安徽省芜湖市繁昌区第三中学(南师大附中)2025-2026学年第一学期九年级期中测试数学试卷

南师大附校2025-2026学年度第一学期期中学情调研 九年级数学试卷（答案及解析） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1-5：DDBCA 6-10：ACABB 10.【解答过程】设DN＝m，则NC＝1﹣m． 由题意可知：△ADN≌△APN，H是BC的中点， ∴DN＝NP＝m，CH＝0.5． ∵S正方形＝S△ABH+S△ADN+S△CHN+SANH， ∴1×111×m（1﹣m）m， ∴m． ∵x2+x﹣1＝0的解为：x±， ∴取正值为x． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11、 12、_____−1._____．13、 14、（1）b的值为 －2±2 ；（2）（1-，-3） 12 【解答过程】如图,连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′， 在△ABC′和△B′BC′中，， ∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)， ∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，[ 由三线合一得AD=AB′=． ∵∠C=90°，AC=BC=，∴AB==2， ∴BD==，C′D=×2=1，∴BC′=BD−C′D=−1. 13 【解答过程】当x＝0时，方程左边＝6≠0，∴x≠0． 将方程3x2+2021x+6＝0的两边同时÷x2得6（）2+20213＝0． ∵xy≠1，即y，∴，y为一元二次方程6x2+2021x+3＝0的两个不相等的解， ∴． 14【解答过程】由题意，1＋b＋c＝2，　∴b＋c＝1 抛物线顶点为A（－，c－） 设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0 ∴|BC|＝| x1－x2|＝＝＝ ∵△ABC为等边三角形，∴ －c＝ 即b2－4c＝2·，∵b2－4c＞0，∴＝2 ∵c＝1－b，　∴b2＋4b－16＝0，　b＝－2±2　，代入（－，c－）得（1±，-3），∵抛物线顶点在第三象限，∴顶点A坐标为（1-，-3）。 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15、 (1)x1＝1，x2 （2）x=或0 16、 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17、 【解答过程】(1)y＝－x2＋4x－6 (2) ∵该抛物线对称轴为直线x＝－＝4，∴点C的坐标为(4，0)，∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6 。 18、【解答过程】过B作BF⊥AD交AD的延长线于点F,则四边形BCDF构成正方形;将Rt△ABF绕点B逆时针旋转90°，得到Rt△BCG(A点与G点，C点与F点重合) 设CE=x，则DE=6-x ∵∠ABG=90°, ∠ABE=45°∴∠EBG=∠ABG-∠ABE=45° ∴∠EBG=∠EBA 又∵EB=EB,AB=BG ∴ △EBG≌△EBA(SAS) ∴EG=AE=5 又∵CE=x ∴CG=5-x ∴AF=CG=5-x 又∵DF=6 ∴AD=DF-AF=6-(5-x)=1+x 在Rt△ADE中 DE=6-x，AD=1+x，AE=5 故 DE2 +AD2 =AE2 即(6-x)2 +(1+x)2 =25 解得x=2或3 即CE的长为2或3. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19、【解答过程】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， ＝a2﹣1﹣（a2﹣49）＝48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． 20、【解答过程】（1）∵AE∥BD，BE∥AC， ∴四边形AEBO是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB．∵OE=CD， ∴OE=AB，∴平行四边形AEBO是矩形， ∴∠BOA=90°，∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）正方形，面积为2；理由如下： 过点B作OE的垂线段BF交OE于点F ∵OE＝CD＝AD＝2， ∴矩形AOBE的面积为2x0E:BF＝2BF 当AB与OE垂直时，BF长达到最大值， 即AB长的一半，此时矩形的面积为2 当AB与0E垂直时平行四边形ABCD是正方形。 六、（本题满分12分） 21、【解答过程】（1）∵线段绕点A逆时针方向旋转得到，∴AH=AG，∠HAG=90°， ∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG， ∴； （2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点， ∴AE=AF，是等腰直角三角形， ∵AH=AG，∠BAH =∠CAG，∴，∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：； ②∵，点，分别为，的中点，∴AE=AF=2， ∵∠AGH=45°，为等腰三角形，分3种情况： （a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF， ∴点H是EF的中点，∴EH=； （b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°， ∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2； （c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去。 综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形． 七、（本题满分12分） 22、【解答过程】（1）Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4＝﹣8k+8． ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴﹣8k+8＞0，解得k＜1， 由根与系数的关系，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，∵|x1+x2|＝x1x2， ∴|2（k﹣1）|＝k2﹣1，化简得k2﹣2k+1＝0，或k2+2k﹣3＝0， ∴k＝1或k＝﹣3，又∵k＜1，∴k＝﹣3； （2）①证明：∵α，β是方程的根， ∴α2＝α+1，β2＝β+1， ∴Sn﹣2+Sn﹣1αn+βn＝Sn； ②α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两根， ∴α+β＝1，αβ＝﹣1， ∴S2＝α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1+2＝3； 由①知：S7＝S6+S5＝S5+S4+S4+S3＝S4+S3+2S4+S3＝3S4+2S3＝5S1+8S2＝5（α+β）+8（α2+β2）＝29． 八、（本题满分14分） 23、【解答过程】（1）∵抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）四边形，四边形均正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形， ∴， ∴， ∵，当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴； （3）∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线只有一个交点， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $南师大附校2025-2026（1)九年级期中测试 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1、1.在-2,2，-5,0这四个数中，比-3小的数是（) A.-2 B.2 C.0 D.-5 2、2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗 系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定 位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为() A.3×108 B.3×10°C.3×100 D.3×10 3、下列标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A B 0 D 4、若二次函数y=(m计1)X二mx十-2m一3的图象经过原点，则m的值为( A、一1或3B,一1 C.3 D.一3或1 5·有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染人的 个数为() A.10B.11C.12D.15 6、已知抛物线y=(x-x1)(x-x2)+1(x1<x2)与x轴交于(m,0),(n,0)两点（m<n),则m, n,1,2的大小关系是（) A,灯<m<n<2 B,ixx2<n C.m<x<n<x2 D.x1<m<x2<n 7、同一坐标系中，一次函数y=ax十1与二次函数y=x2十a的图象可能是(） 数学试卷 第1页共3页 命题： 8、如图，一张斜边长为6cm的红色直角三角形纸片、 张斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片、一张黄色的正 方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的 面积之和是《 黄 你 A.30cm2 B.40cm' 红 D B C.50cm D.60cm 9、已知二次函数y=ax+bx十c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论： ① 1 abc>0:®a+b什6=2：⑨a>2④6K1.其中正确的结论是( A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 10、欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程+ax=乃的方法，类似地我们可以用折纸 的方法求方程+x-1=0的一个正根.如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD,先折出A0、BG 的中点G、H,再折出线段AN,然后通过沿线段AW折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P, 并连接R以，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程+x-1=0的一个正根， 则这条线段是( D A.线段BH B.线段DN C.线段CW D.线段时 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11、方程x(x-1)=x的根是 12、如图，在△ABC中，∠C=90°，纪=BC√2，将△ABC绕点A顺 时针方向旋转60°到△ABC的位置，连接CB,则CB= C 13、已知xy≠1，且3x+2021x+6=0,6y+2021y43=0,则2x 14、已知抛物线y=X+bx十c经过点(1,2).若抛物线顶点为A,它与x轴交于两点BC,且△ABC 为等边三角形.请回答下列问题： (1)b的值为 (2)若抛物线顶点在第三象限，则顶点A坐标为】 审核： 2025年11月 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15、(1)(本题4分)解方程3-4x+1=0 (2)(本题4分)求x的值：49(x+-)2=(←4)2 7 16、如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在网格线的交点上. (1)将△ABC向右平移5个单位得到△A,B,C,画出△A,B,C1; (2)将(1)中的△A,B,C,绕点☑逆时针旋转90°得到△A,B,C1,画出△A,B2C1· 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17、如图，二次函数y=x+bx十c的图象经过 2 A(2,0)与B(0,一6)两点. (1)求这个二次函数的解析式： (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC, 求△ABC的面积. 18、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD),∠D=90°，BC=CD=6, ∠ABE=45°，若AE=5,求CE的长。 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19、在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某年1月份的日历，我们任意选择 其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相 数学试卷 第2页共3页 命题： 减，例如：9×11-3×17=48,13×15-7×21=48.不难发现，结果都是48. 星期白 层期一 星期二 层期三 星期四 星期五星期六 1 3 4 5 8 10 1 12 14 15a 16 -…17 18 19 0.21. 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)请证明发现的规律： (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个 数的最大数 2O、如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=CD. (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AD=2,则当四边形ABCD的形状是 时，四边形AOBE的面积取得最大值是 六、（本题满分12分） 21、如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°.点E,F分别为 AB,AC的中点，H为线段EF上一 动点（不与点E,F重合），将线段AH 绕点A逆时针方向旋转90°得到AG,连 接GC,HB. 图 图2 (1)证明：△AHB≌AAGC; (2)如图2，连接FG、HG,HG交AF于点Q, ①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG=90°： ②若AB=AC=4,当EH的长度为多少时，△AQG为等腰三角形？请直接写出答案。 审核： 2025年11月 七、（本题满分12分) 22、若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则有 +2=8 由上 式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程 根与系数的关系 (1)已知关于x的一元二次方程x2-2(k-1)x+2-1=0的两不相等的根分别为x1,x2,且满足： 1+2=x1x2,求k的值； （2)若a,β是方程x2-x-1=0的两根，记S1=a+B,S2=2+β2，…，Sn=+8”, ①当n为不小于3的整数时，证明：S,.2+Sn.1=S； ②计算S2,S7的值. 八、（本题满分14分） 23、蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.- 般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室 空间.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m、 BC=4m,取BC中点O,过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E,若以O点 为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系， 请回答下列问题： (1)如图，抛物线AED的顶点E(0,4,求抛物线的解析式： E B C x (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFG',SMWR 若FL=NR=0.75m,求两个正方形装置的间距GM的长： 数学试卷 第3页共3页 命题：章传 ⊙ R A FGMN B o C无 (3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为K,求BK的 长 E D B 0 K x 森 审核：万玮 2025年11月