22.3.4 相似三角形的应用 第2课时 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦图形的相似中“等积式、比例式的证明与应用”，通过情景导入明确比例式与等积式的转化关系，衔接相似三角形判定与性质，搭建从基础几何关系到实际问题解决的学习支架。 其亮点在于结合测量金字塔高度、估算河宽等实例培养数学眼光，通过例2证明CD²=AD·BD及变例训练推理思维，以规范证明过程强化数学语言表达。助力学生提升知识应用能力，教师可高效开展教学。

第22章　图形的相似 第2课时 等积式、比例式的证明与应用 1.利用影长测量高度；利用相似测量宽度；借助标杆或直尺测量物体的高度.（重点） 2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点） 情景导入 等积式与比例式的关系： 比例式：a∶b＝c∶d⇔等积式：ad＝bc 交叉相乘：＝⇔ad＝bc 几何意义：比例式常出现在相似三角形、平行线分线段成比例中． 等积式常与面积、勾股定理等相关． 基本形式：1.线段比例式：＝. 2．乘积形式：AB·CD＝EF·GH. 例1 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法 : 如图 ,为了测量金字塔的高度 OB ,先竖一根已知长度的 木棒O' B' , 比较木棒的影长A' B' 与金字塔的影长AB, 即可近似算出金字塔的高度OB. 如果O' B' =1m , A' B' =2m ,AB=274m,求金字塔的高度OB. 金字塔的影长AB为露在外面的影长AC与金字塔底边的一半CB的长度的和. 解：∵太阳光线是平行光线， ∴∠OAB =∠O′A′B′. ∵ ∠AB O=∠A′B′ O′= 90°， ∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴= , ∴OB===137（m）. 答：金字塔的高度OB为 137 m. 合 探 作 究 仿例：如图，在△ABC中，MN∥BC，AM∶AB＝1∶3，则△AMN与△ABC的面积比是 ( ) A.1∶2 B．1∶4 C.1∶8 D．1∶9 D 知识模块一　证明比例式或等积式 自学互研 例2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高.求证:CD2=AD·BD.你还能找出其他类似的结论吗? A B C D 利用相似三角形，可以证明几条线段之间的乘积关系. A B C D 证明 ∵∠ACD=90°－∠CAD=∠B, ∠CDA=∠BDC = 90°, ∴△ACD∽△CBD. 即 CD2=AD·BD. ∴＝, 还可以证明 CA2 = AD·AB, CB2 = BD·BA 变例：如图，D，E是△ABC边AB，AC边上的两点，且DE∥BC，若S△ADE∶S△ABC＝1∶9，则△ADE与△ABC的周长之比为 ( ) A． 1∶81 B．1∶9 C． 1∶3 D．1∶2 C 例3 如图 ,为了估算河的宽度 ,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使 AB⊥BC,然后,再选定点E,使EC⊥BC,用视线 确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=118m, DC=61m ,EC=50m,求河的宽度AB.(精确到 0.1m) 解：∵∠ADB =∠EDC， ∠ABD =∠ECD=90°， ∴△ABD∽△ECD (两角分别相等的两个三角形相似)， ∴= , 解得AB== ≈96.7（m）. 答：河的宽度AB约为 96.7 m. 合 探 作 究 范例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 求证：AE·AB＝AF·AC. 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵DE⊥AB， ∴△ABD∽△ADE. ∴＝. ∴AD2＝AE·AB. 同理：AD2＝AF·AC. ∴AE·AB＝AF·AC. 1．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB的长是( ) A．2 m B．3 m C. D. A 2．如图，是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8.则ED的长为________． 13 仿例：如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB. 求证：＝ . 解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形． ∴DE＝BF. ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴＝ . ∴＝ . 3．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB. 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴CB∥ED， ∴△ABC∽△ADE， 答：河宽AB为17 m. 知识模块二　三角形的重心的有关证明及运用 自学互研 例4 如图22.3.22，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G. 求证:＝ = . A B C D E G 证明 如图，连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点， ∴ DE∥AC， = (三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半). ∴△G∽△G. ∴ = = = . ∴＝ = . A B C D E G 总结归纳 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 合 探 作 究 范例：如图，在△ABC中，∠C＝90°，G是三角形的重心，AB＝8，过点G的直线MN∥AB，求GC的长． G C M N A B 解：连结CG并延长，与AB交于点H. ∵点G是△ABC的重心， ∴CG＝CH，点H为AB的中点． ∵∠C＝90°，且AB＝8， ∴CH＝AB＝4. ∴CG＝CH＝. H G C M N A B 变例：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．重心将中线分成1∶2的两条线段． (1)如图①，在△ABC中，AE为中线，点G是△ABC的重心，若AG＝4，则AE＝____． (2)如图②，在△ABC中，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为48，则△CEG的面积为____． 6 8 1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为(　　) A 2．已知△ABC∽△A′B′C′，对应边上的中线的比为2：，且BC边上的高是5，则B′C′边上的高为________． 7.5 3．如图， 某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们经过调整测量地点，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一条直线上，已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m，求旗杆的高度． 解：由题意可得△DEF∽△DCA，则 ∵DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，DC＝20 m， ∴ ，解得AC＝10 m， 故AB＝ AC＋BC＝AC＋DG＝10＋1.5＝11.5(m)． 答：旗杆的高度为11.5 m. 4. 如图,在△ABC中,DE//BC,BC=6, 梯形DBCE的面积是△ADE面积的3倍。求DE的长. A D E B C 解：∵DE//BC， ∴△ADE ∽ △ABC. 又∵梯形DBCE的面积是△ADE面积的3倍， ∴＝, ∴＝ . ∵ BC=6, ∴DE=3. 27 课堂小结 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 . 测高 相似三角形的应用1 在同一时刻物高与影长成比例 测距 测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解 m m ∴＝，∴＝，∴AB＝17 m. A. B. C. D. ＝. ＝ $