专题01 一元二次方程（期中真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦一元二次方程6大高频考点，汇编安徽多地期中真题，覆盖概念辨析、解法应用及实际问题，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|概念、解法判别、根与系数关系|结合古诗文改编周瑜年龄问题，体现文化传承| |填空|约10题|配方结果、根的情况、换元法|设计新定义运算“®”，考查知识迁移能力| |解答|约15题|公式法应用、实际问题（增长率/面积）|综合几何与方程，如矩形果园道路设计，强化模型意识|

专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．C 2．D 3．D 4．D 5．C 6．A 7．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义及方程根的应用，解题的关键是根据根的定义代入求值，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的条件． 将根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）确定的最终值． 【详解】 解：关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程，得，即， 解得或． 又该方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 因此． 故答案为：． 考点02 配方法 1．A 2．B 3．【答案】或 【分析】 本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】 解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 考点03 公式法 1．A 2．B 3．A 4．【答案】（1） 证明：， ， ． 无论k取何值，该方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据根的判别式计算即可； （2）运用求根公式得到，，结合题意列式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 解得：，， 方程的一个根大于1， ． 解得：． 5．【答案】2 【分析】 由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值， 【详解】 解：由题意可知： ，， ， ∴， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键． 6．【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 且， 的最小整数值为2． 故答案为：2． 7．【答案】（1）； （2）等腰直角三角形， 解得 这个三角形是等腰直角三角形 理由如下：∵ ∴该三角形是等腰直角三角形． 【分析】 （1）关于x，y的方程组 与 的解相同．实际就是方程组 的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值； （2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状． 【详解】 解：由题意列方程组： 解得 将，分别代入和 解得， ∴， （2）略 【点睛】 本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键． 8．【答案】①     ② 【分析】 本题考查一元二次方程，解一元一次不等式，配方法，解题的关键是正确理解定义以及熟练运用一元二次方程的解法． （1）通过比较二次函数与常数2的大小关系，利用配方法求得，从而根据定义得出结果； （2）根据与的大小关系分类讨论，分别解方程并验证解的取值范围是否符合条件． 【详解】 解：（1）对于 ，需比较与2的大小， 配方法： ， 因此恒有， ∵当 时，， ∴， 故答案为：； （2）方程， 分以下两种情况讨论： ①当，即时，， 则，即， 解得， 其中符合条件，不符合条件，舍去； ②当，即 时，， 则，即， 解得， 其中 符合条件，不符合条件，舍去； 综上，方程的解为． 故答案为：． 9．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 解：原方程可化为：， ∵ ，． 考点04 因式分解法 1．C 2．B 3．D 4．【答案】， 【详解】 解：． ， 或， 解得：，． 5．【答案】两位同学的解法都错误， 正确解答： 移项，得， 提取公因式，得， 去括号，得， 则或， 解得，． 小敏：两边同除以，得，则．（×） 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×） 【分析】 根据因式分解法解一元二次方程 【详解】 略 【点睛】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 6．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．方程可以变形为，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． 7．【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用因式分解法进行计算，即可解答． (1) 小问详解： 解： 或 ，； (2) 小问详解： 解： 或 ． 8．【答案】1 【分析】 本题考查了用换元法解一元二次方程、根的判别式等知识点，运用根的判别式验证x的存在性是解此题的关键． 设，则原方程化为，解方程求出a的值，再根据根的判别式判定即可解答． 【详解】 解：设，则原方程化为， 解得：或1， 当时，，即， ∴，此方程无解； 当时，，即， ∴，此方程有实数解； 综上，． 故答案为：1． 9．【答案】（1） ，     （2） ，      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法解一元二次方程是关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， ，即， ∴或， ∴，． 10．【答案】（1），     （2）无实数根      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 则或， 所以，； (2) 小问详解： 解： ∵，，， ∴， 故原方程无实数根． 11．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法），解题的关键是将方程整理为标准形式后，通过因式分解转化为两个一元一次方程求解． 先将方程整理为一元二次方程的标准形式，再对其进行因式分解，得到，进而转化为两个一元一次方程求解． 【详解】 解：， ． ， ， 解得，． 12．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．     （2），．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 13．【答案】（1）     （2）所求方程为     （3）关于的一元二次方程的两个实数根为      【分析】 本题主要考查了定义新运算，一元二次方程的计算，理解定义新运算的概念及计算，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意得到，结合题意的计算即可求解； （2）令方程的根为，设所求方程的根为，结合题意的计算即可求解； （3）根据题意变形得到关于的一元二次方程为，结合题意的计算即可求解． (1) 小问详解： 解：关于的方程，两个根分别为：，， ∴， 关于的方程的两个根分别为和， ∴， 解得，， ∴所求方程为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：令方程的根为，设所求方程的根为， ∴，则， ∴， 整理得，，即， ∴所求方程为； (3) 小问详解： 解：关于的一元二次方程变形得， ， 由（2）可知，关于的一元二次方程与关于的一元二次方程的两根互为倒数， ∴与互为倒数或与互为倒数， ∴或， 解得，或， ∴关于的一元二次方程的两个实数根为． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．D 2．D 3．C 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的计算是关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数的相反数，代入已知根即可求出另一个根． 【详解】 解：设另一个根为，由根与系数的关系，得 ， 方程 中，，， 所以 ， 已知 ， 所以 ， 解得 ， 故答案为： ． 5．【答案】（1）     （2）①，；②，      【分析】 本题考查一元二次方程的根的特征，解题的关键是理解并运用和时方程根的规律． （1）根据的特征，确定方程的一个根； （2）利用题目给出的结论，分别分析两个方程，求出它们的根． (1) 小问详解： 解：对于方程，当时，把代入方程，左边为， 。 故答案为： (2) 小问详解： 解：① 解方程， ，则， 根据结论，当时，，另一个根． 方程的根为； ② 解方程， ，则， 根据结论，当时，，另一个根． 方程的根为． 6．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用． （1）根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）由根与系数的关系，用k表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围，再求其值即可． (1) 小问详解： 解：由题可得， 解得； (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系可得，． 即，解得 由（1）可得 又为整数， 或． 7．【答案】11 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：11． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．C 2．C 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．【答案】2米 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出方程成为解题的关键． 设道路的宽度为x米，根据题意列出一元二次方程求解并检验即可． 【详解】 解：设道路的宽度为米． 由题意得． 解得：（不符合题意，舍去）， 道路的宽度为2米． 9．【答案】（1）     （2）8米      【分析】 本题考查了列代数式，一元二次方程的图形问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据设米，且板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材），进行列式化简，即可作答． （2）理解题意，且设米，则米，即，再解得，，进行下一步分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，设米，且围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材）， ∴（米）； (2) 小问详解： 解：由（1）得设米，则米， ∵养鸡场面积是160平方米．养鸡场的面积保持不变． ∴， 整理得， 解得，， 当时，（米）， 即的长为24米米，不合题意，舍去； 当时，（米）， 即的长为20（米）米，符合题意； ∴重建后的养鸡场的宽为8米． 10．【答案】（1）若玩具店每天要盈利750元，每件玩具狗应降价15元     （2） 该玩具店每天获利不能达到840元，理由如下： 设每件玩具狗应降价y元，则每天售出件， 由题意得：， 整理得：． 则， 方程无实数根． 故按这样的降价措施，该玩具店每天获利不能达到840元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，则设每件玩具狗应降价x元，故每天售出件，结合玩具店每天要盈利750元进行列方程，再解方程，根据尽快减少库存取较大值即可． （2）理解题意，根据销售这种玩具狗每天获利840元，进行列方程，再整理，即可作答． (1) 小问详解： 解：设每件玩具狗应降价x元，则每天售出件， 由题意得：， 整理得：． 解得：，． 尽快减少库存， ． 即玩具店每天要盈利750元，每件玩具狗应降价15元； (2) 小问详解： 略 11．【答案】共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握握手、循环赛问题是解题的关键．设共有支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛，根据“所有参赛队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次）已知联赛计划安排55场比赛”建立方程求解即可． 【详解】 解：（1）设共有x支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛， 根据题意可得：， 整理得：，， 解得：或（舍）． 答：共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛． 12．【答案】 【分析】 本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】 解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 13．【答案】（1）（2）（3）39 【分析】 本题主要考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用等知识． （1）根据图案与对应的等式即可得出第个图案对应的等式． （2）根据给出的图案对应的等式总结规律即可． （3）根据（2）中的规律得出令，解出n的值，即可得出第20个图案铺设方砖的图形结构，再计算空地边缘的一圈方砖中白色方砖的数量即可． 【详解】 解：（1）第个图案对应的等式为， （2）第个图案对应的等式为 （3）令， 解得：，（舍去） 则， 故该空地边缘的一圈方砖中，白色方砖的个数为（块） 14．【答案】（1）     （2）21万元      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）设下调后每辆新能源汽车的售价为万元，用代数式表示出平均每周的销售利润，然后解方程即可． (1) 小问详解： 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设下调后每辆新能源汽车的售价为万元，则每辆新能源汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 又此次销售尽量让利于顾客， ． 答：下调后每辆新能源汽车的售价为21万元． 15．【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以， 理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 【分析】 本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】 解：（1）不超过，且不小于 纵向道路宽度的取值范围为 （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3） 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）下列说法正确的是（     ） A. 方程是关于x的一元二次方程 B. 方程的常数项是4 C. 当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解 D. 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 5．（2026·安徽阜阳·联考）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 0 6．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为　　　　　　　　． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A.  B. 5 C.  D. 7 2．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（     ） A. 且 B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 5．