4.2一元一次方程及其解法（知识梳理+同步练习）2026-2027学年苏科版七年级上册数学

该初中数学导学案聚焦一元一次方程及其解法，知识梳理以等式基本性质为核心，搭建从性质理解到移项法则，再到完整五步解法的学习支架，衔接前后知识脉络，帮助学生构建系统认知。 同步练习涵盖选择、填空、解答多种题型，包含实际情境应用、新定义运算及数轴动点问题，能培养学生的抽象能力、运算能力与模型意识，助力提升解题技能和数学思维，适合课堂教学与自主学习使用。

4.2一元一次方程及其解法（知识梳理+同步练习） 知识梳理 一、解方程核心依据 以等式的基本性质为唯一依据，对方程进行等价变形，最终化为的最简形式。 二、移项（核心变形） 1. 定义：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。 2. 法则：移项必变号，不移项不变号。 3. 目的：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，方便合并化简。 4. 依据：等式基本性质1。 三、解一元一次方程完整五步 步骤1：去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母；每一项都要乘，不含分母的常数项不可漏乘。 步骤2：去括号：依据去括号法则和乘法分配律展开；括号前为负号，内部各项全部变号。 步骤3：移项：未知项左移、常数项右移，移动项全部变号。 步骤4：合并同类项：化为最简形式。 步骤5：系数化为1：方程两边同时除以未知数系数，得。 四、方程的检验方法 将解得的未知数的值代入原方程，分别计算左右两边，若左右相等，则为方程的解；否则解错误。 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）方程的解是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）若关于x的方程的解是，则k的值为（     ） A．2 B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列方程变形正确的是（     ） A．，移项得 B．，去括号得 C．，去分母得 D．，系数化为1得 5．（25-26七年级下·山西临汾·期末）代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（     ） A． B．0 C．1 D．或1 7．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知单项式与是同类项，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·山东淄博·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·重庆·期中），若，则的值为（     ） A． B．1 C．1或 D． 10．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）关于x的方程的解是，则______． 12．（25-26七年级下·河南周口·期末）方程：的解为______． 13．（26-27六年级上·上海·开学考试）昆虫爱好者发现某地蟋蟀叫的次数与气温之间有如下近似关系：（t表示蟋蟀每分钟叫的次数，h表示当时的气温）．根据这个式子，当蟋蟀每分钟叫次时，当时气温达到________． 14．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则______________． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如果关于的方程和的解相同，那么______． 16．（25-26七年级下·海南海口·期中）我们规定一种运算：，例如：，则________，若，则_________． 17．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若关于x，y的多项式不含项，则_________ 18．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知实数，满足，，则的值为__________． 19．（25-26七年级下·河南南阳·期末）若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．如：的解为，则方程是“奇异方程”．若关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为__________． 20．（25-26六年级下·上海·期末）阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 三、解答题 21．（25-26山东·泰安）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 23．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）定义新运算：． (1)求的值． (2)若，求的值． 24．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 25．（25-26六年级下·山东烟台·期末）解答以下问题 (1)填在下列各图形中的3个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值是__________． (2)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： ①第5个图形中有__________颗黑色棋子； ②若表示黑色棋子的个数，表示第个图形，请写出关于的关系式； ③第几个图形中有6081颗黑色棋子？请说明理由． 26．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 试卷第4页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B B A C D A D 1．B 【详解】解：∵一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的次数都是，等号两边都是整式的方程， 、不是等式，不属于方程，故选项不符合题意； 、中只含个未知数，未知数次数为，两边均为整式且是等式，符合一元一次方程的定义，故选项符合题意； 、中含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，故选项不符合题意； 、是不等式，不是方程，故选项不符合题意． 2．B 【详解】解： 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得． 3．B 【详解】解：∵ 方程的解是 ∴ 代入得 ∴ . 4．B 【详解】解：A选项，方程移项时，移项要变号，正确结果应为，错误； B选项，方程去括号，用2乘括号内每一项，得，正确； C选项，方程去分母，两边同乘2，正确结果应为，错误； D选项，方程系数化为1，两边同除以，正确结果应为，错误． 5．B 【详解】解： 代数式与的值互为相反数， ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 系数化为得 . 6．A 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解，得或， 由，得， ∴． 7．C 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴， 解得：， ∴关于x的方程， 解得：． 8．D 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 9．A 【详解】解：根据新运算规则，分两种情况讨论： 当，即时， 此时， ∴， 解得， ∵不满足，∴舍去该解； 当，即时， ∵此时， ∴， 整理得， 解得， ∵满足， ∴是符合条件的解． 综上，的值为． 10．D 【详解】解：∵，， 故， ， ， ； ， ， ， ； ①若，即， 解得；故①说法正确． ②， ， ； 若的值与的值无关，则含项的系数为， 即，， 解得，， ∴，故②说法正确． ③， ， ， 整理得， 故， ∴； ∵是正整数，是整数， 故的值可以是、、， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 符合条件的整数的值有个，故③说法正确． 综上，个说法都正确． 11． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴ 解得． 12． 【详解】解：， ， ， . 13． 【详解】解：把代入得 ， 解得， 因此当时气温达到． 14．或 【详解】解： ∴或 解得： 解得： ∴或． 15． 【详解】解：解第一个方程，得， 解第二个方程，得 ∵关于的方程和的解相同， ∴， 解得， 故答案为：． 16． 【详解】解：∵， ∴； ∵ ∴ 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为得，． 17． 【详解】解： ∵多项式不含项， ∴项的系数为， 即， 解得， ∴． 18． 【详解】解：对于， 当时，原式可化为，解得； 当时，原式可化为，无解； 将代入，得 ， 解得； 当时，； 当时，； 综上所述，． 19． 【详解】解：关于的一元一次方程是“奇异方程”， 根据定义可得方程的解， 将代入原方程得： ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 20． 【详解】解： ． 21．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ． （4）解：， ，     ， ， ， ． 22．(1)二 (2)解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【详解】（1）解：第二步中去括号符号错误， 故题目第二步开始出现错误； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 23．(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵，， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，不符合题意． ∴． 24．(1)15 (2) 【详解】（1）解：方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴方程的解为：， ∴，解得． （2）解：方程的解为：， 方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴， 化简得：， ∴． 25．(1)900 (2)①18 ； ②； ③第2026个图形中有6081颗黑色棋子 理由：令， 解得， 第2026个图形中有6081颗黑色棋子． 【详解】（1）解：由图形可得：，，，，，…， ． （2）解：①由图形可得：第1个图形有黑色棋子颗， 第2个图形有黑色棋子颗， 第3个图形有黑色棋子颗， ∴第5个图形有颗黑色棋子； ②由①可得第n个图形有黑色棋子颗， ∴； ③第2026个图形中有6081颗黑色棋子 理由：令， 解得， 第2026个图形中有6081颗黑色棋子． 26．(1)1 (2)点P所对应的数是或 (3)或或或 【详解】（1）解： ， 点N所对应的数是1； （2）解：点P到点M、N的距离之和是5个单位长度，， 点在点、的两侧， 分情况讨论： 如图，当点P在点M的左边时， ， 点P所对应的数是； 如图，当点P在点N的右边时， ， 点P所对应的数是， 综上所述，点P所对应的数是或； （3）解：根据题意得：点P到达O点所需时间为：，点Q到达M点所需时间为：， 则点P停止运动时需要的时间为，点Q停止运动时需要的时间为， 分情况讨论： ①当点Q未到达点M时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：或； ②当点Q从点M折返且点P未到达点O时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点P、Q都已折返时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：或， 综上所述：当或或或时， P、Q距离为1． $