第3单元 06 培优专题（一）必要性探路法之端点效应、极点效应、特殊点效应（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数应用中恒成立问题，以必要性探路法为核心，按端点效应、极点效应、特殊点效应三个类型系统梳理考点，通过原理阐释、高考真题精讲、方法总结、分层自测题训练，帮助学生构建从特殊值探路到严谨证明的解题框架。 讲义创新采用“效应类型+真题例析+反思提炼”教学模式，如端点效应结合f(0)=0及导数单调性分析，培养学生数学思维与推理能力。设置基础到综合的自测题，精准对接高考要求，提升学生解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

培优专题(一)　必要性探路法之端点效应、极点效应、特殊点效应 例1　解:方法一(端点效应+分类讨论): 由题知,f'(x)=-aln(x+1)+-1,令g(x)=-aln(x+1)+-1,则g'(x)=+=, 令g'(0)=0,则a=-. 当a≤-,x≥0时,-a(x+1)-a-1≥-a-a-1=-2a-1≥0, ∴g(x)在[0,+∞)上单调递增, 又g(0)=0,从而f'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,而f(0)=0, ∴当x≥0时,f(x)≥0,故当a≤-时,满足题意; 当a≥0时,g'(x)<0恒成立,∴g(x)在[0,+∞)上单调递减,∴当x≥0时,g(x)≤g(0)=0,即f'(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,∴当x≥0时,f(x)≤f(0)=0,不满足题意; 当-<a<0时,令g'(x)=0,得x=-2->0, 则g(x)在上单调递减,在上单调递增, 又f'(0)=0,∴当0<x<-2-时,f'(x)<f'(0)=0,f(x)单调递减, 而f(0)=0,∴f(x)≥0不恒成立,不满足题意.综上可得a的取值范围为. 方法二(巧妙变形+分类讨论+数形结合): 由题知当x≥0时,f(x)=(1-ax)ln(x+1)-x≥0, 显然,当x=0时不等式成立. 以下考虑当x>0时的情况: 将(1-ax)ln(x+1)-x≥0变形为1-ax≥,令m(x)=(x>0), 则m'(x)=, 令h(x)=ln(x+1)-(x>0), 则h'(x)=-=>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴h(x)>h(0)=0, 从而m(x)在(0,+∞)上单调递增,当x→+∞时,m(x)→+∞. 当a≥0时,数形结合可知,当x∈(0,+∞)时,1-ax≥不恒成立,不满足题意. 当a<0时,将不等式变形为ln(x+1)≥(此时1-ax>0), 令n(x)=ln(x+1)+(x>0), 则n'(x)=-==, 当≤0,即a≤-时,n'(x)>0在(0,+∞)上恒成立, ∴n(x)在(0,+∞)上单调递增,此时n(x)>n(0)=0,满足题意; 当>0,即-<a<0时,n(x)在上单调递减,在上单调递增,而n(0)=0,∴n(x)≥0不恒成立,故不满足题意.综上,实数a的取值范围为. 【自测题】 解:(1)当a=-时,f(x)=-x-ln x-,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--+==, 令f'(x)>0得0<x<, 令f'(x)<0得x>, 故f(x)在上单调递增,在上单调递减, 故f(x)在x=处取得极大值,极大值为f=-×-ln-=-2+ln 3,无极小值. (2)当x≥1时,不等式ax-ln x-≥0恒成立, 令g(x)=ax-ln x-,x≥1,则g(1)≥0,即a-≥0,解得a≥. 当a≥时,g(x)=ax-ln x-≥x-ln x-. 令t(x)=x-ln x-,x≥1,则t'(x)=-+==≥0, 故t(x)=x-ln x-在[1,+∞)上单调递增,故t(x)≥t(1)=0, 故ax-ln x-≥0,满足题意. 当a<时,g(1)=a-<0,不符合题意. 综上,a的取值范围是. 例2　解:由题可得f'(x)=aex-1-1.注意到f(1)=a-1-(a-1)=0,则当x=1时,函数f(x)取得最小值,同时取得极小值,所以f'(1)=a-1=0,所以a=1. 当a=1时,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1-1,当x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 此时f(x)>f(1)=0. 当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,此时f(x)>f(1)=0.故f(x)≥0在R上恒成立,所以a=1. 【自测题】 解:方法一:构造函数+分类讨论 因为f(x)=ax,所以ax≤对x∈恒成立, 即xln a+ln(1-2x)≤0对x∈恒成立. 令φ(x)=xln a+ln(1-2x),x∈,则φ(0)=0,所以φ'(x)=ln a-,x∈, 令h(x)=φ'(x)=ln a-,x∈, 则h'(x)=-<0, 所以φ'(x)在上单调递减. ①当0<a<1时,φ'(x)<0,则φ(x)在上单调递减,此时当x<0时,φ(x)>φ(0)=0,不符合题意; ②当a>1时,由φ'(x)=ln a-=0,解得x=-<, 当a=e2时,-=0, 所以当x∈(-∞,0)时,φ'(x)>0,则φ(x)单调递增,当x∈时,φ'(x)<0,则φ(x)单调递减, 所以当x=0时,φ(x)取得极大值,则φ(x)≤φ(0)=0,所以a=e2; 当1<a<e2时,-<0,因为当x∈时,φ'(x)<0,所以φ(x)单调递减, 所以当x∈时,φ(x)>φ(0)=0,不符合题意; 当a>e2时,->0, 因为当x∈时,φ'(x)>0,所以φ(x)单调递增, 所以当x∈时,φ(x)>φ(0)=0,不符合题意. 综上,实数a的取值集合为{e2}. 方法二:利用极点效应+充分性证明 令g(x)=f(x)-, 易知g(0)=f(0)-=0,所以对任意x∈都有g(x)≤0=g(0),所以0为g(x)的一个最值点, 又0∈, 所以x=0也为g(x)的一个极大值点,所以g'(0)=0. 因为g'(x)=ax·ln a-, 所以g'(0)=ln a-2=0,解得a=e2. 证明充分性: 当a=e2时,对任意x∈都有g(x)=e2x-≤0成立. 综上,实数a的取值集合为{e2}. 例3　解:令f(x)=aex+-2a-2,由f(1)=ae+a+1-2a-2≥0成立,得到对任意的x>0,f(x)≥0恒成立的一个必要条件为a≥. 当a=时,f(x)=ex+-2×-2=,易证ex≥ex恒成立,当且仅当x=1时取等号,故当x>0时,ex+-2e≥ex+-2e≥2-2e=0,当且仅当x=1时两个等号同时成立,故当a=时,对任意的x>0,f(x)≥0恒成立,所以正数a的最小值为. 【自测题】 解:f(x)≥1-sin x,即aex-2x+sin x≥1.令x=0,则a≥1,下面证明:当a=1时,ex-2x+sin x≥1恒成立. 设g(x)=ex-2x+sin x,则g'(x)=ex+cos x-2,当x<0时,ex<1,cos x≤1,故g'(x)<0,∴g(x)在(-∞,0)上单调递减. 令m(x)=ex+cos x-2,则m'(x)=ex-sin x,当x>0时,ex>1,sin x≤1,∴m'(x)>0,∴g'(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g'(x)>g'(0)=0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增. 综上,g(x)≥g(0)=1,即ex-2x+sin x≥1恒成立.当a≥1时,∵aex-2x+sin x≥ex-2x+sin x, ∴aex-2x+sin x≥1恒成立,故实数a的取值范围是[1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题(一)　必要性探路法之端点效应、极点效应、特殊点效应 　　必要性探路:探究必要条件,缩小参数范围.在给定的范围内取特殊值,然后由不等式成立求出参数的取值范围,该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件,接下来探究其充分性,选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数(如0,1,e等). 类型一　端点效应 　　端点效应是必要条件探路法的一种特例,利用端点处函数值的特殊性先得到必要条件,再证明其充分性,思路简捷. 　　端点效应的使用原理:(1)如果函数f(x)在区间[a,b]上,f(x)≥0恒成立,则f(a)≥0或f(b)≥0; 　　(2)如果函数f(x)在区问[a,b]上,f(x)≥0恒成立,且f(a)=0(或f(b)=0),则f'(a)≥0(或f'(b)≤0). 例1 [2024·全国甲卷节选] 已知函数f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x.当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.     总结反思 端点效应的题目一般具有两个特点: (1)区间的端点不等式恰好是等式,例如例1中区间的端点值是x=0,且f(0)=0; (2)对函数求导以后,会发现导函数一般是一个单调函数(要么导函数单调递增,要么导函数单调递减),而答案往往就是导函数全部都是非负数(原函数单调递增)或者导函数全部都是非正数(原函数单调递减)时取得. 自测题 [2025·广州模拟] 已知函数f(x)=ax-ln x-. (1)当a=-时,求f(x)的极值; (2)当x≥1时,不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.       类型二　极点效应 　　若函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零,则当x>a时(其中a<x0),f(x)≥0成立的一个必要条件为x0处的导数值f'(x0)=0,如图①所示. 　　如果f'(x0)<0,那么函数会在x0右侧的一个小区间内先单调递减,会出现如图②所示的情况,而这种情况不能保证函数值非负,同理f'(x0)>0也不满足.把某个区间上函数的恒成立问题转化为区间中某一点处的导数值为零,这就是极点效应. 例2 若函数f(x)=a-x-(a-1),且f(x)≥0在R上恒成立,求a的值.     总结反思 函数在开区间内取得最值的点必然是极值点,可以通过这种方法先猜出参数范围,再进行验证. 自测题 [2025·南京期末节选] 已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),若对任意x∈都有f(x)≤,求实数a的取值集合.     类型三　特殊点效应 　　在求解恒成立问题时如果充分利用函数在一些特殊点(包括上面说到的端点、极值点,或原点、零点、二阶导数零点等)处的函数值得到不等式恒成立的一个必要条件,再验证或证明,就可巧妙得到参数的取值范围.由于特殊点处的函数值(导函数值、二阶导函数值)对最终求得的参数范围有直接影响,因此我们把这个影响称之为“特殊点效应”. 例3 已知对任意的x>0,不等式aex+-2a-2≥0恒成立,求正数a的最小值.     总结反思 当出现对数时,考虑特殊点1,e,;出现指数时,考虑特殊点0,1;出现三角函数时,考虑特殊点0,,,π等.例3先利用特殊点1得到不等式恒成立的一个必要条件,再进行验证. 自测题 已知函数f(x)=aex-2x,其中a为常数.若f(x)≥1-sin x恒成立,求实数a的取值范围.   学科网（北京）股份有限公司 $