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）若一元二次方程有两个相等的实数根，则　　　　　　　　． 6．（2026·安徽阜阳·联考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值　　　　　　． 7．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知关于，的方程组 与 的解相同． （1）求，的值； （2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 8．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1）　　　　　　　　； （2）方程的解是　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）解方程：． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A.  B. 1 C. 3 D. 9 2．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）一个等腰三角形的两边是方程的两根，则这个三角形的周长为（       ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 6 3．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方，如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动，设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点，下列选项正确的是（     ） A.  B.  C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 4．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）解方程：． 5．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 小敏：两边同除以，得，则．（×） 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×） 6．（2026·安徽阜阳·联考）解方程：． 7．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）解方程： （1）． （2）． 8．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知为实数，若，则　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 10．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）解下列方程： （1） （2） 11．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）解方程：． 12．（2026·安徽阜阳·联考）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 13．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． （1）已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． （2）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）对于关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（     ） A. 若方程的两个根是和，则 B. 若，则方程有一个根是 C. 若是方程的一个根，则一定有成立 D. 若，且方程有实数根，则 4．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）若是关于x的一元二次方程其中一个根，则另一个根　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）在方程中，若，则原方程的两个根是，；若，则原方程的两个根是________，． （1）完成上面的填空； （2）试用上述的结论解下列方程 ①； ②． 6．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是m和n． （1）求k的取值范围． （2）若，且为整数，求k的值． 7．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）将一根长为的铁丝剪成两段，每段分别围成正方形，它们面积之和等于．设一个正方形的边长为，可列出的方程是（） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增长至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·安徽阜阳·联考）如图，某景区内有一块长方形油菜花地（单位：），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花地面积的．设观花道的直角边为，则的值为（     ） A. 0.5 B. 0.6 C. 1 D.  7．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（       ） A.  B.  C.  D. 不确定 8．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 9．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）某农场现有一长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙的最大可用长度为22米，养鸡场面积是160平方米．为改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行了重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材），且养鸡场的面积保持不变． （1）设米，则______米（用含的代数式表示）； （2）求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 10．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）某玩具店销售一批玩具狗，平均每天可售出20件，每件盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件玩具狗每降价1元，平均每天可多售出2件． （1）若玩具店销售这种玩具狗每天要盈利750元，每件玩具狗应降价多少元？ （2）按这样的降价措施，该玩具店销售这种玩具狗每天获利能否达到840元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 11．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 12．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）【观察思考】 观察下列图案与对应的等式： 第1个图案： 第1个等式：； 第2个图案： 第2个等式：； 第3个图案： 第3个等式： 第4个图案： 第4个等式：； 【总结规律】 （1）第个图案对应的等式为             ． （2）第个图案对应的等式为             ． 【问题解决】 （3）某广场在一片空地上按第个图案铺设方砖，铺设面积为．采用的白色正方形方砖和灰色正方形方砖的边长均为，则该空地边缘的一圈方砖中，白色方砖有多少块？ 14．（2026·安徽阜阳·联考）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 15．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块矩形果园，图是果园的平面图，其中，．