤道共面。探测卫星B的绕行方向与该星球自转方向相反，角速度为该星球自转角速度的2倍。已知该星球半径为，高空探测卫星B距星球表面的高度也为，星球表面的重力加速度为。卫星观测站能持续监测到探测卫星B的时间最长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·陕西安康·二调）英国物理学家卡文迪许在实验室里通过对几个铅球之间万有引力的测量，比较准确地得出了引力常量的数值。若卡文迪许测出两个质量均为m，球心间距为r的铅球之间的万有引力大小为F，已知地球的质量为M、半径为R，不计地球自转的影响，则下列说法正确的是（     ） A．引力常量 B．在地球表面上，每个铅球受到的重力大小均为 C．若两个铅球间的距离为2r，则它们之间的万有引力大小为4F D．地球的第一宇宙速度为 8．（2026·贵州·最后一卷）2025年11月19日12时01分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将实践三十号A、B、C星发射升空。如图所示，若A、B、C星绕地球在各自的轨道上做匀速圆周运动，线速度大小分别为vA、vB、vC，则A、B、C星的线速度大小关系为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·甘肃·高考）关于地球的重力加速度，考虑地球自转，下列说法正确的是（     ） A．两极地表的重力加速度最大 B．地球表面的重力加速度处处相等 C．地球表面的重力加速度方向处处指向地心 D．同一地点上空，距离地面越高，重力加速度越大 10．（2026·深圳中荟高级中学·适应性练习）宇宙中存在一种特殊的三星系统，如图，甲、乙、丙是始终位于同一直线上的离其它恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则（     ） A．甲、丙恒星的线速度相同 B．甲、丙恒星的加速度相同 C．甲、丙恒星绕乙运行的周期为 D．甲、丙恒星的线速度大小为 11．（2026·驻马店经济开发区高级中学·质量检测）“千帆星座”首批组网卫星的发射仪式于8月5日在太原举行，这标志着中国版“星链”计划已全面启动，若将所有目前运行在约550千米高度的卫星，降低至约480千米轨道，则下列说法正确的是（     ） A．降轨过程中需要点火加速 B．降轨后卫星的线速度大小变大 C．降轨后卫星与地面间的通讯传输时间变长 D．降轨后卫星绕地球运动的周期变长 12．（2026·陕西榆林·预测四）中山大学团队发现了通过双星并合形成的极年轻白矮星，相关成果于2025年9月15日发表在国际权威期刊The Astrophysical Journal Letters上。如图所示，A、B两恒星绕A、B连线上的点做匀速圆周运动，形成一个稳定的双星系统。若只考虑两恒星之间的万有引力，A、B两恒星的质量之比为，则（     ） A．A、B两恒星的角速度之比为 B．A、B两恒星的轨道半径之比为 C．A、B两恒星的向心加速度大小之比为 D．A、B两恒星的动能之比为 二、多选题 13．2026年，我国加速推进载人登月工程。如图为一次模拟任务，载有“揽月”着陆器的“梦舟”飞船先沿环月圆轨道I运行，在P点短暂点火后进入椭圆轨道II，并在近月点Q实施着陆。下列说法正确的是（     ） A．飞船在P点从轨道I进入轨道II时速度增大 B．飞船在轨道I上的运行周期大于在轨道II上的运行周期 C．飞船在轨道I上P点的加速度大于在轨道II上P点的加速度 D．飞船在轨道II上运行时，经过P点的速度小于经过Q点的速度 14．（2026·长沙望城六中·模考）中国北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统（）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统（GLONASS）之后第三个成熟的卫星导航系统．如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知、、三颗卫星均做圆周运动，是地球同步卫星，则（     ） A．卫星的速度小于卫星的速度 B．卫星的加速度大于卫星的加速度 C．卫星的线速度大于赤道上的物体随地球自转的线速度 D．卫星的周期小于卫星的周期 三、解答题 15．（26-27高三上·南京中华中学·期初统测）2020年诺贝尔物理学奖授予黑洞的理论研究和天文观测的三位科学家。他们发现某明亮恒星绕银河系中心O处的黑洞做圆周运动，利用多普勒效应测得该恒星做圆周运动的速度为v，用三角视差法测得地球到银河系中心的距离为L，明亮恒星的运动轨迹对地球的最大张角为2θ，如图所示。已知万有引力常量为G。求： (1)恒星绕银河系中心黑洞运动的周期T； (2)银河系中心黑洞的质量M。 2 学科网（北京）股份有限公司 $