3.6 三元一次方程组及其解法（同步课件）数学新教材沪科版七年级上册

3.6 三元一次方程组及其解法 沪科版（2024）七年级数学上册 第三章 一次方程与方程组 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解三元一次方程（组）解的概念； 2.能解简单的三元一次方程组.（重点、难点） 情景导入 解方程在我国数学史上占有重要的地位.我国古代数学专著《九章算术》中，第八章的章名就叫“方程”.右图讲的就是列多远一次方程组解决实际问题. “方程”中的第一题： “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问上、中、下禾实一秉各几何?” 情景导入 翻译为：现在有上等稻子 3 捆、中等稻子 2 捆、下等稻子 1 捆，总共可以打出 39 斗谷子； 上等稻子 2 捆、中等稻子 3 捆、下等稻子 1 捆，总共可以打出 34 斗谷子； 上等稻子 1 捆、中等稻子 2 捆、下等稻子 3 捆，总共可以打出 26 斗米. 问上等稻子、中等稻子和下等稻子每一秉各能打出多少斗米？” 新知探究 按今天的解法，即设上、中、下等稻子(禾)每捆(秉)可出谷子(实)分别为 x，y，z (斗)，于是的含三个未知数的方程组： x＋2y＋3z＝26 3x＋2y＋z＝39 2x＋3y＋z＝34 概念归纳 这种由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一程组. 思 考 解二元一次方程组的消元法（加减法和代入法）是否也能用来解三元一次方程组呢？ 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 课本例题 例1 解方程组 x＋2y－4z＝－5. x＋y＋2z＝3， －2x－y＋z＝－3， ① ② ③ 解：先用加减消元法消去 x. ②＋①×2，得 y＋5z＝3. ④ ③－①，得 y－6z＝－8. ⑤ ④－⑤，得 11z＝11. 下面解由④⑤联立成的二元一次方程组. z＝1. ⑥ 将⑥代入④，得 y＝－2. 将 y，z 的值代入①，得 x＝3. 所以 z＝1. x＝3， y＝－2， 课堂练习 1. 解下列方程组： （1） x + y + z = 6， 2x + 3y - z = 4， 3x – y + z = 8； （2） 2x - y + 3z = 1， 2x + 2z = 6， 4x + 2y + 5z = 4. x = 2， y = 1， z = 3. x = 9， y = -1， z = -6. 课本例题 例2 某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素. 现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A，B，C 三种食物. 下表给出的是每份(50g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量. 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 （1）设配餐中 A、B、C 三种食物各有 x、y、z 份，请根据题意列出方程组； （2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A、B、C 的份数. 解：(1)设配餐中 A，B，C 三种食物各 x，y，z 份，由题意得 ③ ① ② 由①，得 x＝7－y－2z. ④ 将④代入②③，得 解这个方程组，得 x＝2. 所以 z＝2. x＝2， y＝1， y＋3z＝7， ⑤ 2y－z＝0. ⑥ y＝1， z＝2. 将 的值代入④，得 y＝1， z＝2. 答： A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份. 课本例题 例3 已知甲、乙两数之和为3，乙、丙两数之和为6，甲、丙两数之和为 7，求这三个数. 解 设甲、乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得 x + y = 3， ① y + z = 6， ② x + z = 7. ③ ①+②+③，两边同除以 2，得 x + y + z = 8. ④ ④ - ① 得 z = 5，④ - ② 得 x = 2，④ - ③ 得 y = 1. 答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5. 课堂练习 1. 解下列方程组： （1） 3x + y - 4z = 13， 5x - y + 3z = 5， x + y–z = 3； （2） 3x - y + z = 4， 2x + 3y - z = 12， x + y + z = 6. x = 2， y = -1， z = -2. x = 2， y = 3， z = 1. 2. 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部 3 600 元、1 200 元和 2 400 元. 一商场用 120 000 元购买上述三种型号手机共 40 部，其中甲型号手机比丙型号手机多 24 部. 求该商场购买上述三种型号手机各多少部. 解：设商场购买了甲型号手机 x 部，乙型号手机 y 部，丙型号手机 z 部. x + y + z = 40， 3 600x + 1 200y + 2 400z = 120 000， x - z = 24. 根据题意，得 x = 28， y = 8， z = 4. 解方程组，得 答：商场购买了甲型号手机 28 部，乙型号手机 8 部，丙型号手机 4 部. 1. 解下列方程组： 习题 3.6 x + y + z = 3， x + 2y + 3z = 6，2x + y + 2z = 5； （1） x + 2y = 9， y - 3z = -5， -x + 5z = 14. （2） x = 1， y = 1， z = 1. x = 1， y = 4， z = 3. 解：（1） （2） 2x - 2y + z = 0， 2x + y - z = 1， x + 3y - 2z = 1. （3） 2x + 3y + z = 11， x + y + z = 6， 3x - y - z = -2. （4） x = 0， y = -1， z = -2. x = 1， y = 2， z = 3. （3） （4） 2. 甲、乙、丙三个数的和为 44，甲的两倍比乙大 10，乙的 等于丙的 ，求这三个数. 解: 设甲、乙、丙三个数分别为 x，y，z. 根据题意，得 解方程组，得 x = 14， y = 18， z = 12. x + y + z = 44， 2x - y = 10， y = z. 答: 甲、乙、丙三个数分别为 14，18，12. 3. 在等式 y = ax2 + bx + c 中，当 x = -1 时 y = 0，当 x = 2 时 y = 3，当 x = 5 时 y = 60. 求 a，b，c 的值. 解：根据题意，得 解方程组，得 a = 3， b = -2， c = -5. a - b + c = 0， 4a + 2b + c = 3， 25a + 5b + c = 60. 故 a = 3，b = -2，c = -5. 4. 某饮食方案要求每天食谱中包含 100 单位的脂肪、200 单位的蛋白质、400 单位的淀粉. 现有三种食品 A，B，C，每份(50 g)含脂肪、蛋白质和淀粉量如下表. 试用 A，B，C 三种食品配餐以满足方案要求. 食品 脂肪/单位 蛋白质/单位 淀粉/单位 A 2 7 17 B 2 4 7 C 10 16 30 解: 设每天食谱中 A，B，C 三种食品的份数分别为 x，y，z. 根据题意，得 解方程组，得 x = 8， y = 12， z = 6. 2x + 2y + 10z = 100， 7x + 4y + 16z = 200， 17x + 7y + 30z = 400. 答:每天食谱中 A 种食品 8 份，B 种食品 12 份，C 种食品 6 份. 分层练习-基础 知识点1　三元一次方程(组)的有关概念 1. 下列方程组是三元一次方程组的是(　B　) B A. B. C. D. 2. 若( a ＋1) x ＋5 yb＋1＋2 z2－｜ a｜＝10是一个三元一次方程， 则(　A　) A. a ＝1， b ＝0 B. a ＝－1， b ＝0 C. a ＝±1， b ＝0 D. a ＝0， b ＝0 A 知识点2　三元一次方程组的解法 3. 解方程组 若要使运算简便，消元的 方法应选(　B　) A. 先消去 x B. 先消去 y C. 先消去 z D. 以上说法都不对 B 【点拨】 　　因为 y 的系数的绝对值都是1，所以消去 y 较简便. 4. 已知三元一次方程组经过步骤① －③和③×4＋②消去未知数 z 后，得到的二元一次方程 组是(　A　) A A. B. C. D. 知识点3　三元一次方程组的应用 5. 已知单项式－8 a3 x＋ y－ zb12 cx＋ y＋ z 与2 a2 b2 x－ yc6是同类项， 则 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ⁠. 4　 －4　 6　 6. [新考法 表格信息法]某电器公司计划装运甲、乙、丙三种 家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车 只能装同一种家电)，下表所示为甲、乙、丙三种家电被 每辆汽车满载时装运的台数及利润. 甲 乙 丙 每辆汽车满载时装运的台数 40 20 30 利润/(万元/台) 0.05 0.07 0.04 (1)若用8辆汽车装运乙、丙两种家电共190台到 A 地销售(每辆汽车均满载)，问装运乙、丙两种家电的汽车各有多少辆？ 【解】设装运乙家电的汽车有 x 辆，装运丙家电的汽车有 y 辆. 依题意，得 解得 答：装运乙家电的汽车有5辆，装运丙家电的汽车有3辆. (2)计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种家电720台到 B 地销售(每辆汽车均满载)，如何安排装运，可使公司获得36.6万元的利润？ 【解】设安排 a 辆汽车装运甲家电， b 辆汽车装运乙家 电， c 辆汽车装运丙家电.依题意，得 　 解得 答：安排15辆汽车装运甲家电，3辆汽车装运乙家电，2辆汽车装运丙家电. 分层练习-巩固 7. 解方程组： 【解】设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则原方程组可化为 ①＋②，得2 a ＋2 c ＝1，④ ②＋③，得2 a ＋4 c ＝4.⑤ ④与⑤组成方程组，得 解这个方程组，得 把代入①，得 b ＝6. 因此， ＝－1， ＝6， ＝ ， 所以原方程组的解为 8. 解方程组： 【解】设 x ＝ k ，则 y ＝2 k ， z ＝3 k ，代入②，得2 k ＋2 k －9 k ＝15，解得 k ＝－3. 所以原方程组的解为 9. [新考法 整体代入法]解方程组： 【解】①＋②＋③，得2 x ＋2 y ＋2 z ＝12， 所以 x ＋ y ＋ z ＝6.④ ④－①，得 z ＝3.④－②，得 x ＝1. ④－③，得 y ＝2.所以原方程组的解为 分层练习-拓展 10. 如图是一个有三条边的算法图，每个“ ”里有一个 数，这个数等于它所在边的两个“ ”里的数之和，请 你通过计算确定三个“ ”里的数之和，并且确定三个 “ ”里应填入的数. 【解】如图，把三个“ ”里的数分别记作 x ， y ， z ， 则 ①＋②＋③，得2( x ＋ y ＋ z )＝142，即 x ＋ y ＋ z ＝71. ④④－①，得 z ＝－12. ④－②，得 x ＝50. ④－③，得 y ＝33. 所以此三元一次方程组的解为 所以三个“ ”里的数之和为71，三个“ ”里应填入 的数按先上后下，先左后右的顺序依次为50，33，－12. 11. 已知甲、乙二人解关于 x ， y 的方程组甲 正确地解得 而乙把 c 抄错了，解得 求 a ， b ， c 的值. 【解】因为甲正确地解得所以 因为乙把 c 抄错后解得所以－2 a ＋2 b ＝2. 所以解得 课堂小结 解法 三元一次方程组 概念 含有___个未知数 3 每个方程中含未知数的项的次数______ 都是 1 一共含有____个方程 三 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 消元 消元 $$