精品解析：安徽省芜湖市繁昌区第三中学(南师大附中)2025-2026学年第一学期九年级期中测试数学试卷

南师大附校2025-2026（1）九年级期中测试 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在，2，，0这四个数中，比小的数是（    ） A. B. 2 C. 0 D. 2. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( ) A. -1或3 B. -1 C. 3 D. -3或1 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 15 6. 已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个斜边长为的红色直角三角形纸片，一个斜边长为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 10. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，边长为1的正方形的纸片，先对折得到边、边的中点E、F，再沿过点A的直线折叠使落在线段上，折痕为，点G在边上，点D对应点H，连接，下列四条线段的长度，其中恰好是方程的一个正根的线段为（ ）． A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 方程的根是___________； 12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______ 13. 已知，且，，则__________． 14. 已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程与求值 （1）解方程 （2）求x的值： 16. 图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向右平移5个单位得到，画出； （2）将（1）中的绕点C1逆时针旋转得到，画出． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 18. 如图所示，在梯形中，，，，，若，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框去掉中间位置的数之后，用横向两个数的乘积减去纵向两个数的乘积，不难发现，差都是48． 例如：，． 设某个菱形框中间位置的数为． （1）请证明发现的规律； （2）若某菱形框框出的5个数中，最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 20. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，且AE∥BD, BE∥AC, OE= CD. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AD=2,则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形AOBE的面积取得最大值是__________. 六、（本题满分12分） 21. 如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． （1）证明：； （2）如图2，连接交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出答案． 七、（本题满分12分） 22. 若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． （1）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； （2）若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 八、（本题满分14分） 23. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南师大附校2025-2026（1）九年级期中测试 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在，2，，0这四个数中，比小的数是（    ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数大小比较的基本规则即可求解． 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小， 又∵，，，且， ∴ ， ∴比小的数是． 2. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法的一般形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：∵亿，∴亿， 故选D． 3. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 4. 若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( ) A. -1或3 B. -1 C. 3 D. -3或1 【答案】C 【解析】 【分析】由图像经过原点可知m2-2m-3=0，同时注意m＋1≠0. 【详解】解：由图像过原点可得，m2-2m-3=0，解得m=-1或3；再由二次函数定义可知m＋1≠0，即m≠-1，故m=3. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，很容易遗漏m＋1≠0. 5. 有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 6. 已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确理解图象的平移是本题解题的关键．设，而，即函数向上平移1个单位得到函数，通过画出函数大致图象即可求解． 【详解】解：设，则、是函数和轴的交点的横坐标， 而， 即函数向上平移1个单位得到函数， 则两个函数的图象如图所示， 从图象看，， 故选：A． 7. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致． 【详解】A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误； C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确； D．由直线可知，直线经过（0，1），错误． 故选：C． 【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键. 8. 如图，一个斜边长为的红色直角三角形纸片，一个斜边长为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，因为DF=DE，∠AFD=∠DEB=90°，所以将三角形DEB绕点D逆时针旋转90°后，得到△FDT，此时A，F，T共线，证明∠ADT=90°，求出△ADT的面积即可． 【详解】解：如图，因为DF=DE，∠AFD=∠DEB=90°，所以将三角形DEB绕点D逆时针旋转90°后，得到△FDT，此时A，F，T共线．DT=DB=6 ∵∠EDF=90°， ∴∠ADF+∠EDB=90°， ∵∠EDB=∠FDT， ∴∠ADF+∠FDT=90° ∴红、蓝两张纸片的面积之和=△ADT的面积=×10×6=30． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，属于中考常考题型． 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，熟练掌握二次函数图象与的关系是解决本题的关键． ①图像可知，且，故①错误；②把代入即可，故②正确；③根据对称的关系和c的大小即可，得到答案，故③正确；④把和分别代入函数式，得到结果即可，故④错误． 【详解】解：①∵， ∴ ∵， ∴故①错误； ②由图象可知：时，； 即，故②正确； ③由图象可知， ∴， 又， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④由图象可知：时，， 又， 即， ∴， ∴故④错误． 10. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，边长为1的正方形的纸片，先对折得到边、边的中点E、F，再沿过点A的直线折叠使落在线段上，折痕为，点G在边上，点D对应点H，连接，下列四条线段的长度，其中恰好是方程的一个正根的线段为（ ）． A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，轴对称图形的性质，勾股定理．运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键． 设，则，由折叠的性质可知≌，是的中点，则，，再由勾股定理得，然后由，求出，即可解决问题． 【详解】解：解方程得， ∴该方程的正根为 设，则， 由折叠的性质可知：≌，是的中点， ，， ∵再中，，， ∴， ， ， 解得：， 即， ∴恰好是方程的一个正根的线段为线段． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 方程的根是___________； 【答案】x1=2，x2=0． 【解析】 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】x（x-1）=x， x（x-1）-x=0， x（x-1-1）=0， x-1-1=0，x=0， x1=2，x2=0． 故答案为x1=2，x2=0． 