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为，左右两条纵向道路的宽度都为，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过，且不小于． 素材2 该农户发现某种草莓销售前景比较不错，经市场调查发现，草莓培育一年可产果，已知每平方米草莓的平均销售利润为100元：果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响问题． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围；（2）若中间种植区域的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 任务2 解决果园种植的预期净利润问题．（净利润=草莓销售的总利润-路面造价费用-果园承包费用-新苗购置费用-其余费用） （3）经过1年后，该农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意． 2．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】 解：A、当时，不是一元二次方程，故不合题意； B、不是整式方程，故不合题意； C、是一元一次方程，故不合题意； D、是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键， 根据一元二次方程的定义分析各选项是否符合条件即可得到答案． 【详解】 解：A：中，若，则不是二次方程，故此项错误； B：中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故此项错误； C：含有分式，不是整式方程，故此项错误； D：可化为，是一元二次方程，此项正确； 故选：D． 4．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）下列说法正确的是（     ） A. 方程是关于x的一元二次方程 B. 方程的常数项是4 C. 当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解 D. 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的有关概念，解题的关键是理解一元二次方程的有关概念．根据一元二次方程的有关概念进行分析即可． 【详解】 解：A．对于方程，若，则该方程不是关于的一元二次方程，故说法错误； B．方程整理为一般形式为，其常数项是，故说法错误； C．当一次项系数为0时，该方程不一定有解，故说法错误； D．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根，说法正确． 故选：D． 5．（2026·安徽阜阳·联考）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 0 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，熟练掌握“一元二次方程二次项系数不为0且常数项的概念”是解题的关键． 根据一元二次方程常数项为0和二次项系数不为0的条件来确定的值． 【详解】 ∵ 方程常数项为0， ∴ ，解得． 又∵ 方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数，即． ∴ ， 故选：C． 6．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程根的定义和一次函数的象限判断，将代入方程求出m的值，再判断直线不经过的象限即可． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得； 又∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∴直线为， ∵， ∴直线经过第二、第三、第四象限，但不经过第一象限， 故选：A． 7．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义及方程根的应用，解题的关键是根据根的定义代入求值，同时注意一元二次方程二次项系数不为0的条件． 将根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）确定的最终值． 【详解】 解：关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程，得，即， 解得或． 又该方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 因此． 故答案为：． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 根据配方法，将一元二次方程常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，得到答案． 【详解】 解：根据题意得： 一元二次方程， ， ， ， ，， ， 故选：． 2．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】 解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 3．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】 解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A.  B. 5 C.  D. 7 【答案】A 【分析】 本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为标准形式，确定系数、、，再根据求根公式判断“”处应填． 【详解】 解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 求根公式为， ∴“”处应填． 故选A． 2．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（     ） A. 且 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元一次方程的解，根据二次系数非零及根的判别式，找出关于x的一元一次不等式组是解题的关键．分类讨论及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】 解：∵关于x的方程有实数根， 当时，即：时，方程为：，有实数根； 当时， 解得：且， 综上所述：， 故选：B． 3．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是计算判别式的值来判断根的情况． 先确定方程中、、的值，再代入判别式公式计算，根据的正负判断根的情况． 【详解】 解： 方程 中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选A． 4．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：， ， ． 无论k取何值，该方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据根的判别式计算即可； （2）运用求根公式得到，，结合题意列式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 解得：，， 方程的一个根大于1， ． 解得：． 5．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）若一元二次方程有两个相等的实数根，则　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值， 【详解】 解：由题意可知： ，， ， ∴， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键． 6．（2026·安徽阜阳·联考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 且， 的最小整数值为2． 故答案为：2． 7．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知关于，的方程组 与 的解相同． （1）求，的值； （2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）等腰直角三角形， 解得 这个三角形是等腰直角三角形 理由如下：∵ ∴该三角形是等腰直角三角形． 