4.2一元一次方程的概念和解法导学案（知识精讲+题型讲解+课后练习）2026-2027学年苏科版数学七年级上学期

该初中数学导学案聚焦一元一次方程及解法，引导学生掌握方程概念、等式性质和解方程步骤。通过天平操作情境导入，让学生直观感受两边同时加减、乘除的平衡原理，衔接上节课天平知识，搭建从具体操作到抽象性质的学习支架。 资料特色在于注重核心素养培养，以天平操作发展抽象能力（数学眼光），强调每步变形依据培养推理意识（数学思维），规范解题流程与检验习惯强化模型意识（数学语言）。分层练习、易错点辨析及一题多解设计，适配不同学生需求，助力巩固知识与提升能力，附知识网络导图辅助系统梳理。

一元一次方程及解法 · 讲学案 一　学习目标 · 重难点 · 知识框架 知识与技能 1. 会判断一个方程是不是一元一次方程，说得出它的三条标准。 2. 记住等式的两条基本性质，能说清每一步变形依据的是哪一条。 3. 会用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次方程，并代入检验。 过程与方法（能力） 1. 跟着天平做一遍“两边同时加、同时减、同时翻倍”，把直观操作变成等式的两条性质。 2. 形成一套固定流程：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并 → 系数化为1 → 检验。 3. 养成解完就代入原方程检验的习惯，左右各算一遍再下结论。 情感态度与核心素养 1. 体会到移项不是把数“搬”过去，它是等式性质1的简写，变号是有原因的。 2. 养成每一步都说得出依据的习惯，不再靠“老师就是这么讲的”来记步骤。 3. 感受到解方程就是不断把方程化简单，一直化到x等于几为止。 知识模块 核心内容 对应题型 一元一次方程 一个未知数、未知数次数是1、等号两边都是整式 辨别一元一次方程 等式的性质 两边同加减、同乘除（除数不为0），等式仍成立 说出每步变形的依据 移项 把一项变号后移到另一边，依据是性质1 解不含括号与分母的方程 去括号与去分母 分配律与性质2；分子是多项式要加括号 解含括号、含分母的方程 解方程通法 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并 → 系数化为1 → 检验 综合解方程 二　情境导入 · 问题驱动 还是上节课那架天平。这回两边都放上砝码盒，左盘是2个盒子加3个砝码，右盘是11个砝码，天平是平的。 上节课你已经把它翻译成了一个方程：。问题是，怎么把的值找出来？ 换个想法：不动方程，先动天平。从左盘拿走3个砝码，天平歪了；要想它还平，右盘也得拿走3个。再把两边同时换成一半，天平照样平——这时候左盘只剩一个盒子，右盘剩4个砝码，答案就摆在眼前了。 天平两边同时加减、同时翻倍，它都还是平的。把这个道理搬到等式上，解方程就有了依据。 探究活动　动一动天平，看看等式怎么变 天平的式子是。两边同时拿走3，写出操作后的新等式。 再把两边同时缩小到一半（也就是都除以2），写出最后的等式，看看能不能直接读出是多少。 回头数一数：上面每一步，等号的左右两边分别发生了什么事？如果只在左边拿走3、右边不动，天平会怎么样？ 　 　 猜想：等式两边同时加上（或减去）同一个数，所得结果仍是 ______；两边同时乘（或除以）同一个 ______ 的数，所得结果仍是等式。 　 三　核心概念 · 法则推导 1　概念辨析：什么是一元一次方程 边读边在右边“我的批注”处做记号，不确定的打问号。 辨析点 正确表述 常见误解 / 反例 一元一次方程 只含一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式。化简后都能写成ax+b=0（a不为0）的样子 认为也是（×，次数是2）；认为也是（×，分母含未知数，不是整式） 等式的性质1 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 只在一边加，另一边不动（×） 等式的性质2 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式 两边同时除以0（×）；除以字母时忘了交代它不为0 移项 把等式一边的某一项变号以后移到另一边，依据是性质1 移项不变号（×）；只记得“搬家变号”，说不出依据 系数化为1 两边同时除以未知数的系数，依据是性质2。