1.1.2集合的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的基本关系，涵盖子集与真子集的概念、符号表示、传递性质及维恩图应用。通过复习集合概念、表示法及元素与集合关系，结合班级全体同学与女同学集合的实际情境，从元素从属关系延伸到集合整体结构关联，搭建知识支架。 此资料以新课标核心素养为特色，用数学眼光观察实际情境识别子集现象，数学思维推导空集是任意集合子集及传递性，数学语言规范符号与维恩图表达。采用类比教学与直观演示（多媒体动态展示集合包含关系、维恩图教具模型），实践作业联系生活，思考性作业探究子集个数规律，助力学生深化理解，为教师提供清晰教学路径。

案例名称 集合的基本关系 提供者：______ - 教材分析 （1）本课时主要讲授集合的基本关系，核心内容为子集与真子集的概念、符号表示及传递性质，并引入维恩图以直观刻画集合间的关系。 （2）在此之前，学生已学习了集合与元素的概念及集合的表示方法，具备了识别集合的基础能力。本课内容是集合概念的自然延伸，将视角从集合内部元素特征转向集合间的整体结构关联，深化了学生对集合语言的理解。 （3）本课在教材中起着承上启下的关键作用。它不仅为后续学习集合的交、并、补等基本运算提供了必需的逻辑前提与理论基础，也是培养学生分类讨论思想与抽象逻辑推理能力的重要载体，对整个高中数学知识体系的建构具有奠基作用。 教学目标 （1）会用数学眼光观察世界：能从班级全体同学与女同学等实际情境中，观察出集合间元素从属关系的整体差异，直观识别出子集与真子集现象，体会集合基本关系在客观事物中的广泛存在性。 （2）会用数学思维思考世界：能通过子集定义逻辑推断出任意集合是其自身的子集及空集是任意集合的子集，在探究A⊆B且B⊆C则A⊆C的传递性过程中，培养严谨的演绎推理与抽象概括能力。 （3）会用数学语言表达世界：能准确使用A⊆B与A⫋B等符号及维恩图表示集合间的基本关系，能将自然语言描述的集合关系转化为符号语言，规范表达子集与真子集的判定过程。 教学重难点 （1）重点：理解子集与真子集的概念，掌握集合间包含关系的符号表示与维恩图刻画。 （2）难点：空集是任意集合子集的合理性逻辑，以及集合间包含关系的传递性推导。 教学方法 讲授法、类比教学法、直观演示法 教学准备 （1）多媒体课件：用于展示班级同学分类等情境与问题，动态呈现集合A={1,2}与B={1,2,3,4}的元素包含关系，辅助概念引入。 （2）维恩图教具模型：提供可移动的封闭曲线磁性贴片，供教师在黑板上直观演示子集与真子集的图示，帮助学生理解抽象关系。 （3）实物投影仪：用于展示学生运用符号语言书写子集与真子集关系的练习成果，便于全班共同纠错与点评。 教学过程 一、复习导入 教师活动 同学们，前面我们学习了集合的概念以及集合的表示方法。现在请大家回顾一下，什么是集合？集合中的元素具有哪些基本特性？ 请哪位同学来复述一下，如何用列举法和描述法表示一个给定的集合？元素与集合之间又具有怎样的关系？请用准确的符号语言表达。 学生活动 学生回答要点： 集合是某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，元素与集合的关系属于∈或不属于∉。 列举法是将集合的元素一一列举出来并置于大括号内，描述法则是通过确定元素所满足的共同性质来表示集合。 教师活动 为了加深大家对旧知的理解，我们来看一个具体例子。请判断元素1与集合A={1,3}的关系，以及元素2与集合A的关系。 预期学生会回答：因为1是集合A中的元素，所以；而2不是集合A中的元素，所以。 请大家注意元素与集合之间是直接的从属关系，我现在配合板书演示这两个关系式的规范书写，请同学们在笔记本上同步写出。 教师活动 通过刚才的回顾，我们明确了元素与集合之间的从属关系，能够判断某个对象是否为给定集合的元素。 但是，数学研究中我们常常需要宏观地比较两个集合之间的整体结构联系，而仅凭元素与集合的从属关系难以全面刻画这种整体关联。 那么，两个集合之间究竟存在怎样的关系呢？这就是我们本节课要探究的核心内容。现在请同学们看黑板，教师板书课题：1.1.2 集合的基本关系。 二、合作探究，探索新知 （1）子集概念的建构 教师活动 教师借助多媒体展示情境与问题：如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？ 引导学生从集合元素的角度进行分析，并提出类比旧知的探究性问题：我们已经掌握元素与集合的从属关系，那么能否类比这种关系，从整体上刻画集合F与集合S之间的内在联系？ 