【点睛】此题考查解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解题的关键． 12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______ 【答案】## 【解析】 【详解】如图，连接BB′， ∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB=BB′， 在△ABC′和△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)， ∴∠ABC′=∠B′BC′， 延长BC′交AB′于D， 则BD⊥AB′， ∵∠C=，AC=BC=， ∴AB==2， ∴BD=2×=， C′D=×2=1， ∴BC′=BD−C′D=−1． 故答案为：−1. 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 13. 已知，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 14. 已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）抛物线顶点，与轴交于，，则，由于是等边三角形，顶点到轴距离为，顶点纵坐标绝对值为高，可得，代入，化简得，解得； （2）顶点在第三象限，需满足横坐标，即，纵坐标，当时，顶点横坐标，纵坐标，符合第三象限． 【小问1详解】 解：由题意，，　 ∴， 抛物线顶点为， 设， ∵， ∵为等边三角形， ∴ 即 ∵， ∴， ∵，　 ∴， ． 【小问2详解】 解：或， ∵抛物线顶点在第三象限, ∴, 即, 故舍去, 将代入得， ∵抛物线顶点在第三象限， ∴顶点坐标为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程与求值 （1）解方程 （2）求x的值： 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：因式分解得, ． 【小问2详解】 解：二次项系数化为1，得， 开平方得， ，． 16. 图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向右平移5个单位得到，画出； （2）将（1）中的绕点C1逆时针旋转得到，画出． 【答案】 （1）如下图所示，为所求； （2）如下图所示，为所求； 【解析】 【分析】（1）利用点平移的规律找出、、，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平移作图和旋转作图，熟悉相关性质是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式； （2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据 可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入得： ， 解得：， 故这个二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为x＝4， ∴（4，0），B（0，−6） ∴OC＝4，， ∵点A（2，0）， ∴AC＝2， 故． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换． 18. 如图所示，在梯形中，，，，，若，求的长． 【答案】2或3 【解析】 【分析】过点作交的延长线于，可得四边形是正方形，把绕点顺时针旋转得到，可证共线，证明和全等，可得，然后求出，设，表示出，再表示出、，然后利用勾股定理列出方程求解，即可得到的长度． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于， ，，， 四边形是正方形， 把绕点顺时针旋转得到， 则，，，， ∴， ∴共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则，， ， 在中，， 即， 整理得，， 解得，， 即的长度是2或3． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框去掉中间位置的数之后，用横向两个数的乘积减去纵向两个数的乘积，不难发现，差都是48． 例如：，． 设某个菱形框中间位置的数为． （1）请证明发现的规律； （2）若某菱形框框出的5个数中，最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】（1） 证明：设中间的数为n，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）29 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为n，则另外4个数可以用n的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 20. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，且AE∥BD, BE∥AC, OE= CD. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AD=2,则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形AOBE的面积取得最大值是__________. 【答案】（1）∵AE∥BD，BE∥AC， ∴四边形AEBO是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB． ∵OE=CD， ∴OE=AB， ∴平行四边形AEBO是矩形， ∴∠BOA=90°， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）正方形；2 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和矩形的判定证明四边形AEBO是矩形,证得AC⊥BD,再根据菱形的判定证明即可； （2）根据正方形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）正方形，面积为2.理由如下： 过点B作OE的垂线段BF交OE于点F ∵OE＝CD＝AD＝2， ∴矩形AEBO的面积为2×OE×BF＝2BF， 当AB与OE垂直时，BF长达到最大值， 即BF为AB长的一半，此时矩形的面积为2， ∵当AB与OE垂直时，矩形AEBO是正方形， ∴OB=OA，即AC=BD， ∵平行四边形ABCD是菱形， ∴平行四边形ABCD是正方形. 故答案为：正方形；2. 【点睛】此题考查菱形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质，解本题的关键是根据平行四边形的性质和菱形的判定解答. 六、（本题满分12分） 21. 如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． （1）证明：； （2）如图2，连接交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出答案． 【答案】（1）证明：∵线段绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴； （2）①证明：∵在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点， ∴，是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． ②或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，，即可利用证明． （2）①根据等腰直角三角形的性质可得，，再利用全等三角形的性质可得． ②根据题意可得，为等腰三角形，再分以下种情况分别讨论即可：当，，时． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②∵，点，分别为，的中点， ∴， ∵，为等腰三角形，分3种情况： （a）当时，如图，则， ∴平分， ∴点是的中点， ∴； （b）当时，如图，则， ∴， ∴， ∴； （c）当时，点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述：当的长度为或时，为等腰三角形． 七、（本题满分12分） 22. 若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． （1）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； （2）若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】（1） （2）①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【解析】 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【小问1详解】 解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； 【小问2详解】 ①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 八、（本题满分14分） 23. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形， ∴， ∴， ∵，当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $