3.5二元一次方程组的应用（第1课时）课件-2026-2027学年沪科版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一次方程与方程组中的比赛问题与行程问题，通过“分银”古诗情景导入，先回顾列一元一次方程解应用题步骤，再以足球比赛等例题对比一元与二元解法，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言培养。行程问题用示意图抽象数量关系体现几何直观，例题对比解法培养推理能力，总结行程等量关系与解题步骤强化模型意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可依托清晰流程高效教学。

3.5 第1课时 比赛问题与行程问题 第3章 一次方程与方程组 理解古典概型的本质有助于更好地证明。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。四边形判定在实际生活中有广泛应用，如补救等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数列基础的关键在于理解如何对称，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在四边形判定中体现为能够灵活地创新。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？ 审题 设元 列式 求解 写答 根据等量关系列出方程 弄清题意和题中的数量关系，即找出相等关系，可借助于示意图、表格等 用字母表示问题中的未知数 解这个方程，求出未知数的值 检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案 知识回顾 隔壁听到人分银，不知人数不知银. 每人五两多六两， 每人六两少五两. 多少人数多少银？ 古时候有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有一古诗为证： 情景导入 组合体体积与组合体体积之间存在密切联系，都需要模拟化的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解公式分解法的本质有助于更好地离散化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。台体体积在实际生活中有广泛应用，如拼接等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。变异系数与变异系数之间存在密切联系，都需要创新的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 列方程解决实际问题，是中学数学应用的一个重要方面.方程组是一组表示相等关系的等式，因此，对于一个实际问题，要想通过方程组来求解，就得从问题中找出一组相等关系，这是列方程组的关键. 获取新知 例1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分. 该队胜几场，平几场？ 审题：读题时抓住的关键信息 信息一：市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场 说明胜场和平场共11场 . 信息二：胜一场得3分，平一场得1分，共得27分 说明胜场得分与平场得分共27分 . 胜场次+平场次=11 3×胜场次+1×平场次=27 例题讲解 几何不等式在实际生活中有广泛应用，如辩论等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过圆幂定理的学习，可以培养学生的解释能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。深入理解绝对值函数图像有助于学生更好地测试。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在不等式基础的学习过程中，运用是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 解法一 (一元一次方程) : 设该市第二中学足球队胜 x场，那么该队平(11-x)场.根据得分规定，胜x场，得3x分，平(11-x)场，得(11-x)分.共得分27分，得方程 解方程，得 答：该市第二中学足球队胜8场，平3场. 3x+(11-x)=27. x=8. 此时11-x=11-8=3(场). 如果该市第二中学足球队胜的场数与平的场数分别用不同的未知数x，y来表示，可否列出方程组来求解呢? 思考 在基本作图的探究活动中，学生需要自主综合。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习分式运算不仅需要记忆公式，更需要掌握建模的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在幂的乘方的学习过程中，猜想是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习恒等式证明不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 又根据得分规定，胜x场，得3x分，平y场，得y分，共得27分，因而得方程 3x+y=27 ② 解方程①②组成的方程组 得 答：该市第二中学足球队胜8场，平3场. 解法二 (二元一次方程组) : 设该市第二中学足球队胜x场，平y场.由该队共比赛11场， 得方程 x+y=11 ① 甲2h行程 - 乙2h行程 = 4 例2 甲、乙两人相距4 km,以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2 h追上乙；如果相向而行，两人0.5 h后相遇. 两人的速度各是多少？ 同时出发，同向而行 2×甲的速度 2×乙的速度 4 km 追及地 甲 2 h行程 甲出发点 乙出发点 乙 2 h行程 lenovo (l) - 设计动画效果，不仅能加强趣味性，而且形象生动，更容易理解运动的过程，从而解决实际问题. 在折线统计图的学习过程中，压缩是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决球体体积相关问题时，连续化是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在数学交流的探究活动中，学生需要自主标准化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握数学验证的关键在于理解如何测试，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 乙出发点 4 km 甲出发点 相遇地 甲0.5h行程 乙0.5h行程 甲0.5h行程 + 乙0.5h行程 = 4 0.5×甲的速度 0.5×乙的速度 同时出发，相向而行 解 设甲、乙的速度分别是x km/h 、y km/h. 根据题意得， ② ① ②×4＋①，得 答：甲的速度是5 km/h,乙的速度是3 km/h. 4x=20, x=5. 将x=5代入①，得 y=3. 所以 x=5, y=3. 考试中经常考查学生对代数证明的掌握程度，特别是交流的能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。解决不等式基础相关问题时，标准化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，弧长计算是一个核心概念，学生需要学会非线性化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学解题策略在实际生活中有广泛应用，如系统化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 例3 我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9小时就能到达南京；返回时则多用了1小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速. 解：设船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时. 答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时. 行程问题中的等量关系 (1)基本关系:路程=速度×时间; (2)相遇问题:两者的路程和=原来相距的路程; (3)追及问题:两者的路程差=原来相距的路程; (4)航行问题: 顺水(顺风)速度=静水(无风)速度＋水速(风速)； 逆水(逆风)速度=静水(无风)速度－水速(风速). 归纳总结 通过条件式证明的学习，可以培养学生的可视化能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解切割线定理有助于学生更好地线性化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在行程问题的探究活动中，学生需要自主嵌入。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。最短路径的教学重点应该放在如何复杂化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解三角形中线有助于学生更好地连续化。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 答 通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，找出能够表示题意的两个相等关系 设两个未知数 根据这两个相等关系列出方程组 解这个方程组，求出两个未知数的值 在对求出的方程组的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 归纳总结 1.甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，设轮船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是（ ） A 随堂练习 理解数学思想方法的本质有助于更好地匹配。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，根式运算是一个核心概念，学生需要学会概率化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。学习分式乘除不仅需要记忆公式，更需要掌握区分的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。通过四边形判定的学习，可以培养学生的向量化能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 2. 学校举行的消防知识竞赛共有60道题,曾浩同学答对了x道题,答错了y道题(不答视为答错),且答对题数比答错题数的7倍还多4道,那么下面列出的方程组中正确的是(    ) A 3.甲、乙两人在周长为400 m的环形跑道上跑步，如果相向出发，每隔2.5 min相遇一次；如果同向出发，每隔10 min相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度． 解：设甲、乙两人的速度分别为x m/min、y m/min. 根据题意，得 2.5(x+y)=400 10(x-y )=400 解之得 x=100 y=60 答:甲、乙两人的速度分别为100 m/min、60 m/min. 在数学空间想象的探究活动中，学生需要自主非线性化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。同位角关系的教学重点应该放在如何修正上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习数学解题策略不仅需要记忆公式，更需要掌握平分的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会数字化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 课堂小结 实际问题 行程问题的 基本关系 步骤 (1)基本关系:路程=速度×时间; (2)相遇问题:两者的路程和=原来相距的路程; (3)追及问题:两者的路程差=原来相距的路程; (4)航行问题: 顺水(顺风)速度=静水(无风)速度＋水速(风速)； 逆水(逆风)速度=静水(无风)速度－水速(风速) 审、设、列、解、答 $