22.3.1 相似三角形 课件 2026-2027学年华东师大版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦相似三角形，涵盖概念、对应边与角、相似比及预备定理（平行于一边的直线截三角形得相似三角形）。课堂导入通过回顾相似多边形定义，引导学生类比推出相似三角形定义，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合数学思维与几何直观，通过定义推导、预备定理逻辑证明（如DE∥BC证△ADE∽△ABC）培养推理能力，结合“X”“A”字型实例及练习（如正方形相似三角形、周长比计算）强化应用意识。课堂小结突出核心定理，学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可高效开展教学。

相似三角形 图形的相似 22 华东师大版·九年级数学上册 1 1. 知道相似三角形的概念； 2. 能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角； 3. 会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似 三角形的相似比，由相似比求出未知的边长； 4. 掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它 两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形 与原三角形相似”来判断两个三角形相似. 学习目标 什么是相似多边形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？ 如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似. 你能据此推出相似三角形的定义吗？ 新课导入 定义：对应边成比例、对应角相等的三角形称为相似三角形. 相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”. A B C A' B' C' ∠A = ∠A'， ∠B = ∠B'， ∠C = ∠C' . 探索新知 此时△ABC 与△A'B'C' 相似，记作 △ABC ∽ △A'B'C' 读作： △ABC 相似于 △A'B'C' . 用符号“∽”表示两个三角形相似时,把对应顶点写在对应位置上. A B C A' B' C' 相似比 两个相似三角形对应边的比称为它们的相似比. 这个比值 k 就表示这两个相似三角形的相似比. 如果记 当 k = 1 时，两个相似三角形有什么特点？ 形状相同，大小也相同，称为全等三角形. 特例 思 考 如图，DE 为△ABC 的中位线，△ADE 与 △ABC 是相似三角形吗？ A B C D E 根据三角形中位线定理，有 DE∥BC，DE = BC. ∠ADE = ∠ABC， ∠AED = ∠ACB， ∠A = ∠A . 三个角对应相等、三条边对应成比例 因此 △ADE 和 △ABC 是相似三角形，相似比 k = . 如图，如果只有 DE∥BC 这个条件，是否同样也能得到 △ADE 和 △ABC 相似的结论呢？ A B C D E 显然 ∠ADE = ∠ABC， ∠AED = ∠ACB，∠A = ∠A. 又由平行线分线段成比例的基本事实，可推得 通过度量，还可以发现 因而有 △ADE∽△ABC . 我们可以用演绎推理证明这一结论. 已知：如图，DE∥BC，并分别交 AB、AC 于点 D、E. 求证：△ADE ∽△ABC . A B C D E 证明 ∵ DE∥BC ， ∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C， （平行线分线段成比例） 如图，过点 D 作 AC 的平行线交 BC 于点 F， F A B C D E F ∴ （平行线分线段成比例） ∴ . ∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形. ∴ DE = FC. ∴ . 又∵ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C，∠A = ∠A . ∴ △ADE ∽△ABC（相似三角形的定义）. 如图，DE∥BC，△AED 与 △ABC 是否还是相似的？ 思 考 相似. 结论 表示 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 如图，∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC 证明相似三角形的预备定理 例 1 如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 的三等分点， DE∥BC，DE = 5. 求 BC 的长. 解 ∵ DE∥BC ， ∴ △ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似）， ∴ . ∴ BC = 3DE = 15. A B C D E 1. 如图，已知△ABC∽△DEF，AB ∶ DE ＝ 2 ∶ 1， 若 DF ＝ 2，求 AC 的长. 解: ∵ △ABC∽△DEF， AB ∶ DE ＝2 ∶ 1， ∴ AC ∶ DF ＝AB ∶ DE ＝2 ∶ 1. 又∵ DF ＝ 2，∴ AC ＝ 2DF ＝ 4. 2. 如图，E 为□ ABCD 的边 CB 的延长线上一点， DE 交 AB 于点 F，则图中与△ADF 相似的三角 形是________________. “X”字型 “A”字型 △BEF、△CED 1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 O 为对角线的交点， 试指出图中的相似三角形，并求出它们的相似比. 解:△OAB ∽△OBC ∽△OCD ∽△OAD，△BAC ∽△DAC ∽△ABD∽ △CBD， 相似比均为 1； 【选自教材第76页 练习 第1题】 A B C D O △OAB、△OBC、△OCD、△OAD 与△BAC、△DAC、△ABD、△CBD 相似，相似比均为 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 练 习 2. 如果一个三角形的三边长分别是 5、12 和 13，与其相似的 三角形的最长边长是 39，那么较大三角形的周长是多少？ 较小三角形与较大三角形周长的比是多少? 【选自教材第76页 练习 第2题】 解: 设较大三角形另外两边长分别为 x、y (x > y)， 则，∴ x = 36，y = 15. ∴ 较大三角形的周长是 39 + 36 + 15 ＝ 90， . 3. 如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 的四等分点，DE∥AC， DF∥BC，AC = 8，BC = 12. 求四边形 DECF 的周长. 【选自教材第76页 练习 第3题】 A B C D F E 解: ∵ 点 D 是边 AB 的四等分点， ∴，∴ DE = 6，DF = 3. ∵ DE ∥AC，DF ∥ BC， ∴ 四边形 DECF 是平行四边形， ， 即， ∴ □ DECF 的周长为 2(DE + DF)＝ 2×(6 + 3) ＝ 18. 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 课堂小结 $