3.2.1.2双曲线的定义与标准方程的应用同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学双曲线定义与标准方程应用同步练，分层设计梯度清晰，从基础概念辨析到复杂情境建模，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|双曲线定义、标准方程|直线与双曲线交点判断（概念辨析，数学思维）| |中档|焦点三角形、直线与双曲线位置关系|焦点三角形面积计算（推理运算，几何直观）| |拔高|跨知识综合、实际情境应用|军事演习轨迹方程（模型观念，应用意识）|

第2课时　双曲线的定义与标准方程的应用 1.直线y＝x与双曲线－y2＝1公共点的个数为（　　） A.0　 　　B.1　 　　C.2　 　　D.4 2.已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若OP＝OF，则△OPF的面积为（　　） A.　　B.　　C.　　D. 3.设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，PF1＝3PF2，则∠F1PF2的大小为（　　） A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90° 4.已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P（3，1）为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则AP＋AF2的最小值为（　　） A.＋4　　 B.－4 C.－2　　 D.＋2 5.（多选）已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，若声速为340米/秒，则下列说法正确的是（　　） A.爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上 B.爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上 C.若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为米 D.若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为680米 6.（多选）双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上.若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为（　　） A.　　B.　　C.4　　D.2 7.已知直线l：y＝kx－1与双曲线C：－＝1有且只有一个公共点，则k＝　　　　. 8.已知F1，F2是双曲线－＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，则PF2＋QF2－PQ＝　　　　. 9.已知F1，F2是双曲线C：－y2＝1的两个焦点，点M在直线x－y＋3＝0上，则MF1＋MF2的最小值为　　　　. 10.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？ 11.双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P（8，y0）后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（　　） A.　　B.－　　C.　　D.－ 12.（多选）已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是（　　） A.点P到x轴的距离为4 B.PF1＋PF2＝ C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2＝60° 13.已知O为坐标原点，A（－5，0），B（5，0），点P满足PA＋PB＝14，点P（x，y）又满足－＝2，则点P的坐标是　　　　. 14.已知双曲线C：－y2＝1，P是C上的任意一点. （1）设点A的坐标为（4，0），求PA的最小值； （2）若F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积. 15.在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒（注：v0为信号传播速度），C处舰艇保持静默. （1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程； （2）在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离是多少？ 第2课时　双曲线的定义与标准方程的应用 1.C　联立直线与双曲线的方程得 整理得x2＝即x＝±，方程有两解，故选C. 2.B　因为c2＝a2＋b2＝9，所以OP＝OF＝3.设点P的坐标为（x，y），则x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入双曲线方程得｜y｜＝，所以S△OPF＝OF·｜y｜＝. 3.C　根据双曲线的定义得PF1－PF2＝4，又因为PF1＝3PF2，所以PF1＝6，PF2＝2.又因为F1F2＝2，所以在△F1PF2中结合余弦定理的推论得：cos∠F1PF2＝＝，因为0°＜∠F1PF2＜180°，得∠F1PF2的大小为60°.故选C. 4.C　由双曲线的定义，得AP＋AF2＝AP＋AF1－2，所以要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0，当点A位于点A0处时，AP＋AF1最小，最小值为PF1＝＝.故AP＋AF2的最小值为－2. 5.BD　依题意，A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设爆炸点为C，则CA－CB＝340×2＝680＜800，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），所以＝4，即CA＝2CB，结合CA－CB＝680，可得CB＝680.所以C选项错误，D选项正确.故选B、D. 6.AC　由双曲线C：－＝1可得c＝＝＝4.根据双曲线的对称性只需考虑PF1⊥F1F2或PF1⊥PF2.当PF1⊥F1F2时，将x＝－4代入－＝1可得y＝±，所以△PF1F2的面积为F1F2·PF1＝.当PF1⊥PF2时，由双曲线的定义可知，｜PF1－PF2｜＝2a＝4，由勾股定理可得P＋P＝F1＝（2c）2＝64.因为P＋P＝＋2PF1·PF2＝64，所以PF1·PF2＝8，此时△PF1F2的面积为PF1·PF2＝4.综上所述，△PF1F2的面积为4或.故选A、C. 7.±或±　解析：由得（9－4k2）x2＋8kx－40＝0（*），当9－4k2＝0，即k＝±时，方程（*）有唯一解符合题意；当9－4k2≠0时，需Δ＝64k2＋160（9－4k2）＝0，解得k＝±，故k＝±或±. 8.16　解析：由双曲线方程得，2a＝8，由双曲线的定义得PF2－PF1＝2a＝8①，QF2－QF1＝2a＝8②，①＋②，得PF2＋QF2－（PF1＋QF1）＝16，所以PF2＋QF2－PQ＝16. 9.　解析：由双曲线C：－y2＝1可得a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝4，可得c＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0）.如图，设点F2（2，0）关于直线x－y＋3＝0对称的点为P（m，n），由可得所以P（－3，5），所以MF1＋MF2＝MF1＋MP≥PF1，当且仅当P，M，F1三点共线时等号成立，PF1＝＝，所以MF1＋MF2的最小值为. 10.解：双曲线方程可化为x2－＝1， 故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4， ∴c＝2.∴F2（2，0），又直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线l的方程为y＝x－2， 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1·x2＝－＜0， ∴A，B两点不位于双曲线的同一支上. 11.C　设P（8，y0）在第一象限，则－＝1⇒y0＝3，PF2＝＝6，PF1＝6＋8＝14，F1F2＝10，cos∠F1PF2＝＝. 12.AC　由双曲线的方程可得a＝4，b＝3，则c＝5，不妨设点P在第一象限，由△PF1F2的面积为20，得×2c×yP＝×10×yP＝20，解得yP＝4，即点P到x轴的距离为4，故A选项正确；将yP＝4代入双曲线方程可得xP＝，故P（，4），则PF2＝＝，由双曲线的定义知PF1－PF2＝2a＝8，则PF1＝8＋＝，则PF1＋PF2＝＋＝，故B选项错误；在△PF1F2中，PF1＝＞2c＝10＞PF2＝，则＝＝＞0，∠PF2F1为钝角，则△PF1F2为钝角三角形，故C选项正确；cos∠F1PF2＝＝＝＝1－≠，则∠F1PF2≠60°，故D选项错误.故选A、C. 13.（，±）　解析：由A（－5，0），B（5，0），点P满足PA＋PB＝14＞AB，由椭圆的定义可得点P在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，所以2a＝14，c＝5，所以b2＝a2－c2＝24.椭圆方程为＋＝1.又点P（x，y）满足－＝2，所以PA－PB＝2＜AB.由双曲线的定义可得点P在x2－＝1（x≥1）上，联立椭圆方程与双曲线方程可得y＝±，x＝，所以点P的坐标是（，±）. 14.解：（1）设点P的坐标为（x0，y0）， 则PA2＝（x0－4）2＋＝＋－1＝－8x0＋15＝＋， 因为｜x0｜≥，所以当x0＝时，PA取得最小值. （2）由双曲线的定义知｜PF1－PF2｜＝2， ① 由余弦定理得F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos 60°， ② 根据①②可得PF1·PF2＝4， 所以＝PF1·PF2·sin 60°＝×4×＝. 15.解：（1）如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P（x，y），由题意可知PB－PA＝v0·＝4＜AB＝6. 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4，c＝3，所以b＝. 所以敌舰艇的轨迹方程为－＝1（x≤－2）. （2）设方程－＝1（x≤－2）上一点M（x0，y0）， 由题意知－＝1（x0≤－2），即＝4＋，又C（0，3）， 所以MC＝ ＝ ＝ ＝（y0∈R）， 所以当y0＝时，MCmin＝2， 即无人机飞行的最小距离是2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $