1.1.3 第2课时 全集与补集(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“全集与补集”核心知识点，先通过学生获奖集合实例引出补集问题，再系统讲解全集的相对性及补集定义，衔接已学的交集、并集运算，构建完整的集合运算知识支架。 资料以生活实例激发兴趣，培养数学眼光，借助Venn图、数轴直观呈现集合关系，发展几何直观与空间观念。题型分层设计，从基础判断到综合运算再到参数求解，提升逻辑推理与运算能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、弥补盲点。

第二课时　全集与补集 　　某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}. 【问题】　没有获得金奖的学生有哪些？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号　U　表示.全集包含所要研究的这些集合. 提醒：全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在具体题目中，全集一般是给定的. 【想一想】 在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异. 知识点二　补集 　 提醒：（1）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.即“交的补＝补的并”“并的补＝补的交”；（2）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割；（3）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全集是由任何元素组成的集合.（　×　） （2）不同的集合在同一个全集中的补集也不同.（　√　） （3）集合∁BC与∁AC相等.（　×　） （4）集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.（　√　） 2.已知集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}，∁AB＝{1，3，5}，则集合B＝（　　） A.{2，4} B.{0，2，4} C.{0，1，3} D.{2，3，4} 解析：B　根据题意，集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，由∁AB＝{1，3，5}，得B＝∁A（∁AB）＝{0，2，4}.故选B. 3.设全集为U，M＝{1，2}，∁UM＝{3}，则U＝　{1，2，3}　. 解析：U＝M∪（∁UM）＝{1，2}∪{3}＝{1，2，3}. 题型一　全集与补集 （1）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（　A　） A.2∈M　　 B.3∈M C.4∉M　 　D.5∉M 解析：由题意知M＝{2，4，5}，故选A. （2）若集合A＝{x｜－1≤x＜1}，当U＝{x｜x≤2}时，∁UA＝　{x｜x＜－1，或1≤x≤2}　；当U＝{x｜－4≤x≤1}时，∁UA＝　{x｜－4≤x＜－1，或x＝1}　. 解析：当U＝{x｜x≤2}时，把集合U和A表示在数轴上，如图①所示. 由图①知∁UA＝{x｜x＜－1，或1≤x≤2}； 当U＝{x｜－4≤x≤1}时，把集合U和A表示在数轴上，如图②所示. 由图②知∁UA＝{x｜－4≤x＜－1，或x＝1}. 通性通法 求集合补集的2种方法 （1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解. 　设集合U＝R，M＝{x｜x＞2或x＜－2}，则∁UM＝（　　） A.{x｜－2≤x≤2} B.{x｜－2＜x＜2} C.{x｜x＜－2或x＞2} D.{x｜x≤－2或x≥2} 解析：A　如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x｜－2≤x≤2}. 题型二　集合交、并、补的综合运算 已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}，求（∁UA）∪B，A∩（∁UB），∁U（A∪B）. 解：如图所示. 因为A＝{x｜－2＜x＜3}， B＝{x｜－3≤x≤2}，U＝{x｜x≤4}， 所以∁UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}， A∪B＝{x｜－3≤x＜3}. 所以（∁UA）∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}， A∩（∁UB）＝{x｜2＜x＜3}， ∁U（A∪B）＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}. 通性通法 求解集合混合运算的一般思路 （1）明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； （2）明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； （3）注意对运算结果进行检验. 1.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A.{4} B.{2，4} C.{4，5} D.{1，3，4} 解析：A　图中阴影部分表示的集合在集合A中但不含集合B中的元素，故图中阴影部分表示的集合是A∩（∁UB）.因为U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，3}，所以∁UB＝{4，5}.因为A＝{2，4}，所以A∩（∁UB）＝{4}.故选A. 2.已知全集U＝R，A＝{x｜x≤0}，B＝{x｜x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（　　） A.{x｜x≥0} B.{x｜x≤1} C.{x｜0≤x≤1} D.{x｜0＜x＜1} 解析：D　因为U＝R，A＝{x｜x≤0}，B＝{x｜x≥1}，所以A∪B＝{x｜x≤0，或x≥1}，所以∁U（A∪B）＝{x｜0＜x＜1}. 题型三　与补集相关的参数值的求解 设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且（∁UA）∩B＝∅，求实数m的取值范围. 解：由已知A＝{x｜x≥－m}，得∁UA＝{x｜x＜－m}， 因为B＝{x｜－2＜x＜4}，（∁UA）∩B＝∅， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m｜m≥2}. 【母题探究】 　（变条件）本例将条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UB）∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解：由已知A＝{x｜x≥－m}，∁UB＝{x｜x≤－2或x≥4}. 又（∁UB）∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2. 故m的取值范围为{m｜m≥2}. 通性通法 由集合的补集求解参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解； （2）如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析求解. 已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}，∁UM＝{－1}，则实数x的值为（　　） A.2 B.－2 C.2或－2 D.－1 解析：A　由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解得x＝2.故选A. 1.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM＝（　　） A.U　　　B.{1，3，5} C.{3，5，6}　D.{2，4，6} 解析：C　∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴∁UM＝{3，5，6}. 2.设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则（A∩B）∪C＝（　　） A.{1，2，3} B.{1，2，4} C.{2，3，4} D.{1，2，3，4} 解析：D　由已知可得A∩B＝{1，2}，（A∩B）∪C＝{1，2，3，4}.故选D. 3.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（　　） A.{3，4，5} B.{1，3，4} C.{1，2，5} D.{3，4} 解析：D　由题图可知，阴影部分表示的集合是∁U（M∪N）.∵M∪N＝{1，2，5}，又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（M∪N）＝{3，4}. 4.已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜x＞1}，若A∩（∁RB）≠∅，则实数a的取值范围是　{a｜a＜1}　. 解析：∁RB＝{x｜x≤1}，∵A∩（∁RB）≠∅，∴a＜1. 5.设全集为R，A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，求∁RB，∁R（A∪B）. 解：把集合A，B在数轴上表示，如图. 由图知∁RB＝{x｜x≤2，或x≥10}， A∪B＝{x｜2＜x＜10}， 所以∁R（A∪B）＝{x｜x≤2，或x≥10}. 1.已知全集U＝R，集合A＝{x｜1≤2x＋1＜9}，则∁UA＝（　　） A.{x｜x＜0或x＞4} B.{x｜x≤0或x＞4} C.{x｜x≤0或x≥4} D.{x｜x＜0或x≥4} 解析：D　∵全集U＝R，集合A＝{x｜1≤2x＋1＜9}＝{x｜0≤x＜4}，∴∁UA＝{x｜x＜0或x≥4}，故选D. 2.设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋3}，∁UA＝{1}，则a的取值为（　　） A.－3 B.3 C.－1 D.1 解析：C　∵A∪（∁UA）＝U，∴a2＝1且a＋3＝2，∴a＝－1.故选C. 3.设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T＝（　　） A.{x｜－2＜x≤1} B.{x｜x≤－4} C.{x｜x≤1} D.{x｜x≥1} 解析：C　因为S＝{x｜x＞－2}，所以∁RS＝{x｜x≤－2}，又T＝{x｜－4≤x≤1}，所以（∁RS）∪T＝{x｜x≤－2}∪{x｜－4≤x≤1}＝{x｜x≤1}.故选C. 4.