学生活动 学生分组讨论后提出，集合F的任意一个元素都是集合S的元素。 教师活动 同学们总结得非常到位。集合F中的每一个元素都是集合S的元素，这就意味着集合F被集合S完全包含在内。 为了更直观地理解，教师配合多媒体动画演示：给定集合A={1,3}，B={1,3,5,6}，将集合A的元素逐一放入集合B中，学生能清晰看到A的任意一个元素都是B的元素。 一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作A包含于B（或B包含A）。 （2）真子集与维恩图 教师活动 教师指出，前面的情境中所有女同学组成的集合F满足F⊆S，但只要班级中有男同学，S中就有元素不属于F。 那么，对于这种集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A的情况，我们该如何定义并表示它们之间的这种特殊关系呢？ 学生活动 学生思考后尝试回答，认为这种关系比子集更严格。教师适当引导点拨，提示学生关注B中存在不属于A的元素这一关键特征，鼓励学生用自己的语言概括。 教师活动 教师总结学生的回答，给出规范定义：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集。 教师配合板书标注其符号表示为A⫋B（或B⫌A），读作A真包含于B（或B真包含A）。 教师强调关键注意事项：真子集是在子集基础上增加了B中至少有一个元素不属于A这一条件，即A⊆B且存在元素但，两者缺一不可。 （3）子集与真子集的性质 教师活动 教师展示特殊情形：若A={1,2,3}，那么A⊆A吗？既然空集不含任何元素，你认为可以规定空集是任意一个集合A的子集吗？ 请同学们观察这些情形，思考能否依据子集定义总结出一般规律，并探讨对于集合A、B、C，如果A⊆B且B⊆C，是否必有A⊆C？ 学生活动 请同学们结合子集定义展开讨论，尝试总结这些特殊情形下的结论，并验证传递性猜想是否成立。 对于集合A={1,2,3}，因为集合A的任意一个元素显然都是它自身的元素，所以依据定义可知A⊆A，即任意集合都是它自身的子集。 对于空集，因为它不包含任何元素，所以规定空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A；同时验证可知，若A⊆B且B⊆C，则必有A⊆C。 教师活动 为加深理解，教师举例辨析：集合A={1,2}，B={1,2,3,4}，因为且，故A⫋B。 教师进一步追问：若A⊆B且B⊆C，则A⊆C成立吗？请同学们举出反例验证真子集情形下A⫋B且B⫋C是否必有A⫋C。 三、巩固练习 （1）完成教材上的相关练习题 学生在教师指导下独立完成教材尝试与发现中的相关练习，判断A⊆A及空集是否为任意集合子集。教师巡视全班，对符号书写不规范者给予提示指导。 （2）课堂小测验 教师给出三道判断集合子集与真子集关系的限时测验题，学生完成后，教师针对空集漏写及符号混淆等共性错误进行集中讲解点评。 四、课堂小结 总结回顾 通过本节课的探究，大家对集合的基本关系有了哪些认识？请同学们回顾一下，我们主要学习了哪些核心概念与性质？ 学生们纷纷作答： 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B。任意集合都是它自身的子集，即A⊆A，且空集是任意一个集合的子集，即∅⊆A。 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⫋B。同时，子集与真子集均具有传递性，即若A⊆B且B⊆C，则A⊆C。 我们还可以用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，借助维恩图直观形象地刻画集合之间的包含与真包含关系。 教师总结指出，本节课我们从元素与集合的从属关系延伸到了集合间的整体包含关系，希望大家课后能熟练运用符号语言与维恩图表示集合的基本关系，为后续学习集合的基本运算打下坚实基础。 作业布置 （1）教材课后作业：完成教材对应练习题，准确运用符号表示集合间的子集与真子集关系，并画出对应维恩图。 （2）实践性作业：列举生活中具有包含关系的两个实际集合，写出对应符号表示并绘制维恩图。 （3）思考性作业：给定含有n个元素的集合，探究其子集与真子集的个数规律，下节课交流。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $