3.3.2抛物线的几何性质(1) 同步练习 -2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦抛物线几何性质，通过基础巩固、中档综合、提升应用三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|抛物线对称轴、焦点、开口方向等基本性质|单选1-3直接考查定义，如第1题辨析对称轴，强化概念认知| |中档|定义应用、几何性质与三角形等结合|单选4-6、多选7-8、填空9-11综合考查，如第4题等边三角形与抛物线焦点问题，提升推理能力| |提升|轨迹方程、中点弦等综合应用|解答题12-13需建模求解，如第13题推导轨迹方程并求直线方程，发展模型意识|

3.3.2　抛物线的几何性质(1) 建议用时：40分钟　答案P20　评价：________ 一、 单项选择题 1 抛物线x2＝4y的对称轴是直线(　　) A. x＝－2 B. y＝2 C. y＝0 D. x＝0 2 已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点M在抛物线C上，且MF＝6，则点M到y轴的距离为(　　) A. 6 B. 5 C. 4 D. 4 3 在下列抛物线中，开口最小的是(　　) A. y2＝x B. y2＝x C. y2＝2x D. y2＝4x 4 (2025连云港新海中学期中)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2x的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为(　　) A. 4＋2 B. 8＋4 C. 4－2或4＋2 D. 8－4或8＋4 5 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，则＋的值为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6 (2025楚雄彝族民族中学模拟)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A(x1，3)，B(x2，－)两点，过A，B两点分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为M，N，则MF2＋NF2等于(　　) A. 32 B. 28 C. 20 D. 16 二、 多项选择题 7 关于抛物线y2＝－2x，下列说法中正确的是 (　　) A. 开口向左 B. 焦点坐标为(－1，0) C. 准线方程为x＝1 D. 对称轴为x轴 8 已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是抛物线C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则下列结论中正确的是 (　　) A. 抛物线C的准线方程为x＝－4 B. 点F的坐标为(0，4) C. FN＝12 D. △ONF的面积为16(O为坐标原点) 三、 填空题 9 设F为抛物线y2＝ax(a>0)的焦点，点P在抛物线上，且点P到y轴的距离与到点F的距离之比为1∶2，则PF＝________． 10 已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，N为抛物线上一点，若点N到x轴的距离为5，且NF＝6，则该抛物线的标准方程为________． 11 P是抛物线y2＝4x上任意一点，Q(3，0)是x轴上的定点，则PQ的最小值为________． 四、 解答题 12 已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程． 13 (2025昭通芒部中学期中)已知动点M到点(6，0)的距离比它到直线x＋8＝0的距离小2，记动点M的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C的方程； (2) 直线l与曲线C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(4，－2)，求直线l的方程． 3.3.2　抛物线的几何性质(1) 1. D　因为抛物线x2＝4y的焦点在y轴的非负半轴上，所以该抛物线的对称轴为直线x＝0. 2. C　由题意及抛物线定义，得点M到抛物线C的准线x＝－2的距离为6，所以点M到y轴的距离为6－2＝4. 3. A　在抛物线的标准方程中，一次项的系数的绝对值越小，对应抛物线的开口越小．故选A. 4. C　由题意，得p＝1，焦点F，准线方程为x＝－.设等边三角形的边长为a，如图，所以AF＝xA＋，即xA＋＝a，则a cos 30°＋1＝a或1－a cos 30°＝a，所以a＝4±2. 5. A　由题意，得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，F(1，0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即y＝2x－2.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x2－3x＋1＝0，则x1＋x2＝3，x1x2＝1.过点A作准线的垂线AA′，过点B作准线的垂线BB′，则由抛物线可知AF＝AA′＝x1＋1，BF＝BB′＝x2＋1，所以＋＝＋＝＝1. 6. A　如图，设抛物线C的准线与x轴的交点为P，由抛物线的定义可知AF＝AM，BF＝BN，所以∠AMF＝∠AFM，∠BNF＝∠BFN.又因为∠AMF＝∠PFM，∠BNF＝∠PFN，所以∠AFM＝∠PFM，∠BFN＝∠PFN，所以∠PFM＋∠PFN＝90°，即△MFN是直角三角形，且∠MFN＝90°，所以MN＝MP＋PN＝3＋＝4，故MF2＋NF2＝MN2＝(4)2＝32. 7. AD　抛物线y2＝－2x的开口向左，焦点为，准线方程为x＝，对称轴为x轴，故A，D正确；B，C错误．故选AD. 8. ACD　如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的方程可得，准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4，0)，则AN＝4，FF′＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线BM＝＝6.由抛物线的定义知，MF＝MB＝6，结合题意知，MN＝MF＝6，故FN＝FM＋NM＝6＋6＝12，所以ON＝＝8，所以S△ONF＝×8×4＝16.故选ACD. 9. 　由题意，得点F，＝，解得PF＝. 10. x2＝4y　由抛物线x2＝2py(p>0)，得准线方程为y＝－.因为NF＝6，所以根据抛物线定义可知点N到准线的距离为6.又点N到x轴的距离为5，所以＝6－5，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝4y. 11. 2　设点P(x0，y0)，则y＝4x0，易知PQ＝＝＝＝≥2，当且仅当x0＝1时取得最小值2. 12. 当焦点在y轴正半轴时， 设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)， 由题意，得解得p＝3±， 所以抛物线的方程为x2＝2(3±)y； 当焦点在y轴负半轴时， 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 由题意，得解得p＝3±， 所以抛物线的方程为x2＝－2(3±)y. 综上，抛物线的方程为x2＝2(3±)y或x2＝－2(3±)y. 13. (1) 由题意，得动点M到点(6，0)的距离等于到直线x＝－6的距离，则动点M的轨迹是以(6，0)为焦点，x＝－6 为准线的抛物线， 所以曲线C的方程为y2＝24x. (2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得y－y＝24(x1－x2)， 整理，得＝. 因为线段AB的中点坐标为(4，－2)，所以y1＋y2＝－4， 所以直线l的斜率k＝＝＝－6， 故直线l的方程为y＋2＝－6(x－4)，即6x＋y－22＝0，经检验满足题意． 学科网（北京）股份有限公司 $