1.1 集合 1.1.3 集合的基本运算 第2课时 集合的全集、补集(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦集合的全集与补集核心知识点，在集合基本概念、子集及交并集基础上，构建“全集定义—补集含义—性质应用—运算实践”的学习支架，系统梳理补集的文字、符号、图形语言及运算性质。 资料通过诊断分析辨析概念，探究点分层设计例题与变式，结合维恩图、数轴等工具培养数学眼光与思维，助力学生理解补集运算逻辑。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升集合综合应用能力。

第2课时　集合的全集、补集 【学习目标】 1.在具体情境中了解全集的含义; 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能借助维恩图求给定子集的补集. ◆ 知识点一　全集 1.定义:在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的　　　　,那么称这个给定的集合为全集.  2.记法:全集通常记作　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)整数集可以作为全集. (　 ) (2)为了研究集合A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},C={1,3,5}之间的关系,要从中选一个集合作为全集,这个集合是A. (　 ) (3)数集问题的全集一定是R. (　 ) ◆ 知识点二　补集 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集,则由U中　　　　　　　的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,记作　　　　,读作“A在U中的补集”  符号语言 ∁UA=　　　　　　  图形语言 ◆ 知识点三　补集运算的性质 给定全集U及其任意一个子集A,补集运算具有如下性质: (1)A∪(∁UA)=U; (2)A∩(∁UA)=∅; (3)∁U(∁UA)=A. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)∁UU=∅,∁U∅=U,∁U(∁UA)=A. (　 ) (2)若A⊆B⊆U,则∁UA⊇∁UB. (　 ) (3)若U为全集,x∈U,则x∈A或x∈∁UA. (　 ) (4)集合∁RA=∁QA可能成立. (　 ) ◆ 探究点一　补集的简单运算 例1 (1)[2025·河北石家庄高一期末] 已知全集U={x|x>0},集合A={x|1≤x<2},则∁UA= (　 ) A.{x|x≤-1或x≥2} B.{x|0<x<1或x≥2} C.{x|x<-1或x>2} D.{x|0<x<1或x>2} (2)已知全集U={x|x>0},∁UA={x|1<x≤2},则A=　　　　　　.  变式 (1)已知全集U={x∈N|-1≤x≤3},集合A满足∁UA={0,1},则A= (　 ) A.{0,1} B.{2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3} (2)已知全集为U,集合A={1,3,5,7,9},∁UA={2,4,6,8},∁UB={1,4,6,8,9},则集合B=　　　　.  [素养小结] 求补集的一般方法:如果全集及其子集是用列举法表示的,那么可根据补集的定义求解;如果较为复杂,那么可借助于维恩图求解;如果全集及其子集是用不等式表示的,那么常借助于数轴求解. ◆ 探究点二　交集、并集、补集的综合运算 例2 (1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},那么集合{2,7}是 (　 ) A.A∪B B.A∩B C.∁U(A∩B) D.∁U(A∪B) (2)已知全集U=R,集合A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},P=,求A∩B,(∁UB)∪P,(A∩B)∩(∁UP). 变式 (1)(多选题)如图所示的阴影部分表示的集合是 (　 ) A.M∩(N∩P) B.(∁UM)∩(N∩P) C.P∩[∁U(M∪N)] D.P∩(∁UM)∩(∁UN) (2)已知全集为R,集合M={x|-3<x<3},N={x|x≥a},且M⊆∁RN,则a的取值范围为　　　　.  [素养小结] (1)解决与不等式有关的集合问题时,借助数轴表示集合可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能取到. (2)解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,如求(∁UA)∩B时,应先求出∁UA,再求交集;求∁U(A∩B)时,应先求出A∩B,再求补集. 例3 (1)已知集合P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m}.若Q∩(∁RP)=∅,则实数m的取值范围为 (　 ) A.m≤3 B.m≥9 C.m≤3或m≥9 D.3≤m≤9 (2)已知全集U=R,集合A={2-a≤x≤2+a},B={x≤1或x≥4}.若a>0,A∩(∁UB)=A,则实数a的取值范围为　　　　.  变式 (1)已知集合A={x|x≥-1},B={x|x≥3a+5},若A∩(∁RB)=∅,则实数a的取值范围是　　　　.  (2)(多选题)[2025·江苏南京高一期中] 已知全集U={x|x<10,x∈N},A⊆U,B⊆U, A∩(∁UB)={1,9},(∁UA)∩(∁UB)={4,6,7},A∩B={3},则下列说法正确的是(　 ) A.8∈B B.A的子集的个数为8 C.{9}⊆A D.6∉∁U(A∪B) [素养小结] 解答有关补集问题的关键在于合理使用补集运算的性质,必要时对含有参数的集合进行分类讨论,转化为与之等价的不等式(组)求解.不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,注意检验. 1.[2025·广东东莞高一期中] 已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={x|-1<x<3,x∈N},则∁UA= (　 ) A.{-1,3} B.{1,2} C.{-1,0,3} D.{0,1,2} 2.已知全集U=R,集合A={x|1<x<5},集合B={x|x<2或x>8},则A∩(∁UB)= (　 ) A.{x|1<x≤2} B.{x|2<x<5} C.{x|2≤x<5} D.{x|5≤x<8} 3.(多选题)[2025·福建福州高一期末] 图中阴影部分表示的集合可能是 (　 ) A.A∩B B.∁A(A∩(∁UB)) C.∁U(A∩B) D.(∁UA)∩(∁UB) 4.已知全集为R,集合A={x|2<x<6},B={x|a-4≤x≤a+4},且A⊆∁RB,则实数a的取值范围是　　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　集合的全集、补集 【课前预习】 知识点一 1.子集　2.U 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×　[解析] (1)根据研究的问题的不同,全集可以为整数集、自然数集或有理数集等等. (2)根据全集的定义知应选集合A作为全集. (3)由全集的定义可判断,数集问题的全集不一定是R. 知识点二 不属于A　∁UA　{x|x∈U且x∉A} 知识点三 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　(4)×　[解析] (1)由集合补集的定义可知∁UU=∅,∁U∅=U,∁U(∁UA)=A. (2)若A⊆B⊆U,画出维恩图,由图可知∁UA⊇∁UB. (3)若x∈U,则x∈A或x∈∁UA. (4)因为Q⫋R,所以∁QA⫋∁RA. 【课中探究】 例1　(1)B　(2){x|0<x≤1或x>2}　[解析] (1)因为U={x|x>0},A={x|1≤x<2},所以∁UA={x|0<x<1或x≥2}.故选B. (2)A=∁U(∁UA)={x|0<x≤1或x>2}. 变式　(1)B　(2){2,3,5,7}　[解析] (1)因为U={x∈N|-1≤x≤3}={0,1,2,3},∁UA={0,1},所以A={2,3}.故选B. (2)∵集合A={1,3,5,7,9},∁UA={2,4,6,8},∴U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.又∁UB={1,4,6,8,9},∴B={2,3,5,7}. 例2　(1)D　[解析] 因为A={3,4,5},B={1,3,6},所以A∪B={1,3,4,5,6},又U={1,2,3,4,5,6,7},所以∁U(A∪B)={2,7}.故选D. (2)解:因为A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},所以A∩B={x|-1<x<2}.∁UB={x|x≤-1或x>3},又P=,所以(∁UB)∪P=.又∁UP=,所以(A∩B)∩(∁UP)={x|-1<x<2}∩={x|0<x<2}. 变式　(1)CD　(2)a≥3　[解析] (1)A选项表示的是图①中的阴影部分,不符合题意;B选项表示的是图②中的阴影部分,不符合题意;C,D选项表示的都是题干中的阴影部分.故选CD. (2)由题意得∁RN={x|x<a},又M={x|-3<x<3},M⊆∁RN,所以a≥3. 例3　(1)A　(2)(0,1)　[解析] (1)由Q∩(∁RP)=∅,得Q⊆P.①当1-m>1+m,即m<0时,Q=∅,符合题意;②当1-m≤1+m,即m≥0时,有解得0≤m≤3.综上可得,m≤3.故选A. (2)由已知得∁UB=(1,4).∵A∩(∁UB)=A,∴A⊆∁UB,又∵a>0,∴2-a<2+a,则A≠∅,∴1<2-a<2+a<4,可得0<a<1.故实数a的取值范围为(0,1). 变式　(1)(-∞,-2]　(2)ABC　[解析] (1)由已知得∁RB={x|x<3a+5},因为A={x|x≥-1},所以要使A∩(∁RB)=∅,则需3a+5≤-1,解得a≤-2.故实数a的取值范围是(-∞,-2]. (2)由题得U={x|x<10,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.因为A∩(∁UB)={1,9},所以属于集合A但不属于集合B的元素有1,9;因为(∁UA)∩(∁UB)={4,6,7}=∁U(A∪B),所以既不属于集合A也不属于集合B的元素有4,6,7;因为A∩B={3},所以集合A与B的公共元素只有3.所以属于集合B但不属于集合A的元素有0,2,5,8,即B∩(∁UA)={0,2,5,8},如图.由图得8∈B,9∈A,则{9}⊆A,故A,C正确;因为集合A中有3个元素,所以A的子集的个数为23=8,故B正确;显然6∈∁U(A∪B),故D错误.故选ABC. 【课堂评价】 1.A　[解析] 因为A={x|-1<x<3,x∈N}={0,1,2},U={-1,0,1,2,3},所以∁UA={-1,3}.故选A. 2.C　[解析] 因为A={x|1<x<5},∁UB={x|2≤x≤8},所以A∩(∁UB)={x|2≤x<5}.故选C. 3.AB　[解析] 由题图可知,阴影部分表示的集合是A∩B=∁A(A∩(∁UB)),故A,B正确,C错误.而(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),不符合题意,故D错误.故选AB. 4.{a|a≤-2或a≥10}　[解析] 由题可知∁RB={x|x<a-4或x>a+4}.因为A⊆∁RB,所以6≤a-4或2≥a+4,即a≥10或a≤-2.故实数a的取值范围是{a|a≤-2或a≥10}. 学科网（北京）股份有限公司 $