【分析】 （1）关于x，y的方程组 与 的解相同．实际就是方程组 的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值； （2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状． 【详解】 解：由题意列方程组： 解得 将，分别代入和 解得， ∴， （2）略 【点睛】 本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键． 8．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1）　　　　　　　　； （2）方程的解是　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查一元二次方程，解一元一次不等式，配方法，解题的关键是正确理解定义以及熟练运用一元二次方程的解法． （1）通过比较二次函数与常数2的大小关系，利用配方法求得，从而根据定义得出结果； （2）根据与的大小关系分类讨论，分别解方程并验证解的取值范围是否符合条件． 【详解】 解：（1）对于 ，需比较与2的大小， 配方法： ， 因此恒有， ∵当 时，， ∴， 故答案为：； （2）方程， 分以下两种情况讨论： ①当，即时，， 则，即， 解得， 其中符合条件，不符合条件，舍去； ②当，即 时，， 则，即， 解得， 其中 符合条件，不符合条件，舍去； 综上，方程的解为． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 解：原方程可化为：， ∵ ，． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A.  B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 2．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）一个等腰三角形的两边是方程的两根，则这个三角形的周长为（       ） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查了因式分解求一元二次方程的解，等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，解方程得两根为2和4，讨论等腰三角形的两种可能情况，利用三角形三边关系判断有效性，再计算周长． 【详解】 ， ∴，， 若腰为2，则三边为2、2、4． ∵，不满足三角形三边关系， ∴不成立； 若腰为4，则三边为4、4、2． ∵， ∴成立． ∴周长为． 故选：B． 3．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方，如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动，设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点，下列选项正确的是（     ） A.  B.  C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【分析】 本题考查动点的函数图像，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图像中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】 解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图像可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：（负值舍去），故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图像上，故选项D正确； 故选：D． 4．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】 解：． ， 或， 解得：，． 5．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】两位同学的解法都错误， 正确解答： 移项，得， 提取公因式，得， 去括号，得， 则或， 解得，． 小敏：两边同除以，得，则．（×） 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×） 【分析】 根据因式分解法解一元二次方程 【详解】 略 【点睛】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 6．（2026·安徽阜阳·联考）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．方程可以变形为，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． 7．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用因式分解法进行计算，即可解答． (1) 小问详解： 解： 或 ，； (2) 小问详解： 解： 或 ． 8．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知为实数，若，则　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了用换元法解一元二次方程、根的判别式等知识点，运用根的判别式验证x的存在性是解此题的关键． 设，则原方程化为，解方程求出a的值，再根据根的判别式判定即可解答． 【详解】 解：设，则原方程化为， 解得：或1， 当时，，即， ∴，此方程无解； 当时，，即， ∴，此方程有实数解； 综上，． 故答案为：1． 9．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ，     （2） ，      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法解一元二次方程是关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， ，即， ∴或， ∴，． 10．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2）无实数根      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 则或， 所以，； (2) 小问详解： 解： ∵，，， ∴， 故原方程无实数根． 11．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法），解题的关键是将方程整理为标准形式后，通过因式分解转化为两个一元一次方程求解． 先将方程整理为一元二次方程的标准形式，再对其进行因式分解，得到，进而转化为两个一元一次方程求解． 【详解】 解：， ． ， ， 解得，． 12．（2026·安徽阜阳·联考）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．     （2），．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 13．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． （1）已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． （2）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】（1）     （2）所求方程为     （3）关于的一元二次方程的两个实数根为      【分析】 本题主要考查了定义新运算，一元二次方程的计算，理解定义新运算的概念及计算，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意得到，结合题意的计算即可求解； （2）令方程的根为，设所求方程的根为，结合题意的计算即可求解； （3）根据题意变形得到关于的一元二次方程为，结合题意的计算即可求解． (1) 小问详解： 解：关于的方程，两个根分别为：，， ∴， 关于的方程的两个根分别为和， ∴， 解得，， ∴所求方程为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：令方程的根为，设所求方程的根为， ∴，则， ∴， 整理得，，即， ∴所求方程为； (3) 小问详解： 解：关于的一元二次方程变形得， ， 由（2）可知，关于的一元二次方程与关于的一元二次方程的两根互为倒数， ∴与互为倒数或与互为倒数， ∴或， 解得，或， ∴关于的一元二次方程的两个实数根为． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再根据，，即可得出答案． 【详解】 解：方程有两个不相等的实数根，， ，， ，， ∴方程两个根分别是，． 故选：D． 2．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】 解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 3．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）对于关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（     ） A. 若方程的两个根是和，则 B. 若，则方程有一个根是 C. 若是方程的一个根，则一定有成立 D. 若，且方程有实数根，则 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系、根的代入以及根的判别式，解题的关键是掌握以上公式． 根据一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式，通过代入和推导判断各选项的正误． 【详解】 解：∵ 选项A：方程根为 , ， ∴ 由根与系数关系，得 ， 即， ∴ ， 即 ， ∴ ， A正确，不符合题意； ∵ 选项B：若，方程变为， ∴ ， ∴ 有一个根为， B正确，不符合题意； ∵ 选项C：若是根，代入方程： ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或， 不一定总有成立， 故C错误，符合题意； ∵ 选项D：若，方程变为， 判别式， ∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， ∴， D正确，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）若是关于x的一元二次方程其中一个根，则另一个根　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的计算是关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数的相反数，代入已知根即可求出另一个根． 【详解】 解：设另一个根为，由根与系数的关系，得 ， 方程 中，，， 所以 ， 已知 ， 所以 ， 解得 ， 故答案为： ． 5．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）在方程中，若，则原方程的两个根是，；若，则原方程的两个根是________，． （1）完成上面的填空； （2）试用上述的结论解下列方程 ①； ②． 【答案】（1）     （2）①，；②，      【分析】 本题考查一元二次方程的根的特征，解题的关键是理解并运用和时方程根的规律． （1）根据的特征，确定方程的一个根； （2）利用题目给出的结论，分别分析两个方程，求出它们的根． (1) 小问详解： 解：对于方程，当时，把代入方程，左边为， 。 故答案为： (2) 小问详解： 解：① 解方程， ，则， 根据结论，当时，，另一个根． 方程的根为； ② 解方程， ，则， 根据结论，当时，，另一个根． 方程的根为． 6．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是m和n． （1）求k的取值范围． （2）若，且为整数，求k的值． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用． （1）根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）由根与系数的关系，用k表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围，再求其值即可． (1) 小问详解： 解：由题可得， 解得； (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系可得，． 即，解得 由（1）可得 又为整数， 或． 7．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：11． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据增长率问题进行求解． 【详解】 解：由题意可列方程为； 故选C． 2．（25-26学年九上·安徽宿州·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可； 【详解】 设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3， 由题意可得：． 故答案选C． 【点睛】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 3．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）将一根长为的铁丝剪成两段，每段分别围成正方形，它们面积之和等于．设一个正方形的边长为，可列出的方程是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查正方形的性质，一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设一个正方形的边长为，则其周长为，另一段铁丝长为，围成的正方形边长为．根据两个正方形面积之和为，列出方程． 【详解】 解：∵正方形的边长为， ∴其周长为． ∴另一段铁丝长为． ∵另一段铁丝围成正方形， ∴其边长为． ∵面积之和为， ∴． 故选B． 4．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】 解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 5．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增长至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，由题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】 解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，由题意得： ， 故选：A． 6．（2026·安徽阜阳·联考）如图，某景区内有一块长方形油菜花地（单位：），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花地面积的．设观花道的直角边为，则的值为（     ） A. 0.5 B. 0.6 C. 1 D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 根据题意，直接利用直角三角形面积列方程，解方程得到的值，同时必须满足，舍去，即可完成求解． 【详解】 解：由题意可列得方程， 整理方程得到， ∴或（舍去）， 故选：C． 7．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（       ） A.  B.  C.  D. 不确定 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程根的定义和作差法比较大小，通过代入和化简得到定值，从而确定大小关系．将代入方程得到关系式，然后计算，利用代入化简比较大小． 【详解】 解： 是方程 )的根， ，即 ． ， ， ． 故选：A． 8．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 【答案】2米 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出方程成为解题的关键． 设道路的宽度为x米，根据题意列出一元二次方程求解并检验即可． 【详解】 解：设道路的宽度为米． 由题意得． 解得：（不符合题意，舍去）， 道路的宽度为2米． 9．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）某农场现有一长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙的最大可用长度为22米，养鸡场面积是160平方米．为改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行了重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材），且养鸡场的面积保持不变． （1）设米，则______米（用含的代数式表示）； （2）求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 【答案】（1）     （2）8米      【分析】 本题考查了列代数式，一元二次方程的图形问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据设米，且板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材），进行列式化简，即可作答． （2）理解题意，且设米，则米，即，再解得，，进行下一步分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，设米，且围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门（门无需板材）， ∴（米）； (2) 小问详解： 解：由（1）得设米，则米， ∵养鸡场面积是160平方米．养鸡场的面积保持不变． ∴， 整理得， 解得，， 当时，（米）， 即的长为24米米，不合题意，舍去； 当时，（米）， 即的长为20（米）米，符合题意； ∴重建后的养鸡场的宽为8米． 10．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）某玩具店销售一批玩具狗，平均每天可售出20件，每件盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件玩具狗每降价1元，平均每天可多售出2件． （1）若玩具店销售这种玩具狗每天要盈利750元，每件玩具狗应降价多少元？ （2）按这样的降价措施，该玩具店销售这种玩具狗每天获利能否达到840元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）若玩具店每天要盈利750元，每件玩具狗应降价15元     （2） 该玩具店每天获利不能达到840元，理由如下： 设每件玩具狗应降价y元，则每天售出件， 由题意得：， 整理得：． 则， 方程无实数根． 故按这样的降价措施，该玩具店每天获利不能达到840元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，则设每件玩具狗应降价x元，故每天售出件，结合玩具店每天要盈利750元进行列方程，再解方程，根据尽快减少库存取较大值即可． （2）理解题意，根据销售这种玩具狗每天获利840元，进行列方程，再整理，即可作答． (1) 小问详解： 解：设每件玩具狗应降价x元，则每天售出件， 由题意得：， 整理得：． 解得：，． 尽快减少库存， ． 即玩具店每天要盈利750元，每件玩具狗应降价15元； (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 【答案】共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握握手、循环赛问题是解题的关键．设共有支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛，根据“所有参赛队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次）已知联赛计划安排55场比赛”建立方程求解即可． 【详解】 解：（1）设共有x支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛， 根据题意可得：， 整理得：，， 解得：或（舍）． 答：共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛． 12．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】 解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）【观察思考】 观察下列图案与对应的等式： 第1个图案： 第1个等式：； 第2个图案： 第2个等式：； 第3个图案： 第3个等式： 第4个图案： 第4个等式：； 【总结规律】 （1）第个图案对应的等式为             ． （2）第个图案对应的等式为             ． 【问题解决】 （3）某广场在一片空地上按第个图案铺设方砖，铺设面积为．采用的白色正方形方砖和灰色正方形方砖的边长均为，则该空地边缘的一圈方砖中，白色方砖有多少块？ 【答案】（1）（2）（3）39 【分析】 本题主要考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用等知识． （1）根据图案与对应的等式即可得出第个图案对应的等式． （2）根据给出的图案对应的等式总结规律即可． （3）根据（2）中的规律得出令，解出n的值，即可得出第20个图案铺设方砖的图形结构，再计算空地边缘的一圈方砖中白色方砖的数量即可． 【详解】 解：（1）第个图案对应的等式为， （2）第个图案对应的等式为 （3）令， 解得：，（舍去） 则， 故该空地边缘的一圈方砖中，白色方砖的个数为（块） 14．（2026·安徽阜阳·联考）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 【答案】（1）     （2）21万元      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）设下调后每辆新能源汽车的售价为万元，用代数式表示出平均每周的销售利润，然后解方程即可． (1) 小问详解： 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设下调后每辆新能源汽车的售价为万元，则每辆新能源汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 又此次销售尽量让利于顾客， ． 答：下调后每辆新能源汽车的售价为21万元． 15．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块矩形果园，图是果园的平面图，其中，．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为，左右两条纵向道路的宽度都为，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是50元；出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过，且不小于． 素材2 该农户发现某种草莓销售前景比较不错，经市场调查发现，草莓培育一年可产果，已知每平方米草莓的平均销售利润为100元：果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响问题． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围；（2）若中间种植区域的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 任务2 解决果园种植的预期净利润问题．（净利润=草莓销售的总利润-路面造价费用-果园承包费用-新苗购置费用-其余费用） （3）经过1年后，该农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以， 理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 【分析】 本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】 解：（1）不超过，且不小于 纵向道路宽度的取值范围为 （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3） 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $