1.1.2 集合的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、相等及空集等核心知识点。通过复习元素与集合的∈、∉关系，结合具体实例类比实数关系引出集合包含关系，搭建前后知识学习支架。 此资料以逻辑推理和直观想象为特色，运用维恩图、数轴实现数形结合，从{a}、{a,b}等具体集合探究子集个数规律，辨析∈与⊆区别。分层作业设计与实例解析，助力教师教学实施，培养学生严谨思维与数学抽象素养。

数学 高一 教学设计-2026-2027学年 1.1.2 集合的基本关系 人教B版 必修第一册 案例名称 1.1.2 集合的基本关系 教材分析 案例名称 1.1.2 集合的基本关系 提供者 教材分析 课题 1.1.2 集合的基本关系 版本 人教B版 必修第一册 课时 1课时 课型 新授课 教材地位 集合论基础 承前启后 为集合运算与函数学习奠基 核心概念 子集、真子集、相等 符号语言 ⊆、⊊、= 素养目标 逻辑推理、直观想象 数学抽象 培养严谨思维习惯 教学重点 概念理解与关系判定 符号应用 子集与真子集的区分 教学难点 空集的性质 符号区分 ∈与⊆的区别 教学方法 启发式、讲授法 数形结合 维恩图辅助教学 学习方式 自主探究、合作交流 练习巩固 归纳总结 教学手段 多媒体课件 传统板书 三角板、圆规 评价设计 提问反馈、练习检测 归纳评价 关注学生符号规范 易错警示 忽略空集 符号混淆 遗漏子集情况 突破策略 实例辨析、类比迁移 归纳推理 从具体到抽象 作业设计 基础训练、能力提升 拓展探究 分层设计 教学目标 （1）理解子集、真子集的概念，能正确使用符号⊆、⊊表示集合间的包含关系。 （2）理解集合相等的含义，能利用定义判定两个集合相等，了解集合相等与子集的关系。 （3）了解空集的定义，理解空集是任何集合的子集这一规定，并能运用其解决相关问题。 （4）能画出简单的维恩图表示集合间的关系，体会数形结合的数学思想。 （5）通过探究子集个数规律，体验从特殊到一般的认知过程，提升数学运算与逻辑推理素养。 教学重难点 重点：子集、真子集的概念与符号表示；集合相等的判定方法。 难点：元素与集合关系符号（∈）与集合与集合关系符号（⊆）的区别；理解空集是任何集合的子集；子集个数规律的探究与应用。 教学方法 启发诱导法、讲授法、讨论法、练习法。 教学准备 多媒体课件（PPT）、三角板、圆规。 一、复习导入 （1）教师引导学生回顾集合的概念及表示方法，提问：元素与集合之间的关系有哪几种？用什么符号表示？学生回忆并回答：属于（∈）和不属于（∉）。教师进一步追问：实数之间有相等和大小关系（如a=b，a<b），那么集合与集合之间是否也存在类似的关系呢？ （2）教师展示实例：观察集合A={1,2}与集合B={1,2,3,4}。引导学生发现集合A中的每一个元素1和2都在集合B中。类比实数中的“小于”关系，引出集合间的“包含”关系。再展示集合C={x|x是两条边相等的三角形}与集合D={x|x是等腰三角形}，引导学生发现C与D中的元素完全相同。从而引出本节课的课题——集合的基本关系。 教学过程 （1）子集的概念。教师讲解：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。教师强调定义中的关键词“任意一个”。举例：设A={1,2}，B={1,2,3}，因为1∈B且2∈B，所以A⊆B。教师提问：集合A是它自己的子集吗？学生思考后回答：是，因为A的元素都属于A。教师总结：任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A。接着教师介绍规定：空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A。教师引导学生辨析符号∈与⊆的区别：∈用于元素与集合之间，⊆用于集合与集合之间。例如：1∈{1,2}，{1}⊆{1,2}。 （2）真子集的概念。教师讲解：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）。教师强调真子集是子集的特例，要求B比A“多”至少一个元素。举例：A={1,2}，B={1,2,3}，因为3∈B且3∉A，所以A⊊B。教师提问：空集是真子集吗？引导学生讨论：如果B不是空集，那么∅⊊B；如果B=∅，则∅不是∅的真子集。 （3）集合相等。教师讲解：由集合相等以及子集的定义可知，如果A⊆B且B⊆A，则A=B；如果A=B，则A⊆B且B⊆A。举例：A={x|x²-1=0}，B={-1,1}。解方程x²-1=0得x=±1，所以A={-1,1}。因为A的元素都在B中，B的元素也都在A中，所以A=B。教师指出，集合相等的定义是判定两个集合相等的依据。 （4）维恩图。教师讲解：如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图。教师在黑板上画出A⊆B、A⊊B、A=B的维恩图，引导学生直观理解包含关系。 （5）子集个数规律。教师引导学生探究：集合A={a}的子集有哪些？学生列举：∅，{a}，共2个。集合B={a,b}的子集有哪些？学生列举：∅，{a}，{b}，{a,b}，共4个。集合C={a,b,c}的子集有多少个？学生通过列举发现共有8个。教师引导学生归纳规律：元素个数为n的集合，子集个数为，真子集个数为−1。 （6）巩固练习。教师出示例题与练习，要求学生独立完成并口述答案。 练习1：写出集合A={1,2,3}的所有子集，并指出其中哪些是真子集。 答案：子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}。其中除了{1,2,3}外，其余都是真子集。 练习2：判断下列关系是否正确：①∅⊆{0}；②0∈{0}；③{0}⊆{0}；④∅∈{0}。 答案：①正确，空集是任何集合的子集；②正确，0是集合{0}的元素；③正确，任何集合是它自身的子集；④错误，∅是集合，不是{0}的元素。 例1：已知集合A={x|-2<x<5}，B={x|x<m}，若A⊆B，求实数m的取值范围。 解：将集合A和B表示在数轴上。A表示区间(-2,5)，B表示区间(-∞,m)。因为A⊆B，所以数轴上表示A的区间必须完全落在表示B的区间内或端点重合。观察数轴可知，需满足m≥5。 答案：实数m的取值范围是[5，+∞)。 （7）课堂小结。教师引导学生总结：本节课学习了子集、真子集、集合相等的概念及符号表示；掌握了空集的性质；学会了用维恩图表示集合关系；探究了子集个数的规律。 作业布置 （1）教材 练习题 第1、2、3题。 （2）思考题：已知集合A={x|ax=1}，若A⊆B，B={1}，求实数a的值。 答案：当A=∅时，方程ax=1无解，则a=0，此时∅⊆{1}成立；当A={1}时，a·1=1，解得a=1。综上，实数a的值为0或1。 学科网（北京）股份有限公司 $