第7章 第6讲 几何法求空间角与距离(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学高考复习讲义聚焦几何法求空间角与距离，系统梳理异面直线所成角、线面角、二面角的定义及范围，整合点到面、线到面等距离问题，通过考点梳理、方法指导（如平移法构造平面角）、真题训练等环节，帮助学生构建空间几何问题的解题框架。 讲义注重数学思维与空间观念培养，如求异面直线所成角时通过平移法转化为平面角，结合解三角形知识推理计算，设置基础巩固与能力提升分层练习。助力学生高效突破空间几何难点，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第6讲　几何法求空间角与距离 课标要求　1.了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角及平面与平面所成的角及这些角的范围．　2.会用平移法、构造法作出所求空间角的平面角，并能使用解三角形的相关知识求出相应角．　3.了解点到线、点到面、线到面、面到面的距离的概念，并能解决相关的距离问题． 1．异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间 任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)取值范围：(0，]． 2．直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0. (2)取值范围：[0，]． 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角 若有①O∈l，②OA⊂α，OB⊂β，③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB. (3)二面角的平面角α的取值范围：[0，π]． 4．空间距离 (1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． (2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． (3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 1．直线l与平面α相交，A，B在l上，AB＝4，AB在α内的射影长为2，则l与α所成的角为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.设直线l与α所成的角为θ，则cos θ＝＝，又因为θ∈(0，]，所以θ＝. 2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1C1与BC所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选B.因为BC∥A1D1，所以异面直线A1C1与BC所成的角为∠D1A1C1＝45°. 3．(多选)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，则下列叙述中正确的是(　　) A．线段AD的长是点A到平面BCD的距离 B．线段AC的长是点A到直线BC的距离 C．∠ABD是二面角ABCD的一个平面角 D．∠ACD是直线AC与平面BCD所成的角 解析：选ABD.对于A，因为AD⊥平面BCD，所以线段AD的长是点A到平面BCD的距离，A正确；对于B，因为AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以BC⊥AD，又因为BC⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因为AC⊂平面ACD，所以BC⊥AC，所以线段AC的长是点 A到直线BC的距离，B正确；对于C，因为BC与AB，BD均不垂直，所以∠ABD不是二面角ABCD的平面角，C错误；对于D，因为AD⊥平面BCD，所以∠ACD是直线AC与平面BCD所成的角，D正确． 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝2，那么BC到平面ADD1A1的距离为 ________；平面AA1B1B和平面DD1C1C的距离为________． 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC∥平面ADD1A1，故BC到平面ADD1A1的距离即为点B到平面ADD1A1的距离，所以BC到平面ADD1A1的距离为4，因为平面AA1B1B∥平面DD1C1C，BC均与平面AA1B1B和平面DD1C1C垂直，故BC的长为平面AA1B1B和平面DD1C1C的距离，即为3. 答案：4　3 5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形是等边三角形，且AB＝，AA1＝，则二面角A1-BC-A的大小为________． 解析：取BC的中点D，连接AD，A1D，如图所示， 由题知，AD＝AB·sin 60°＝，A1B＝A1C，AB＝AC，又因为D为BC的中点，所以A1D⊥BC，AD⊥BC，所以∠ADA1为二面角A1-BC-A的平面角．在△A1AD中，AA1⊥AD，AA1＝AD，所以△A1AD为等腰直角三角形，∠ADA1＝45°. 答案：45° 考点一　几何法求空间角 角度1　异面直线所成的角 　已知轴截面为正方形ABCD的圆柱，AB为下底面直径，E是弧AB的中点，则直线AE与BD所成的角为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A． B． C． D． 【解析】　 取的中点F，连接EF，BF，DF，FC，则EF∥AD，且EF＝AD， 故四边形ADFE为平行四边形，所以DF∥AE， 所以∠FDB或其补角为直线AE与BD所成的角，设AB＝1，则AD＝1， 由勾股定理得BD＝＝，DF＝，FB＝＝， 在△FDB中，由余弦定理的推论得cos ∠FDB＝＝＝，故∠FDB＝，所以直线AE与BD所成的角为. 【答案】　C 【感悟进阶】　异面直线所成角的求法 (1)平移法：将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解． (2)补形法：在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解． 角度2　直线与平面所成的角 　如图，已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，AB＝AA1，则直线BC与平面C1BD所成角的正弦值为________． 【解析】　 过点C作CE⊥C1D于点E，连接BE.由正三棱柱ABCA1B1C1，得BD⊥AC，BD⊥CC1. 因为AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1. 又CE⊂平面ACC1A1，所以CE⊥BD. 又CE⊥C1D，C1D∩BD＝D，C1D，BD⊂平面C1BD，所以CE⊥平面C1BD. 所以∠CBE为直线BC与平面C1BD所成的角．设BC＝2，则CC1＝2，CD＝1，根据勾股定理得C1D＝. 所以CE·C1D＝CD·CC1，解得CE＝. 在Rt△CBE中，CE＝，BC＝2， 所以sin ∠CBE＝＝. 所以直线BC与平面C1BD所成角的正弦值为. 【答案】　 【感悟进阶】　求直线与平面所成的角的步骤 角度3　平面与平面的夹角(二面角) 　若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1-AD-B的大小为(　　) A． B． C． D． 【解析】　 由题意知AB＝BD＝3，BB1＝AA1＝，且∠ABD＝，连接AD，过B作BE⊥AD于E，连接AB1，B1E，B1D，则BE＝，而BB1⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，BB1，BE⊂平面BEB1，所以AD⊥平面BEB1，易知AD⊥B1E，故二面角B1-AD-B的平面角为∠BEB1，所以tan ∠BEB1＝＝，又∠BEB1∈[0，π]，所以∠BEB1＝. 【答案】　D 【感悟进阶】　求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”． 提醒　作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点． 　1.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的体积为(　　) A． B． C． D． 解析：选A. 在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，则∠PAO＝60°，由AO＝AC＝，得PO＝，所以该正四棱锥的体积为×22×＝. 2．如图，在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，MA＝2，F是MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． 解析：选D. 设E为BC的中点，连接FE，AE，如图所示，因为MA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以MA⊥AB，MA⊥AC，所以由勾股定理得MB＝＝4，MC＝＝4，因为E是BC的中点，F是MC的中点，所以FE＝MB＝2，AF＝2，AE＝，FE∥MB，所以异面直线MB与AF所成的角为∠AFE或其补角，所以在△AFE中，由余弦定理的推论可知cos ∠AFE＝＝＝，所以异面直线MB与AF所成角的余弦值为. 3．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，则平面ABC与平面A1BC1的夹角的余弦值为(　　) A．－ B． C． D． 解析：选C.因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以平面ABC与平面A1BC1的夹角即为平面A1B1C1与平面A1BC1的夹角． 如图，取A1C1的中点O，连接OB，OB1.因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，所以BA1＝BC1＝2，所以OB⊥A1C1，又在正三角形A1B1C1中，O为A1C1的中点，所以OB1⊥A1C1，所以∠BOB1(或其补角)即为平面A1B1C1与平面A1BC1的夹角．又A1C1＝2，所以OB＝，OB1＝，又BB1＝2， 所以cos ∠BOB1＝＝. 考点二　几何法求空间距离 　(1)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则点C到直线AB1的距离为(　　) A． 　　　　B． C． 　　　　D． (2)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为(　　) A．4 B．2 C．3 D．2 【解析】　 (1)如图，连接CB1，因为AB＝2，BB1＝，所以AB1＝，CB1＝，AC＝2，设AC的中点为D，连接B1D，则B1D⊥AC. 设点C到直线AB1的距离为h， 故S△AB1C＝×B1D×AC＝h×AB1， 即×2＝h×，解得h＝. (2)由题可得AB＝8，因为AP＝BP， 所以S△ABP＝×8×4＝16， 因为PC⊥平面ABP，且PC＝4， 所以V三棱锥C-ABP＝×16×4＝. 因为AP＝BP＝4，所以AC＝BC＝4， 所以S△ABC＝×8×＝16， 设点P到平面ABC的距离为d，则V三棱锥P-ABC＝V三棱锥C-ABP＝×16d＝，解得d＝2. 【答案】　(1)D　(2)D 【感悟进阶】　(1)求点线距一般要作出这个“距离”，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解． (2)求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个“距离”，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解． 　如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点．则平面MNR与平面OCD的距离为________． 解析：因为OA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，易得BA⊥平面AOD，设OD的中点P，连接AP(图略)，则AP⊂平面AOD，则BA⊥AP，又BA∥CD，故AP⊥CD，又易知AP⊥OD，CD，OD⊂平面OCD，CD∩OD＝D，所以AP⊥平面OCD，易得平面MNR∥平面OCD，且MR綉OD，所以平面MNR与平面OCD之间的距离为 AP＝×＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $