1.5全称量词与存在量词（知识点+6题型） 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“全称量词与存在量词”核心知识点，系统梳理全称量词（∀）与存在量词（∃）的概念、符号表示及命题形式，明确命题否定规则（全称命题否定为存在命题，反之亦然），构建从概念辨析到符号转化再到参数范围应用的完整学习支架。 资料以表格对比、注意点提示实现知识结构化呈现，题型覆盖概念辨析、真假判断及参数求解，助力学生通过逻辑推理理解量词命题关系，提升符号表达的数学语言能力。课中辅助教师分层教学，课后便于学生回顾强化，有效弥补知识盲点。

1.5 全称量词与存在量词 知识要点梳理 知识点1 量词命题 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 3.利用含量词命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，通过列不等式(组)求解. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，若方程为一元二次方程，则可借助根的判别式来求解. 知识点2 命题的否定 1.全称量词命题的否定 （1）全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，￢p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. （2）常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有 (n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有 (n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 全称量词命题的否定总结起来六个字“改量词，否结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 2.存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，￢p(x).也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. 3.全称量词命题与存在量词命题的综合应用 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为存在量词命题“∃x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为全称量词命题“∀x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. 考点题型突破 一、题型一 全称量词命题 1．下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 3．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 4．下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、题型二 存在量词命题 5．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 6．下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 7．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 8．下列命题是“，”的表述方法的有（    ） A．存在，使得成立 B．对有些，使得成立 C．任选一个，都有成立 D．至少有一个，使得成立 三、题型三 根据全称量词命题真假求参数 9．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 11．命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 12．已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 13．已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 四、题型四 根据存在量词命题真假求参数 14．若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 15．已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 16．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 17．已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 五、题型五 命题的否定 18．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 19．命题“，”的否定为（      ） A．， B．， C．， D．， 20．已知命题p：，则是（   ） A． B． C． D． 21．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集； (2)； (3)； (4)，方程恰有一解． 六、题型六 命题的否定的应用 22．命题，是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 25．已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 26．已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 全称量词与存在量词 知识要点梳理 知识点1 量词命题 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 3.利用含量词命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，将问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，通过列不等式(组)求解. (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，若方程为一元二次方程，则可借助根的判别式来求解. 知识点2 命题的否定 1.全称量词命题的否定 （1）全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，￢p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. （2）常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有 (n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有 (n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 全称量词命题的否定总结起来六个字“改量词，否结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 2.存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，￢p(x).也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. 3.全称量词命题与存在量词命题的综合应用 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为存在量词命题“∃x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为全称量词命题“∀x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. 考点题型突破 一、题型一 全称量词命题 1．下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以都等于 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【分析】直接根据是否含有全称量词判断可得. 【详解】全称量词命题的特征是含有全称量词（如“任何一个”“任意一个”“每一个”等），表述对指定范围内所有对象都成立的判断： 选项A：含全称量词“任何一个”，是全称量词命题； 选项B：含全称量词“任意一个”，是全称量词命题； 选项C：含全称量词“每一个”，是全称量词命题； 选项D：中的“存在”是存在量词，该命题是存在量词命题，不属于全称量词命题. 2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择. 【详解】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 3．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 4．下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】根据全称量词命题的特征可判断. 【详解】对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确； 对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误； 对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确； 对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当时，，这是假命题，D错误. 故选：AC 二、题型二 存在量词命题 5．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 6．下列命题是存在量词命题的是（    ） A．对任意正实数 B．不存在实数 C．矩形对角线相等 D．有一个数不能作除数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的概念逐一判断即可. 【详解】对于A：任意是全称量词，所以该命题是全称命题，故A错误； 对于B：对于B：命题“不存在实数”是“存在实数”的否定， 其等价命题为“对任意实数，都有”，这是一个全称量词命题，故B错误； 对于C：矩形是指所有矩形，所以该命题是全称命题，故C错误； 对于D：有一个是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故D正确. 故选：D 7．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题进行区分，再判断命题的真假即可． 【详解】由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题； 对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意； 对于D，时，，则是真命题，符合题意． 故选：D． 8．下列命题是“，”的表述方法的有（    ） A．存在，使得成立 B．对有些，使得成立 C．任选一个，都有成立 D．至少有一个，使得成立 【答案】ABD 【分析】根据特称命题的定义即可得正确答案. 【详解】命题“，”中表示有些、有的、存在的意思，是特称命题，故ABD正确； 选项C中任选一个，表示对所有的，是全称命题，故C不正确. 故选：ABD. 三、题型三 根据全称量词命题真假求参数 9．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 10．已知命题：“，使得”是真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】，，∴， 所以实数的取值范围是. 11．命题“”为真命题，则实数的最大值为__________． 【答案】0 【分析】根据题意可得，进而最值可得，即可得结果. 【详解】若命题“”为真命题，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为0. 故答案为：0. 12．已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【详解】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 13．已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由命题为真命题，可知关于的方程无解， 则，解得， 故集合； （2）由条件可知， ①当时，，解得，满足； ②当，则需使，解得. 由①②可知，实数的取值范围为. 四、题型四 根据存在量词命题真假求参数 14．若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据存在性问题为真，可推得，利用函数单调性即可求出的取值范围. 【详解】，使得，等价于在上有解,即， 又因为在上单调递增，则可得. 15．已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 16．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 17．已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 五、题型五 命题的否定 18．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】原命题中的量词为，改为；原命题结论为，其否定为， 所以原命题的否定为：，. 19．命题“，”的否定为（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题“，”的否定为“，”. 20．已知命题p：，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称量词命题否定的定义改变量词，否定结论即可. 【详解】命题p：的否定为：， 故选：C. 21．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集； (2)； (3)； (4)，方程恰有一解． 【答案】(1)全称量词命题，是真命题．命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集 (2)全称量词命题，是假命题， 命题的否定： (3)存在量词命题，是真命题，命题的否定： (4)全称量词命题，是假命题，命题的否定：，方程无解或至少有两解 【详解】（1）该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集． （2）该命题是全称量词命题，是假命题． 因为， 所以当时，， 该命题的否定：． （3）该命题是存在量词命题，是真命题． 因为当时，， 该命题的否定：． （4）该命题是全称量词命题，是假命题． 当时，方程才恰有一解． 该命题的否定：，方程无解或至少有两解． 六、题型六 命题的否定的应用 22．命题，是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数即可得到答案. 【详解】由题意得：“，”为真命题， 即对恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 则. 故选：C. 23．若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】为真命题，由根的判别式得到不等式，求出，得到答案. 【详解】为真命题， 故需满足，解得， 故使命题p为假命题的实数的取值范围为. 故选：C 24．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可. 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且； 综上所述，. 故选：B. 25．已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当命题为假命题时，为真，分、讨论，可得答案； （2）求出命题为假命题、真命题的范围，求出命题为真命题、为假命题的范围，分命题为假命题、为真命题，或命题为假命题、为真命题两种情况可得答案. 【详解】（1）， 当命题为假命题时，为真命题， 所以当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）由（1）知， 若命题为假命题，则， 若命题为真命题，则或， 若命题为真命题， 则，解得或， 若命题为假命题，则， 所以命题为假命题、为真命题时，； 命题为假命题、为真命题时，； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或. 26．已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $