第1章 集合与常用逻辑用语 章末综合提升-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

该高中数学单元复习讲义通过体系构建图系统梳理集合与常用逻辑用语知识，以“集合概念-关系-运算”和“充分必要条件-量词命题”为脉络分层探究，用思维导图呈现知识内在联系，突出集合互异性、子集关系等重难点。 讲义亮点是“典例-规律-对点练”三阶设计，如集合基本概念典例结合互异性检验，培养数学思维；高考真题溯源教材，强化知识迁移。分层练习满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

章末综合提升 探究点一　集合的基本概念 (1)(多选)若集合A＝{a2＋2a，3a＋2，8}，则实数a的取值可以是(　　) A．2 B．3 C．－4 D．5 (2)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．9 B．8 C．5 D．4 答案：(1)BD　(2)A 解析：(1)集合A＝{a2＋2a，3a＋2，8}，则 解得a≠－4且a≠2且a≠－1，可知B、D选项符合题意．故选BD． (2)由x2＋y2≤3知，－．又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}．所以A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，所以A中元素的个数为9.故选A． 解决集合的概念问题的关注点 1.研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么． 2.对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． 对点练1.(1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为　　　　． 答案：(1)C　(2)3或1 解析：(1)因为a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8，所以B中有6个元素．故选C． (2)当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1，5，13}，符合题意；当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.若m＝1，M＝{1，3，5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1. 探究点二　集合间的基本关系 (1)设全集U＝{x||x|＜4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是　　　　　　． 答案：(1)D　(2){m|m≤4} 解析：(1)易知U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，因为∁U(∁UP)＝P，所以存在一个∁UP，则有一个相应的P．由于S＝{－2，1，3}，且(∁UP)⊆S，则集合S的子集∁UP共有8个，所以集合P也有8个．故选D． (2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则解得2＜m≤4.综上，实数m的取值范围是{m|m≤4}． 处理集合间关系问题的关键点 1.判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． 2.利用集合间的关系求参数的取值范围要注意数形结合与分类讨论思想的活用． 对点练2.(1)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{y|y＝x2－x－6，x∈M}，则集合N的真子集的个数为(　　) A．7 B．8 C．15 D．16 (2)已知集合A＝{x|x＜－1，或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)因为M＝{－2，－1，0，1，2}，则N＝{y|y＝x2－x－6，x∈M}＝{－6，－4，0}，所以集合N的真子集的个数为23－1＝7.故选A． (2)因为a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠∅．画数轴，如图所示． 由B⊆A知，a＋1＜－1或2a≥1，解得a＜－2或a≥≤a＜1. 探究点三　集合的基本运算 (多选)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，则(　　) A．A⋂B＝ B．A⋂(∁RB)＝ C．A⋃B＝ D．(∁RA)⋃B＝R 答案：AB 解析：因为A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}＝，∁RA＝{x｜x≥2}，∁RB＝，所以A∩B＝，故A正确；A∩(∁RB)＝，故B正确；A∪B＝{x｜x＜2}，故C错误；(∁RA)∪B＝，故D错误.故选AB. 集合基本运算的方法 1.定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解． 2.数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解． 对点练3.(双空题)已知集合A＝{x|－3＜x≤6}，B＝{x|b－3＜x＜b＋7}，M＝{x|－4≤x＜5}，全集U＝R． (1)A⋂M＝　　　　； (2)若B⋃(∁UM)＝R，则实数b的取值范围是　　　　． 答案：(1){x|－3＜x＜5}　(2){b|－2≤b＜－1} 解析：(1)因为A＝{x|－3＜x≤6}，M＝{x|－4≤x＜5}，所以A⋂M＝{x|－3＜x＜5}． (2)因为M＝{x|－4≤x＜5}，所以∁UM＝{x|x＜－4，或x≥5}．又B＝{x|b－3＜x＜b＋7}，B⋃(∁UM)＝R，所以解得－2≤b＜－1. 探究点四　充分条件与必要条件 (1)“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴只有一个交点”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 (2)设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0，m∈R}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0，n∈R}，则(2，3)∈［A⋂(∁UB)］的充要条件是(　　) A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)当a＝0时，函数y＝ax2＋2x－1＝2x－1的图象与x轴只有一个交点；当a≠0时，令Δ＝22－4×a×(－1)＝0，得a＝－1，故函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴只有一个交点时，a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．故选B． (2)由题意可得A∩(∁UB)＝.因为(2，3)∈[A∩(∁UB)]，所以解得反之也成立，所以(2，3)∈[A∩(∁UB)]的充要条件是m＞－1，n＜5.故选A. 判定充分条件与必要条件的常用方法 1.利用定义：判断若p，则q的真假． 2.利用集合间的包含关系判断． 对点练4.(1)设a∈R，则“a＝1”是“a2＝a”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x1＜x＜x2}，其中x1，x2(x1＜x2)是关于x的方程x2－2x－a2＋1＝0的两个不同的实数根． ①是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由； ②若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 答案：(1)A 解析：(1)由a2＝a得a＝1或a＝0，反之，由a＝1得a2＝a，则“a＝1”是“a2＝a”的充分不必要条件．故选A． (2)①假设存在满足条件的实数a，则B＝A，即x1＝－1，x2＝3. 因为x1，x2是关于x的方程x2－2x－a2＋1＝0的两个不同的实数根， 所以－1×3＝－a2＋1，即a2＝4，解得a＝±2， 故当a＝±2时，“x∈A”是“x∈B”的充要条件． ②关于x的方程x2－2x－a2＋1＝0的两根分别为1－a和1＋a． 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 所以B⫋A． 当1－a＞1＋a，即a＜0时， B＝{x|1＋a＜x＜1－a}， 则解得－2＜a＜0； 当1－a＜1＋a，即a＞0时， B＝{x|1－a＜x＜1＋a}， 则解得0＜a＜2. 综上，实数a的取值范围是{a|－2＜a＜0，或0＜a＜2}． 探究点五　全称量词命题与存在量词命题 (1)若命题p：∀x∈{x|1≤x≤5}，x2－4x＞5，则¬p为(　　) A．∃x∈{x|1≤x≤5}，x2－4x≤5 B．∃x∉{x|1≤x≤5}，x2－4x≤5 C．∀x∉{x|1≤x≤5}，x2－4x≤5 D．∀x∈{x|1≤x≤5}，x2－4x≤5 (2)下列命题的否定是假命题的是(　　) A．p：能被3整除的整数是奇数 B．p：每一个四边形的四个顶点都共圆 C．p：有的三角形为正三角形 D．p：∃x∈R，x2＋4x＋5≤0 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)原命题为全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即∃x∈{x|1≤x≤5}，x2－4x≤5.故选A． (2)对于A，¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数，实数12不是奇数，但能被3整除，所以¬p是真命题；对于B，命题p为假命题，所以¬p是真命题；对于C，命题p为真命题，所以¬p是假命题；对于D，¬p：∀x∈R，都有x2＋4x＋5＞0，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0，所以¬p是真命题．故选C． 1.全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．对含有量词命题进行否定：一是改写量词，二是对结论进行否定． 2.根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决．解题过程中要注意变量取值范围的限制． 对点练5.(1)已知p：x＞1或x＜－3，q：x＞a(a∈R)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是　　　　　　　　． (2)设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，非空集合B＝{x|－1－2a≤x≤a－2}． ①若A⋂B＝A，求实数a的取值范围； ②若命题“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数a的取值范围． 答案：(1){a|a≥1} 解析：(1)由已知得¬p：－3≤x≤1，¬q：x≤a．设A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|x≤a}，若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q¬p，所以A⫋B，所以a≥1. (2)①因为A⋂B＝A，所以A⊆B， 所以解得a≥7， 所以实数a的取值范围是{a|a≥7}． ②命题“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A． 又B≠∅，所以无解． 故实数a的取值范围是∅． (2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 答案：C 解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素，故选C． 溯源：(教材P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁UA，∁UB． 点评：高考试题与教材例题均围绕集合补集运算，以“小于某数的正整数(自然数)构成全集，给定子集求补集”为框架，属于同类型集合补集考查题，关联度高．所以在备考中要立足课标，重视教材，注意高考真题与教材的关联，只有走进教材、吃透教材，才能跳出教材、超越教材，才能走向高考． (2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A⋂B＝(　　) A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1} 答案：D 解析：由题可知B＝{－1，0，1}，所以A⋂B＝{0，1}．故选D． 溯源：(教材P12练习T1、2)1.设A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，求A⋂B，A⋃B． 2.设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，求A⋃B，A⋂B． 点评：该高考题主要考查集合的交集运算，与教材练习中两道题考查角度完全相同，同质同源，所以对于托底基础性考查的知识一定不能抛弃教材，要紧紧抓住教材才是正道． (2024·全国甲卷理)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A⋂B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 答案：D 解析：B＝{1，4，9，16，25，81}，A⋂B＝{1，4，9}，则∁A(A⋂B)＝{2，3，5}．故选D． 溯源：(教材P14习题1.3T4) 已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A⋃B)，∁R(A⋂B)，(∁RA)⋂B，A⋃(∁RB)． 点评：该高考题主要考查集合的交集与补集运算，与教材习题角度相同，只不过换了集合． (2023·全国甲卷理)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A⋃B)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 答案：A 解析：因为整数集U＝{x|x＝3k，k∈Z}⋃{x|x＝3k＋1，k∈Z}⋃{x|x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(A⋃B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A． 溯源：(教材P13例6)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A⋂B，∁U(A⋃B)． 点评：本高考题主要考查集合的并集与补集运算，与教材例题角度相同，只不过换了用字母表示的集合． (2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 答案：B 解析：因为A⊆B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意；综上所述，a＝1.故选B． 溯源：(教材P35复习参考题1T9)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，是否存在实数a，使得A⋃B＝A？若存在，试求出实数a的值，若不存在，请说明理由． 点评：教材复习题与高考题都考查由集合间的关系求参数问题，都需要通过集合中元素的互异性对解出的值进行合理取舍． (2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96％的学生喜欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62％ B．56％ C．46％ D．42％ 答案：C 解析：设该校学生总数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为x；则100×96％＝100×60％＋100×82％－x，解得x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46％．故选C． 溯源：(教材P35复习参考题1T11) 学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 点评：高考题与教材复习题均以学生喜爱的体育运动为背景考查集合运算的实际应用． (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x．则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 答案：B 解析：因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题．故选B． 溯源：(教材P35复习参考题1T7) 写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根； (2)每个正方形都是平行四边形； (3)∃m∈N，∈N； (4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°． 点评：该高考题主要考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断，与教材复习题角度完全相同． (2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：B 解析：由a2＝b2可得a＝±b，所以a2＋b2＝2a2或a2＋b2＝2b2，由a2＋b2＝2ab可得(a－b)2＝0，即a＝b，所以a2＝b2，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B． 溯源：(教材P22习题1.4T2) 在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)： (1)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； (2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0(a≠0)； (3)p：a∈P⋂Q，q：a∈P； (4)p：a∈P⋃Q，q：a∈P； (5)p：x＞y，q：x2＞y2. 点评：该高考题主要考查利用充分、必要条件的意义判断命题间的充分、必要性，与教材习题角度完全一致，且难度小于教材习题． 单元检测卷(一)　集合与常用逻辑用语 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.已知集合A＝{x|x≥3，x∈N*}，B＝{0，1，2，3，4}，则A⋂B＝(　　) A．{3，4} B．{0，1，2，3，4} C．{x|x≥3，x∈N*} D．{x|x≥0，x∈N} 答案：A 解析：由题意可得A⋂B＝{x|x≥3，x∈N*}⋂{0，1，2，3，4}＝{3，4}，故A正确．故选A． 2.(2026·江苏苏州期末调研)若命题p：∀x∈R，x2＋2x＞0，则p的否定是(　　) A．∀x∈R，x2＋2x≤0 B．∃x∈R，x2＋2x≤0 C．∃x∈R，x2＋2x＞0 D．∃x∉R，x2＋2x≤0 答案：B 解析：根据题意可知，命题p为全称量词命题，该命题的否定为“∃x∈R，x2＋2x≤0”．故选B． 3.(2026·江苏镇江质量检测)已知x，y∈R，则“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由xy＝0，可得x＝0或y＝0.由x2＋y2＝0可得x＝0且y＝0，所以由xy＝0不能推出x2＋y2＝0，但由x2＋y2＝0能推出xy＝0，所以“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的必要不充分条件．故选B． 4.下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈R，x2＜0 C．∀x∈Q，x2－2≠0 D．∃x∈Q，x2－2＝0 答案：C 解析：当x＝0时，x2＝0，故A是假命题；因为∀x∈R，x2≥0，所以不存在x∈R，x2＜0，故B是假命题；由x2－2＝0⇒x＝±是无理数，故C是真命题，D是假命题．故选C． 5.已知集合A＝{x|x2－7x＋10＝0，x∈R}，B＝{x|1＜x＜6，x∈N}，则满足条件A⊆C⫋B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：易知A＝{2，5}，B＝{2，3，4，5}．又A⊆C⫋B，所以2∈C，5∈C，且3，4至多有一个元素在C中，则C＝{2，5}或{2，5，3}或{2，5，4}．故选C． 6.(2026·四川成都测试)命题“∀x∈［1，2］，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≤4 B．a≥4 C．a≤5 D．a≥5 答案：D 解析：若∀x∈［1，2］，x2－a≤0，即∀x∈［1，2］，a≥x2，所以当且仅当a≥4，所以对比选项可知，命题“∀x∈［1，2］，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是a≥5.故选D． 7.设集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A⋂B，y∈A⋃B}，则A*B中元素个数为(　　) A．7 B．10 C．25 D．52 答案：B 解析：因为集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，所以A⋂B＝{0，1}，A⋃B＝{－1，0，1，2，3}，所以A*B＝{(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)}，共有10个元素．故选B． 8.已知命题p：∃x∈{x|0≤x≤1}，x2－2x－2＋a＞0；命题q：∀x∈R，x2－2x－a≠0，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．－1≤a≤3 B．－1≤a≤2 C．0≤a≤2 D．a≤－1 答案：B 解析：由∃x∈{x|0≤x≤1}，x2－2x－2＋a＞0，得∃x∈{x|0≤x≤1}，a＞－x2＋2x＋2，－x2＋2x＋2＝－(x－1)2＋3，x∈{x|0≤x≤1}，则当x＝0时，－x2＋2x＋2取最小值2，所以a＞2，命题q：∀x∈R，x2－2x－a≠0，则Δ＝(－2)2＋4a＜0，即a＜－1.若命题p，q均为假命题，则a≤2且a≥－1，即－1≤a≤2.故选B． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9.已知集合U＝，M＝，N＝，则下列结论中正确的是(　　) A．M⋂N＝ B．M⋃N＝ C．∁UM＝ D．∁UN＝ 答案：BD 解析：因为U＝＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝，N＝，对于A，M∩N＝，故A错误；对于B，M∪N＝，故B正确；对于C，∁UM＝，故C错误；对于D，∁UN＝，故D正确.故选BD. 10.下列说法中正确的是(　　) A．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件 B．“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件 C．命题“若a＞b＞0，则＜”的否定是假命题 D．设A＝，B＝，若B⊆A，则实数a的值为0或－或 答案：ACD 解析：对于A，a＞1，b＞1时，易得ab＞1，故A正确；对于B，由“a＞b”并不能推出“a2＞b2”，如a＝1，b＝－1，故B错误；对于C，其否定为“若a＞b＞0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于D，因为A＝，B＝，且B⊆A，当a＝0时，B＝⌀，符合题意；当a≠0时，B＝，又B⊆A，所以＝－3或＝8，解得a＝－或a＝.综上，a＝0或a＝或a＝－，故D正确.故选ACD. 11.定义集合运算：AⓧB＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则(　　) A．当x＝，y＝时，z＝1 B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)对应4个式子 C．AⓧB中有4个元素 D．AⓧB的真子集有7个 答案：BD 解析：当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，故A错误；x可取，，y可取1，，则z可取(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，故B正确；AⓧB＝{0，1，2}，共3个元素，故C错误；AⓧB的真子集有23－1＝7(个)，故D正确.故选BD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上．) 12.已知p：x＞2，q：x＞m，若p的一个充分不必要条件是q，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：{m|m＞2} 解析：由题意，设p对应的集合为P＝{x|x＞2}，q对应的集合为Q＝{x|x＞m}，则Q⫋P，可知m＞2，所以实数m的取值范围是{m|m＞2}． 13.建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中a＋b＋c＝　　． 答案：27 解析：由Venn图可知，⇒2(a＋b＋c)＋107＝161⇒a＋b＋c＝27. 14.(双空题)若集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素，则a的值为　　　　；若A的真子集的个数是3个，则a的取值范围是　　．(本题第一空2分，第二空3分) 答案：0或　 解析：由集合A＝{x｜ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素，易知a＝0或解得a＝0或a＝.若A的真子集个数是3个，则ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以解得a＜0，或0＜a＜. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 15.(13分)(2025·安徽池州期末测试)已知集合A＝{x|4≤x＜8}，B＝{x|5＜x＜10}，C＝{x|x＞a}． (1)求A⋃B，(∁RA)⋂B； (2)若A⋂C≠∅，求实数a的取值范围． 解：(1)由A＝{x|4≤x＜8}，B＝{x|5＜x＜10}，得A⋃B＝{x|4≤x＜10}． 又∁RA＝{x|x＜4，或x≥8}，所以(∁RA)⋂B＝{x|8≤x＜10}． (2)由A⋂C≠∅，C＝{x|x＞a}，画出图示，得a＜8. 所以实数a的取值范围是(－∞，8)． 16.(15分)设命题p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0，命题q：实数x满足2＜x≤3. (1)若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围； (2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，命题p：1＜x＜3， 当p为真命题时，实数x的取值范围是1＜x＜3. 当q为真命题时，实数x的取值范围是2＜x≤3， 所以当p，q均为真命题时， 解得2＜x＜3， 所以实数x的取值范围是{x|2＜x＜3}． (2)¬p是¬q的充分不必要条件，即¬p⇒¬q且¬q¬p． 设A＝{x|x≤a，或x≥3a，a＞0}，B＝{x|x≤2，或x＞3}，则A⫋B， 所以0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2. 所以实数a的取值范围是{a|1＜a≤2}． 17.(15分)已知a，b，c为实数，且a＋b＋c≠0，证明：a＝b＝c的充要条件是a3＋b3＋c3＝3abc． 证明：先证明充分性，即a3＋b3＋c3＝3abc⇒a＝b＝c． a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3－3ab(a＋b)＋c3－3abc ＝(a＋b＋c)［(a＋b)2－(a＋b)c＋c2］－3ab(a＋b＋c) ＝(a＋b＋c)(a2＋2ab＋b2－bc－ac＋c2－3ab) ＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)． 由a＋b＋c≠0，a3＋b3＋c3－3abc＝0，得a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，即a＝b＝c． 再证明必要性，即a＝b＝c⇒a3＋b3＋c3＝3abc． 当a＝b＝c时，a3＋b3＋c3＝3a3，3abc＝3a3，所以a3＋b3＋c3＝3abc． 故a＝b＝c的充要条件是a3＋b3＋c3＝3abc． 18.(17分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}． (1)若A⋂B＝{2}，求实数a的值； (2)若A⋃B＝A，求实数a的取值范围； (3)若U＝R，A⋂(∁UB)＝A，求实数a的取值范围． 解：由题意知A＝{1，2}． (1)因为A⋂B＝{2}，所以2∈B，将x＝2代入B中方程，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3. 当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{2}，满足条件． 综上可得，a的值为－1或－3. (2)因为A⋃B＝A，所以B⊆A， 对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0， ①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)＜0，即a＜－3时，B＝∅，满足条件； ②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件； ③当Δ＞0，即a＞－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，此时a的值不存在． 综上可知，a的取值范围是{a|a≤－3}． (3)因为A⋂(∁UB)＝A，所以A⊆(∁UB)，所以A⋂B＝∅， 对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0， ①当Δ＜0，即a＜－3时，B＝∅，满足条件． ②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，A⋂B＝{2}，不满足条件． ③当Δ＞0，即a＞－3时，此时只需1∉B且2∉B即可， 将x＝2代入B中的方程，得a＝－1或a＝－3(舍去)；将x＝1代入B中的方程，得a＝－1±． 综上，a的取值范围是{a|a≠－1，－3，－1±}． 19.(17分)已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x－y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M． (1)判断－1∈M是否正确，说明理由； (2)证明：∈M； (3)证明：若x，y∈M，则x＋y∈M且xy∈M． 解：(1)－1∈M正确，证明如下： 由①知0∈M，1∈M， 由②可得0－1＝－1∈M． (2)证明：由(1)知－1∈M，又1∈M， 所以1－(－1)＝2∈M，2－(－1)＝3∈M， 由③得∈M． (3)证明：由①知0∈M， 由题意知y∈M，所以由②可得0－y＝－y∈M． 又因为x∈M，所以x－(－y)∈M，即x＋y∈M． 由x∈M，y∈M， 当x＝0时，则xy＝0∈M； 当x＝1时，则xy＝y∈M； 当x≠0且x≠1时，由②可得x－1∈M． 再由③可得∈M， 所以∈M， 所以x(1－x)∈M，即x－x2∈M， 所以x－(x－x2)＝x2∈M，即当x∈M时，x2∈M． 又当x，y∈M时，x＋y∈M， 所以∈M， 所以当x，y∈M时，可得x2，y2，，∈M，所以－＝xy∈M. 学科网（北京）股份有限公司 $