形如 ，得 符号弄反，如由得（×，应为） 2　等式的两条基本性质 推导要点 把天平当成等式：天平平衡就是左右相等，天平做的每一步操作，等式都能照做一遍。 两边加同样的东西，天平还平；两边拿走同样的东西，天平也还平。 两边同时变成原来的几倍，或者同时缩小到几分之一，天平照样平。只有一点：不能同时变成0倍。 对着第2步说一说：为什么必须两边同时加，只加一边为什么不行。 （1） 天平平衡时，左右两边质量相等，记作。 （2） 两边各加上同一个砝码，天平仍平衡；两边各拿走同一个砝码，天平仍平衡。写成式子：　 （3） 两边同时扩大到原来的倍，天平仍平衡： （4） 两边同时缩小到原来的，天平仍平衡，但这里不能是0： （5） 这两条就是等式的性质1和性质2。后面解方程的每一步变形，都要回到这两条来找依据。 3　移项为什么一定要变号 记住一句话：移项不是搬家，是两边同时加减同一个数之后的简写。 （1） 拿最简单的方程开刀：要做的就是让左边只剩。 （2） 左边多了个3，那就两边同时减去3，用的是性质1： （3） 左边加3又减3，正好抵消，得，也就是。 （4） 回头跟原方程比一比：左边的跑到右边，变成了。移项要变号，就是从这一步来的。 （5） 检验：把代回原方程，左边，右边是，左右相等，所以5是这个方程的解。 4　解方程的一般步骤 六步是完整版。题目里没有分母就跳过第一步，没有括号就跳过第二步，不用硬凑。 （1） 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数。每一项都要乘，不含分母的项也不例外。 （2） 去括号：按去括号法则处理，括号前是负号的，里面每一项都要变号。 （3） 移项：把含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边，移项必变号。 （4） 合并同类项：把方程化成 的形式。 （5） 系数化为1：两边同时除以，得。 （6） 检验：把结果代入原方程，左右各算一遍，相等才算解完。 四　例题精讲 · 变式训练 · 一题多解 题型一　辨别一元一次方程 【例1】　★　 考查：一元一次方程的概念；方法：数未知数个数 → 看次数 → 看是不是整式 下列方程中，哪些是一元一次方程？不是的，说一说卡在哪一条。 ①　②　③　④　⑤ 思路分析 三条标准一起上：只有一个未知数、未知数的次数是1、等号两边都是整式。缺一条就不是。 ③要当心。它看着简单，但在分母里，左边不是整式，这一条就把它挡在门外了。 规范解答 1. ①⑤是一元一次方程。 2. ②里的次数是2，是一元二次方程，不是。 3. ③分母里含未知数，左边不是整式，不是。 4. ④含和两个未知数，是二元一次方程，不是。 5. ⑤里有吗？没有。化简之后是，未知数次数是1，它是。 反思：先看有几个未知数，再看次数，最后看是不是整式。三条都过才是，卡住一条就出局。 【变式1】　★　 考查：三条标准的逐条核对 判断下列方程是不是一元一次方程，并说明理由：　　　　 提示：最后那个式子，分母里藏着字母，第三条标准就卡在这儿。逐个过一遍三条。 题型二　用移项解方程 【例2】　★★　 考查：移项与合并同类项；方法：移项（变号）→ 合并 → 系数化为1 → 检验 解方程： 思路分析 你要做的事很明确：把含的都赶到左边，把光秃秃的数赶到右边。 右边那个移到左边要变成；左边这个移到右边要变成。两次移项，两次都要变号。 规范解答 1. 移项，得 2. 合并同类项，得 3. 两边同时除以2，得 4. 检验：把代入原方程，左边，右边，左右相等，所以是原方程的解。 反思：移项变号，合并成ax=b，再两边同除以a。这三步走下来，方程就化到最简了。 【变式2】　★★　 考查：解为负数的方程 解方程： 提示：算出负数别慌，把结果代回原方程各算一遍，左右对上了就是对的。 题型三　含括号与含分母的方程 【例3】　★★　 考查：去括号与去分母；方法：先去括号（或分母）→ 再移项合并 → 检验 解方程： （1）　　（2） 思路分析 （1）里有括号，先用乘法分配律把它拆掉，括号前是，乘进去各项符号不变。 （2）里有分母2和3，两边同乘它们的最小公倍数6。记住：每一项都要乘，右边那个没有分母，也得乘6。 规范解答 1. （1）去括号： 2. 即。移项：，得 3. 检验：左边，右边，左右相等。 4. （2）两边同乘6： 5. 去括号：。移项：，得 6. 检验：左边，右边，左右相等。 反思：去分母那一步，先在心里数一遍一共有几项，再一项一项乘过去，漏一项整道题就废了。 【变式3】　★★★　 考查：两项都有分母，分子是多项式 解方程： 提示：分母是3和2，公倍数取6。去掉分母以后，分子2x+1和x−2都要先加上括号，再乘外面的数。 题型四　一题多解：两种写法，同一个解 【例4】　★★★　 考查：等式性质逐步变形，与移项简写；方法：方法一 每步只做一件事并写明依据；方法二 规范五步法 解方程： 思路分析 这道题有点综合性：既有分母，两边又都有未知数。两种写法都能解出来。 初学的时候建议用方法一，每一步只在两边做一件事，做的是什么、依据哪条性质，都写得清清楚楚。 方法一 · 每步只做一件事（写明依据） (1) 两边同乘6（性质2）： (2) 两边同减（性质1）： (3) 两边同加6（性质1）： (4) 检验：左边，右边，左右相等。 方法二 · 规范五步法（熟练后的写法） (1) 去分母（两边同乘6）： (2) 移项： (3) 合并同类项： (4) 检验：左右两边都等于8，是原方程的解。 方法对比：方法一每走一步都挂着性质，看得出变形的来路，初学时用它不容易错；方法二把“两边同减2x”和“两边同加6”并成了一次移项，写得快，但要清楚它在干什么。 反思：移项只是性质1的简写。哪天忘了为什么要变号，就退回方法一，把两边的操作写全。 五　易错点 · 误区辨析 下面这几条都来自真实作业。先自己试着改错，再对照右栏。 常见错解 错因剖析 正确做法 / 避坑要点 由移项得 把项搬过去就完事，忘了移项必须变号 正确是。跨过等号，正变负、负变正 把去分母写成 只给含分母的项乘了2，不含分母的1被漏掉 正确是。去分母前先数一遍一共有几项 把去分母写成 分数线本身就带着括号的作用，去掉分母时分子要整体括起来 正确是，括号里的每一项都要乘 由得 系数是负数时符号处理出错，等于两边同除以了2而不是-2 正确是，两边同除以的是-2 由得 把乘和除弄反了，系数化为1应该是两边同除以系数 正确是，也就是两边同乘 避坑提醒 口诀：一去分母（各项都乘），二去括号（负号全变），三移项（记得变号），四合并，五系数化为1，六检验。 你去分母时最容易漏掉的就是那个“没有分母的项”。动手前先在心里数一遍：这一边一共几项？ 解完你一定要代回原方程检验，左边算一遍、右边算一遍。这五秒钟能救回一半的分。 六　分层练习（请在留白处独立完成） 基础巩固　面向全体：辨别方程，一到两步的解方程 1. ★ 下列方程中是一元一次方程的是：　　　 　 2. ★ 解方程： 　 3. ★ 解方程： 　 4. ★ 解方程： 　 能力提升　面向中等：含括号、含分母，需要三四步 1. ★★ 解方程： 提示：先把两边的括号都拆掉，再移项合并。 　 　 2. ★★ 解方程： 提示：分母是3和2，两边同乘6，分子记得加括号。 　 　 3. ★★ 解方程： 提示：分母是4和6，公倍数取12，减号后面那一项整体加括号。 　 　 拓展挑战　面向较好：三个分母，含未知数的项分布在两边 1. ★★★ 解方程： 提示：分母是2、3、4，公倍数取12。去分母后一共有四项，一项一项乘过去，别漏。 　 　 七　课堂小结 · 知识网络 · 一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式。三条缺一不可。 · 等式的性质1：两边同加减同一个数或整式，等式仍成立。性质2：两边同乘或同除以一个不为0的数，等式仍成立。 · 移项的来路是两边同时加减，所以跨过等号必须变号。 · 解方程五步：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。题目没有的就跳过那一步。 · 解完要代入原方程检验，左边算一遍、右边算一遍，相等才算解完。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $