集合间的基本关系·创新作业设计-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学作业设计方案针对高一学生初学集合的特点，以有序数组集合“数字和”探究为载体，融合子集个数与组合计数。作业实施分层，（1）（2）问为基础层全员必做，（3）问设提升拓展层，（i）必做（ii）鼓励挑战，满足不同需求。 通过“枚举—分类—归纳—推广”过程提升学习效果，如第（2）问枚举子集培养逻辑推理，第（3）问用组合计数深化数学运算，推广n元组体现数学抽象。评价采用评分细则与核心素养等级量表，科学诊断学生能力，助力核心素养达成。

高一数学《集合间的基本关系》创新作业设计 ——基于有序数组集合“数字和”探究的原创作业 一、作业试题 本题依据人教A版《数学》必修第一册第一章1.2节“集合间的基本关系”与《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中“理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集”的要求原创设计，通过构造以有序数组为元素的集合，将“子集个数”“元素数字和”与组合计数思想融为一体。 （原创探究题）题目（☆☆☆☆）已知集合 ： （1）请你写出集合 A，并计算 A 中所有元素的数字和。 （2）请你写出 A 的所有子集，并求出所有子集中元素的数字和。 （3）若 ，则： （i）请计算 B 中所有元素的数字和； （ii）请计算 B 中所有子集中元素的数字和。 说明：“数字和”指元素各位数字（各坐标）之和，如 (0,1) 的数字和为 0+1=1。 【详解】 （1）集合 = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} 所以A 中所有元素的数字和： (0,0) → 0； (0,1) → 1； (1,0) → 1； (1,1) → 2 总和 = 0 + 1 + 1 + 2 = 4。 （2）A 的所有子集（共 = 16 个）及每个子集的数字和： 子集 数字和 ∅ 0 {(0,0)} 0 {(0,1)} 1 {(1,0)} 1 {(1,1)} 2 {(0,0),(0,1)} 1 {(0,0),(1,0)} 1 {(0,0),(1,1)} 2 {(0,1),(1,0)} 2 {(0,1),(1,1)} 3 {(1,0),(1,1)} 3 {(0,0),(0,1),(1,0)} 2 {(0,0),(0,1),(1,1)} 3 {(0,0),(1,0),(1,1)} 3 {(0,1),(1,0),(1,1)} 4 {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} 4 所有子集数字和的总和 = 0+0+1+1+2+1+1+2+2+3+3+2+3+3+4+4 = 32。 简便算法：A 中每个元素出现在 = 8 个子集中，故总和 = 8 × (0+1+1+2) = 32。 （3）集合 ，共 = 16 个元素： (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,0,1,1) (0,1,0,0) (0,1,0,1) (0,1,1,0) (0,1,1,1) (1,0,0,0) (1,0,0,1) (1,0,1,0) (1,0,1,1) (1,1,0,0) (1,1,0,1) (1,1,1,0) (1,1,1,1) （i）B 中所有元素的数字和： 按元素中“1”的个数分类： 含 0 个 1：C(4,0) = 1 个，数字和为 0； 含 1 个 1：C(4,1) = 4 个，数字和为 1； 含 2 个 1：C(4,2) = 6 个，数字和为 2； 含 3 个 1：C(4,3) = 4 个，数字和为 3； 含 4 个 1：C(4,4) = 1 个，数字和为 4。 总和 = 0×1 + 1×4 + 2×6 + 3×4 + 4×1 = 4 + 12 + 12 + 4 = 32。 （ii）B 中所有子集中元素的数字和： B 的所有子集共 = 65536 个；由对称性，每个元素出现在 = 32768 个子集中。 所以所有子集中元素的数字和总和 = 32768 × 32 = 1048576。 【答案】 （1）A 中所有元素的数字和为 4； （2）A 的所有子集数字和总和为 32（16 个子集的数字和见上表）； （3）（i）B 中所有元素的数字和为 32； （3）（ii）B 所有子集中元素的数字和总和为 1048576。 二、作业答案解析 （1）答案解析 答案：A＝{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}；A 中所有元素的数字和为 0＋1＋1＋2＝4。 解析：集合 A 的元素是二元有序数组，两个坐标都只能取 0 或 1。按第一个坐标分类枚举可保证不重不漏：第一个坐标为 0 时得 (0,0)、(0,1)，为 1 时得 (1,0)、(1,1)，共 ＝4 个元素。四个元素的数字和分别为 0、1、1、2，总和为 4。 易错提醒：(0,1) 与 (1,0) 是两个不同的元素，有序数组交换坐标后不能视为同一元素。 （2）答案解析 答案：A 的全部子集共 ＝16 个，所有子集数字和的总和为 32。 解析：含 n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集，A 含 4 个元素，故子集个数为 ＝16。为做到不重不漏，按子集所含元素个数分类枚举： 含 0 个元素：∅，数字和为 0； 含 1 个元素：{(0,0)}、{(0,1)}、{(1,0)}、{(1,1)}，数字和分别为 0、1、1、2； 含 2 个元素：{(0,0),(0,1)}、{(0,0),(1,0)}、{(0,0),(1,1)}、{(0,1),(1,0)}、{(0,1),(1,1)}、{(1,0),(1,1)}，数字和分别为 1、1、2、2、3、3； 含 3 个元素：{(0,0),(0,1),(1,0)}、{(0,0),(0,1),(1,1)}、{(0,0),(1,0),(1,1)}、{(0,1),(1,0),(1,1)}，数字和分别为 2、3、3、4； 含 4 个元素：A 本身，数字和为 4。 故总和＝0＋0＋1＋1＋2＋1＋1＋2＋2＋3＋3＋2＋3＋3＋4＋4＝32。 简便算法：A 中每个元素出现在 ＝8 个子集中（固定该元素，其余 3 个元素任选），故总和＝8×(0＋1＋1＋2)＝32。 易错提醒：枚举子集时易漏空集与集合本身；按元素个数分类枚举可有效避免遗漏与重复。 （3）（i）答案解析 答案：B 中所有元素的数字和为 32。 解析：B 的元素是四元有序数组，共有 ＝16 个。元素的数字和等于其中 1 的个数，按含 1 的个数分类： 含 0 个 1 的有 C(4,0)＝1 个，数字和为 0； 含 1 个 1 的有 C(4,1)＝4 个，数字和为 1； 含 2 个 1 的有 C(4,2)＝6 个，数字和为 2； 含 3 个 1 的有 C(4,3)＝4 个，数字和为 3； 含 4 个 1 的有 C(4,4)＝1 个，数字和为 4。 故总和＝0×1＋1×4＋2×6＋3×4＋4×1＝4＋12＋12＋4＝32。 易错提醒：分类必须完整，含 0 个 1 与含 4 个 1 两类最易遗漏；用组合数计数可避免逐一枚举 16 个元素。 （3）（ii）答案解析 答案：B 中所有子集中元素的数字和总和为 1048576。 解析：B 含 16 个元素，子集总数为 ＝65536。对任意一个固定元素，其余 15 个元素是否加入子集可独立选择，故该元素出现在 ＝32768 个子集中；由对称性，每个元素出现次数相同。因此所有子集数字和的总和＝32768×32＝1048576。 思想方法：逐一枚举 65536 个子集并计算既不现实也极易出错。本题的价值在于引导学生把“求和”转化为“计数”：先确定单个元素的出现次数，再统一求和，体会对称性与模型化方法的力量。 易错提醒：常见错误是把“子集个数 ”误当作“每个元素的出现次数”，或漏乘 B 中所有元素数字和的总和 32。 拓展：一般结论 对 n 元组集合 C＝{(x₁,x₂,…,xₙ) | xᵢ∈{0,1}}（共 个元素），元素数字和总和为 n·；所有子集数字和总和为 ·n·。检验：n＝2 时分别为 4 与 32；n＝4 时分别为 32 与 1048576，与本题结果一致，可作为单元复习或数学写作的素材。 三、作业目标 依据课标对“集合”主题的要求——“针对具体问题，能用符号语言刻画集合”“理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集”，结合高一学生初学集合、对子集个数规律尚在形成期的学情，确定如下作业目标。 （一）知识与技能目标 1.能正确用列举法写出二元组、四元组集合的全部元素，理解有序数组可作为集合元素，能区分 (0,1) 与 (1,0)； 2.能准确计算集合元素的“数字和”，掌握按“元素中含 1 的个数”分类计算的方法； 3.能写出含 n 个元素的集合的全部子集，理解子集个数为 2ⁿ，会用对称性计算所有子集数字和的总和。 （二）过程与方法目标 1.经历“枚举—分类—归纳—推广”的完整探究过程，体会从特殊到一般、分类讨论的思想； 2.学会把“求和”转化为“计数”：借助每个元素在子集中的出现次数统一计算，感悟对称性与模型化方法。 （三）核心素养目标 1.数学抽象：用集合符号语言刻画由有序数组构成的集合； 2.逻辑推理：由 A 到 B 类比迁移，归纳子集数字和总和的规律； 3.数学运算：正确进行数字和、组合数、幂的运算； 4.数学建模：建立“子集数字和总和＝出现次数×元素数字和之和”的计数模型，并能推广到一般情形。 四、作业实施建议 （一）作业定位与分层 1.本题定位为1.2节“集合间的基本关系”课后的巩固与拓展作业，亦可作为本章复习的探究性作业； 2.分层要求：第（1）（2）问为基础层，全员必做；第（3）问为提升拓展层，其中（i）必做、（ii）鼓励挑战，满足不同水平学生的需要。 （二）时间安排 建议总用时 25～30 分钟：第（1）（2）问约 12～15 分钟，第（3）问约 10～15 分钟，采用“独立完成＋同伴互查”相结合的作业形式。 （三）实施流程 1.布置：课堂小结后布置，先示范一例（如 (1,0) 的数字和为 1），明确“数字和”与“子集数字和”两个概念的区别； 2.完成：学生课后独立完成，允许用列举法辅助思考； 3.互查：第（2）问子集枚举易漏，组织同桌交换互查、互相补漏； 4.讲评：第（3）问（ii）引导小组交流，发现“每个元素在子集中出现次数相同”的对称性，展示枚举法与计数法两种解法并比较。 （四）学习支架与差异化支持 1.提示卡（按需发放）： 提示卡一：集合 A 有 4 个元素，每个元素出现在多少个不同的子集中？ 提示卡二：B 中元素按“含 1 的个数”可分为几类？每类各有多少个？ 提示卡三：能否先求 B 中所有元素数字和的总和，再乘每个元素的出现次数？ 2.对学习有困难的学生：先补充单元素集 {0}、二元素集 {0,1} 的特例，再回到本题； 3.对学有余力的学生：鼓励推广到 n 元组集合，探索数字和总和（n·2ⁿ⁻¹）与子集数字和总和（2²ⁿ⁻¹·n·2ⁿ⁻¹）的通项公式，感悟一般化方法。 （五）易错点与讲评要点 1.把 (0,1) 与 (1,0) 误认为同一元素——强调有序对按顺序区分； 2.枚举子集时漏掉空集或全集——建议按元素个数 0、1、2、3、4 分类枚举，保证不重不漏； 3.混淆“元素数字和”与“子集数字和”——通过示例（如子集 {(0,1),(1,0)} 的数字和为 1+1=2）加以区分； 4.第（3）问（ii）逐一枚举 65536 个子集不可行——引导学生转向计数推理，体会优化方法的必要性。 五、作业评价标准 （一）评分细则（满分 24 分，可折算为百分制） 题号 考查内容 分值 评分标准 （1） 列举法表示集合，计算元素数字和 4 正确写出 A 的全部 4 个元素得 2 分；四个元素数字和（0、1、1、2）正确得 1 分；总和 4 正确得 1 分 （2） 子集枚举与子集数字和 10 正确写出全部 16 个子集得 4 分（每漏 1 个扣 0.5 分，扣完为止）；16 个子集数字和全部正确得 4 分（错 1 处扣 0.5 分）；总和 32 正确得 2 分 （3）（i） 四元组元素数字和 4 正确说明 B 含 16 个元素得 1 分；按含 1 个数正确分类得 2 分；总和 32 正确得 1 分 （3）（ii） 子集数字和总和的计数推理 6 能说明每个元素出现在 2¹⁵＝32768 个子集中得 3 分；正确计算 32768×32＝1048576 得 3 分 合计 — 24 折算百分制：得分×100÷24（四舍五入取整） 注：方法不唯一。第（3）问（ii）采用其他等价计数方法且结果正确者，同样给满分；过程正确但结果错误扣 1～2 分。 （二）核心素养达成评价（等级量表） 评价维度 观察点 A（优秀） B（良好） C（合格） D（待加强） 知识理解 集合表示、子集概念、数字和含义 表述规范，概念清晰无混淆 表述较规范，偶有遗漏 基本正确，有漏空集等遗漏 概念混淆，表述混乱 方法运用 枚举、分类、对称计数 能主动用对称性与组合计数求解 能在提示下完成计数推理 能完成枚举与分类 仅能完成简单枚举 数学表达 符号使用与推理过程 过程完整、符号规范、有条理 过程基本完整 有过程但欠规范 只写结果，无过程 思维品质 迁移与推广 能推广到 n 元组并给出通项 能提出推广猜想 能理解讲评中的推广 未见迁移意识 注：本量表供教师诊断与反馈使用，与（一）评分细则互补：分值评定结果，量表诊断素养达成情况。 （三）等级评定与反馈建议 1.等级划分：A（优秀）21 分及以上；B（良好）17～20 分；C（合格）13～16 分；D（待加强）13 分以下； 2.反馈建议：结合量表写一句针对性评语，先肯定亮点再指出改进点，如“枚举不重不漏、书写规范，若能主动用对称性方法解决第（3）问（ii），将更具优势”； 3.跟进措施：组织优秀作业展示与错题订正；对 D 等级学生安排面批，先补做基础题，再逐步挑战拓展问。 1 学科网（北京）股份有限公司 $