若集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x∈Z｜1≤x≤9}，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：C　B＝{x∈Z｜1≤x≤9}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故题图中阴影部分表示的集合为∁BA＝{2，4，6，8，9}，共5个元素. 5.〔多选〕已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，5}，N＝{1，3}，则（　　） A.M∪N＝{1，2，3，5} B.（∁UM）∩（∁UN）＝{3} C.（∁UN）∩M＝{2，5} D.（∁UM）∪N＝{1，3，4，6} 解析：ACD　对于A选项，M＝{2，3，5}，N＝{1，3}，M∪N＝{1，2，3，5}，故正确；对于B选项，（∁UM）∩（∁UN）＝{1，4，6}∩{2，4，5，6}＝{4，6}，故错误；对于C选项，（∁UN）∩M＝{2，4，5，6}∩{2，3，5}＝{2，5}，故正确；对于D选项，（∁UM）∪N＝{1，4，6}∪{1，3}＝{1，3，4，6}，故正确.故选A、C、D. 6.〔多选〕已知全集U，A，B是U的非空子集，且B⊆（∁UA），则必有（　　） A.A∩B＝∅ B.A⊆（∁UB） C.A⊇（∁UB） D.A⊆B 解析：AB　由题意作出Venn图，根据Venn图可得，A∩B＝∅，A正确，D错误；A⊆（∁UB），B正确，C错误.故选A、B. 7.已知集合U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{2，3}，∁UA＝{5}，则实数a的值为　2或－4　. 解析：由题意得5∈U，故得a2＋2a－3＝5，即a2＋2a－8＝0，解得a＝－4或a＝2. 8.设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么（∁IM）∩（∁IN）＝　∅　. 解析：（∁IM）∩（∁IN）＝∁I（M∪N）＝∁II＝∅. 9.已知全集U＝{x｜1≤x≤5}，A＝{x｜1≤x＜a}，若∁UA＝{x｜2≤x≤5}，则a＝　2　. 解析：∵A＝{x｜1≤x＜a}，∁UA＝{x｜2≤x≤5}，∴A∪（∁UA）＝U＝{x｜1≤x≤5}，且A∩（∁UA）＝∅，∴a＝2. 10.已知集合A＝{x｜－1＜x≤3}，B＝{x｜m≤x＜1＋3m}. （1）当m＝1时，求A∪B； （2）若B⊆（∁RA），求实数m的取值范围. 解：（1）当m＝1时，B＝{x｜1≤x＜4}，A∪B＝{x｜－1＜x＜4}. （2）∁RA＝{x｜x≤－1或x＞3}，当B＝∅时，即m≥1＋3m，得m≤－，满足B⊆（∁RA）， 当B≠∅时，使B⊆（∁RA）， 则或 解得m＞3， 综上所述，m的取值范围是{m｜m≤－或m＞3}. 11.已知集合A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则{4，5}＝（　　） A.（∁RA）∪B B.（∁RA）∩B C.（∁RB）∪A D.（∁RB）∩A 解析：B　A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则∁RA＝{x｜x≤－2或x≥4}，故（∁RA）∩B＝{4，5}. 12.〔多选〕已知全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x｜2≤x＜5}，下列集合运算正确的是（　　） A.∁UA＝{x｜x＜1或3＜x＜4或x＞6} B.∁UB＝{x｜x＜2或x≥5} C.A∩（∁UB）＝{x｜1≤x＜2或5≤x＜6} D.（∁UA）∪B＝{x｜x＜1或2＜x＜5或x＞6} 解析：BC　依题意，∁UA＝{x｜x＜1或3＜x≤4或x≥6}，A不正确；∁UB＝{x｜x＜2或x≥5}，B正确；A∩（∁UB）＝{x｜1≤x＜2或5≤x＜6}，C正确；（∁UA）∪B＝{x｜x＜1或2≤x＜5或x≥6}，D不正确. 13.〔一题多解〕全集U＝{x｜x＜10，x∈N＋}，A⊆U，B⊆U，（∁UB）∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，（∁UA）∩（∁UB）＝{4，6，7}，则集合A＝　{1，3，9}　；B＝　{2，3，5，8}　. 解析：法一　Venn图如图，由A∩B＝{3}，将3填入A，B两区域的交汇处，由（∁UB）∩A＝{1，9}，将1，9填入A区域的左半边.由（∁UA）∩（∁UB）＝{4，6，7}可知4，6，7既不在A内又不在B内，将4，6，7填入A，B区域外，剩下2，5，8填入B区域的右半边，检查可知符合题意，因此A＝{1，3，9}，B＝{2，3，5，8}. 法二　∵（∁UB）∩A＝{1，9}，（∁UA）∩（∁UB）＝{4，6，7}，∴∁UB＝{1，4，6，7，9}.又U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴B＝{2，3，5，8}.∵（∁UB）∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1，3，9}. 14.全集U＝R，集合A＝{x｜－3≤x≤5}，B＝{x｜x≤－5或x≥3}. （1）求图中阴影部分表示的集合； （2）已知集合C＝{x｜10－a＜x＜2a＋1}，若（∁UB）∩C＝∅，求a的取值范围. 解：（1）Venn图中的阴影部分表示的集合为∁UB＝{x｜－5＜x＜3}. （2）当C＝∅时，10－a≥2a＋1，解得a≤3，符合题意； 当C≠∅时，可得或 解得3＜a≤7. 综上，a的取值范围是{a｜a≤7}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $