专题02 二次函数（期中真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦二次函数6大高频考点，汇编安徽多校期中真题，梯度覆盖概念理解、图象性质及实际应用，适配期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|约80题|二次函数概念、图象性质、平移变换|结合徽派建筑、拱桥等地域文化情境，考查顶点坐标、对称轴等核心知识| |解答题|约40题|函数表达式求解、与方程综合、实际应用|设计动态几何（如动点面积）、销售利润等问题，体现模型观念与应用意识，匹配中考命题趋势|

专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·安徽池州·期中）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（九上·安徽合肥·期中）若是关于的二次函数，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 2或 D. 0 4．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）下列函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）如果关于x的函数是二次函数，则m＝　　　　　． 7．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）若是关于x的二次函数，则m的值是　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）若函数表示是的二次函数，则的值为　　　　　　　　　． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）已知抛物线，当时，y的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·安徽阜阳·联考）已知点在抛物线上，则的值为　　　　　　　　　　　． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（九上·安徽合肥·期中）把抛物线向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·安徽池州·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A. （2，﹣5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （﹣2，5） 5．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）抛物线y＝（x＋1）2﹣1的顶点坐标为（       ） A. （﹣1，﹣1） B. （1，﹣1） C. （﹣1，1） D. （1，1） 7．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）二次函数图象的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得到的抛物线的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）已知抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向下 B. 关于轴对称 C. 顶点是 D. 有最小值 11．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到的表达式是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是(　　) A. y=(x+1)2+1 B. y=(x﹣3)2+1 C. y=(x﹣3)2﹣5 D. y=(x+1)2+2 17．（25-26学年九上·安徽池州·期中）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y=﹣2（x+1）2+2 B. y=﹣2（x+1）2﹣2 C. y=﹣2（x﹣1）2+2 D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2 18．（25-26学年九上·安徽池州·期中）已知抛物线，则当时，的最大值是（　　） A. 1 B.  C.  D. -2 19．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的（       ） A. 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B. 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 C. 向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 21．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（       ） A. 左1下1 B. 右1下1 C. 左1上1 D. 右1上1 22．（2026·安徽阜阳·联考）将抛物线向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（       ） A.  B. 1 C. 5 D. 8 24．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）抛物线的顶点坐标是（　 ） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，-1） D. （-2，-1） 25．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）把二次函数先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）若抛物线可由抛物线平移得到，则的值为(       ) A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）将抛物线平移后得到抛物线，则下列说法中正确的是（     ） A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 28．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移方法中正确的是（       ） A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 29．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（   ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位 31．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）将下列二次函数中图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的函数图象顶点在原点的是（       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 34．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（，为常数），则的值为　　　　　　． 35．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）抛物线y=(x﹣1)2﹣3的顶点坐标是　　　　． 36．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）求抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）若抛物线与的形状相同，则的值为（   ） A. 2 B. 3或 C. 1 D. 2或 2．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（     ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 3．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）已知二次函数和一次函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中二次函数和一次函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）若二次函数的图象经过点，则a的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）下列抛物线中，开口最大的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（2026·安徽阜阳·联考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 14．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）若抛物线（是常数）开口向下，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（       ） A.      B.          C.      D.      16．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）将二次函数化为的形式，结果为(　　) A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（     ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 18．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）点和点在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 20．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（九上·安徽合肥·期中）已知二次函数，若a，b，c满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（     ） A.  B. 或 C.  D.  23．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（）部分上任意一点，O为坐标原点，连接，则长度的最小值是（       ） A.  B. 2 C.  D.  24．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y12；⑤b>m(am+b) (其中m≠)．其中说法正确的是（       ） A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 25．（25-26学年九上·安徽池州·期中）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）点在二次函数图象上，的最大值是（       ）． A. 3 B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）已知二次函数的图象关于轴对称，则下列结论不正确的是（       ）． A.  B. 拋物线的开口向上 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，函数有最小值2 29．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）已知二次函数的图象经过点，，，，．则下列四个结论①；②；③方程的解为，；④对于任意实数t，总有中，正确结论是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 30．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）抛物线，当 时，y的取值范围是（        ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，在中，，，点、分别是、边上的点，，则面积的最大值是（       ） A.  B. 2 C.  D. 4 33．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 34．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知二次函数（其中是自变量且），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  35．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）抛物线与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，P为抛物线对称轴上一动点．当的值最大时，P的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（       ） A.  B.  C. 点的纵坐标为 D. 点在该函数图象上 40．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 41．（25-26学年九上·安徽中学·期中）已知二次函数（）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数y的值都等于0；③；④．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 42．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知两个负数满足，，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（　　） A. y＝﹣（x﹣1）2+3 B. y＝（x+1）2+3 C. y＝（x﹣1）2﹣3 D. y＝﹣（x﹣1）2﹣3 44．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）抛物线（是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的结论有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 45．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）若抛物线的对称轴是直线，则　　　　　　　　　　　； 46．（九上·安徽合肥·期中）徽派建筑中的马头墙轮廓部分可近似看作一条抛物线．某马头墙的轮廓线可用二次函数（单位：米）描述，其中是水平距离，是高度，则该抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　． 47．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 48．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）已知抛物线，请求出它的对称轴和顶点坐标． 49．（九上·安徽合肥·期中）当时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的的值． 50．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）已知二次函数的图象如图所示．求该二次函数的表达式． 51．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）已知二次函数 （1）将该函数表达式化为二次函数的一般形式； （2）当________时，函数有最________值是________． 52．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）若二次函数的图象经过原点，则a＝　　　　． 53．（2026·安徽阜阳·联考）已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 54．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知抛物线经过点和． （1）求，的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 55．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为400元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． （1）求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 56．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知抛物线与轴的交点为和，则该抛物线的对称轴是直线　　　　　． 57．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）抛物线的顶点在第　　　　　　　　　　　象限． 58．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 59．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）设二次函数，（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： （1）若，求二次函数的表达式； （2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小． 60．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）小组合作的学习方式，能够提高学习效率、促进交流与表达能力、培养团队合作精神、发展核心素养． 【问题】已知函数的图象与坐标轴有且只有两个交点，求的值．【讨论】学生甲：因为题意中没有明确是什么函数，所以首先要对函数类型进行分类讨论；学生乙：如果是二次函数，通过画图发现也有两种不同的情形；学生丙：此题不仅考查函数的知识，还渗透了分类讨论、数形结合等重要数学思想；… 根据以上小组成员的讨论，解答上述问题． 61．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）已知抛物线经过点． （1）求及的值； （2）若直线经过抛物线的顶点，且与抛物线的另一个交点为，求点的坐标； （3）若抛物线上有两点和，且，求的取值范围． 62．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知：抛物线与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），且． （1）此抛物线的顶点坐标为　　　　　　． （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点Q，当时，的长度随m的增大而增大，则k的取值范围是　　　　　　． 63．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知二次函数中的x，y取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 n … （1）根据表格，则n的值为______； （2）求此二次函数的表达式． 64．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）若二次函数的图象与轴的交点为，，且过点，求此二次函数的解析式并直接写出图象的对称轴． 65．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． （1）用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； （2）若，求点P的坐标． 66．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）（多选）综合与实践 [规律探究] （1）教材第54页《数学活动》活动一中部分问题如下： 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 证明如下： 由已知可得，这两个两位数的和为①，设其中一个两位数为x，则另一个两位数为②． 设这两个两位数的积为y，则有③， 将此函数化为顶点式为④， 根据函数图象和性质，当⑤，y有最大值． 因此我们可以猜想：若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大．（证明略）通过证明，可以得出这个猜想是真命题． [实践运用] （2）如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 67．（九上·安徽合肥·期中）已知抛物线的顶点为． （1）当抛物线经过时，求抛物线的表达式； （2）求点到轴距离的最小值． 68．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； （2）已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 69．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）设抛物线l：的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线的伴随抛物线的解析式　　　　　　. 70．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式； （2）当取何值时，随的增大而减小？ 71．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知函数（，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，求的最大值． 72．（25-26学年九上·安徽池州·期中）【阅读理解】已知关于x、y的二次函数y＝x－2ax＋a＋2a＝（x－a）＋2a，它的顶点坐标为（a，2a），故不论a取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线y＝2x上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次两数，该条直线为根函数． 【问题解决】 （1）若二次函数y＝x＋2x－3和y＝－x－4x－3是同源二次函数，求它们的根函数； （2）已知关于x、y的二次函数C：y＝x－4mx＋4m－4m＋1，完成下列问题： ①求满足二次函数C的所有二次函数的根函数； ②若二次函数C与直线x＝－3交于点P，求点P到x轴的最小距离，请求出此时m为何值？并求出点P到x轴的最小距离； 73．（25-26学年九上·安徽池州·期中）已知二次函数的图象的顶点为，且过点，求这个二次函数的解析式. 74．（25-26学年九上·安徽池州·期中）平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点． （1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的___两点； （2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为___． 75．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知点在二次函数的图象上，且当x＝1时，函数y有最小值2． （1）求这个二次函数的表达式． （2）如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，则______．（直接填空） 76．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标． （2）探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？ 77．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为　　　　　　（用含的式子表示）； （2）设，为该抛物线上的两点，若，，且，则的取值范围为　　　　　　． 78．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为          时，． 79．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　　． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为　　　　　　　　　　　． 80．（2026·安徽阜阳·联考）已知抛物线的顶点纵坐标比拋物线的顶点纵坐标小8． （1）求的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若，求的最小值； （ii）若，且，，求的值． 81．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点B，与y轴交于点C． （1）求a，b的值； （2）若点P为直线上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标． 82．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）已知二次函数的图象经过点和． （1）求b，c的值； （2）当x满足什么条件时，y随x的增大而减小． 83．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）已知抛物线与轴交于点和，与y轴交于点C，且． （1）抛物线的顶点坐标为　　　　　　． （2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值，设h为点M，N的纵坐标之和的最大值，则h的最大值为　　　　　　． 84．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）二次函数解析式为，当x>1时，y随x增大而增大，求m的取值范围　　　　　　　　　　 85．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 86．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 87．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． （1）当时，　　　　　　； （2）的最大值为　　　　　　　． 88．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线与轴交于点和点，则的值是　　　　　　　. 89．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）设点是抛物线在第四象限部分上的动点，连接、、、，如图，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； 90．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知二次函数． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标； （2）当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 91．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标； （2）若点，在该函数图象上，且，求m的取值范围； （3）若函数图象经过点，，求证：． 92．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，其最大值是，经过点，交轴于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中作二次函数图象上的点； （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 93．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 94．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是　　　　　　； （2）若恒成立，则的取值范围是　　　　　　． 95．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知抛物线． （1）当，时，求y的最小值； （2）若抛物线的顶点在x轴上，且经过点，求a的值； （3）当时，，为此抛物线上的两点，若时，总有，求a的取值范围． 96．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）卫星导航系统需要计算运动点（例如车辆、无人机等）与观测点之间距离的平方来实时规划路径、对运动物体进行导航．如图1，点是笔直公路旁边的一个固定观测点，运动点从处出发，沿公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象是一条抛物线，与轴交于点，最低点，且经过点．    （1）求的值； （2）求出与的函数表达式（不用写自变量的取值范围）． 97．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知二次函数． （1）若该二次函数的图象与轴有交点，求的取值范围； （2）判断该二次函数的图象是否经过一个定点，若经过，求出此定点的坐标，若不经过，请说明理由． 98．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． （1）求a的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； （3）点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 99．（九上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（a，b为常数）与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点是抛物线在直线上方部分的一个动点（与点B，C不重合），过点作轴的垂线交直线BC于点，连接，当的面积达到最大值时，求此时的长度； （3）若点为抛物线对称轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点的坐标． 100．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 101．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 102．（25-26学年九上·安徽池州·期中）淮南油酥烧饼是安徽早餐的特色之一，如图1，它的外边缘线的一半恰好呈抛物线，如图2是半块烧饼的示意图，以的中点为原点建立平面直角坐标系，的长度为，抛物线最高点距的最大高度为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图3，小明想在这半块烧饼上切出一块矩形，使得矩形的一边与重合，点在抛物线上，求该矩形周长的最大值： （3）如图4，小明的妹妹想在这半块烧饼上切出若干块宽为的矩形，若切出的所有矩形的长与平行，求切出的所有矩形的面积之和．（结果保留根号） 103．（25-26学年九上·安徽池州·期中）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． （1）求m的值； （2）求证：； （3）当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 104．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知二次函数． （1）若该二次函数过原点，那么函数的对称轴为　　　　　． （2）当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是　　　　　　　　． 105．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于A点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，连接与直线交于点D，若，请求出k的取值范围． 106．（25-26学年九上·安徽中学·期中）已知关于x的抛物线（k为常数）． （1）此抛物线顶点的坐标是　　　　　　　　　． （2）若，点为该抛物线上一动点，过点A作直线轴，直线与直线相交于点B．当线段的长随a的增大而减小时，a的取值范围是　　　　　　　　　． 107．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）如图，在平面直角坐标系中有一，O为坐标原点，，，将绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式及顶点G的坐标； （2）判断抛物线是否经过点C，请说明理由； （3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使与的面积相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 108．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将该二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）是否存在实数，使得对于函数上任意的一点，也在函数图象上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 109．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 110．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标　　　　　　； （2）当时，y有最小值，则m的取值范围为　　　　　　． 111．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）综合与实践 【问题背景】某数学兴趣小组针对高铁检票问题、研究了排队人数与安检时间，检票闸口数之间的关系． 【模型构建】收集数据：列车发车前15分钟开始检票，数学兴趣小组根据收集到的候车总人数（人）与安检时间（分钟）之间部分对应值并制成下表： 0 5 10 15 25 150 225 250 （1）以，的每组对应值作为点的坐标在给出的平面直角坐标系中描点，用光滑的曲线顺次连接各点； （2）根据图象，在我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中与之间满足          函数关系； （3）求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 已知条件1：旅客排队检票上车，在任意时刻都满足：排队人数=候车总人数-已检票人数； 已知条件2：若该检票口最多可开放10条检票通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为          ，排队人数与检票时间的函数关系式为          ； （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）为保证列车行车安全，车站规定列车开车前5分钟停止检票，同时为节省开支，尽量少安排检票通道，为保证候车室所有旅客都能安全检票上车，求至少应打开几条检票通道？ 112．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）若点在直线上，点在抛物线上，当时，求的最小值． 113．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）定义：二次函数，当时的函数值记为该函数的“系数和值”． （1）抛物线与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，点B的坐标为，求该抛物线的“系数和值”； （2）将（1）中的抛物线平移，使其顶点落在线段上，求该抛物线“系数和值”的取值范围． 114．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标． （1）求抛物线与直线的解析式． （2）已知，是抛物线上不同的两点，若，求的取值范围． （3）平移直线得到直线，与轴交于点．如图②，过，两点向下作矩形，使得 ，当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）抛物线与y轴的交点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（       ） x A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知二次函数，则下列说法错误的是（       ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 图象的顶点坐标是 C. 图象与轴的交点坐标是， D. 当时，随增大而减小 5．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如表中列出了二次函数的、的一些对应值，则一元二次方程的一个解的范围是（       ） … 0 1 … … 1 1 … A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（     ）         1                                                                 A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知抛物线过点，当时，自变量的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D. 或 10．（九上·安徽合肥·期中）一次函数（）与二次函数（）的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D. 或 11．（25-26学年九上·安徽池州·期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与轴的交点分别为，点是其对称轴直线上的动点，根据图中提供的信息，得出以下结论： ①； ②是方程的一个根； ③周长的最小值是； ④． ⑤若，则或 其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12．（25-26学年九上·安徽中学·期中）下表列出了二次函数（）的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围大概是（       ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A.  B.  C.  D.  13．（2026·安徽阜阳·联考）二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的值可能是（     ） A.  B. 2 C. 4 D. 9 14．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A. 6 B. 8 C. 10 D. 20 15．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③无论a，b，c取何值，抛物线一定经过．其正确结论有（       ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）已知二次函数的图像过点，． （1）求此二次函数的解析式； （2）求出该抛物线与轴的交点坐标． 18．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）在平面直角坐标系中，线段轴，线段的对称轴是y轴，若点A的坐标为，抛物线经过点A和点B． （1）该抛物线对应的表达式为　　　1　　　； （2）将抛物线在线段下方的部分（不含点A，B）记为图象M．若直线与图象M只有一个交点，则k的取值范围是　　　2　　　． 19．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知二次函数． （1）列表如下，请完成表格中的填空并画出二次函数的图象； … … … … （2）根据图象，直接写出不等式的解集． … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 20．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是　　　　　　． 21．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知关于x的二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+3的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是　　　　　． 22．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 23．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知关于x的二次函数． （1）当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 24．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则　　　　　　． 25．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为． （1）图像数为的二次函数表达式为__________． （2）求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 26．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知二次函数． （1）点是该二次函数的图象上一动点，当点到轴的距离为2时，的值是　　　　　　； （2）若函数的图象上到轴距离为2的点有四个，则的取值范围是　　　　　　． 27．（九上·安徽合肥·期中）已知函数的图象与轴只有一个交点，求的值及该交点的坐标． 28．（25-26学年九上·安徽池州·期中）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）已知二次函数． （1）在如图给定的平面直角坐标系中，通过列表，描点，连线画出该函数的图象；完成列表： … … … … （2）根据图象，直接写出当时的取值范围______；当时，随的增大而______．（填“增大”或“减小”） 30．（2026·安徽阜阳·联考）已知抛物线（为常数）． （1）若，则该抛物线的对称轴为　　　　　　　　　　　； （2）若该抛物线经过不同的点，，且与轴有公共点，则的值为　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是　　　　　　　　　　　 32．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）已知抛物线（是常数）． （1）求证：无论取何值，抛物线与轴总有交点； （2）若抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，求的值． 33．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）已知关于x的二次函数． （1）求证：此抛物线与x轴总有交点； （2）若此抛物线与x轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数，m是正整数，求m的值． 34．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，且当时，函数值为9，则的值为　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； （3）是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 36．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，求的值． 37．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数）． （1）已知点．若抛物线与轴交于原点和点，点在线段上，且不与端点重合，求的取值范围； （2）若，，将抛物线的对称轴向右平移3个单位长度后，与抛物线（为常数）的对称轴重合，求的值； （3）在（2）的条件下，当时，若在抛物线上，点在抛物线上，求的取值范围． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，垂直的直线交菱形的边于两点，垂足为点，设的面积为，若，则关于的函数图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·安徽阜阳·联考）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF.四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在两个全等的和中，，，，斜边，在一条直线上且点与重合，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右移动，直到点与点重合即停止运动，若两个三角形重叠部分的面积为个单位面积，的移动时间为秒，则关于的函数的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况需要急刹车时，由于惯性汽车会滑行一段距离才能停下来．若某辆汽车从开始急刹车时滑行的距离（米）与滑行的时间（秒）的函数关系式为，则该辆汽车急刹车时需要滑行　　　　　　　　米才能停下． 9．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水位在时，水面宽，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面．则当水面宽为时，水位上升了　　　　　　　　　　　m． 10．（25-26学年九上·安徽中学·期中）兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）． 11．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是8米，跨度是16米，在线段上距离处6米的地方，桥的高度是　　　　　　　　　　　米． 12．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）霍山石斛，属兰科草本植物，是中国国家地理标志产品，其能大幅度提高人体内（延缓衰老的主要物质）水平，对经常熬夜、用脑、烟酒过度，体虚乏力的人群，经常饮用非常适宜．数学兴趣小组对某公司新推出的石斛茶的市场销售情况进行调查，得出该款石斛茶在第（为整数）天的售价与销量的相关信息如表： 时间 售价（元/盒） 每天销量（盒） 已知该石斛茶的成本为每盒元，设销售该石斛茶的日利润为元． （1）写出与之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围） （2）问第几天时，销售该石斛茶的日利润最大，最大利润是多少？ 13．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）秋冬季节来临，某饮品店推出由热奶茶、烤红薯、糖炒栗子和暖手姜茶搭配而成的、两种套餐．其中套餐每份利润元，每天可以买出套，套餐每份利润元，每天可以卖出套，若套餐售价每提高元，则每天少卖出套，套餐售价每提高元，则每天少卖出套注：两种套餐成本不变 （1）若每份套餐的价格提高x元为整数，每天销售A、B两种套餐的利润分别为元和元，请求出、与之间的函数关系式；不要求写自变量取值范围 （2）为保证套餐性价比，两种套餐提高的价格之和为元，那么套餐的价格提高多少元时两种套餐每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 14．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为27米． （1）假设垂直于墙的一道墙长为，饲养室面积为，求S关于x的函数关系式． （2）能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ 15．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，小瑞乘雪橇从点A处沿的斜坡滑行，滑行的距离与时间之间的函数表达式为，已知滑到坡底B的时间为，则小瑞滑行的竖直高度为　　　　　　m． 16．（九上·安徽合肥·期中）在安徽黄山的一家茶叶合作社，计划用篱笆围成一个矩形茶叶加工区．加工区一面靠墙（墙的最大可用长度为，此面不需要篱笆），在加工区中间有一道篱笆垂直于墙（用于分隔揉捻和干燥区域，厚度忽略不计），在平行于墙的边上开有两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．现有篱笆材料总长为．设垂直于墙的边的长为（如图所示）．    （1）求平行于墙的边的长关于的函数表达式及自变量的取值范围； （2）求加工区面积关于的函数表达式，并求的最大值及此时的值． 17．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． （1）求该工艺品的固定成本和可变成本． （2）市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 18．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请求出与的函数关系式； （2）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 19．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量（瓶）与每瓶售价（元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． （1）求与之间的函数关系式； （2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 20．（25-26学年九上·安徽池州·期中）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90 售价(元/件) x＋40 90 每天销量(件) 200－2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元． (1)求出y与x的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 21．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）保康县2024年大力推广一种成本为10元/斤的农产品，该产品售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． （1）每日销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式，求y与x之间的函数关系式； （2）若每日销售利润为w（元），当售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ （3）县科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少m元，已知每日最大利润为2592元，求m的值． 22．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 23．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 24．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 25．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 26．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）合肥市第四十五中学橡树湾校区九年级社会实践小组利用课余时间对某种农产生产和销售进行了调研，收集了以下素材，请你完成探索任务． 某种农产品的销售方案制定问题 素材1 该种农产品的成本（元）与月份之间成本，近似符合二次函数关系，函数图象如图所示 素材2 该农产品的售价（元）与月份之间满足一次函数关系，已知3月份的售价为6元，9月份的售价为2元 素材3 成员小王同学的爸爸对孩子们的调研很感兴趣，决定在这种农产品每千克的收益最大的月份采购一批农产品进行销售． 任务1：该农产品一年共有___________个月份成本不高于4元． 任务2：求售价（元）与月份之间的函数表达式 任务3：小王爸爸应该在几月份投资？ 27．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为米（即米），拱桥顶点到桥面的距离米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 （1）求的值； （2）求支柱的高． 28．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 29．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 30．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 32．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，C、D均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（b、c为常数）． （1）求点B的坐标； （2）若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．C 2．A 3．A 4．C 5．A 6．【答案】1 【分析】 根据二次函数的定义，可得且，即可求解． 【详解】 解：由题意得：且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式为是解题的关键． 7．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据二次函数的定义解题即可． 【详解】 解：由题意知， ， 解得：． 故答案为： ． 8．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】 解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．B 2．C 3．【答案】18 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将点的横坐标代入抛物线解析式求解． 【详解】 解：将代入抛物线， 得：． 故答案为：18． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．D 2．A 3．B 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 9．A 10．D 11．A 12．D 13．C 14．A 15．A 16．A 17．C 18．B 19．B 20．D 21．A 22．B 23．D 24．B 25．C 26．C 27．A 28．B 29．B 30．B 31．A 32．D 33．C 34．【答案】2 【分析】 本题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”求出新抛物线解析式，然后展开为一般式，与给定解析式对比系数，得到b和c的值，最后计算即可． 【详解】 解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 与对比，得，． 则， 故答案为：2． 35．【答案】(1，﹣3)． 【分析】根据抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可． 【详解】抛物线y=(x﹣1)2﹣3的顶点坐标是(1，﹣3)． 故答案为：(1，﹣3)． 【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握抛物线的顶点求解方法，既会运用顶点式，又要会用公式法． 36．【答案】开口向上，对称轴是轴，顶点坐标 【分析】 本题考查的是二次函数的性质，直接根据二次函数的性质进行解答即可，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 【详解】 解：， 即． ， 开口向上，对称轴是轴，顶点坐标． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．B 7．B 8．A 9．C 10．A 11．A 12．D 13．D 14．A 15．B 16．D 17．B 18．B 19．D 20．C 21．D 22．B 23．C 24．A 25．C 26．B 27．C 28．D 29．A 30．A 31．A 32．B 33．C 34．B 35．A 36．C 37．C 38．B 39．D 40．C 41．B 42．C 43．D 44．C 45．【答案】2 【分析】 该题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴公式求解． 【详解】 解：对于二次函数，其对称轴为直线 ， 本题中，函数为 ，因此 ，． 给定对称轴为，代入公式得：， 化简得：， 解得：． 故答案为：2． 46．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点，熟练掌握其公式是解题的关键． 通过顶点坐标公式求解即可． 【详解】 解：二次函数 中，, , ， 顶点横坐标 ， 代入 得 ，故顶点坐标为 ． 故答案为：． 47．【答案】 【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴ ， 解得， ， ∴二次函数的解析式为． 48．【答案】对称轴是直线，顶点坐标为 【分析】 此题考查将函数解析式化为顶点式，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，正确理解二次函数的性质是解题的关键 【详解】 解：， 此抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． 49．【答案】当时，取得最小值为；当时，取得最大值为4． 【分析】 本题考查二次函数的最值，二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质． 把二次函数化为顶点式，可知图象的开口方向和对称轴，由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴函数图象开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，最大值为4， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为； ∴当时，取得最小值为；当时，取得最大值为4． 50．【答案】 【分析】 本题考查的是待定系数法求二次函数解析式．利用待定系数法求出二次函数的解析式． 【详解】 解：根据图象可设二次函数的表达式为，且过点， ， 解得． 该二次函数的表达式为． 51．【答案】（1）     （2）当时，函数有最大值是       【分析】 本题考查了二次函数的一般形式、二次函数的性质， （1）按照完全平方公式计算函数右边的乘法运算，再合并同类项即可得到答案； （2）根据二次函数的性质求出最大值即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴该二次函数的一般形式是； (2) 小问详解： 解：， 当时，函数有最大值是：． 52．【答案】1 【分析】 把点（0，0）代入，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过原点， ∴且， 解得：． 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解，较为简单． 53．【答案】 【分析】 本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】 解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴ ， 解得 ， ∴． 54．【答案】（1）     （2）解：点不在这个抛物线上，理由： 由（1）得抛物线的关系式为， 当时，， ∴抛物线经过点， 则点不在该抛物线上．      【分析】 本题主要考查了求二次函数关系式， 对于（1），将点代入关系式得出二元一次方程组，求出解； 对于（2），将点的坐标代入关系式即可判断． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴ ， 解得 ； (2) 小问详解： 略 55．【答案】（1）     （2）当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2800元      【分析】 本题主要考查了求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），根据销售利润等于票房收入减去成本可得答案； 对于（2），将二次函数关系式配方得出顶点式，再根据二次函数图象的性质讨论最大值即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数值最大值，即当时，（元）， 所以当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2800元． 56．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据抛物线的对称性求解即可． 【详解】 解：由题意，抛物线与x轴的交点为和，则和关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 57．【答案】三 【分析】 该题考察了二次函数的性质，通过配方法将抛物线解析式转化为顶点式，得到顶点坐标，根据坐标符号判断所在象限． 【详解】 解：， 所以顶点坐标为 ，由于横坐标和纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限． 故答案为：三． 58．【答案】（1）该抛物线的对称轴为直线；     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）把解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 59．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）把，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将解析式化为顶点式，求得抛物线的对称轴直线，根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：把，代入，得 ，解得： ， ∴. (2) 小问详解： ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴时，y随x的增大而减小. 60．【答案】的值为或或． 【分析】 本题考查函数（一次、二次）与坐标轴的交点问题，运用分类讨论与数形结合思想，易错点是遗漏一次函数情形或二次函数的特殊交点情况；思路是分两类讨论：① 当函数为一次函数时，判断与坐标轴的交点数；② 当函数为二次函数时，再分“图象过原点”“与轴相切（判别式为）”两种情况，结合交点数求解． 【详解】 解：当时，函数为，是一次函数，其图象与轴和轴各有一个交点，符合题意； 当时，函数为二次函数， ① 当图象与轴和轴各有一个交点时， 有 ， 解得； ② 当图象与轴有两个交点且有一个交点是原点时， 有 ， 解得． 综上所述：的值为或或． 61．【答案】（1），     （2）点的坐标为     （3）当时， ；时，       【分析】 本题考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数图像的对称轴以及顶点坐标公式和其它性质是解题的关键． （1）已知抛物线过点，，说明对称轴为，从而可得的值，再代入求； （2）抛物线的顶点D在直线上，利用顶点坐标公式结合对称轴和c的值求参数，再联立方程求交点E； （3）利用抛物线的对称性和开口方向分析两点纵坐标大小关系，结合对称轴位置确定t的取值范围． (1) 小问详解： 解：（1）由抛物线经过点，，得其对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ； (2) 小问详解： 由（1）得， ∴ 抛物线的顶点为， 又直线经过抛物线的顶点 ， ， 联立方程组 ， 解得 ， ， 点的坐标为； (3) 小问详解： 由（1）知抛物线的函数表达式为，对称轴为直线， 若，则，得， 则有： ① 当时，由图象可知：使的的取值范围是； ② 当时，由图象可知：使的的取值范围是． 62．【答案】①     ② 【分析】 （1）先求解抛物线与轴的交点坐标，再利用建立方程求解 可得函数解析式，可得顶点坐标； （2）先画好简易图象，再建立与的二次函数关系，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】 解：（1）令 则 解得： 而在轴正半轴， ， 解得： 抛物线为： 对称轴为： 抛物线的顶点坐标为：， 故答案是：； （2） 一次函数且直线过时， 则 解得： 当时，如图， 由 则 函数的对称轴为： 时，的长度随m的增大而增大， 解得： 当时，如图， 此时 此时抛物线的对称轴为： 时，的长度随m的增大而增大， 不符合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】 本题考查的是二次函数与x轴的交点问题，二次函数的性质，建立PQ与m的二次函数关系是解本题的关键． 63．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数对称性是解题的关键． （1）由表格数据可得抛物线对称轴，再由抛物线的对称性求解即可； （2）由表格数据运用待定系数法求解即可． (1) 小问详解： 解：由表格可得抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵与关于对称轴对称， ∴． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由表格可知抛物线过点，，， ∴ ， 解得： ， ∴二次函数的表达式为． 64．【答案】，对称轴为直线． 【分析】 本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称轴，根据二次函数的图象与轴的交点为，，设二次函数的解析式为，因为二次函数的图象过点，可以求出，从而求出二次函数的解析式为，再根据解析式求出对称轴即可． 【详解】 解：设二次函数的解析式为， 二次函数的图象过点， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 整理可得：， 抛物线的对称轴为直线． 65．【答案】（1），最大值为     （2）点P的坐标为      【分析】 本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表示出点的坐标，然后表示出线段的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可； （2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ． 当时，有， 解得：，． ，． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得 ， 直线的解析式为． 点N的横坐标为m， ，． ， ， ， 当时，取最大值； (2) 小问详解： 解：轴，， ． ， 或（舍去）． 此时点P的坐标为． 66．【答案】（1）①190；②；③；④；⑤95；（2）四边形ABCD的面积最大值为50 【分析】 本题核心考查二次函数的图象与性质，配方法，数字类规律探索，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，逐步分析计算，即可解答； （2）先求出四边形的面积为，继而推导出当时，取得最大值，即可解答． 【详解】 解：（1）①． ② 设其中一个两位数为x，则另一个两位数为． ③ 设这两个两位数的积为y，则． ④ 将化为顶点式，． ⑤ ∵二次函数的二次项系数为负数， ∴当时，y有最大值． 故答案为：①190；②；③；④；⑤95 （2）∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形的面积． ∵，根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”， ∴当时，取得最大值， ∴四边形面积的最大值． 答：四边形面积的最大值为50． 67．【答案】（1）     （2）3      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）将代入抛物线解析式求出，即可求解； （2）先将抛物线化为顶点式，可得其顶点为，根据题意可得点到轴的距离为，结合二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：当抛物线经过时，则， 解得， 所以； (2) 小问详解： 解：， ∴顶点， 点到轴距离为， 当时，取到最小值3，即点到轴距离的最小值为3． 68．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查的是二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）由对称轴可得，可得，从而可得答案； （2）由二次函数图象开口向上，对称轴为直线，根据对于，且，都有，即的中点在右侧，结合离对称轴越近，函数值越小，再进一步求解即可； （3）① 当时，即时，如图，可得当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，② 如图，当且时，时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，③ 如图，当且时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，④ 如图，当时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：∵对称轴为直线， ， ， ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵点为函数图象上任意两点， 若对于，且，都有， 又，即的中点在右侧， ∵离对称轴越近，函数值越小， 即． (3) 小问详解： 解：① 当时，即时，如图， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． ② 如图，当且时，时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ③ 如图，当且时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ④ 如图，当时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． 综上所述：或． 69．【答案】 【分析】首先根据题意求出抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后即可得出伴随抛物线的顶点坐标和所过点，列出顶点式解析式，代入所过点，即可得出其解析式. 【详解】根据题意，得 抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点是 ∴其伴随抛物线的顶点坐标为，过点 则其解析式为，将点代入，得 ∴其解析式为 【点睛】此题主要考查抛物线的性质，熟练掌握，即可解题. 70．【答案】（1）      （2） 当时，y随x的增大而减小      【分析】 此题考查二次函数化为顶点式及二次函数的性质， （1）根据配方法将二次函数化为顶点式； （2）根据二次函数的性质确定增减性． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 71．【答案】（1），；     （2）当时，y的值最大，最大值为6，      【分析】 （1）把点，代入解析式，即可求解； （2）把解析式化为顶点式，可得当时，y的值最大，最大值为6． (1) 小问详解： 解：∵函数（b，c为常数）的图象经过点点，， ∴ ， 解得： ； (2) 小问详解： 由（1）得：函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，且当时，y的值最大，最大值为6， ∵， ∴当时，y的值最大，最大值为6. 【点睛】 本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 72．【答案】（1）；（2）①；② 当时，点到轴的最小距离为6 【分析】 （1）先求得两个二次函数的顶点，设它们的根函数为，再将两顶点代入即可求解； （2）① 利用配方法将二次函数化为顶点式，即可求解；② 将代入函数解析式，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质，求解即可． 【详解】 解：（1），顶点坐标为 ，顶点坐标为 设它们的根函数为，将、代入得 ，解得 它们根函数为 故答案为： （2）① 顶点坐标为 将当成整体，所以满足二次函数的所有二次函数的根函数为 故答案为 ② 将代入函数解析式，得 故当时，有最小值，为6，即点到轴的最小距离为6 故答案为：当时，点到轴的最小距离为6 【点睛】 此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解题意并利用二次函数的性质求解． 73．【答案】 【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，−3），设抛物线的顶点式为y＝a（x−1）2−3，将点（2，0）代入求a即可． 【详解】解：设所求函数的解析式为： 则顶点坐标为，已知顶点坐标为 又图像经过点，代入得 解得 故解析式为 即. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 74．【答案】（1）A，C（2） 【分析】 （1）根据各点的坐标确定出可能情况，然后利用待定系数法分别求出a，b可得结论； （2）根据平移规律写出平移后抛物线的函数关系式，再进行配方可得结论求得答案． 【详解】 解：（1）∵B、C两点的横坐标相同， ∴抛物线y=ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点， 把A（1，2），C（2，1），代入y=ax2+bx+1得 解得， ； 把A（1，2），B（2，3），代入y=ax2+bx+1得 ． 解得， （不合题意，舍去）； ∴抛物线y=ax2+bx+1只能经过A，C两点， 故答案为：A，C； （2）由（1）得a=-1，b=2； ∴ ∵平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，顶点的横坐标为m ∴平移后抛物线的顶点坐标为（m，m+1） ∴平移后抛物线的函数关系式为y=-（ x-m）2+m+1； 令x=0，得y=-m 2+m+1=-（m-）2+． ∴当m=时，平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为． 故答案为 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值等知识点，掌握相关知识是解题的关键． 75．【答案】（1）     （2）2      【分析】 对于（1），根据题意确定抛物线的顶点坐标，可得顶点式，再将点（0，3）代入求出关系式即可； 对于（2），根据题意可知点C，点D关于对称轴对称，进而求出答案． (1) 小问详解： ∵二次函数，当x＝1时，函数y有最小值2， ∴点为抛物线的顶点， 于是可设抛物线的关系式为：，把代入得， a＋2＝3， 解得a＝1， ∴抛物线的关系式为，即． (2) 小问详解： ∵点，都在抛物线上， ∴点C、D关于直线x＝1对称， ∴， ∴m＋n＝2． 故答案为：2. 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，掌握用对称点的横坐标求对称轴是解题的关键． 76．【答案】（1）（1，0）；（2）① [2，﹣3]；②原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到． 【分析】 （1）根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可． （2）① 首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案； ② 分别求出两函数解析式，进而得出平移规律． 【详解】 解：（1）由题意可得出：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴此函数图象的顶点坐标为：（1，0）． （2）①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=（x+2）2﹣5， ∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到： y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3． ∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]． ② ∵一个函数的特征数为[2，3]， ∴函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2， ∵一个函数的特征数为[3，4]， ∴函数解析式为：． ∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到． 考点：1．新定义和阅读理解型问题；2．二次函数图象与平移变换；3．二次函数的性质 【点睛】 本题考查二次函数综合题、配方法、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 77．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数对称轴的求解，解决本题的关键是分类讨论的正负． （1）通过将抛物线方程化为顶点式或利用对称轴公式，可求得对称轴； （2）根据抛物线开口方向分类讨论：当时，抛物线开口向上，利用点与对称轴的位置关系及值不等式求解；当时，抛物线开口向下，验证条件是否成立，最终确定的取值范围． 【详解】 解：（1）抛物线（）的对称轴公式为， 其中，，代入得， 故对称轴为直线； 故答案为：； （2）设点和在抛物线上，且，， 满足 ， 当时，抛物线开口向上，对称轴为 ， 由和，得 ， 由于，且开口向上，点离对称轴越远 值越大， 故，即 ， 代入和：，简化得 ，即 ， 又，即， 代入得， 因式分解为， 由于，需，解得 ， 综上，； 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 由和，得和，两点均在对称轴右侧， 开口向下时，右侧函数递减，需才能满足， 即 ，解得 ， 但与 结合得 ， 此时验证：即， 但在范围内，，，， 乘积为负，不满足不等式，故无解； 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 78．【答案】（1）；     （2） 函数图象如图：      （3）．      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，设二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 即； (2) 小问详解： 解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图， (3) 小问详解： 解：当时，， 解得：，， 如图： 根据图象可得：当时，x的取值范围为：， 故答案为：． 79．【答案】①     ② 【分析】 （1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】 （1）解：∵抛物线经过点，， ∴ ，解得 ， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴ ，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 80．【答案】（1）1     （2）（i）（ii）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，把二次函数一般式化为顶点式，因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别求出两个函数的对称轴，再求出顶点的纵坐标，结合“抛物线的顶点纵坐标比拋物线的顶点纵坐标小8”，进行列式计算，即可作答． （2）（i）先把和分别代入，，得出，；整理出，因为，所以，运用二次函数的图象性质，即可作答．（ii）先得出，故，所以，结合，，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，抛物线的对称轴为直线， 把代入， 得， 故该函数的顶点纵坐标为， 拋物线的对称轴为直线， 把代入， ∴， ∴拋物线的顶点纵坐标为， 则， ∴； (2) 小问详解： 解：点在抛物线上， ， 在抛物线上， ， ， ； （i）将代入， ， 则， ， 开口向上，当时，取最小值． （ii）， 即， ， ， 则， ， ∴或 ，， ， ， ． 81．【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，，再由对称性可得点P在在直线上，求出直线的解析式为，即可，设平移后的新抛物线的解析式为，代入点P坐标得到，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点，点B， ∴ ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：由（1）得抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线，， ∵点P到A，B两点的距离相等， ∴点P在抛物线的对称轴上，即在直线上， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 设平移后的新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过点P， ∴， 解得， ∴新抛物线的顶点坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移问题，一次函数与几何综合，灵活运用所学知识是解题的关键. 82．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数系数，解二元一次方程组，二次函数的图象和性质；解题的关键是正确求解方程，熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）将点的坐标代入，解方程组即可； （2）由（1）可知抛物线开口方向和对称轴，即可判断． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点和． ∴ ， 解得 ； (2) 小问详解： 由（1）可知，抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 故在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小． 83．【答案】①     ② 7.5 【分析】 （1）先用待定系数法求得抛物线的解析式，然后化成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标． （2）先设出点M、N的横坐标，然后表示出两点纵坐标之和，再求二次函数的最值，并结合s的取值范围即可确定h的最大值． 【详解】 （1）解：∵抛物线与x轴交于点和 ∴设， 将点代入得： 解得： ∴函数的表达式是： 化为顶点式： ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为： （2）如图．    依据题意，点M、点N均在抛物线上， 故设点 则： 整理成关于t为自变量的二次函数得： 当时，h最大， ∵， ∴时， h最大，此时 此时，点 故答案为： 【点睛】 本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标、最大值，解题的关键是熟练掌握二次函数的最大值求法． 84．【答案】m≤2 【分析】先确定图像的对称轴x= ，当x>1时，y随x增大而增大，则≤1，然后列不等式并解答即可． 【详解】解：∵ ∴对称轴为x= ∵当x>1时，y随x增大而增大 ∴≤1即m≤2 故答案为m≤2． 【点睛】本题考查二次函数的增减性，正确掌握二次函数得性质和解一元一次不等式方程是解答本题的关键． 85．【答案】（1）； （2）点不在这个二次函数的图象上． ∵当时，， ∴点不在这个二次函数的图象上． 【分析】 （1）由题意，设二次函数的解析式是，再把点代入，即可求出，即可得出解析式； （2）把点P的坐标分别代入，看看两边是否相等即可． 【详解】 解：（1）由顶点，可设关系式为：， 将点代入上式可得：， 解得：， ∴此二次函数的关系式为． （2）略 【点睛】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能正确求出函数的解析式是解此题的关键． 86．【答案】（1）     （2）（ⅰ），当时，， 点坐标为， 当时，，解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形； （ⅱ）或或或      【分析】 （1）运用待定系数法解方程组即可； （2）① 利用勾股定理的逆定理证明即可； ② 分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：（ⅰ）略 （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 87．【答案】（1）0.5     （2）.5625      【分析】 本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． (1) 小问详解： 解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． (2) 小问详解： 如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 88．【答案】4 【分析】 将已知抛物线解析式转化为一般式；然后由对称轴方程求得该抛物线的对称轴是直线；最后由抛物线的轴对称性质求得答案． 【详解】 解：由知：． 则其对称轴为直线． 所以，点和点关于直线对称． 所以，． 解得． 故答案是：4． 【点睛】 本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．此题也可以利用待定系数法确定函数解析式，然后利用抛物线解析式与一元二次方程的关键求解． 89．【答案】（1），，；     （2）点D坐标为      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）令可求得点C坐标，令可求得点A、B坐标； （2）设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， 令，由解得，， ∴，，； (2) 小问详解： 解：设， 由（1）知，，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 此时，， ∴点D坐标为． 90．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，理解二次函数的性质是解本题的关键； （1）先代入，再化为顶点式，从而可得答案； （2）先判断抛物线的对称轴在y轴的右侧，可得，再根据最值情况分别求解，即可； (1) 小问详解： 解：∵，时， ∴， ∴顶点坐标为． (2) 小问详解： ∵时，y的最大值为2；时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，y的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 91．【答案】（1）     （2）     （3） 证明：函数的图象经过点，， ∴． ∴． ∴．      【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）分两种情况，当和时，根据增减性分析，解不等式（组）即可得解； （3）将已知两点代入求出，，再用m表示出，配方，即可得证． (1) 小问详解： 解：二次函数经过点， ∴． 解得． ∴． ∴函数图象的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵的图象经过点，． ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴， 即 ， 解得， 综上，的取值范围为：； (3) 小问详解： 略 92．【答案】（1）      （2） 【分析】 （1）先求出函数解析式，再得出点的具体位置； （2）求的周长最小，是固定值，即最小，即找到的对称点，连接另一个点和对称点，点即是与对称轴的交点． (1) 小问详解： 解：根据题意可得： 解得： ， 即二次函数 ∴， ∵对称轴为直线， 在图上找到点关于对称轴对称的点即是点； (2) 小问详解： 如图，连接，点为和直线的交点，连接， 由（1）得：，， ∴关于对称， ∴ ∴的周长 当在上时，的周长最短， 令的解析式为， 将点点代入解析式得： ，解得： ， 的解析式为， 当时，， 故点 93．【答案】（1）抛物线的表达式为     （2）周长的最小值为      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）利用抛物线的解析式求得点，，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为； 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴ ， 解得： ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴ ， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 94．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是： （1）当时，的取值范围为，根据二次函数的性质求解即可； （2）分三种情况讨论：① 当时；当时；③ 当时，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：（1）当时，， ∵函数，， ∴抛物线开口向上 ∴当时，有最小值为； ∵当时，；当 时，， ∴当时，有最大值为， ∴的取值范围为； （2）① 当时， ∵抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值为， 又， ∴， 解得； ② 当时， ∵抛物线开口向上，当时，有最小值， ∴当时，有最大值为，或当时，有最大值为， 又， ∴，或 解得或； ③ 当时， ∵抛物线开口向上，当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值为， 又， ∴， 解得； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 95．【答案】（1）     （2），     （3）或      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、求二次函数的最值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）将代入抛物线解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）由抛物线的顶点在x轴上，则对应方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式可得，即，再将代入得到关于a的方程求解即可； （3）当时，抛物线为：，即抛物线对称轴为直线，抛物线开口方向向上；再根据M、N的不同位置分类讨论即可解答． (1) 小问详解： 解：当时，抛物线为：， 所以当时，y的最小值为． (2) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴，即， ∴， ∴抛物线为：， 代入点得：，解得，． (3) 小问详解： 解：当时，抛物线为：， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口方向向上， 当，点都在对称轴右侧时， ∵时，总有， ∴，解得：； 当，点在对称轴右侧，点在对称轴左侧时，即， ∵时，总有， ∴，解得：，与矛盾，舍去； 当时，点在对称轴左侧，点关于对称轴的对称点的横坐标为， ∵时，总有， ∴，解得：． 综上：或． 96．【答案】（1）13     （2）      【分析】 本题主要考查动点的函数图象、用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、垂线段最短等知识点，从函数图象中有效地获取信息是解题的关键． （1）如图：作，当时，动点Q运动到点H的位置，得到，当点Q运动到点G的时候，最小为81，，再运用勾股定理列方程求出m的值即可； （2）可得，设，将代入可得，解得，即可确定函数解析式． (1) 小问详解： 解：如图，作．    当时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知． 当点Q运动到点G，即时，最小，即， ∴． 在中，由勾股定理，得：． 解得（舍去）或． 故答案为：13． (2) 小问详解： 解：由（1）可得． 设． 将代入上式，得：，解得：． ∴． 97．【答案】（1） 且      （2）经过定点，定点的坐标为       【分析】 本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数与轴的交点问题，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）二次函数与轴有交点，即判别式大于等于零，同时考虑二次项系数不为零，然后即可求解； （2）判断图像是否经过定点，通过重新整理函数表达式，令含的系数为零，求解定点坐标，即可求解； (1) 小问详解： 解：∵二次函数与轴有交点， ∴方程有实数根， 即判别式， 计算得， 由 ，得 ， 即  又 ， ∴当且，该二次函数的图象与轴有交点； (2) 小问详解： 解：将函数表达式重新整理：， 对于定点，令 ，即， 则 ， ∴该二次函数的图象经过定点； 98．【答案】（1）     （2）h最大值为     （3）      【分析】 本题主要考查二次函数图象的性质，最值的计算，理解题意，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据顶点坐标的计算方法求解； （2）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合题意即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 所以； (2) 小问详解： 解：在抛物线上， ， 在抛物线上， ， ， ， ． ， 当时，h有最大值； (3) 小问详解： 解：点在抛物线上，点在抛物线上， ，， 是一个与无关的定值且， ． ， ． 99．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰三角形的定义，平面直角坐标系两点间距离等知识﹒ （1）利用待定系数法即可求解； （2）求出，待定系数法求出直线解析式为﹒设，则，即可得到，进而求出，得到当取到最大值时，则取到最大值，根据二次函数性质得到当时，取到最大值，此时； （3）由得抛物线对称轴为直线，设，即可求出，分，，三种情况分类讨论，列方程求解即可﹒ (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：把代入得， ∴ 设直线解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线解析式为﹒ 设，则， ∴， ∴ ∴当取到最大值时，则取到最大值， 当时，取到最大值，此时； (3) 小问详解： 解：由得抛物线对称轴为直线， 设，∵， ∴ ， ① 当时，即，解得； ② 当时，即，解得； ③ 当时，即，解得. 所以﹒ 100．【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）的坐标为     （3）的坐标为或或或      【分析】 （1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为； （3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案． (1) 小问详解： 解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； (3) 小问详解： 解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 101．【答案】（1）     （2）存在，最大值是，     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； (3) 小问详解： 解：设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 102．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，点的坐标分别为．设该抛物线的解析式为，把点代入，求，进而可得抛物线解析式； （2）由题意知，，设点的坐标为，则，即矩形的周长，根据二次函数的性质求最值即可； （3）根据宽度为，则分别计算当，，时，对应的值，进而可求各层矩形的长，最后根据面积公式计算并求和即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，点的坐标分别为． 设该抛物线的解析式为，把点代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：由题意知，，设点的坐标为，则， ∴矩形的周长， ∵， ∴当时，矩形周长的最大值为． (3) 小问详解： 解：当时，，解得， ∴最下层矩形的长为． 当时，，解得， ∴中层矩形长为， 当时，，解得， ∴上层矩形长为． ∴切出的所有矩形的面积之和为． 【点睛】 本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的四边形综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 103．【答案】（1）     （2） ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．     （3）当时，值最大，为      【分析】 （1）把代入与中，得，，两式相加可得． （2）由得，由，，得，故． （3）由得抛物线L为，得，表示出，，得，再利用利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 把代入与中，得 ，， 得． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图：        ∵， ∴， ∴将抛物线L为，直线为， ∵抛物线L向左平移， ∴抛物线P为， ∵抛物线L的对称轴为直线， ∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M， ∴， ∵直线与抛物线L的对称轴交于点B， ∴， ∵点M在点B的下方， ∴． ∵抛物线L的对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 【点睛】 本题考查了二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，不等式的性质，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的平移，以及二次函数与几何综合，掌握二次函数最值的求法是解题关键． 104．【答案】① 直线    ② 或 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由于二次函数过原点，代入点可求得的值，再根据二次函数对称轴公式求解； （2）由得到关于的不等式，整理后分析二次函数在上的取值情况，分和讨论． 【详解】 解：（1）∵二次函数过原点， ∴当时，， 代入函数解析式：， 解得， 所以函数为， 所以对称轴为 ， 故答案为：直线； （2）由，得：， 整理得：， 即： 令， ∵当时，， ∴当时，，所以，恒成立， 当时，需要在上恒成立， 由于， 当时，随着的增大而增大， 当时，，当时，， 故在上，， 所以， 即， 又， 所以， 综上，的取值范围是或， 故答案为：或． 105．【答案】（1）     （2）存在，     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）当，可导角得到，由（1）可得点A坐标由勾股定理得即可求解； （3）过点P作轴垂线交直线于点E得将转化为，再利用二次函数的性质求解最值，即可求解取值范围 (1) 小问详解： 解：将，两点代入得 ， 解得： ， 抛物线解析式为：； (2) 小问详解： 解：存在， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 设点Q坐标为， 由（1）可知：，， ， ， ， 解得：， 故Q点的坐标为； (3) 小问详解： 解：过点P作轴垂线交直线于点E如图： 设直线的解析式为：， 将代入得， ， 解得： ， 直线的解析式为： 设点P的坐标为， ， ∴， 解得， 则E的坐标为， ∴， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 当或时，， ∴． 【点睛】 本题考查了二次函数—几何综合，三角形相似的判定及性质，一次函数，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，题目综合性强、难度较大，解题关键的正确做出辅助线及数形结合思想．为中考常考题型． 106．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线顶点坐标公式直接求解． （2）当时，先确定抛物线方程，再表示点A的坐标，由轴得出点B的坐标，计算的长度并化简，分析二次函数的增减性确定a的取值范围． 【详解】 解：（1）抛物线中， ，，， 顶点横坐标， 代入得， 故顶点坐标为， 故答案为：； （2）当时，抛物线为， 点在抛物线上，故， 轴，与直线相交于点B， B点坐标为， 的长度为， ， 恒成立， ， 令，为开口向上的二次函数， 顶点横坐标， 当时，随a增大而减小，即随a增大而减小， 故a的取值范围为， 故答案为：． 107．【答案】（1），顶点的坐标为     （2） 抛物线经过点，理由如下： 由旋转知，， ， 由（1）知当时，， 抛物线经过点；     （3）存在，      【分析】 本题考查了二次函数的图像及性质、待定系数法、图形旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由点A的坐标、点B的坐标即可求出抛物线的解析式，将其化为顶点式后即可求顶点坐标； （2）由旋转的性质可知点C的坐标，将其代入解析式看是否满足等式，即可； （3）过点作，交抛物线于，先求出直线的解析式，再设直线的解析式为，把顶点的坐标为代入直线的解析式，得直线的解析式为：，联立 ，即可求解． (1) 小问详解： 解：，， 点A的坐标为，点B的坐标为， 抛物线经过A，B两点， ，解得 ， ， 顶点的坐标为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 存在，如图所示，过点作，交抛物线于， 由旋转知， ， 由（2）知， 设直线的解析式为：， ，解得 ， 直线的解析式为：． 与的面积相等， 设直线的解析式为：． 把顶点的坐标为代入直线的解析式，得， 解得，， 直线的解析式为：， 联立 ， 解得 或 点P在第二象限内，是抛物线上异于点G的一点， 点P的坐标为． 108．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质等知识，熟记二次函数相关知识是解决问题的关键． （1）由待定系数法求抛物线的解析式即可得到答案； （2）利用函数对称性质求出新的二次函数解析式，由二次函数图象与性质，求出的最大值与最小值计算即可得到答案； （3）由题意，将代入函数解析式、代入函数解析式，从而得到即可得到答案． (1) 小问详解： 解：二次函数的图象过点，且与轴交于点， ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：抛物线关于轴对称的图象解析式为， 则抛物线的对称轴为， ， 抛物线在时有最大值，为， 对于最小值，求出与的函数值，再比较大小即可确定， 当时，；当时，， ， 当时，二次函数的最小值为， 则新的二次函数的最大值与最小值的和； (3) 小问详解： 解：存在， 当在函数图象上，则， 当时，代入得， ， ， ， 若也在函数图象上，则， ， 可取任意实数， 要使，无论取何值，等式恒成立，则只需， 解得． 109．【答案】（1），     （2）①；②       【分析】 （1）由对称轴方程求得b的值，由点A坐标代入抛物线解析式即可求得c的值； （２）① 方法一：由A、B的坐标可得对称轴方程是关于b、m的关系式，由m的取值范围即得；方法二：把A、B坐标分别代入抛物线解析式可得b、m关系式，由m的取值范围，即得b的取值范围；② 方法一：可将点的坐标代入抛物线的解析式，进而建立关于，m的不等式，解不等式即得；方法二：根据y的变化趋势，得出到对称轴的距离的大小关系，建立关于，b的不等式，解不等式即得 (1) 小问详解： 解：∵抛物线L的对称轴为直线x= 解得            ∵抛物线 经过点， (2) 小问详解： ① 方法一：∵抛物线L经过，， ∴抛物线L的对称轴为直线 ∴． ∵， ∴， ∴b的取值范围为． 方法二：将代入 得， ∴，        又∵抛物线L过点，        由，可知， ∴， ∵， ∴， ∴．        ② 方法一∶将代入 得， ∴． 由① 可知，， ∴， ， ， ， 又∵ , , ∴m的最大值为        方法二：∵抛物线L的对称轴为直线 则点到直线的距离点到直线的距离 ∵抛物线L的开口向下， ∴距离抛物线对称轴越远的点，函数值越小， ∴当时， 即 整理，得 ， ，        又， ， 由① 可知，， ， ， ∴m的最大值为 【点睛】 本题考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，对称性增减性，二次函数与方程与不等式，是解题的关键． 110．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与x轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与x轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线，再把代入得，从而有，求解即可得解． 【详解】 解：（1）， ∴函数与x轴的交点为，， ∴函数必过点； 故答案为：； （2）∵函数与x轴的交点为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得， ∴， 解得， ∵，即， ∴， ∴m的范围为． 故答案为：． 111．【答案】[模型构建]（1）如图： （2）二次； （3）； [模型应用]（1）；； （2）6，61； （3）至少应打开4条通道 【分析】 本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解答的关键． [模型构建] （1）在平面直角坐标系描点、连线即可画出图象； （2）根据所画图象为抛物线一部分，可得与之间满足二次函数关系； （3）利用待定系数法求解即可； [模型应用] （1）根据题意求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可； （3）设应打开m条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车，则，根据题意，得到当时，,进而求解即可． 【详解】 解：[模型构建] （1）略 （2）根据所画图象为抛物线一部分，可得与之间满足二次函数关系， 故答案为：二次； （3）设与之间的函数表达式为， 将，，代入，得 ， 解得 ∴与之间的函数表达式为； [模型应用] （1）由题意，当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为，排队人数 与检票时间的函数关系式为， 故答案为：；； （2）， ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为61， 答：排队人数在第6分钟达到最大值，最大人数为61人， 故答案为：6，61； （3）设应打开m条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车， 则， ∵车站规定列车开车前5分钟停止检票， ∴当时，且，即且， 解得， ∵，m为正整数， ∴应至少打开4条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车． 112．【答案】（1）     （2）2     （3）      【分析】 该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）把代入即可求解． （2）由（1）可知，得出，根据点的横坐标为，得出，，从而表示出，即可求解． （3）根据点在直线上，点在抛物线上，得出，，将代入，得出，整理得：，即可求解． (1) 小问详解： 解：把代入， 得， 解得：． (2) 小问详解： 解：由（1）可知， ， ∵点的横坐标为， ， ， ， ． (3) 小问详解： 解：∵点在直线上，点在抛物线上， ∴，， 当时，， ， 故， 整理得：， 故当时，最小，最小值是． 113．【答案】（1）该抛物线的“系数和值”为；     （2）该抛物线“系数和值”的取值范围为．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，理解抛物线的“系数和值”是解题的关键． （1）把代入，求得，则抛物线的解析式为，据此即可求得该抛物线的“系数和值”； （2）设顶点坐标为，则，当时，，根据题意，据此即可求得． (1) 小问详解： 解：∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，函数值为， ∴该抛物线的“系数和值”为； (2) 小问详解： 解：设顶点坐标为， 则， 当时，， 当时，， ∴顶点坐标为， ∵顶点落在线段上， ∴， ∴， ∴该抛物线“系数和值”的取值范围为． 114．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数与二次函数解析式，二次函数的性质，矩形的性质，一次函数的平移； （1）将点的坐标代入抛物线解析式中，求得，得出抛物线解析式，进而令，得出点的坐标，待定系数法求直线解析式即可求解； （2）分当在点的左侧时，当在点的右侧时，得出的范围，再根据点与对称轴的距离的远近列出不等式，即可求解； （3）根据一次函数的平移得出直线的解析式为，先求得点的坐标，再令，连接抛物线解析式得出抛物线与的交点的横坐标，代入直线，求得的值，即可求解． (1) 小问详解： 解：将点的坐标代入抛物线得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时，，则， 设直线的解析式为，代入，得 解得； ∴直线的解析式为 (2) 小问详解： 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵，是抛物线上不同的两点， ∴，即， 当在点的左侧时， 解得： ∵ ∴ 解得： ∴无解， ∴不存在这种情况； 当在点的右侧时，， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴； (3) 小问详解： 解：，令， ∴ 解得： ∴ 依题意，直线的解析式为 当直线经过点时，将代入得 解得：； ∵四边形是矩形， 又∵，则 ∴当直线：经过点时，则， 解得： ∵在直线上， 将代入抛物线解析式，得 解得： ∴当直线过点时， 解得： 结合图象可知：当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，的取值范围为或． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9．D 10．C 11．D 12．A 13．A 14．C 15．D 16．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】 解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 17．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）将，代入，求得，值，即可得出二次函数的解析式； （2）令，解得值，则可得出二次函数的图像与轴的交点坐标． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图像过点，， ∴ ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为． (2) 小问详解： 当时， 则：， ∴， 解得：，． ∴该抛物线与轴的交点坐标为，． 【点睛】 本题考查待定系数法求二次函数的解析式及求二次函数与x值的交点坐标．熟练掌握待定系数法确定二次函数的解析式是解题的关键． 18．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）由于线段平行于轴且对称轴为轴，点关于轴的对称点为，抛物线经过点和点，代入点坐标可求值； （2）图象是抛物线在区间内的部分，直线与图象只有一个交点，即方程在区间内有且只有一个实数根，通过分析二次函数在区间端点的函数值符号，确定满足条件的的取值范围． (1) 小问详解： 解：点关于轴的对称点为， 代入抛物线得，， 解得， 因此，抛物线表达式为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设，方程的根即为直线与抛物线的交点横坐标， 图象对应的范围为，需方程在内有且只有一个根， 当时，， 当时，， 则， 解得或， 当时，根为和，仅在内； 当时，根为和，仅在内； 当或时，，确保恰好一个根在内， 因此的取值范围为或， 故答案为：或． 19．【答案】（1） 解：列表： 描点、连线，如图抛物线为所求， … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … ；     （2）      【分析】 本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想答题． （1）根据函数解析式找出对应的x，y的值列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）根据图象可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据图象可得：当时，． 20．【答案】且 【分析】 根据二次函数与一元二次方程的根的判别式的关系结合二次函数的定义解答． 【详解】 解：根据题意可得：且， 解得：且； 故答案为：且． 【点睛】 本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，熟知抛物线与x轴有两个交点，则对应方程的判别式是解本题的关键． 21．【答案】a＜且a≠1 【分析】先根据二次函数的定义得，再根据二次函数图象的性质可知，与x轴有两个交点表示一元二次方程有两个不相等的实数根，求解即可得. 【详解】由题意得：和关于x的方程有两个不相等的实数根 则 解得：且. 【点睛】本题考查了二次函数的定义和图象的性质，将二次函数与x轴的交点个数问题转化为一元二次方程的根的情况问题是解题关键. 22．【答案】（1） 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． 23．【答案】（1）对称轴为直线，顶点为     （2） 证明：， 故对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点．      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）将代入函数解析式，然后配方成顶点式进行求解即可； （2）根据根的判别式求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，，    对称轴为直线，顶点为， (2) 小问详解： 略 24．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 把代入得，再利用整体代入的方法，即可求得结果． 【详解】 解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故答案为：． 25．【答案】（1）     （2） “图象数”为的二次函数表达式为：. 当时， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 即“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点．      【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点： （1）根据新定义得到二次函数的解析式即可； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而求证. (1) 小问详解： 解：图像数为的二次函数表达式为：. (2) 小问详解： 略 26．【答案】① 1或3    ② 【分析】 该题考查了二次函数的图象和性质． （1）点M到x轴的距离为2，即，代入函数解析式求解方程； （2）函数图像开口向上，图象上到x轴距离为2的点有四个，即顶点到轴距离大于2，列不等式求n的取值范围即可． 【详解】 解：（1）∵点到轴的距离为2， ∴， 又点在二次函数的图像上， ∴， ∴． 即或． 解，得或． 解得无实数根． 故a的值为1或3． 故答案为：1或3． （2）， ∵函数的图象上到轴距离为2的点有四个， ∴， ∴． 故答案为：． 27．【答案】当时，交点为，当时，交点为，当时，交点为 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数性质，注意分类讨论求解．需要分类讨论函数为一次函数和二次函数的情况；① 当函数为一次函数时，图象与坐标轴有两个交点；② 当函数为二次函数时，判别式为零（与轴有一个交点且与轴交点不重合），从而得到m的值． 【详解】 解：当时，，其图象与轴只有一个交点，为； 当时，的图象与轴只有一个交点， ∴，解得或9； 当时，，图象与轴只有一个交点，为； 当时，，图象与轴只有一个交点，为； 所以当时，交点为，当时，交点为，当时，交点为. 28．【答案】且 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，若二次函数的图象与轴有交点，则一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】 解：二次函数的图象与轴有交点， 一元二次方程有实数根， ，， 且． 故答案为：且． 29．【答案】（1） 解：列表 描点、连线如图所示，      （2）的取值范围是；增大      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据二次函数的解析式画出图象． 按照列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可； 根据图象判断时的取值范围，当时，随的变化规律． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由中图象可知，当时，的取值范围是； 抛物线的对称轴是， 二次项系数是， 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大； 故答案为：，增大． 30．【答案】① 直线    ② 3 【分析】 本题考查了二次函数的性质、判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）直接利用抛物线对称轴公式求解； （2）通过点、关于对称轴对称得出与的关系，再根据抛物线与轴有公共点，利用判别式求解． 【详解】 解：（1）抛物线的对称轴为：， 当时，对称轴为； 故答案为：直线； （2）∵点和点的纵坐标相同， ∴点、关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵抛物线与轴有公共点， ∴判别式， ， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴． 故答案为：3． 31．【答案】，. 【分析】由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得. 【详解】依题意，得： ， 解得： ， 所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：， 即：， 化为：， 解得：，， 故答案为，. 【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键. 32．【答案】（1） 证明：令， 则 ， ， ， ∴无论取何值，抛物线与轴总有交点．     （2） 或       【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，掌握抛物线与x轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式是解题的关键． （1）通过计算判别式并证明其非负，说明抛物线与轴总有交点； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标，再根据两点距离公式列方程求解的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由， 令， ， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴两个交点之间的距离为， 则， ∴或， 解得：或． 33．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∴此抛物线与x轴总有交点；     （2）1      【分析】 （1）令，使得二次函数变为一元二次方程，然后求出方程中判别式的值，即可证明结论； （2）令，使得二次函数变为一元二次方程，然后对方程分解因式，又因此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，从而可以求得符合要求的正整数m的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：令，则， 所以或， 解得，， 因为抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标都是整数，m是正整数 所以m为1． 【点睛】 本题考查的是抛物线与x轴的交点和解一元一次方程，解决本题的关键是设出两交点的坐标． 34．【答案】5 【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握数形结合的思想． 由二次函数图象与x轴只有一个公共点，可得判别式为零，即；再由当 时函数值为9，代入得，联立方程求解和，进而求． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴判别式，即， 又∵ 当时，函数值为9， ∴， 将代入，得， ∴， 代入，得 ， ∴， 故答案为：5． 35．【答案】（1）对称轴为     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，对于抛物线，其对称轴为直线，进而得解； （2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得或，进而计算可以得解； （3）依据题意，将代入抛物线，则；又将 代入抛物线，则，故，又，则，进而计算可以得解． (1) 小问详解： 解：由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解： 令，即， 解得，， 又∵抛物线与线段有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； (3) 小问详解： 解：由题意，将代入抛物线， ∴， 又将代入抛物线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 36．【答案】或 【分析】 分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】 解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，解得：，， ∴抛物线与轴的交点为，， 把抛物线图象在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方， 则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标为， 如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得：； 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有两个相等的实数解， 整理得：， ∴， 解得， ∴的值为或． 【点睛】 本题考查翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式．能画出函数图象并利用数形结合的方法解决问题是解题的关键． 37．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查“二次函数的图象与性质”的知识点，熟练掌握求二次函数的对称轴和顶点坐标的方法与二次函数的增减性的判断是解题关键 （1）代入原点，判断出，从而得到点，由条件点在线段上，结合图象即可判断出的取值范围； （2）代入，，得到，判断出对称轴为直线，从而确定的对称轴为直线，通过抛物线的对称轴与二次项、一次项系数的关系即可求出； （3）由（2）的条件可以确定两条抛物线的解析式，分别代入点和点的坐标，分别得到与的关系式和与的关系式，作差即可得到与的关系式，根据，和二次函数图象的增减性，即可求出的取值范围． (1) 小问详解： ∵抛物线过原点， ∴， 即抛物线解析式为． 令，得． 解得，． ∴点的坐标为． ∵点在线段上， ∴， 即． (2) 小问详解： 若，，则抛物线． ∴原抛物线的对称轴为直线，向右平移3个单位长度后得直线． ∴，即． (3) 小问详解： 在（2）的条件下，抛物线，． 把代入抛物线，得． 把代入抛物线得，． ∴． ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， 又∵， ∴当时，，此时为最小值； 当时，，此时为最大值． ∴的取值范围为． 考点06 实际问题与二次函数 1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数的最值是解题的关键． 由题意得，此题实际是求从开始急刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】 解：该函数关系式化成顶点式为， 当时，汽车停下来，滑行了米， 故该辆汽车急刹车时需要滑行米才能停下． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用．建立适当的直角坐标系是解题关键． 建立适当的直角坐标系，确定抛物线的解析式，再结合水面宽为时，把代入进行计算，即可求解． 【详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系： 可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 将点代入得：，解得：， ∴， ∵水面宽为， 即， 令，则， 即：则当水面宽为3m时，水位上升了m， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的应用，根据题意，求出抛物线表达式为，进而根据题得出，代入进行计算即可求解． 【详解】 解：根据题意得抛物线经过点， 设抛物线表达式为，代入得， 解得： ∴抛物线表达式为， ∵当满碗汤面的竖直高度下降时， ∴碗中汤面高度为， 当时， 解得：， ∴碗中汤面的水平宽度为， 11．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的抛物线解析式．先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将代入解析式求出相应的的值即可． 【详解】 解：建立平面直角坐标系，如右图所示， 由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 点在该抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入，得：， 即线段上距离处6米的地方，桥的高度是米， 故答案为：． 12．【答案】（1）     （2）第天时，日利润最大，最大利润为元      【分析】 （）分和求出函数解析式即可； （）利用二次函数和一次函数的性质分别求出最大值，进而比较即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：当时，； 当时，； 综上，与之间的函数关系式为 ； (2) 小问详解： 解：当时，， ， 时，有最大值，最大值为元； 当时，， ， ∴随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为元， ∵， ∴第天时，日利润最大，最大利润为元． 13．【答案】（1）；；     （2）A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是元      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出提价后的单套利润和销量，再根据总利润=单套利润销量列出式子； （2）A套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w，则，据此整理求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知：A套餐提价后的利润为元，销量为套， ； B套餐提价后的利润为元，销量为元， ； (2) 小问详解： 设A套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w， 则； ， ， ， 当时，利润最大为6984元． 答：A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是6984元． 14．【答案】（1）     （2）最大为75平方米      【分析】 （1）由题意得：，即可求解； （2）由，可得S有最大值，即可求解． 本题考查的是二次函数的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值 (1) 小问详解： 解：由题意得：； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ， ∴当时，， 当时，，符合题意 ， 答：能建成的饲养室面积最大为75平方米． 15．【答案】24 【分析】 本题考查了二次函数的应用以及解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及代数式求值，根据题中自变量的值先求出函数值，然后根据直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】 解：把代入中得：， ∵滑下的距离y是直角三角形中角的斜边，下降的高度是直角三角形中角的对边． ∴下降的高度为：． 故答案为：24． 16．【答案】（1）     （2）；当时，的最大值．      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式组的应用． （1）根据篱笆材料总长面墙长两扇宽为的门求出关于的函数表达式，再根据墙的最大可用长度为求取值范围即可； （2）求出关于的函数表达式，化为顶点式作答即可． (1) 小问详解： 解：， ∵墙的最大可用长度为，边的长 ∴， 解得， 即； (2) 小问详解： 解：， 这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处取得， 当时，的最大值． 17．【答案】（1）该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元     （2）①，② 当售价为71元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是69100      【分析】 本题主要考查了二次函数的最大利润问题、一次函数的解析式等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用”，据此即可解答． （2）① 运用待定系数法求解销量y与销售单价x之间的函数关系式； ② 经分析列式得，结合二次函数的性质，得出开口向下，在有最大值，w有最大值，再代入计算即可解答． (1) 小问详解： 解：∵工艺品的成本与生产量的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关， ∴该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元． (2) 小问详解： 解：①由题意，设销量y与销售单价x的关系式为， 则 ，解得： ． ∴所求关系式为． ②成本应基于生产量（即销量y），即，其中， 设利润， ． ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为69100． 18．【答案】（1）与的函数关系式为     （2）当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设与的函数关系式为，根据题意可得 ，然后解方程组即可； （2）设利润为，则，然后根据二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：设与的函数关系式为， 根据题意可得： ， 解得： ， ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设利润为， 则， ∵，函数开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， 答：当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 19．【答案】（1）（10≤x≤15，且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“毛利润=每瓶毛利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得． 【详解】 解：（1）设与之间的函数关系式为（），根据题意，得： ， 解得 ， ∴与之间的函数关系式为（10≤x≤15，且x为整数）； （2）根据题意，得： ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，随的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，有最大值， 即， 答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元． 【点睛】 本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题． 20．【答案】(1) y＝ ；(2)该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元． 【分析】 （1）分1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利润=每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式； （2）结合（1）得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大值即可． 【详解】 （1）当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000； 当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000． ∴y＝ （2）当1≤x＜50时，二次函数的图象开口下、对称轴为x＝45， ∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050； 当50≤x≤90时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当x＝50时，y最大＝6000． ∴综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元． 【点睛】 本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据函数的增减性确定最值是解题的关键. 21．【答案】（1）     （2）当售价定为25时，每天销售利润最大，最大利润是1800元     （3）      【分析】 本题考查了一次函数及二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键 （1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每日销售利润为w元，根据x的取值范围，利用二次函数模型即可求出最大利润； （3）设成本每斤减少m元后每日销售利润为Q元，由和确定当时，利润最大，从而得出关于的方程，解出方程即可求得m值． (1) 小问详解： 解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为， 当时，，当时，， ，解得： ， 与x之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 根据题意得：， ， ， 抛物线开口方向向下， 对称轴，， 当时，利润最大， 元； (3) 小问详解： 设成本每斤减少m后每日销售利润为Q元， 则， 抛物线对称轴为， ， ， ， 当时，利润最大， ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：m的值为6． 22．【答案】（1） （2）在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 【详解】解：（1）设抛物线解析式为 设点，点 由题意： 解得 ∴ （2）方法一： 当时， ∵.6 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 方法二： 当时， ∴ ∵ ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 23．【答案】（1）     （2）能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 略 24．【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由： ∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】 解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 25．【答案】（1）     （2）       【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，理解题意确定函数关系式，运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出，顶点坐标为，设石弹运行的函数关系式为， 将点坐标代入求解即可； （2）分别令和，解方程求出的值，再根据题意求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：根据题意得，，顶点坐标为， 设石弹运行的函数关系式为， 把代入得：， 解得 ， 石弹运行的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得， （舍去）， 当时，， 解得， （舍去）， 的取值范围是 ． 26．【答案】任务1：7；任务2：（，且为正整数）；任务3：小王爸爸应该在5月份投资 【分析】 本题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 任务1：先求出当时，或，再结合函数图象可得当时，，则当时，的所有可能的取值为，由此即可得； 任务2：根据点，，利用待定系数法求解即可得； 任务3：设这种农产品每千克的收益为元，根据求出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】 解：任务1：令，则， 解得或， 即二次函数的图象经过点和， ∵二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴当时，， 又∵为正整数， ∴当时，的所有可能的取值为， ∴该农产品一年共有7个月份成本不高于4元． 故答案为：7． 任务2：设售价（元）与月份之间的函数表达式为， 将点，代入得： ， 解得 ， 所以售价（元）与月份之间的函数表达式为（，且为正整数）． 任务3：设这种农产品每千克的收益为元， 则 ， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大， 答：小王爸爸应该在5月份投资． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，关键是特定点坐标的确定； （1）由已知可得点的坐标，代入解析式即可求出的值； （2）由已知可得点的横坐标，代入解析式可得其纵坐标，因此的高即可求得． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 即：， ∵点在抛物线上， ∴， 即：； (2) 小问详解： 由（1）可知， ∵， ∴点的横坐标是 当时，， 当时，，即， ∵， ∴，即：点的纵坐标是， ∴． 28．【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】 解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． (1) 小问详解： ∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 30．【答案】 【分析】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】 解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 31．【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】 解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键； （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出的值，进而求出点的坐标即可； （2）求出点和点的纵坐标，进而求出点和点的横坐标即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∵，，，， ∴， ∴， 将点代入，得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点B的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵与之间的距离为， ∴点E与点F的纵坐标为. 令，得， 解得，， ∴，即水面的宽度为； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·安徽池州·期中）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数的定义：一般地，形如 (a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】 解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、当时，是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母中含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】 解：A、是二次函数，符合题意； B、，是一次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 3．（九上·安徽合肥·期中）若是关于的二次函数，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 2或 D. 0 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，（a，b，c为常数，）也叫做二次函数的一般形式． 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可． 【详解】 解：∵是关于的二次函数， ∴且． 解方程得或． 又∵， ∴． ∴． 故选 ：A． 4．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）下列函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查二次函数定义，形如的函数．选项A和D含有分式，不是整式；选项B简化后为一次函数；选项C符合定义． 【详解】 ∵ 二次函数形式为， 对于A：，在分母，不是整式； 对于B：，展开得，为一次函数； 对于C：，满足，是二次函数； 对于D：，x在分母，不是整式； 故选C． 5．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）下列关于的函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】 解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 6．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）如果关于x的函数是二次函数，则m＝　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据二次函数的定义，可得且，即可求解． 【详解】 解：由题意得：且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式为是解题的关键． 7．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）若是关于x的二次函数，则m的值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据二次函数的定义解题即可． 【详解】 解：由题意知， ， 解得：． 故答案为： ． 8．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）若函数表示是的二次函数，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】 解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）已知抛物线，当时，y的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：∵抛物线的开口向上，对称轴为y轴，， ∴当时，y有最小值，最小值为0， 当时，y有最大值，最大值为， ∴当时，， 故选：B． 2．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】 解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 3．（2026·安徽阜阳·联考）已知点在抛物线上，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】18 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将点的横坐标代入抛物线解析式求解． 【详解】 解：将代入抛物线， 得：． 故答案为：18． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次函数顶点式的性质直接求解． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数性质其顶点坐标为，题目比较简单． 2．（九上·安徽合肥·期中）把抛物线向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的平移． 根据平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】 解：把抛物线向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到的抛物线表达式为． 故选：A． 3．（25-26学年九上·安徽池州·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． 【详解】 ∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 4．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是（　　） A. （2，﹣5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （﹣2，5） 【答案】B 【分析】 直接根据二次函数的顶点式y=a（x-h）²+k的顶点坐标为（h，k）进行解答即可． 【详解】 解：∵抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2﹣5， ∴其顶点坐标为（﹣2，﹣5）． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查二次函数顶点坐标的确定，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 5．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点为，开口向下即可判断． 【详解】 解：函数开口向下，顶点为． 故选：B． 6．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）抛物线y＝（x＋1）2﹣1的顶点坐标为（       ） A. （﹣1，﹣1） B. （1，﹣1） C. （﹣1，1） D. （1，1） 【答案】A 【分析】 根据二次函数y＝a（x－h）2＋k的顶点坐标为（h，k），可得到已知二次函数的顶点坐标． 【详解】 解：抛物线y＝（x＋1）2﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣1）． 故答案为：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的顶点式，熟记二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象的顶点坐标为（h，k）是解题的关键． 7．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】 解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 8．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）二次函数图象的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．利用二次函数的顶点坐标为，进行解答即可． 【详解】 解：二次函数， 二次函数图象的顶点坐标为． 故选：D． 9．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得到的抛物线的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的平移变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规则即可直接求解 【详解】 解：∵ 抛物线平移规则：左加右减，上加下减， 将 向左平移2个单位，得 ； 再向上平移4个单位，得 ， ∴ 所得到的抛物线的函数表达式为 ， 故选A 10．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）已知抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向下 B. 关于轴对称 C. 顶点是 D. 有最小值 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点和最值，即可获得答案． 【详解】 解：∵， ∴该函数图像的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴其开口向上， ∴有最小值，且最小值为， 综上所述，可知选项A、B、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意． 故选：D． 11．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的平移规律，遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则即可求解． 【详解】 解：∵抛物线向左平移3个单位， ∴ 变为，得； ∵ 再向下平移2个单位， ∴ ； ∴ 所得抛物线的解析式为， 故选A． 12．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是掌握顶点式中顶点坐标为． 根据二次函数顶点式的坐标特征，直接确定顶点坐标． 【详解】 解：对于抛物线的顶点式，其顶点坐标为． 在抛物线中，， 所以顶点坐标是． 故选：D． 13．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到的表达式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移原则．将抛物线向右平移个单位，可得，再向上平移个单位，可得． 【详解】 解：抛物线向右平移个单位，得，再向上平移个单位，得， 故选：． 14．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，可知抛物线开口向上，且对称轴为，对此一一分析选项即可得出答案． 【详解】 解：∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上，且对称轴为． 对于选项A：， ∵，抛物线开口向上，对称轴， ∴符合题意． 选项B：对称轴，不符合题意； 选项C和D：，开口向下，不符合题意． 故选A． 15．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了二次函数图象的平移．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】 解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 平移后的解析式为， 故选：． 16．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是(　　) A. y=(x+1)2+1 B. y=(x﹣3)2+1 C. y=(x﹣3)2﹣5 D. y=(x+1)2+2 【答案】A 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】抛物线y=x2﹣2x﹣1可化简为y=(x﹣1)2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度， 所得的抛物线的解析式y=(x﹣1+2)2﹣2+3=(x+1)2+1； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．． 17．（25-26学年九上·安徽池州·期中）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y=﹣2（x+1）2+2 B. y=﹣2（x+1）2﹣2 C. y=﹣2（x﹣1）2+2 D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2 【答案】C 【详解】 解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后， 所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2， 故选C． 18．（25-26学年九上·安徽池州·期中）已知抛物线，则当时，的最大值是（　　） A. 1 B.  C.  D. -2 【答案】B 【分析】 根据抛物线解析式判断出函数的增减性，然后选取x值代入即可． 【详解】 由抛物线可知，抛物线的对称轴为， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小， ∴在的范围内，当时，y的值最大，， 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，判断出二次函数的增减性是解题关键． 19．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】 解：的顶点坐标为， 故选：． 20．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的（       ） A. 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B. 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 C. 向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 【答案】D 【分析】 利用抛物线的性质得到两个抛物线的顶点坐标，即可得到平移的规律． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度得到的， 故选：D． 【点睛】 此题考查了抛物线的平移，二次函数的图象及性质，正确确定抛物线的顶点坐标理解平移是解题的关键． 21．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（       ） A. 左1下1 B. 右1下1 C. 左1上1 D. 右1上1 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，分别求出平移前后抛物线顶点坐标，再根据平移前后的顶点坐标判断平移方式即可得到答案． 【详解】 解：平移前抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线的顶点坐标为，则平移方式为向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度， 故选：A． 22．（2026·安徽阜阳·联考）将抛物线向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握以上知识点是解题关键． 根据“左加右减，上加下减”的规则进行计算即可． 【详解】 解：将抛物线 向左平移5个单位，新解析式为： ， 再向下平移1个单位， 新解析式为： ． 故选：B． 23．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（       ） A.  B. 1 C. 5 D. 8 【答案】D 【分析】 根据图象，当抛物线顶点为时，C点横坐标最小，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当抛物线顶点为时，D点横坐标最大，进而可判断出D点横坐标最大值． 【详解】 解：根据题意，当抛物线顶点为时，C点横坐标最小为，则抛物线的对称轴为直线，此时点D坐标为，则， 当抛物线顶点为时，D点横坐标最大，此时抛物线的对称轴为直线，又， ∴，， 点D的横坐标最大为8， 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与性质，能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键． 24．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）抛物线的顶点坐标是（　 ） A. （2，1） B. （-2，1） C. （2，-1） D. （-2，-1） 【答案】B 【分析】 根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标． 【详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为（-2，1）， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为（，）是解题的关键． 25．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）把二次函数先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据二次函数的平移可得新抛物线的表达式． 【详解】 解：， 先向右平移2个单位长度得到的函数表达式为：，即， 再向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换．讨论二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可． 26．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）若抛物线可由抛物线平移得到，则的值为(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的平移，由二次函数图像性质可知抛物线平移a的值不变抛物线平移只改变位置，不改变形状和开口方向，因此二次项系数保持不变． 【详解】 解：∵ 抛物线平移后二次项系数不变， 又 ∵ 已知抛物线 的二次项系数为 ， ∴ ． 故选：C． 27．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）将抛物线平移后得到抛物线，则下列说法中正确的是（     ） A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【详解】 解：∵ 原抛物线 的顶点为， 目标抛物线的顶点为， ∴ 顶点从 平移到 ， 在x方向上，从0到，向左平移1个单位， 在y方向上，从0到，向下平移2个单位， ∴ 平移方式为向左平移1个单位，再向下平移2个单位． 故选：A． 28．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移方法中正确的是（       ） A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【分析】 根据平移的规律“左加右减，上加下减”，将向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得，即可求得答案 【详解】 解：根据题意将向左平移2个单位再向下平移1个单位即可得， 故选B 【点睛】 本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，理解题意确定平移的方向和距离是关键． 29．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得：． 故选：B． 30．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（   ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位 【答案】B 【分析】 根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 【详解】 y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）． y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）． 所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5）， 故选B． 【点睛】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 31．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的解析式可知二次函数开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧随增大而增大，要求当时随增大而增大，故需对称轴在直线右侧或重合，即． 【详解】 解： 二次函数中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而增大， 当时，随的增大而增大， ． 故选：A． 32．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）将下列二次函数中图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的函数图象顶点在原点的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】 解：A、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； B、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； C、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，不在原点，故不符合题意； D、将二次函数图象向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的二次函数的解析式为，即，顶点为，在原点，故符合题意； 故选：D． 33．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】 解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 34．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（，为常数），则的值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”求出新抛物线解析式，然后展开为一般式，与给定解析式对比系数，得到b和c的值，最后计算即可． 【详解】 解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 与对比，得，． 则， 故答案为：2． 35．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）抛物线y=(x﹣1)2﹣3的顶点坐标是　　　　． 【答案】(1，﹣3)． 【分析】根据抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可． 【详解】抛物线y=(x﹣1)2﹣3的顶点坐标是(1，﹣3)． 故答案为：(1，﹣3)． 【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握抛物线的顶点求解方法，既会运用顶点式，又要会用公式法． 36．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）求抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标． 【答案】开口向上，对称轴是轴，顶点坐标 【分析】 本题考查的是二次函数的性质，直接根据二次函数的性质进行解答即可，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 【详解】 解：， 即． ， 开口向上，对称轴是轴，顶点坐标． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）若抛物线与的形状相同，则的值为（   ） A. 2 B. 3或 C. 1 D. 2或 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，掌握当两抛物线的形状相同时，二次函数解析的二次项系数的绝对值相同成为解题的关键． 根据“当两抛物线的形状相同时，二次函数解析的二次项系数的绝对值相同”列绝对值方程求解即可． 【详解】 解：∵抛物线与的形状相同， ∴，即的值为2或． 故答案为：D． 2．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（     ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的图象性质，根据函数的图象，得出开口方向向上，对称轴在轴的正半轴，二次函数与轴有两个交点，当时，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：观察函数图象，得出开口方向向上，故， 观察函数图象，得出对称轴在轴的正半轴，故， 即， ∵， ∴， ∴， 故① 是不符合题意； ∵ ∴ ∴是错误的 故③ 是不符合题意； 观察函数图象，得出二次函数与轴有两个交点，即， 故② 是符合题意； 观察函数图象，得出当时，， 即 ∴ 故④ 是符合题意； 故选：C 3．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）已知二次函数和一次函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1，则在同一平面直角坐标系中二次函数和一次函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象．根据两个函数解析式求得其交点的大致位置，结合函数图象解答． 【详解】 解：∵两函数的图象在y轴相交于一点，且纵坐标为1， ∴，， ∴二次函数的解析式为和一次函数的解析式为， 当时，抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，排除选项B、C和D， 一次函数的图象经过一、二、三象限，选项A符合题意； 当时，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，排除选项A、B和C， 一次函数的图象经过一、二、四象限，选项D不符合题意； 综上，选项A符合题意； 故选：A． 4．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数顶点式，二次函数平移的性质，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数图象平移的规律是关键． 先通过配方求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则（右移横坐标加，上移纵坐标加）得到新顶点坐标． 【详解】 解：∵ 原抛物线 配方得 ， ∴ 顶点坐标为 ∵ 向右平移3个单位，横坐标加3： ， 向上平移2个单位，纵坐标加2： ， ∴ 新顶点坐标为 ， 故选：B． 5．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】 解：对于一次函数和二次函数的图象， ① 当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ② 当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③ 当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④ 当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 6．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）若二次函数的图象经过点，则a的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】 解：把代入可得，，解得 故选：B． 7．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】 解：∵二次函数图象开口向下，于轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B ． 8．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D可能正确，B,C不符合舍去，然后对A,D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】 解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D符合，B,C不符合舍去， A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确； D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 9．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求出二次函数的对称轴，开口方向，再判断点关于对称轴的对称点，最后根据抛物线的性质得出答案． 【详解】 解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为. 由点关于对称轴的对称点是， 在对称轴的左侧，y随x得增大而减小， ∵（时，y最小）， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图像和性质，掌握对称轴左右的性质是解题的关键． 10．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）下列抛物线中，开口最大的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越小，开口越大，据此解题即可． 【详解】 解：∵ 二次函数 的开口大小取决于 ， 越小，开口越大； A：； B：； C：； D：； ∴ 最小的是选项A，故开口最大的是选项A中的抛物线． 故选：A． 11．（2026·安徽阜阳·联考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．本题可先由一次函数，图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】 解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 12．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的性质． 通过直接计算各点函数值，比较大小即可． 【详解】 ∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ． ∵ ， ∴ ． 故选 ：D． 13．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 14．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）若抛物线（是常数）开口向下，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系，熟记“开口向下时二次项系数小于0”是解题关键． 根据二次函数的性质，抛物线开口向下时，二次项系数小于零得到，进而求解即可． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数， 解得 ． 故选：A． 15．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（       ） A.      B.          C.      D.      【答案】B 【分析】 先根据的函数图象可知，，进一步推出二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，1，由此即可得到答案． 【详解】 解：由二次函数的图象可知，， ∴二次函数的开口向下，与轴交于正半轴， ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴方程的两个根为， ∴二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，1， 综上所述，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键． 16．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）将二次函数化为的形式，结果为(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的三种形式，依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解． 【详解】 解：由题意，∵二次函数为， ∴二次函数化为顶点式为． 故选：D． 17．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（     ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】 解：∵开口向上， ∴， 故① 错误； ∵， ∴； ∵与y轴交于负半轴， ∴； 故， 故② 正确； ∵抛物线经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线． 故③ 正确； 根据的取值范围是，得， 由直线得直线与x轴的交点坐标为， 故交点在得左侧， 由直线得直线与y轴的交点坐标为，       且， 故交点在正半轴上，大致如下： 故与的图象有4个公共点， 故④ 正确， 故选：B． 【点睛】 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 18．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了抛物线的顶点式性质（对称轴、开口方向与函数值的关系），解题的关键是利用开口向上时“点到对称轴距离越远，函数值越大”的规律比较大小． 先确定抛物线对称轴为直线且开口向上，再计算各点到对称轴的距离，根据距离越远，函数值越大，比较出的大小． 【详解】 解：抛物线的解析式为，这是顶点式， 对称轴为直线； ，抛物线开口向上， 点到对称轴的距离越远，函数值越大． 点到直线的距离：； 点到直线的距离：； 点到直线的距离：． 距离从远到近为：，结合开口向上的性质， 函数值大小关系为：． 故选：B． 19．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）点和点在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的函数值大小比较，解题思路是先分别求出和的表达式，再作差分析差值的符号来判断与的大小关系．解题关键是通过代数运算将转化为关于的表达式，再根据表达式的符号性质分析区间内的大小关系．易错点是在分析的符号时，对区间内和的正负判断不准确，导致对和的大小关系判断错误． 【详解】 ∵抛物线解析式为， ∴点的纵坐标． 点的纵坐标． ∴． 选项A：当时，，∴，但选项说，故A错误． 选项B：当时，且，∴，∴，但选项说，故B错误． 选项C：当时，且，∴，∴，但选项说，故C错误． 选项D：当时，，∴，故D正确． 故选D． 20．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，通过抛物线与轴的交点判定方程根的情况，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，以及数形结合的数学思想． 根据二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】 解：A．∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴位于轴右侧， ∴异号，即； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，该选项错误，不符合题意； B．根据对称轴得，，即， 整理得，该选项错误，不符合题意； C．当时，， ∵， ∴， ∴， 即，该选项正确，符合题意； D．由图象可得，当时，， 将代入，得， 即，该选项错误，不符合题意． 故选：C． 21．（九上·安徽合肥·期中）已知二次函数，若a，b，c满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质． 由条件可得，代入另一条件得，故，又因二次函数在处有根（即判别式非负），判别式为 ，所以． 【详解】 ∵， ∴． 又∵，代入得 ， ∴． ∵二次函数在处有根（即）， ∴判别式， ∴． 综上，且， 故选：D． 22．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（     ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，根据图象可知抛物线过点，利用对称轴求出点的对称点，结合图象求出当时的自变量的取值范围即可. 【详解】 解：由图象可知：抛物线过点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， 由图象可知，当时，或；   故选： B． 23．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（）部分上任意一点，O为坐标原点，连接，则长度的最小值是（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意得出抛物线的解析式为，然后确定平移后的解析式，设点，确定，令，根据新函数的增减性得出当时，取得最小值，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 将此函数向下平移3个单位后的解析式为：， 设点， ∴， ∵令， ∵， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最小值， 最小值为：， ∴的最小值为， 故选：C． 【点睛】 题目主要考查二次函数的基本性质及平移，坐标中两点之间的距离，理解题意，得出相应的新的函数的性质是解题关键． 24．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y12；⑤b>m(am+b) (其中m≠)．其中说法正确的是（       ） A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 【答案】A 【分析】 根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与轴的交点在轴上方得到，则，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出，则得到，于是可对②进行判断；由于经过点，则得到，则可对③进行判断；通过点，和点，离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，所以（其中，由代入则可对⑤进行判断． 【详解】 解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ， ， ，所以②正确； 抛物线经过点， 时，， ，所以③错误； 点，离对称轴要比点，离对称轴要远， ，所以④正确． 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最大值， （其中， （其中， ， ， ，所以⑤正确； 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）．抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 25．（25-26学年九上·安徽池州·期中）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 当在内移动时，、重合部分的面积不变，当移出时，计算出，得到，从而得到答案． 【详解】 如下图所示，当E和B重合时，AD=AB-DB=3-2=1， ∴ 当移动的距离为时，在内，， 当E在B的右边时，如下图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N坐NM垂直于AE，垂足为M， 根据题意得AD=x，AB=3, ∴DB=AB-AD=3-x， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，是一个关于的二次函数，且开口向上， ∵当时，，当时，， 故选：C． 【点睛】 本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键． 26．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】 解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 27．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）点在二次函数图象上，的最大值是（       ）． A. 3 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了求二次函数的最值，把代入得出，再得出的表达式，将其化为顶点式，即可求出最值． 【详解】 解：把代入得：， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 故选：C． 28．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）已知二次函数的图象关于轴对称，则下列结论不正确的是（       ）． A.  B. 拋物线的开口向上 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，函数有最小值2 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，由二次函数的对称轴是轴可求出，可得，根据二次函数的图象与性质可判断出选项正确，选项错误． 【详解】 解：∵二次函数的图象关于轴对称， ∴二次函数的对称轴为， ∴，且 ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴拋物线的开口向上，故选项B正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为，且拋物线的开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故选项C正确，不符合题意； ∵当时，函数有最小值2，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 29．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）已知二次函数的图象经过点，，，，．则下列四个结论①；②；③方程的解为，；④对于任意实数t，总有中，正确结论是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键，利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定① 正确；将a，b关系式代入可得② 正确；令解方程即可判定③ 正确；利用函数的最小值可判定④ 不正确． 【详解】 解：∵点和的纵坐标相同， ∴对称轴为直线， ∴，即， ∵点在图象上， ∴， 代入，得， ∴，故② 正确； ∵， ∴， ∴函数为， 令，得， ∵， ∴， 解得，，故③ 正确； ∵对称轴，， ∴点到对称轴距离为4，点到对称轴距离为1， ∴ ，故① 正确； ∵， ∴最小值为， 但（∵ ）， ∴，不一定 ，故④ 错误； 综上，正确结论为① ② ③ ， 故选：A． 30．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】 二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 31．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）抛物线，当 时，y的取值范围是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴当时，有最小值为2，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵， ∴当时，；当时，， ∴当时，有最大值为6， ∴的取值范围是， 故选：A． 32．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图，在中，，，点、分别是、边上的点，，则面积的最大值是（       ） A.  B. 2 C.  D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的判定和性质．证明是等腰直角三角形，作于点，设，则，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 作于点， ∴点D是的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最小值，最小值为2， 故选：B． 33．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断① ，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断② ，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③ ；根据时的函数值，结合，代入即可判断④ ，根据顶点坐标即可判断⑤ ，根据函数图象即可判断⑥ ． 【详解】 解：① 由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故① 正确； ② ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故② 正确； ③ ∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③ 错误； ④ 当时，， ∴，故④ 正确； ⑤ 当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤ 正确， ⑥ 当时，y随的增大而减小，故⑥ 正确， 综上，正确的是① ② ④ ⑤ ⑥ 共5个， 故选：C． 34．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知二次函数（其中是自变量且），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  【答案】B 【分析】 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，的最大值为，可得时，，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】 解：∵二次函数（其中是自变量且）， ∴对称轴是直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵时，的最大值为， ∴当时，， ∴或（不符合题意，舍去）． 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，一元二次方程的应用．解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 35．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）抛物线与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，P为抛物线对称轴上一动点．当的值最大时，P的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 连接交对称轴与点，根据，得到当点三点共线时，即点与点重合时，的值最大，求出直线的解析式，与对称轴的交点即为点P的坐标． 【详解】 解：∵，当时，， ∴，对称轴为直线； 连接交对称轴与点，    设直线的解析式为：， 把，代入，得： ， 解得： ， ∴， 当时，， ∴； ∵， ∴当点三点共线时，即点与点重合时，的值最大， ∴； 故选A． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 36．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．由，函数有最小值；后分类解答即可． 【详解】 解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大； 又当时，函数的最大值与最小值的和为2， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 解得，与矛盾， 故时无解； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 此时函数的最大值与最小值的和为2， ∴当时，符合题意； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据函数的最大值与最小值的和为2，得， 解得或，这与矛盾， 故时无解； 综上分析可知：n的取值范围是． 故选：C． 37．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】 解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得： ， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足 ， 解得： ， ， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 38．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】 解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 39．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（       ） A.  B.  C. 点的纵坐标为 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【分析】 作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断；当，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断；连接，勾股定理求出，确定的纵坐标，判断，求出时，点运动到点，再利用勾股定理求出，判断，即可． 【详解】 如图，作，当时，动点运动到点的位置，由题意和图像可知，当点运动到点的时候，最小，即，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， 故选项错误，该选项不符合题意； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项错误，该选项不符合题意； .∴当，即点在点时， ∴； ∴点C的纵坐标为；故选项错误，该选项不符合题意； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴，即， ∴点在该函数图象上，故选项正确，该选项符合题意． 故选． 【点睛】 本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 40．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．① 根据图像分别判断，，的符号即可；② 将点代入函数即可得到答案；③ 根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④ 由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】 解：由题图可知，， ，故① 正确； 当时，，即，故② 正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③ 错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④ 正确． 综上，① ② ④ 正确． 故选：C． 41．（25-26学年九上·安徽中学·期中）已知二次函数（）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数y的值都等于0；③；④．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，并结合系数和图象正确判断各结论． 先从函数图象上得到一些信息，确定出函数与系数的关系，然后再对各个结论进行判断． 【详解】 解：根据函数图象，得，，对称轴在轴的右侧，即，则，与轴交于两点． ①，正确； ② 当或时，函数y的值都等于0，正确； ③ 当时，，故错误； ④ 图象与有两个不同交点，则方程有两个不同的实数根，则，即，故错误； 正确结论的有2个， 故选：B． 42．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知两个负数满足，，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，推导出二次函数是解决本题的关键． 通过消去参数，得到和的关系式，结合和均为负数的条件，推导出，代入得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质，求出时的的取值范围即可． 【详解】 解：∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ∴， 代入中，得 ， ∴二次函数, ∴函数图象开口向上，且对称轴为直线， 在时，k随着a的增大而减小， 当时， ， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 43．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（　　） A. y＝﹣（x﹣1）2+3 B. y＝（x+1）2+3 C. y＝（x﹣1）2﹣3 D. y＝﹣（x﹣1）2﹣3 【答案】D 【分析】先确定原抛物线的顶点坐标（1，3），根据对称性得到关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，即可列出函数关系式. 【详解】∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3）， ∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下， ∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3． 故选：D． 【点睛】此题考查函数图象的对称性，可由原图象确定某些特殊点的坐标，例如：与坐标轴的交点，图象的顶点坐标，由对称性即可得到对称的抛物线上的点的坐标，由此来求解析式. 44．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）抛物线（是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的结论有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质，包括对称轴、开口方向、函数值比较等，根据抛物线经过点，且，可求对称轴；由开口向下和点位置判断函数值范围；当时，计算顶点纵坐标最大值小于2，方程无解；由条件，，总有，推导对称轴位置要求，得m范围． 【详解】 解：∵ 抛物线（是常数，）经过，两点， ∴ 对称轴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故结论①错误； ∵， ∴ 点与距离为， ∵，抛物线开口向下，顶点在y轴左侧，且纵坐标大于1， 当时，，此区间内函数值均大于1， 即， 故结论②正确； 当时，抛物线为， 代入点得， ∴， 设顶点纵坐标， 由①知，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 方程无实数解， 故结论③正确； 设对称轴， ∵，开口向下，且总有时， ∴和均在对称轴右侧， 要求当时，， 即， ∴， 解得， 故结论④正确． 综上，正确结论有② ③ ④，一共3个． 故选：C． 45．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）若抛物线的对称轴是直线，则　　　　　　　　　　　； 【答案】2 【分析】 该题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴公式求解． 【详解】 解：对于二次函数，其对称轴为直线 ， 本题中，函数为 ，因此 ，． 给定对称轴为，代入公式得：， 化简得：， 解得：． 故答案为：2． 46．（九上·安徽合肥·期中）徽派建筑中的马头墙轮廓部分可近似看作一条抛物线．某马头墙的轮廓线可用二次函数（单位：米）描述，其中是水平距离，是高度，则该抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点，熟练掌握其公式是解题的关键． 通过顶点坐标公式求解即可． 【详解】 解：二次函数 中，, , ， 顶点横坐标 ， 代入 得 ，故顶点坐标为 ． 故答案为：． 47．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴ ， 解得， ， ∴二次函数的解析式为． 48．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）已知抛物线，请求出它的对称轴和顶点坐标． 【答案】对称轴是直线，顶点坐标为 【分析】 此题考查将函数解析式化为顶点式，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，正确理解二次函数的性质是解题的关键 【详解】 解：， 此抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． 49．（九上·安徽合肥·期中）当时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的的值． 【答案】当时，取得最小值为；当时，取得最大值为4． 【分析】 本题考查二次函数的最值，二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质． 把二次函数化为顶点式，可知图象的开口方向和对称轴，由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴函数图象开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，最大值为4， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为； ∴当时，取得最小值为；当时，取得最大值为4． 50．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）已知二次函数的图象如图所示．求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】 本题考查的是待定系数法求二次函数解析式．利用待定系数法求出二次函数的解析式． 【详解】 解：根据图象可设二次函数的表达式为，且过点， ， 解得． 该二次函数的表达式为． 51．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）已知二次函数 （1）将该函数表达式化为二次函数的一般形式； （2）当________时，函数有最________值是________． 【答案】（1）     （2）当时，函数有最大值是       【分析】 本题考查了二次函数的一般形式、二次函数的性质， （1）按照完全平方公式计算函数右边的乘法运算，再合并同类项即可得到答案； （2）根据二次函数的性质求出最大值即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴该二次函数的一般形式是； (2) 小问详解： 解：， 当时，函数有最大值是：． 52．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）若二次函数的图象经过原点，则a＝　　　　． 【答案】1 【分析】 把点（0，0）代入，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过原点， ∴且， 解得：． 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，通过代入点的坐标即可求解，较为简单． 53．（2026·安徽阜阳·联考）已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】 本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】 解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴ ， 解得 ， ∴． 54．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知抛物线经过点和． （1）求，的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 【答案】（1）     （2）解：点不在这个抛物线上，理由： 由（1）得抛物线的关系式为， 当时，， ∴抛物线经过点， 则点不在该抛物线上．      【分析】 本题主要考查了求二次函数关系式， 对于（1），将点代入关系式得出二元一次方程组，求出解； 对于（2），将点的坐标代入关系式即可判断． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴ ， 解得 ； (2) 小问详解： 略 55．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为400元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． （1）求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2800元      【分析】 本题主要考查了求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），根据销售利润等于票房收入减去成本可得答案； 对于（2），将二次函数关系式配方得出顶点式，再根据二次函数图象的性质讨论最大值即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数值最大值，即当时，（元）， 所以当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2800元． 56．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知抛物线与轴的交点为和，则该抛物线的对称轴是直线　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据抛物线的对称性求解即可． 【详解】 解：由题意，抛物线与x轴的交点为和，则和关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 57．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）抛物线的顶点在第　　　　　　　　　　　象限． 【答案】三 【分析】 该题考察了二次函数的性质，通过配方法将抛物线解析式转化为顶点式，得到顶点坐标，根据坐标符号判断所在象限． 【详解】 解：， 所以顶点坐标为 ，由于横坐标和纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限． 故答案为：三． 58．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 【答案】（1）该抛物线的对称轴为直线；     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）把解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 59．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）设二次函数，（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： （1）若，求二次函数的表达式； （2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）把，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将解析式化为顶点式，求得抛物线的对称轴直线，根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：把，代入，得 ，解得： ， ∴. (2) 小问详解： ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴时，y随x的增大而减小. 60．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）小组合作的学习方式，能够提高学习效率、促进交流与表达能力、培养团队合作精神、发展核心素养． 【问题】已知函数的图象与坐标轴有且只有两个交点，求的值．【讨论】学生甲：因为题意中没有明确是什么函数，所以首先要对函数类型进行分类讨论；学生乙：如果是二次函数，通过画图发现也有两种不同的情形；学生丙：此题不仅考查函数的知识，还渗透了分类讨论、数形结合等重要数学思想；… 根据以上小组成员的讨论，解答上述问题． 【答案】的值为或或． 【分析】 本题考查函数（一次、二次）与坐标轴的交点问题，运用分类讨论与数形结合思想，易错点是遗漏一次函数情形或二次函数的特殊交点情况；思路是分两类讨论：① 当函数为一次函数时，判断与坐标轴的交点数；② 当函数为二次函数时，再分“图象过原点”“与轴相切（判别式为）”两种情况，结合交点数求解． 【详解】 解：当时，函数为，是一次函数，其图象与轴和轴各有一个交点，符合题意； 当时，函数为二次函数， ① 当图象与轴和轴各有一个交点时， 有 ， 解得； ② 当图象与轴有两个交点且有一个交点是原点时， 有 ， 解得． 综上所述：的值为或或． 61．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）已知抛物线经过点． （1）求及的值； （2）若直线经过抛物线的顶点，且与抛物线的另一个交点为，求点的坐标； （3）若抛物线上有两点和，且，求的取值范围． 【答案】（1），     （2）点的坐标为     （3）当时， ；时，       【分析】 本题考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数图像的对称轴以及顶点坐标公式和其它性质是解题的关键． （1）已知抛物线过点，，说明对称轴为，从而可得的值，再代入求； （2）抛物线的顶点D在直线上，利用顶点坐标公式结合对称轴和c的值求参数，再联立方程求交点E； （3）利用抛物线的对称性和开口方向分析两点纵坐标大小关系，结合对称轴位置确定t的取值范围． (1) 小问详解： 解：（1）由抛物线经过点，，得其对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ； (2) 小问详解： 由（1）得， ∴ 抛物线的顶点为， 又直线经过抛物线的顶点 ， ， 联立方程组 ， 解得 ， ， 点的坐标为； (3) 小问详解： 由（1）知抛物线的函数表达式为，对称轴为直线， 若，则，得， 则有： ① 当时，由图象可知：使的的取值范围是； ② 当时，由图象可知：使的的取值范围是． 62．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知：抛物线与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），且． （1）此抛物线的顶点坐标为　　　　　　． （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点Q，当时，的长度随m的增大而增大，则k的取值范围是　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1）先求解抛物线与轴的交点坐标，再利用建立方程求解 可得函数解析式，可得顶点坐标； （2）先画好简易图象，再建立与的二次函数关系，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】 解：（1）令 则 解得： 而在轴正半轴， ， 解得： 抛物线为： 对称轴为： 抛物线的顶点坐标为：， 故答案是：； （2） 一次函数且直线过时， 则 解得： 当时，如图， 由 则 函数的对称轴为： 时，的长度随m的增大而增大， 解得： 当时，如图， 此时 此时抛物线的对称轴为： 时，的长度随m的增大而增大， 不符合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】 本题考查的是二次函数与x轴的交点问题，二次函数的性质，建立PQ与m的二次函数关系是解本题的关键． 63．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知二次函数中的x，y取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 n … （1）根据表格，则n的值为______； （2）求此二次函数的表达式． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式等知识点，掌握二次函数对称性是解题的关键． （1）由表格数据可得抛物线对称轴，再由抛物线的对称性求解即可； （2）由表格数据运用待定系数法求解即可． (1) 小问详解： 解：由表格可得抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵与关于对称轴对称， ∴． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由表格可知抛物线过点，，， ∴ ， 解得： ， ∴二次函数的表达式为． 64．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）若二次函数的图象与轴的交点为，，且过点，求此二次函数的解析式并直接写出图象的对称轴． 【答案】，对称轴为直线． 【分析】 本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称轴，根据二次函数的图象与轴的交点为，，设二次函数的解析式为，因为二次函数的图象过点，可以求出，从而求出二次函数的解析式为，再根据解析式求出对称轴即可． 【详解】 解：设二次函数的解析式为， 二次函数的图象过点， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 整理可得：， 抛物线的对称轴为直线． 65．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． （1）用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； （2）若，求点P的坐标． 【答案】（1），最大值为     （2）点P的坐标为      【分析】 本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表示出点的坐标，然后表示出线段的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可； （2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ． 当时，有， 解得：，． ，． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得 ， 直线的解析式为． 点N的横坐标为m， ，． ， ， ， 当时，取最大值； (2) 小问详解： 解：轴，， ． ， 或（舍去）． 此时点P的坐标为． 66．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）（多选）综合与实践 [规律探究] （1）教材第54页《数学活动》活动一中部分问题如下： 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 证明如下： 由已知可得，这两个两位数的和为①，设其中一个两位数为x，则另一个两位数为②． 设这两个两位数的积为y，则有③， 将此函数化为顶点式为④， 根据函数图象和性质，当⑤，y有最大值． 因此我们可以猜想：若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大．（证明略）通过证明，可以得出这个猜想是真命题． [实践运用] （2）如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1）①190；②；③；④；⑤95；（2）四边形ABCD的面积最大值为50 【分析】 本题核心考查二次函数的图象与性质，配方法，数字类规律探索，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，逐步分析计算，即可解答； （2）先求出四边形的面积为，继而推导出当时，取得最大值，即可解答． 【详解】 解：（1）①． ② 设其中一个两位数为x，则另一个两位数为． ③ 设这两个两位数的积为y，则． ④ 将化为顶点式，． ⑤ ∵二次函数的二次项系数为负数， ∴当时，y有最大值． 故答案为：①190；②；③；④；⑤95 （2）∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形的面积． ∵，根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”， ∴当时，取得最大值， ∴四边形面积的最大值． 答：四边形面积的最大值为50． 67．（九上·安徽合肥·期中）已知抛物线的顶点为． （1）当抛物线经过时，求抛物线的表达式； （2）求点到轴距离的最小值． 【答案】（1）     （2）3      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）将代入抛物线解析式求出，即可求解； （2）先将抛物线化为顶点式，可得其顶点为，根据题意可得点到轴的距离为，结合二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：当抛物线经过时，则， 解得， 所以； (2) 小问详解： 解：， ∴顶点， 点到轴距离为， 当时，取到最小值3，即点到轴距离的最小值为3． 68．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； （2）已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查的是二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）由对称轴可得，可得，从而可得答案； （2）由二次函数图象开口向上，对称轴为直线，根据对于，且，都有，即的中点在右侧，结合离对称轴越近，函数值越小，再进一步求解即可； （3）① 当时，即时，如图，可得当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，② 如图，当且时，时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，③ 如图，当且时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，④ 如图，当时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：∵对称轴为直线， ， ， ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵点为函数图象上任意两点， 若对于，且，都有， 又，即的中点在右侧， ∵离对称轴越近，函数值越小， 即． (3) 小问详解： 解：① 当时，即时，如图， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． ② 如图，当且时，时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ③ 如图，当且时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ④ 如图，当时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． 综上所述：或． 69．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）设抛物线l：的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线的伴随抛物线的解析式　　　　　　. 【答案】 【分析】首先根据题意求出抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后即可得出伴随抛物线的顶点坐标和所过点，列出顶点式解析式，代入所过点，即可得出其解析式. 【详解】根据题意，得 抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点是 ∴其伴随抛物线的顶点坐标为，过点 则其解析式为，将点代入，得 ∴其解析式为 【点睛】此题主要考查抛物线的性质，熟练掌握，即可解题. 70．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知二次函数． （1）用配方法将化成的形式； （2）当取何值时，随的增大而减小？ 【答案】（1）      （2） 当时，y随x的增大而减小      【分析】 此题考查二次函数化为顶点式及二次函数的性质， （1）根据配方法将二次函数化为顶点式； （2）根据二次函数的性质确定增减性． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 71．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知函数（，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值． （2）当时，求的最大值． 【答案】（1），；     （2）当时，y的值最大，最大值为6，      【分析】 （1）把点，代入解析式，即可求解； （2）把解析式化为顶点式，可得当时，y的值最大，最大值为6． (1) 小问详解： 解：∵函数（b，c为常数）的图象经过点点，， ∴ ， 解得： ； (2) 小问详解： 由（1）得：函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，且当时，y的值最大，最大值为6， ∵， ∴当时，y的值最大，最大值为6. 【点睛】 本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 72．（25-26学年九上·安徽池州·期中）【阅读理解】已知关于x、y的二次函数y＝x－2ax＋a＋2a＝（x－a）＋2a，它的顶点坐标为（a，2a），故不论a取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线y＝2x上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次两数，该条直线为根函数． 【问题解决】 （1）若二次函数y＝x＋2x－3和y＝－x－4x－3是同源二次函数，求它们的根函数； （2）已知关于x、y的二次函数C：y＝x－4mx＋4m－4m＋1，完成下列问题： ①求满足二次函数C的所有二次函数的根函数； ②若二次函数C与直线x＝－3交于点P，求点P到x轴的最小距离，请求出此时m为何值？并求出点P到x轴的最小距离； 【答案】（1）；（2）①；② 当时，点到轴的最小距离为6 【分析】 （1）先求得两个二次函数的顶点，设它们的根函数为，再将两顶点代入即可求解； （2）① 利用配方法将二次函数化为顶点式，即可求解；② 将代入函数解析式，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质，求解即可． 【详解】 解：（1），顶点坐标为 ，顶点坐标为 设它们的根函数为，将、代入得 ，解得 它们根函数为 故答案为： （2）① 顶点坐标为 将当成整体，所以满足二次函数的所有二次函数的根函数为 故答案为 ② 将代入函数解析式，得 故当时，有最小值，为6，即点到轴的最小距离为6 故答案为：当时，点到轴的最小距离为6 【点睛】 此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解题意并利用二次函数的性质求解． 73．（25-26学年九上·安徽池州·期中）已知二次函数的图象的顶点为，且过点，求这个二次函数的解析式. 【答案】 【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，−3），设抛物线的顶点式为y＝a（x−1）2−3，将点（2，0）代入求a即可． 【详解】解：设所求函数的解析式为： 则顶点坐标为，已知顶点坐标为 又图像经过点，代入得 解得 故解析式为 即. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 74．（25-26学年九上·安徽池州·期中）平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点． （1）请判断并写出该抛物线经过A，B，C中的___两点； （2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．则平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为___． 【答案】（1）A，C（2） 【分析】 （1）根据各点的坐标确定出可能情况，然后利用待定系数法分别求出a，b可得结论； （2）根据平移规律写出平移后抛物线的函数关系式，再进行配方可得结论求得答案． 【详解】 解：（1）∵B、C两点的横坐标相同， ∴抛物线y=ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点， 把A（1，2），C（2，1），代入y=ax2+bx+1得 解得， ； 把A（1，2），B（2，3），代入y=ax2+bx+1得 ． 解得， （不合题意，舍去）； ∴抛物线y=ax2+bx+1只能经过A，C两点， 故答案为：A，C； （2）由（1）得a=-1，b=2； ∴ ∵平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，顶点的横坐标为m ∴平移后抛物线的顶点坐标为（m，m+1） ∴平移后抛物线的函数关系式为y=-（ x-m）2+m+1； 令x=0，得y=-m 2+m+1=-（m-）2+． ∴当m=时，平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为． 故答案为 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值等知识点，掌握相关知识是解题的关键． 75．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知点在二次函数的图象上，且当x＝1时，函数y有最小值2． （1）求这个二次函数的表达式． （2）如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，则______．（直接填空） 【答案】（1）     （2）2      【分析】 对于（1），根据题意确定抛物线的顶点坐标，可得顶点式，再将点（0，3）代入求出关系式即可； 对于（2），根据题意可知点C，点D关于对称轴对称，进而求出答案． (1) 小问详解： ∵二次函数，当x＝1时，函数y有最小值2， ∴点为抛物线的顶点， 于是可设抛物线的关系式为：，把代入得， a＋2＝3， 解得a＝1， ∴抛物线的关系式为，即． (2) 小问详解： ∵点，都在抛物线上， ∴点C、D关于直线x＝1对称， ∴， ∴m＋n＝2． 故答案为：2. 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，掌握用对称点的横坐标求对称轴是解题的关键． 76．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]． （1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标． （2）探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数． ②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？ 【答案】（1）（1，0）；（2）① [2，﹣3]；②原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到． 【分析】 （1）根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可． （2）① 首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案； ② 分别求出两函数解析式，进而得出平移规律． 【详解】 解：（1）由题意可得出：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴此函数图象的顶点坐标为：（1，0）． （2）①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=（x+2）2﹣5， ∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到： y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3． ∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]． ② ∵一个函数的特征数为[2，3]， ∴函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2， ∵一个函数的特征数为[3，4]， ∴函数解析式为：． ∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到． 考点：1．新定义和阅读理解型问题；2．二次函数图象与平移变换；3．二次函数的性质 【点睛】 本题考查二次函数综合题、配方法、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 77．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为　　　　　　（用含的式子表示）； （2）设，为该抛物线上的两点，若，，且，则的取值范围为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数对称轴的求解，解决本题的关键是分类讨论的正负． （1）通过将抛物线方程化为顶点式或利用对称轴公式，可求得对称轴； （2）根据抛物线开口方向分类讨论：当时，抛物线开口向上，利用点与对称轴的位置关系及值不等式求解；当时，抛物线开口向下，验证条件是否成立，最终确定的取值范围． 【详解】 解：（1）抛物线（）的对称轴公式为， 其中，，代入得， 故对称轴为直线； 故答案为：； （2）设点和在抛物线上，且，， 满足 ， 当时，抛物线开口向上，对称轴为 ， 由和，得 ， 由于，且开口向上，点离对称轴越远 值越大， 故，即 ， 代入和：，简化得 ，即 ， 又，即， 代入得， 因式分解为， 由于，需，解得 ， 综上，； 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 由和，得和，两点均在对称轴右侧， 开口向下时，右侧函数递减，需才能满足， 即 ，解得 ， 但与 结合得 ， 此时验证：即， 但在范围内，，，， 乘积为负，不满足不等式，故无解； 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 78．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为          时，． 【答案】（1）；     （2） 函数图象如图：      （3）．      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，设二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 即； (2) 小问详解： 解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图， (3) 小问详解： 解：当时，， 解得：，， 如图： 根据图象可得：当时，x的取值范围为：， 故答案为：． 79．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　　． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】 （1）解：∵抛物线经过点，， ∴ ，解得 ， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴ ，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 80．（2026·安徽阜阳·联考）已知抛物线的顶点纵坐标比拋物线的顶点纵坐标小8． （1）求的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若，求的最小值； （ii）若，且，，求的值． 【答案】（1）1     （2）（i）（ii）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，把二次函数一般式化为顶点式，因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别求出两个函数的对称轴，再求出顶点的纵坐标，结合“抛物线的顶点纵坐标比拋物线的顶点纵坐标小8”，进行列式计算，即可作答． （2）（i）先把和分别代入，，得出，；整理出，因为，所以，运用二次函数的图象性质，即可作答．（ii）先得出，故，所以，结合，，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，抛物线的对称轴为直线， 把代入， 得， 故该函数的顶点纵坐标为， 拋物线的对称轴为直线， 把代入， ∴， ∴拋物线的顶点纵坐标为， 则， ∴； (2) 小问详解： 解：点在抛物线上， ， 在抛物线上， ， ， ； （i）将代入， ， 则， ， 开口向上，当时，取最小值． （ii）， 即， ， ， 则， ， ∴或 ，， ， ， ． 81．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点B，与y轴交于点C． （1）求a，b的值； （2）若点P为直线上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，，再由对称性可得点P在在直线上，求出直线的解析式为，即可，设平移后的新抛物线的解析式为，代入点P坐标得到，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点，点B， ∴ ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：由（1）得抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线，， ∵点P到A，B两点的距离相等， ∴点P在抛物线的对称轴上，即在直线上， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 设平移后的新抛物线的解析式为， ∵新抛物线经过点P， ∴， 解得， ∴新抛物线的顶点坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移问题，一次函数与几何综合，灵活运用所学知识是解题的关键. 82．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）已知二次函数的图象经过点和． （1）求b，c的值； （2）当x满足什么条件时，y随x的增大而减小． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数系数，解二元一次方程组，二次函数的图象和性质；解题的关键是正确求解方程，熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）将点的坐标代入，解方程组即可； （2）由（1）可知抛物线开口方向和对称轴，即可判断． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点和． ∴ ， 解得 ； (2) 小问详解： 由（1）可知，抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 故在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小． 83．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）已知抛物线与轴交于点和，与y轴交于点C，且． （1）抛物线的顶点坐标为　　　　　　． （2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值，设h为点M，N的纵坐标之和的最大值，则h的最大值为　　　　　　． 【答案】①     ② 7.5 【分析】 （1）先用待定系数法求得抛物线的解析式，然后化成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标． （2）先设出点M、N的横坐标，然后表示出两点纵坐标之和，再求二次函数的最值，并结合s的取值范围即可确定h的最大值． 【详解】 （1）解：∵抛物线与x轴交于点和 ∴设， 将点代入得： 解得： ∴函数的表达式是： 化为顶点式： ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为： （2）如图．    依据题意，点M、点N均在抛物线上， 故设点 则： 整理成关于t为自变量的二次函数得： 当时，h最大， ∵， ∴时， h最大，此时 此时，点 故答案为： 【点睛】 本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标、最大值，解题的关键是熟练掌握二次函数的最大值求法． 84．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）二次函数解析式为，当x>1时，y随x增大而增大，求m的取值范围　　　　　　　　　　 【答案】m≤2 【分析】先确定图像的对称轴x= ，当x>1时，y随x增大而增大，则≤1，然后列不等式并解答即可． 【详解】解：∵ ∴对称轴为x= ∵当x>1时，y随x增大而增大 ∴≤1即m≤2 故答案为m≤2． 【点睛】本题考查二次函数的增减性，正确掌握二次函数得性质和解一元一次不等式方程是解答本题的关键． 85．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）； （2）点不在这个二次函数的图象上． ∵当时，， ∴点不在这个二次函数的图象上． 【分析】 （1）由题意，设二次函数的解析式是，再把点代入，即可求出，即可得出解析式； （2）把点P的坐标分别代入，看看两边是否相等即可． 【详解】 解：（1）由顶点，可设关系式为：， 将点代入上式可得：， 解得：， ∴此二次函数的关系式为． （2）略 【点睛】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能正确求出函数的解析式是解此题的关键． 86．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点， （ⅰ）如图1，求证：是直角三角形； （ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）（ⅰ），当时，， 点坐标为， 当时，，解得或， 点A在点的左侧， 点A坐标为，点坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形； （ⅱ）或或或      【分析】 （1）运用待定系数法解方程组即可； （2）① 利用勾股定理的逆定理证明即可； ② 分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点和， ， 解得 抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：（ⅰ）略 （ⅱ）， 抛物线的对称轴是直线， 点坐标为，设点坐标为， 分两种情况：①当时，， 即， 解得， 此时点的坐标为或； ②当时，，即， 解得， 此时点的坐标为或； 综上，点坐标为或或或． 87．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． （1）当时，　　　　　　； （2）的最大值为　　　　　　　． 【答案】（1）0.5     （2）.5625      【分析】 本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． (1) 小问详解： 解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． (2) 小问详解： 如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 88．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线与轴交于点和点，则的值是　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 将已知抛物线解析式转化为一般式；然后由对称轴方程求得该抛物线的对称轴是直线；最后由抛物线的轴对称性质求得答案． 【详解】 解：由知：． 则其对称轴为直线． 所以，点和点关于直线对称． 所以，． 解得． 故答案是：4． 【点睛】 本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．此题也可以利用待定系数法确定函数解析式，然后利用抛物线解析式与一元二次方程的关键求解． 89．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）设点是抛物线在第四象限部分上的动点，连接、、、，如图，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点的坐标； 【答案】（1），，；     （2）点D坐标为      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）令可求得点C坐标，令可求得点A、B坐标； （2）设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， 令，由解得，， ∴，，； (2) 小问详解： 解：设， 由（1）知，，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为． 此时，， ∴点D坐标为． 90．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知二次函数． （1）当，时，求该函数图象的顶点坐标； （2）当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，理解二次函数的性质是解本题的关键； （1）先代入，再化为顶点式，从而可得答案； （2）先判断抛物线的对称轴在y轴的右侧，可得，再根据最值情况分别求解，即可； (1) 小问详解： 解：∵，时， ∴， ∴顶点坐标为． (2) 小问详解： ∵时，y的最大值为2；时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，y的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 91．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标； （2）若点，在该函数图象上，且，求m的取值范围； （3）若函数图象经过点，，求证：． 【答案】（1）     （2）     （3） 证明：函数的图象经过点，， ∴． ∴． ∴．      【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）分两种情况，当和时，根据增减性分析，解不等式（组）即可得解； （3）将已知两点代入求出，，再用m表示出，配方，即可得证． (1) 小问详解： 解：二次函数经过点， ∴． 解得． ∴． ∴函数图象的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵的图象经过点，． ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴， 即 ， 解得， 综上，的取值范围为：； (3) 小问详解： 略 92．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，其最大值是，经过点，交轴于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中作二次函数图象上的点； （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 【答案】（1）      （2） 【分析】 （1）先求出函数解析式，再得出点的具体位置； （2）求的周长最小，是固定值，即最小，即找到的对称点，连接另一个点和对称点，点即是与对称轴的交点． (1) 小问详解： 解：根据题意可得： 解得： ， 即二次函数 ∴， ∵对称轴为直线， 在图上找到点关于对称轴对称的点即是点； (2) 小问详解： 如图，连接，点为和直线的交点，连接， 由（1）得：，， ∴关于对称， ∴ ∴的周长 当在上时，的周长最短， 令的解析式为， 将点点代入解析式得： ，解得： ， 的解析式为， 当时，， 故点 93．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点．点是轴上的一动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； 【答案】（1）抛物线的表达式为     （2）周长的最小值为      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）利用抛物线的解析式求得点，，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为； 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴ ， 解得： ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴ ， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 94．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是　　　　　　； （2）若恒成立，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是： （1）当时，的取值范围为，根据二次函数的性质求解即可； （2）分三种情况讨论：① 当时；当时；③ 当时，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：（1）当时，， ∵函数，， ∴抛物线开口向上 ∴当时，有最小值为； ∵当时，；当 时，， ∴当时，有最大值为， ∴的取值范围为； （2）① 当时， ∵抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值为， 又， ∴， 解得； ② 当时， ∵抛物线开口向上，当时，有最小值， ∴当时，有最大值为，或当时，有最大值为， 又， ∴，或 解得或； ③ 当时， ∵抛物线开口向上，当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值为， 又， ∴， 解得； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 95．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知抛物线． （1）当，时，求y的最小值； （2）若抛物线的顶点在x轴上，且经过点，求a的值； （3）当时，，为此抛物线上的两点，若时，总有，求a的取值范围． 【答案】（1）     （2），     （3）或      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、求二次函数的最值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）将代入抛物线解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）由抛物线的顶点在x轴上，则对应方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式可得，即，再将代入得到关于a的方程求解即可； （3）当时，抛物线为：，即抛物线对称轴为直线，抛物线开口方向向上；再根据M、N的不同位置分类讨论即可解答． (1) 小问详解： 解：当时，抛物线为：， 所以当时，y的最小值为． (2) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴，即， ∴， ∴抛物线为：， 代入点得：，解得，． (3) 小问详解： 解：当时，抛物线为：， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口方向向上， 当，点都在对称轴右侧时， ∵时，总有， ∴，解得：； 当，点在对称轴右侧，点在对称轴左侧时，即， ∵时，总有， ∴，解得：，与矛盾，舍去； 当时，点在对称轴左侧，点关于对称轴的对称点的横坐标为， ∵时，总有， ∴，解得：． 综上：或． 96．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）卫星导航系统需要计算运动点（例如车辆、无人机等）与观测点之间距离的平方来实时规划路径、对运动物体进行导航．如图1，点是笔直公路旁边的一个固定观测点，运动点从处出发，沿公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象是一条抛物线，与轴交于点，最低点，且经过点．    （1）求的值； （2）求出与的函数表达式（不用写自变量的取值范围）． 【答案】（1）13     （2）      【分析】 本题主要考查动点的函数图象、用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、垂线段最短等知识点，从函数图象中有效地获取信息是解题的关键． （1）如图：作，当时，动点Q运动到点H的位置，得到，当点Q运动到点G的时候，最小为81，，再运用勾股定理列方程求出m的值即可； （2）可得，设，将代入可得，解得，即可确定函数解析式． (1) 小问详解： 解：如图，作．    当时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知． 当点Q运动到点G，即时，最小，即， ∴． 在中，由勾股定理，得：． 解得（舍去）或． 故答案为：13． (2) 小问详解： 解：由（1）可得． 设． 将代入上式，得：，解得：． ∴． 97．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知二次函数． （1）若该二次函数的图象与轴有交点，求的取值范围； （2）判断该二次函数的图象是否经过一个定点，若经过，求出此定点的坐标，若不经过，请说明理由． 【答案】（1） 且      （2）经过定点，定点的坐标为       【分析】 本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数与轴的交点问题，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）二次函数与轴有交点，即判别式大于等于零，同时考虑二次项系数不为零，然后即可求解； （2）判断图像是否经过定点，通过重新整理函数表达式，令含的系数为零，求解定点坐标，即可求解； (1) 小问详解： 解：∵二次函数与轴有交点， ∴方程有实数根， 即判别式， 计算得， 由 ，得 ， 即  又 ， ∴当且，该二次函数的图象与轴有交点； (2) 小问详解： 解：将函数表达式重新整理：， 对于定点，令 ，即， 则 ， ∴该二次函数的图象经过定点； 98．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． （1）求a的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； （3）点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 【答案】（1）     （2）h最大值为     （3）      【分析】 本题主要考查二次函数图象的性质，最值的计算，理解题意，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据顶点坐标的计算方法求解； （2）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）分别把点代入对应函数解析中计算，得到，结合题意即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 所以； (2) 小问详解： 解：在抛物线上， ， 在抛物线上， ， ， ， ． ， 当时，h有最大值； (3) 小问详解： 解：点在抛物线上，点在抛物线上， ，， 是一个与无关的定值且， ． ， ． 99．（九上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（a，b为常数）与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点是抛物线在直线上方部分的一个动点（与点B，C不重合），过点作轴的垂线交直线BC于点，连接，当的面积达到最大值时，求此时的长度； （3）若点为抛物线对称轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰三角形的定义，平面直角坐标系两点间距离等知识﹒ （1）利用待定系数法即可求解； （2）求出，待定系数法求出直线解析式为﹒设，则，即可得到，进而求出，得到当取到最大值时，则取到最大值，根据二次函数性质得到当时，取到最大值，此时； （3）由得抛物线对称轴为直线，设，即可求出，分，，三种情况分类讨论，列方程求解即可﹒ (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：把代入得， ∴ 设直线解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线解析式为﹒ 设，则， ∴， ∴ ∴当取到最大值时，则取到最大值， 当时，取到最大值，此时； (3) 小问详解： 解：由得抛物线对称轴为直线， 设，∵， ∴ ， ① 当时，即，解得； ② 当时，即，解得； ③ 当时，即，解得. 所以﹒ 100．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）的坐标为     （3）的坐标为或或或      【分析】 （1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为； （3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案． (1) 小问详解： 解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； (3) 小问详解： 解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 101．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）     （2）存在，最大值是，     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； (3) 小问详解： 解：设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 102．（25-26学年九上·安徽池州·期中）淮南油酥烧饼是安徽早餐的特色之一，如图1，它的外边缘线的一半恰好呈抛物线，如图2是半块烧饼的示意图，以的中点为原点建立平面直角坐标系，的长度为，抛物线最高点距的最大高度为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图3，小明想在这半块烧饼上切出一块矩形，使得矩形的一边与重合，点在抛物线上，求该矩形周长的最大值： （3）如图4，小明的妹妹想在这半块烧饼上切出若干块宽为的矩形，若切出的所有矩形的长与平行，求切出的所有矩形的面积之和．（结果保留根号） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，点的坐标分别为．设该抛物线的解析式为，把点代入，求，进而可得抛物线解析式； （2）由题意知，，设点的坐标为，则，即矩形的周长，根据二次函数的性质求最值即可； （3）根据宽度为，则分别计算当，，时，对应的值，进而可求各层矩形的长，最后根据面积公式计算并求和即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，点的坐标分别为． 设该抛物线的解析式为，把点代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：由题意知，，设点的坐标为，则， ∴矩形的周长， ∵， ∴当时，矩形周长的最大值为． (3) 小问详解： 解：当时，，解得， ∴最下层矩形的长为． 当时，，解得， ∴中层矩形长为， 当时，，解得， ∴上层矩形长为． ∴切出的所有矩形的面积之和为． 【点睛】 本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的四边形综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 103．（25-26学年九上·安徽池州·期中）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． （1）求m的值； （2）求证：； （3）当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 【答案】（1）     （2） ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．     （3）当时，值最大，为      【分析】 （1）把代入与中，得，，两式相加可得． （2）由得，由，，得，故． （3）由得抛物线L为，得，表示出，，得，再利用利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 把代入与中，得 ，， 得． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图：        ∵， ∴， ∴将抛物线L为，直线为， ∵抛物线L向左平移， ∴抛物线P为， ∵抛物线L的对称轴为直线， ∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M， ∴， ∵直线与抛物线L的对称轴交于点B， ∴， ∵点M在点B的下方， ∴． ∵抛物线L的对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 【点睛】 本题考查了二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，不等式的性质，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的平移，以及二次函数与几何综合，掌握二次函数最值的求法是解题关键． 104．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知二次函数． （1）若该二次函数过原点，那么函数的对称轴为　　　　　． （2）当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】① 直线    ② 或 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由于二次函数过原点，代入点可求得的值，再根据二次函数对称轴公式求解； （2）由得到关于的不等式，整理后分析二次函数在上的取值情况，分和讨论． 【详解】 解：（1）∵二次函数过原点， ∴当时，， 代入函数解析式：， 解得， 所以函数为， 所以对称轴为 ， 故答案为：直线； （2）由，得：， 整理得：， 即： 令， ∵当时，， ∴当时，，所以，恒成立， 当时，需要在上恒成立， 由于， 当时，随着的增大而增大， 当时，，当时，， 故在上，， 所以， 即， 又， 所以， 综上，的取值范围是或， 故答案为：或． 105．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于A点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，连接与直线交于点D，若，请求出k的取值范围． 【答案】（1）     （2）存在，     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）当，可导角得到，由（1）可得点A坐标由勾股定理得即可求解； （3）过点P作轴垂线交直线于点E得将转化为，再利用二次函数的性质求解最值，即可求解取值范围 (1) 小问详解： 解：将，两点代入得 ， 解得： ， 抛物线解析式为：； (2) 小问详解： 解：存在， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 设点Q坐标为， 由（1）可知：，， ， ， ， 解得：， 故Q点的坐标为； (3) 小问详解： 解：过点P作轴垂线交直线于点E如图： 设直线的解析式为：， 将代入得， ， 解得： ， 直线的解析式为： 设点P的坐标为， ， ∴， 解得， 则E的坐标为， ∴， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 当或时，， ∴． 【点睛】 本题考查了二次函数—几何综合，三角形相似的判定及性质，一次函数，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，题目综合性强、难度较大，解题关键的正确做出辅助线及数形结合思想．为中考常考题型． 106．（25-26学年九上·安徽中学·期中）已知关于x的抛物线（k为常数）． （1）此抛物线顶点的坐标是　　　　　　　　　． （2）若，点为该抛物线上一动点，过点A作直线轴，直线与直线相交于点B．当线段的长随a的增大而减小时，a的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线顶点坐标公式直接求解． （2）当时，先确定抛物线方程，再表示点A的坐标，由轴得出点B的坐标，计算的长度并化简，分析二次函数的增减性确定a的取值范围． 【详解】 解：（1）抛物线中， ，，， 顶点横坐标， 代入得， 故顶点坐标为， 故答案为：； （2）当时，抛物线为， 点在抛物线上，故， 轴，与直线相交于点B， B点坐标为， 的长度为， ， 恒成立， ， 令，为开口向上的二次函数， 顶点横坐标， 当时，随a增大而减小，即随a增大而减小， 故a的取值范围为， 故答案为：． 107．（25-26学年九上·安徽淮南淮南西部地区·期中）如图，在平面直角坐标系中有一，O为坐标原点，，，将绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式及顶点G的坐标； （2）判断抛物线是否经过点C，请说明理由； （3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使与的面积相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点的坐标为     （2） 抛物线经过点，理由如下： 由旋转知，， ， 由（1）知当时，， 抛物线经过点；     （3）存在，      【分析】 本题考查了二次函数的图像及性质、待定系数法、图形旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由点A的坐标、点B的坐标即可求出抛物线的解析式，将其化为顶点式后即可求顶点坐标； （2）由旋转的性质可知点C的坐标，将其代入解析式看是否满足等式，即可； （3）过点作，交抛物线于，先求出直线的解析式，再设直线的解析式为，把顶点的坐标为代入直线的解析式，得直线的解析式为：，联立 ，即可求解． (1) 小问详解： 解：，， 点A的坐标为，点B的坐标为， 抛物线经过A，B两点， ，解得 ， ， 顶点的坐标为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 存在，如图所示，过点作，交抛物线于， 由旋转知， ， 由（2）知， 设直线的解析式为：， ，解得 ， 直线的解析式为：． 与的面积相等， 设直线的解析式为：． 把顶点的坐标为代入直线的解析式，得， 解得，， 直线的解析式为：， 联立 ， 解得 或 点P在第二象限内，是抛物线上异于点G的一点， 点P的坐标为． 108．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将该二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）是否存在实数，使得对于函数上任意的一点，也在函数图象上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质等知识，熟记二次函数相关知识是解决问题的关键． （1）由待定系数法求抛物线的解析式即可得到答案； （2）利用函数对称性质求出新的二次函数解析式，由二次函数图象与性质，求出的最大值与最小值计算即可得到答案； （3）由题意，将代入函数解析式、代入函数解析式，从而得到即可得到答案． (1) 小问详解： 解：二次函数的图象过点，且与轴交于点， ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：抛物线关于轴对称的图象解析式为， 则抛物线的对称轴为， ， 抛物线在时有最大值，为， 对于最小值，求出与的函数值，再比较大小即可确定， 当时，；当时，， ， 当时，二次函数的最小值为， 则新的二次函数的最大值与最小值的和； (3) 小问详解： 解：存在， 当在函数图象上，则， 当时，代入得， ， ， ， 若也在函数图象上，则， ， 可取任意实数， 要使，无论取何值，等式恒成立，则只需， 解得． 109．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点，且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 【答案】（1），     （2）①；②       【分析】 （1）由对称轴方程求得b的值，由点A坐标代入抛物线解析式即可求得c的值； （２）① 方法一：由A、B的坐标可得对称轴方程是关于b、m的关系式，由m的取值范围即得；方法二：把A、B坐标分别代入抛物线解析式可得b、m关系式，由m的取值范围，即得b的取值范围；② 方法一：可将点的坐标代入抛物线的解析式，进而建立关于，m的不等式，解不等式即得；方法二：根据y的变化趋势，得出到对称轴的距离的大小关系，建立关于，b的不等式，解不等式即得 (1) 小问详解： 解：∵抛物线L的对称轴为直线x= 解得            ∵抛物线 经过点， (2) 小问详解： ① 方法一：∵抛物线L经过，， ∴抛物线L的对称轴为直线 ∴． ∵， ∴， ∴b的取值范围为． 方法二：将代入 得， ∴，        又∵抛物线L过点，        由，可知， ∴， ∵， ∴， ∴．        ② 方法一∶将代入 得， ∴． 由① 可知，， ∴， ， ， ， 又∵ , , ∴m的最大值为        方法二：∵抛物线L的对称轴为直线 则点到直线的距离点到直线的距离 ∵抛物线L的开口向下， ∴距离抛物线对称轴越远的点，函数值越小， ∴当时， 即 整理，得 ， ，        又， ， 由① 可知，， ， ， ∴m的最大值为 【点睛】 本题考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，对称性增减性，二次函数与方程与不等式，是解题的关键． 110．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标　　　　　　； （2）当时，y有最小值，则m的取值范围为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与x轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与x轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线，再把代入得，从而有，求解即可得解． 【详解】 解：（1）， ∴函数与x轴的交点为，， ∴函数必过点； 故答案为：； （2）∵函数与x轴的交点为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得， ∴， 解得， ∵，即， ∴， ∴m的范围为． 故答案为：． 111．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）综合与实践 【问题背景】某数学兴趣小组针对高铁检票问题、研究了排队人数与安检时间，检票闸口数之间的关系． 【模型构建】收集数据：列车发车前15分钟开始检票，数学兴趣小组根据收集到的候车总人数（人）与安检时间（分钟）之间部分对应值并制成下表： 0 5 10 15 25 150 225 250 （1）以，的每组对应值作为点的坐标在给出的平面直角坐标系中描点，用光滑的曲线顺次连接各点； （2）根据图象，在我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中与之间满足          函数关系； （3）求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 已知条件1：旅客排队检票上车，在任意时刻都满足：排队人数=候车总人数-已检票人数； 已知条件2：若该检票口最多可开放10条检票通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为          ，排队人数与检票时间的函数关系式为          ； （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）为保证列车行车安全，车站规定列车开车前5分钟停止检票，同时为节省开支，尽量少安排检票通道，为保证候车室所有旅客都能安全检票上车，求至少应打开几条检票通道？ 【答案】[模型构建]（1）如图： （2）二次； （3）； [模型应用]（1）；； （2）6，61； （3）至少应打开4条通道 【分析】 本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解答的关键． [模型构建] （1）在平面直角坐标系描点、连线即可画出图象； （2）根据所画图象为抛物线一部分，可得与之间满足二次函数关系； （3）利用待定系数法求解即可； [模型应用] （1）根据题意求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可； （3）设应打开m条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车，则，根据题意，得到当时，,进而求解即可． 【详解】 解：[模型构建] （1）略 （2）根据所画图象为抛物线一部分，可得与之间满足二次函数关系， 故答案为：二次； （3）设与之间的函数表达式为， 将，，代入，得 ， 解得 ∴与之间的函数表达式为； [模型应用] （1）由题意，当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为，排队人数 与检票时间的函数关系式为， 故答案为：；； （2）， ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为61， 答：排队人数在第6分钟达到最大值，最大人数为61人， 故答案为：6，61； （3）设应打开m条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车， 则， ∵车站规定列车开车前5分钟停止检票， ∴当时，且，即且， 解得， ∵，m为正整数， ∴应至少打开4条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车． 112．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）若点在直线上，点在抛物线上，当时，求的最小值． 【答案】（1）     （2）2     （3）      【分析】 该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）把代入即可求解． （2）由（1）可知，得出，根据点的横坐标为，得出，，从而表示出，即可求解． （3）根据点在直线上，点在抛物线上，得出，，将代入，得出，整理得：，即可求解． (1) 小问详解： 解：把代入， 得， 解得：． (2) 小问详解： 解：由（1）可知， ， ∵点的横坐标为， ， ， ， ． (3) 小问详解： 解：∵点在直线上，点在抛物线上， ∴，， 当时，， ， 故， 整理得：， 故当时，最小，最小值是． 113．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）定义：二次函数，当时的函数值记为该函数的“系数和值”． （1）抛物线与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，点B的坐标为，求该抛物线的“系数和值”； （2）将（1）中的抛物线平移，使其顶点落在线段上，求该抛物线“系数和值”的取值范围． 【答案】（1）该抛物线的“系数和值”为；     （2）该抛物线“系数和值”的取值范围为．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，理解抛物线的“系数和值”是解题的关键． （1）把代入，求得，则抛物线的解析式为，据此即可求得该抛物线的“系数和值”； （2）设顶点坐标为，则，当时，，根据题意，据此即可求得． (1) 小问详解： 解：∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，函数值为， ∴该抛物线的“系数和值”为； (2) 小问详解： 解：设顶点坐标为， 则， 当时，， 当时，， ∴顶点坐标为， ∵顶点落在线段上， ∴， ∴， ∴该抛物线“系数和值”的取值范围为． 114．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标． （1）求抛物线与直线的解析式． （2）已知，是抛物线上不同的两点，若，求的取值范围． （3）平移直线得到直线，与轴交于点．如图②，过，两点向下作矩形，使得 ，当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数与二次函数解析式，二次函数的性质，矩形的性质，一次函数的平移； （1）将点的坐标代入抛物线解析式中，求得，得出抛物线解析式，进而令，得出点的坐标，待定系数法求直线解析式即可求解； （2）分当在点的左侧时，当在点的右侧时，得出的范围，再根据点与对称轴的距离的远近列出不等式，即可求解； （3）根据一次函数的平移得出直线的解析式为，先求得点的坐标，再令，连接抛物线解析式得出抛物线与的交点的横坐标，代入直线，求得的值，即可求解． (1) 小问详解： 解：将点的坐标代入抛物线得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时，，则， 设直线的解析式为，代入，得 解得； ∴直线的解析式为 (2) 小问详解： 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵，是抛物线上不同的两点， ∴，即， 当在点的左侧时， 解得： ∵ ∴ 解得： ∴无解， ∴不存在这种情况； 当在点的右侧时，， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴； (3) 小问详解： 解：，令， ∴ 解得： ∴ 依题意，直线的解析式为 当直线经过点时，将代入得 解得：； ∵四边形是矩形， 又∵，则 ∴当直线：经过点时，则， 解得： ∵在直线上， 将代入抛物线解析式，得 解得： ∴当直线过点时， 解得： 结合图象可知：当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，的取值范围为或． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）抛物线与y轴的交点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，求抛物线与y轴的交点，即令，代入方程计算y值． 【详解】 解：∵抛物线与y轴相交时，， ∴将代入， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选A 2．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】 解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 3．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（       ） x A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查估算一元二次方程的根．根据表格得到当时，，当时，，即可得到在时，存在一个的值，使，即可． 【详解】 解：由表格可知：当时，， 当时，， ∴当时，存在一个的值，使， 即：方程的一个解的范围是； 故选：C． 4．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知二次函数，则下列说法错误的是（       ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 图象的顶点坐标是 C. 图象与轴的交点坐标是， D. 当时，随增大而减小 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，包括与坐标轴的交点、顶点坐标和单调性，通过直接计算可以判断各选项的正误，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：在中，当时，，即图象与轴的交点坐标是，故A正确； ∵， ∴图象的顶点坐标是，故B错误； 令，则，解得，， ∴图象与轴的交点坐标是，，故C正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，故D正确； 故选：B． 5．（25-26学年九上·安徽安庆外国语学校·期中）如表中列出了二次函数的、的一些对应值，则一元二次方程的一个解的范围是（       ） … 0 1 … … 1 1 … A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数与对应一元二次方程的关系，由表格数据可知，当时，，当时，，可得函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是，即可得到一元二次方程一个解的范围． 【详解】 解：由表格数据可知，当时，，当时，． ∴函数的图象在x轴的交点横坐标的范围是， 即一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 6．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 7．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 【详解】 解：∵ 抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或． 故选：D． 8．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（     ）         1                                                                 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 该题考查了二次函数与一元二次方程的关系，通过观察二次函数值的符号变化，确定一元二次方程根的所在区间． 【详解】 解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程 的一个解 在 和 之间，即 ． 故选：B． 9．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知抛物线过点，当时，自变量的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查了抛物线的对称轴、对称性及开口方向与函数值符号的关系，解题的关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点． 先求抛物线的对称轴为，结合已知交点，利用对称性得另一个交点；再由知抛物线开口向上，从而确定时的取值范围． 【详解】 解：抛物线的对称轴公式为， 代入得： 已知抛物线过点，且抛物线关于对称轴对称， 与轴的另一个交点到对称轴的距离和到的距离相等． 另一个交点的横坐标为， 抛物线与轴的交点为和． ，抛物线开口向上， 当或时，抛物线在轴上方， ． 故选D 10．（九上·安徽合肥·期中）一次函数（）与二次函数（）的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．观察图象得∶当时，一次函数图象位于二次函数图象的上方，即可求解． 【详解】 解：由题意得，， 即， 观察图象得∶当时，一次函数图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为． 故选：C． 11．（25-26学年九上·安徽池州·期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与轴的交点分别为，点是其对称轴直线上的动点，根据图中提供的信息，得出以下结论： ①； ②是方程的一个根； ③周长的最小值是； ④． ⑤若，则或 其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，轴对称求最短路径，坐标两点距离公式等，利用数形结合的思想解决问题是关键．由抛物线的对称轴得到，可判断① 结论；根据抛物线的对称轴得到与轴的另一个交点坐标，可判断② 结论；令抛物线与轴的另一个交点为，连接、，则，先求出，由抛物线的对称性可，，则当、、三点共线时，有最小值为5，可判断③ 结论；由图象可知，当时，，可判断④ 结论；当时，；当时，，由抛物线的对称性可知，当时，，再结合图象可判断⑤ 结论． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， ， ，① 结论正确； 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 是方程的一个根，② 结论正确； 如图，令抛物线与轴的另一个交点为，连接、，则 令，则， ， ， 由抛物线的对称性可知，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， ， 的最小值为5， 周长的最小值是，③ 结论正确； 由图象可知，当时，， ， ，④ 结论正确； 当时，；当时，， 由抛物线的对称性可知，和的函数值相等，即当时，； 若，则， 或，⑤ 结论正确； 正确的有① ② ③ ④ ⑤ ，共5个， 故选：D． 12．（25-26学年九上·安徽中学·期中）下表列出了二次函数（）的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围大概是（       ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与一元二次方程的关键．根据表格数据可得二次函数图象关于y轴对称，且图象开口向上，过点，，，，即可得到当时，或，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】 解：由表可知，二次函数的图象过点，， ∴该函数图象的对称轴为，即关于y轴对称，且图象开口向上， ∵二次函数的图象过点，， ∴根据对称性可得二次函数的图象也过点，， ∴当时，或， ∴一元二次方程的解的范围为或． ∴的其中一个解的取值范围大概是， 故选：A． 13．（2026·安徽阜阳·联考）二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的值可能是（     ） A.  B. 2 C. 4 D. 9 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数与轴的交点问题．根据，二次函数与轴有两个不同的交点即可求解． 【详解】 解：根据题意，， 解得，且， 观察四个选项，选项A符合题意． 故选：A． 14．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A. 6 B. 8 C. 10 D. 20 【答案】C 【分析】 本题考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标；通过求抛物线与坐标轴的交点坐标，确定三角形顶点位置，进而计算面积。 【详解】 解：抛物线与轴交于点、， 令，得，解得， ，，。 抛物线与轴交于点， 令，得， 。 的底边，高为， ∴的面积为。 故选：C． 15．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③无论a，b，c取何值，抛物线一定经过．其正确结论有（       ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 由对称轴及抛物线开口向上、与y轴的交点，来判断a、b、c的关系，即可判断① ； 由抛物线经过点及与y轴的交点，即可判断② ； 由对称性可得图象经过（-1，0），结合对称轴公式，即可判断③ ． 【详解】 ①抛物线对称轴为直线，即对称轴在y轴右侧 抛物线与y轴交于负半轴 故① 正确； ②抛物线（a，b，c为常数，）经过点 故② 正确； ③ 由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0） 对称轴为直线 所以，无论a，b，c取何值，抛物线一定经过 故③ 正确； 综上，正确结论有3个． 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点，并能够通过图象获取信息是解题的关键． 16．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】 解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 17．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）已知二次函数的图像过点，． （1）求此二次函数的解析式； （2）求出该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）将，代入，求得，值，即可得出二次函数的解析式； （2）令，解得值，则可得出二次函数的图像与轴的交点坐标． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图像过点，， ∴ ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为． (2) 小问详解： 当时， 则：， ∴， 解得：，． ∴该抛物线与轴的交点坐标为，． 【点睛】 本题考查待定系数法求二次函数的解析式及求二次函数与x值的交点坐标．熟练掌握待定系数法确定二次函数的解析式是解题的关键． 18．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）在平面直角坐标系中，线段轴，线段的对称轴是y轴，若点A的坐标为，抛物线经过点A和点B． （1）该抛物线对应的表达式为　　　1　　　； （2）将抛物线在线段下方的部分（不含点A，B）记为图象M．若直线与图象M只有一个交点，则k的取值范围是　　　2　　　． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）由于线段平行于轴且对称轴为轴，点关于轴的对称点为，抛物线经过点和点，代入点坐标可求值； （2）图象是抛物线在区间内的部分，直线与图象只有一个交点，即方程在区间内有且只有一个实数根，通过分析二次函数在区间端点的函数值符号，确定满足条件的的取值范围． (1) 小问详解： 解：点关于轴的对称点为， 代入抛物线得，， 解得， 因此，抛物线表达式为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设，方程的根即为直线与抛物线的交点横坐标， 图象对应的范围为，需方程在内有且只有一个根， 当时，， 当时，， 则， 解得或， 当时，根为和，仅在内； 当时，根为和，仅在内； 当或时，，确保恰好一个根在内， 因此的取值范围为或， 故答案为：或． 19．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）已知二次函数． （1）列表如下，请完成表格中的填空并画出二次函数的图象； … … … … （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） 解：列表： 描点、连线，如图抛物线为所求， … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … ；     （2）      【分析】 本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想答题． （1）根据函数解析式找出对应的x，y的值列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）根据图象可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据图象可得：当时，． 20．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 根据二次函数与一元二次方程的根的判别式的关系结合二次函数的定义解答． 【详解】 解：根据题意可得：且， 解得：且； 故答案为：且． 【点睛】 本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，熟知抛物线与x轴有两个交点，则对应方程的判别式是解本题的关键． 21．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）已知关于x的二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+3的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是　　　　　． 【答案】a＜且a≠1 【分析】先根据二次函数的定义得，再根据二次函数图象的性质可知，与x轴有两个交点表示一元二次方程有两个不相等的实数根，求解即可得. 【详解】由题意得：和关于x的方程有两个不相等的实数根 则 解得：且. 【点睛】本题考查了二次函数的定义和图象的性质，将二次函数与x轴的交点个数问题转化为一元二次方程的根的情况问题是解题关键. 22．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）已知二次函数． （1）求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】（1） 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点；     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． 23．（25-26学年九上·安徽蚌埠·期中）已知关于x的二次函数． （1）当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点为     （2） 证明：， 故对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点．      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）将代入函数解析式，然后配方成顶点式进行求解即可； （2）根据根的判别式求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，，    对称轴为直线，顶点为， (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 把代入得，再利用整体代入的方法，即可求得结果． 【详解】 解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·安徽铜陵第十五中学·期中）新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为． （1）图像数为的二次函数表达式为__________． （2）求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 【答案】（1）     （2） “图象数”为的二次函数表达式为：. 当时， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 即“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点．      【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点： （1）根据新定义得到二次函数的解析式即可； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而求证. (1) 小问详解： 解：图像数为的二次函数表达式为：. (2) 小问详解： 略 26．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）已知二次函数． （1）点是该二次函数的图象上一动点，当点到轴的距离为2时，的值是　　　　　　； （2）若函数的图象上到轴距离为2的点有四个，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】① 1或3    ② 【分析】 该题考查了二次函数的图象和性质． （1）点M到x轴的距离为2，即，代入函数解析式求解方程； （2）函数图像开口向上，图象上到x轴距离为2的点有四个，即顶点到轴距离大于2，列不等式求n的取值范围即可． 【详解】 解：（1）∵点到轴的距离为2， ∴， 又点在二次函数的图像上， ∴， ∴． 即或． 解，得或． 解得无实数根． 故a的值为1或3． 故答案为：1或3． （2）， ∵函数的图象上到轴距离为2的点有四个， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（九上·安徽合肥·期中）已知函数的图象与轴只有一个交点，求的值及该交点的坐标． 【答案】当时，交点为，当时，交点为，当时，交点为 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数性质，注意分类讨论求解．需要分类讨论函数为一次函数和二次函数的情况；① 当函数为一次函数时，图象与坐标轴有两个交点；② 当函数为二次函数时，判别式为零（与轴有一个交点且与轴交点不重合），从而得到m的值． 【详解】 解：当时，，其图象与轴只有一个交点，为； 当时，的图象与轴只有一个交点， ∴，解得或9； 当时，，图象与轴只有一个交点，为； 当时，，图象与轴只有一个交点，为； 所以当时，交点为，当时，交点为，当时，交点为. 28．（25-26学年九上·安徽池州·期中）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，若二次函数的图象与轴有交点，则一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】 解：二次函数的图象与轴有交点， 一元二次方程有实数根， ，， 且． 故答案为：且． 29．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）已知二次函数． （1）在如图给定的平面直角坐标系中，通过列表，描点，连线画出该函数的图象；完成列表： … … … … （2）根据图象，直接写出当时的取值范围______；当时，随的增大而______．（填“增大”或“减小”） 【答案】（1） 解：列表 描点、连线如图所示，      （2）的取值范围是；增大      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据二次函数的解析式画出图象． 按照列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可； 根据图象判断时的取值范围，当时，随的变化规律． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由中图象可知，当时，的取值范围是； 抛物线的对称轴是， 二次项系数是， 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大； 故答案为：，增大． 30．（2026·安徽阜阳·联考）已知抛物线（为常数）． （1）若，则该抛物线的对称轴为　　　　　　　　　　　； （2）若该抛物线经过不同的点，，且与轴有公共点，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】① 直线    ② 3 【分析】 本题考查了二次函数的性质、判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）直接利用抛物线对称轴公式求解； （2）通过点、关于对称轴对称得出与的关系，再根据抛物线与轴有公共点，利用判别式求解． 【详解】 解：（1）抛物线的对称轴为：， 当时，对称轴为； 故答案为：直线； （2）∵点和点的纵坐标相同， ∴点、关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵抛物线与轴有公共点， ∴判别式， ， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴． 故答案为：3． 31．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是　　　　　　　　　　　 【答案】，. 【分析】由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得. 【详解】依题意，得： ， 解得： ， 所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：， 即：， 化为：， 解得：，， 故答案为，. 【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键. 32．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）已知抛物线（是常数）． （1）求证：无论取何值，抛物线与轴总有交点； （2）若抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，求的值． 【答案】（1） 证明：令， 则 ， ， ， ∴无论取何值，抛物线与轴总有交点．     （2） 或       【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，掌握抛物线与x轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式是解题的关键． （1）通过计算判别式并证明其非负，说明抛物线与轴总有交点； （2）先求出抛物线与轴的交点坐标，再根据两点距离公式列方程求解的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由， 令， ， 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴两个交点之间的距离为， 则， ∴或， 解得：或． 33．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）已知关于x的二次函数． （1）求证：此抛物线与x轴总有交点； （2）若此抛物线与x轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数，m是正整数，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∴此抛物线与x轴总有交点；     （2）1      【分析】 （1）令，使得二次函数变为一元二次方程，然后求出方程中判别式的值，即可证明结论； （2）令，使得二次函数变为一元二次方程，然后对方程分解因式，又因此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，从而可以求得符合要求的正整数m的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：令，则， 所以或， 解得，， 因为抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标都是整数，m是正整数 所以m为1． 【点睛】 本题考查的是抛物线与x轴的交点和解一元一次方程，解决本题的关键是设出两交点的坐标． 34．（25-26学年九上·安徽芜湖第二十七中学·期中）已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，且当时，函数值为9，则的值为　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握数形结合的思想． 由二次函数图象与x轴只有一个公共点，可得判别式为零，即；再由当 时函数值为9，代入得，联立方程求解和，进而求． 【详解】 解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴判别式，即， 又∵ 当时，函数值为9， ∴， 将代入，得， ∴， 代入，得 ， ∴， 故答案为：5． 35．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； （3）是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，对于抛物线，其对称轴为直线，进而得解； （2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得或，进而计算可以得解； （3）依据题意，将代入抛物线，则；又将 代入抛物线，则，故，又，则，进而计算可以得解． (1) 小问详解： 解：由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解： 令，即， 解得，， 又∵抛物线与线段有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； (3) 小问详解： 解：由题意，将代入抛物线， ∴， 又将代入抛物线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 36．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，求的值． 【答案】或 【分析】 分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】 解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，解得：，， ∴抛物线与轴的交点为，， 把抛物线图象在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方， 则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标为， 如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得：； 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有两个相等的实数解， 整理得：， ∴， 解得， ∴的值为或． 【点睛】 本题考查翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式．能画出函数图象并利用数形结合的方法解决问题是解题的关键． 37．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数）． （1）已知点．若抛物线与轴交于原点和点，点在线段上，且不与端点重合，求的取值范围； （2）若，，将抛物线的对称轴向右平移3个单位长度后，与抛物线（为常数）的对称轴重合，求的值； （3）在（2）的条件下，当时，若在抛物线上，点在抛物线上，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查“二次函数的图象与性质”的知识点，熟练掌握求二次函数的对称轴和顶点坐标的方法与二次函数的增减性的判断是解题关键 （1）代入原点，判断出，从而得到点，由条件点在线段上，结合图象即可判断出的取值范围； （2）代入，，得到，判断出对称轴为直线，从而确定的对称轴为直线，通过抛物线的对称轴与二次项、一次项系数的关系即可求出； （3）由（2）的条件可以确定两条抛物线的解析式，分别代入点和点的坐标，分别得到与的关系式和与的关系式，作差即可得到与的关系式，根据，和二次函数图象的增减性，即可求出的取值范围． (1) 小问详解： ∵抛物线过原点， ∴， 即抛物线解析式为． 令，得． 解得，． ∴点的坐标为． ∵点在线段上， ∴， 即． (2) 小问详解： 若，，则抛物线． ∴原抛物线的对称轴为直线，向右平移3个单位长度后得直线． ∴，即． (3) 小问详解： 在（2）的条件下，抛物线，． 把代入抛物线，得． 把代入抛物线得，． ∴． ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， 又∵， ∴当时，，此时为最小值； 当时，，此时为最大值． ∴的取值范围为． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程，求出结果即可． 【详解】 解：令，则， 解得：（舍去），， 则该运动员这次抛出的水平距离为． 故选：B． 2．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图，垂直的直线交菱形的边于两点，垂足为点，设的面积为，若，则关于的函数图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查菱形的性质、直角三角形的边角关系及分段二次函数的图象特征，解题的关键是分情况推导的面积关于的函数关系式，再分析其图象形状． 先根据菱形的边长、内角，结合直角三角形边角关系求出对角线AC的长度及相关角的度数；再结合“直线”与菱形的对称性，分和两种情况，用直角三角形边角关系表示出的长度；然后分情况结合三角形面积公式，推导的面积关于的二次函数关系式；最后根据二次函数的开口方向、对称轴，判断函数图象的形状，进而确定对应选项． 【详解】 解：∵菱形中，，， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下， ∴对称轴为直线； 如图所示，当时， ，， ∴ ∵ ∴抛物线开口向上， ∴对称轴为直线； 结合各选项的图像，与选项完全吻合． 故选：． 3．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：由题意可得BQ=x． ① 0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x， 则△BPQ的面积=BP•BQ， 可得y=•3x•x=； 故A选项错误； ② 1＜x≤2时，P点在CD边上， 则△BPQ的面积=BQ•BC， 可得y=•x•3=； 故B选项错误； ③ 2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x， 则△BPQ的面积=AP•BQ， 可得y=•（9﹣3x）•x=； 故D选项错误． 故选：C． 4．（2026·安徽阜阳·联考）如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF.四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】∵BE=DF,BE=x (已知)； ∴DF=x； 又∵AD＝AB＝5(已知)，AF＝AD+DF，AE＝AB＝BE（由图可得）； ∴AF＝5+x,AE=5-x； ∴S长方形AEGF＝AE╳AF＝(5+x)(5-x)＝25－x2； 故选D． 5．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】 解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】 本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 6．（25-26学年九上·安徽六安部分学校·期中）如图，在两个全等的和中，，，，斜边，在一条直线上且点与重合，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右移动，直到点与点重合即停止运动，若两个三角形重叠部分的面积为个单位面积，的移动时间为秒，则关于的函数的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，结合含30度角的直角三角形的性质和三角形面积公式求得y与x的函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得答案． 【详解】 解：当时，如图，设与相交于点O， 由平移性质得，则， 在中，，， ∴，则， ∴重叠部分面积， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， 当时，，此时点D与点A重合； 当时，如图，则， 在中，，， ∴，则， ∴重叠部分面积， ∴函数y的图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 故选项C符合题意． 故选：C． 7．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解． 【详解】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，ACD都是等边三角形， ∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°． 如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x， 作PE⊥AB于E， ∴， ∴， 故D选项不正确； 如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2， 作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H， ∴， ， ∴， 故B选项不正确； 当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4， ∴PQ=x-2， 作AG⊥CD于G， ∴， ∴， 故C不正确． 故选：A 【点睛】 本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键． 8．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况需要急刹车时，由于惯性汽车会滑行一段距离才能停下来．若某辆汽车从开始急刹车时滑行的距离（米）与滑行的时间（秒）的函数关系式为，则该辆汽车急刹车时需要滑行　　　　　　　　米才能停下． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数的最值是解题的关键． 由题意得，此题实际是求从开始急刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】 解：该函数关系式化成顶点式为， 当时，汽车停下来，滑行了米， 故该辆汽车急刹车时需要滑行米才能停下． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）如图所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水位在时，水面宽，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面．则当水面宽为时，水位上升了　　　　　　　　　　　m． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用．建立适当的直角坐标系是解题关键． 建立适当的直角坐标系，确定抛物线的解析式，再结合水面宽为时，把代入进行计算，即可求解． 【详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系： 可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 将点代入得：，解得：， ∴， ∵水面宽为， 即， 令，则， 即：则当水面宽为3m时，水位上升了m， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·安徽中学·期中）兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的应用，根据题意，求出抛物线表达式为，进而根据题得出，代入进行计算即可求解． 【详解】 解：根据题意得抛物线经过点， 设抛物线表达式为，代入得， 解得： ∴抛物线表达式为， ∵当满碗汤面的竖直高度下降时， ∴碗中汤面高度为， 当时， 解得：， ∴碗中汤面的水平宽度为， 11．（25-26学年九上·安徽合肥第五十中学）如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是8米，跨度是16米，在线段上距离处6米的地方，桥的高度是　　　　　　　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的抛物线解析式．先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将代入解析式求出相应的的值即可． 【详解】 解：建立平面直角坐标系，如右图所示， 由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 点在该抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入，得：， 即线段上距离处6米的地方，桥的高度是米， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·安徽池州部分学校·期中）霍山石斛，属兰科草本植物，是中国国家地理标志产品，其能大幅度提高人体内（延缓衰老的主要物质）水平，对经常熬夜、用脑、烟酒过度，体虚乏力的人群，经常饮用非常适宜．数学兴趣小组对某公司新推出的石斛茶的市场销售情况进行调查，得出该款石斛茶在第（为整数）天的售价与销量的相关信息如表： 时间 售价（元/盒） 每天销量（盒） 已知该石斛茶的成本为每盒元，设销售该石斛茶的日利润为元． （1）写出与之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围） （2）问第几天时，销售该石斛茶的日利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）第天时，日利润最大，最大利润为元      【分析】 （）分和求出函数解析式即可； （）利用二次函数和一次函数的性质分别求出最大值，进而比较即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：当时，； 当时，； 综上，与之间的函数关系式为 ； (2) 小问详解： 解：当时，， ， 时，有最大值，最大值为元； 当时，， ， ∴随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为元， ∵， ∴第天时，日利润最大，最大利润为元． 13．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）秋冬季节来临，某饮品店推出由热奶茶、烤红薯、糖炒栗子和暖手姜茶搭配而成的、两种套餐．其中套餐每份利润元，每天可以买出套，套餐每份利润元，每天可以卖出套，若套餐售价每提高元，则每天少卖出套，套餐售价每提高元，则每天少卖出套注：两种套餐成本不变 （1）若每份套餐的价格提高x元为整数，每天销售A、B两种套餐的利润分别为元和元，请求出、与之间的函数关系式；不要求写自变量取值范围 （2）为保证套餐性价比，两种套餐提高的价格之和为元，那么套餐的价格提高多少元时两种套餐每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 【答案】（1）；；     （2）A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是元      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出提价后的单套利润和销量，再根据总利润=单套利润销量列出式子； （2）A套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w，则，据此整理求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知：A套餐提价后的利润为元，销量为套， ； B套餐提价后的利润为元，销量为元， ； (2) 小问详解： 设A套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w， 则； ， ， ， 当时，利润最大为6984元． 答：A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是6984元． 14．（25-26学年九上·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为27米． （1）假设垂直于墙的一道墙长为，饲养室面积为，求S关于x的函数关系式． （2）能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ 【答案】（1）     （2）最大为75平方米      【分析】 （1）由题意得：，即可求解； （2）由，可得S有最大值，即可求解． 本题考查的是二次函数的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值 (1) 小问详解： 解：由题意得：； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ， ∴当时，， 当时，，符合题意 ， 答：能建成的饲养室面积最大为75平方米． 15．（25-26学年九上·安徽宣城·期中）如图，小瑞乘雪橇从点A处沿的斜坡滑行，滑行的距离与时间之间的函数表达式为，已知滑到坡底B的时间为，则小瑞滑行的竖直高度为　　　　　　m． 【答案】24 【分析】 本题考查了二次函数的应用以及解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及代数式求值，根据题中自变量的值先求出函数值，然后根据直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】 解：把代入中得：， ∵滑下的距离y是直角三角形中角的斜边，下降的高度是直角三角形中角的对边． ∴下降的高度为：． 故答案为：24． 16．（九上·安徽合肥·期中）在安徽黄山的一家茶叶合作社，计划用篱笆围成一个矩形茶叶加工区．加工区一面靠墙（墙的最大可用长度为，此面不需要篱笆），在加工区中间有一道篱笆垂直于墙（用于分隔揉捻和干燥区域，厚度忽略不计），在平行于墙的边上开有两扇宽为的门（门不用篱笆材料）．现有篱笆材料总长为．设垂直于墙的边的长为（如图所示）．    （1）求平行于墙的边的长关于的函数表达式及自变量的取值范围； （2）求加工区面积关于的函数表达式，并求的最大值及此时的值． 【答案】（1）     （2）；当时，的最大值．      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式组的应用． （1）根据篱笆材料总长面墙长两扇宽为的门求出关于的函数表达式，再根据墙的最大可用长度为求取值范围即可； （2）求出关于的函数表达式，化为顶点式作答即可． (1) 小问详解： 解：， ∵墙的最大可用长度为，边的长 ∴， 解得， 即； (2) 小问详解： 解：， 这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处取得， 当时，的最大值． 17．（25-26学年九上·安徽阜阳·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． （1）求该工艺品的固定成本和可变成本． （2）市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元     （2）①，② 当售价为71元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是69100      【分析】 本题主要考查了二次函数的最大利润问题、一次函数的解析式等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用”，据此即可解答． （2）① 运用待定系数法求解销量y与销售单价x之间的函数关系式； ② 经分析列式得，结合二次函数的性质，得出开口向下，在有最大值，w有最大值，再代入计算即可解答． (1) 小问详解： 解：∵工艺品的成本与生产量的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关， ∴该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元． (2) 小问详解： 解：①由题意，设销量y与销售单价x的关系式为， 则 ，解得： ． ∴所求关系式为． ②成本应基于生产量（即销量y），即，其中， 设利润， ． ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为69100． 18．（25-26学年九上·安徽淮南东部地区·期中）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请求出与的函数关系式； （2）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）与的函数关系式为     （2）当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设与的函数关系式为，根据题意可得 ，然后解方程组即可； （2）设利润为，则，然后根据二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：设与的函数关系式为， 根据题意可得： ， 解得： ， ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设利润为， 则， ∵，函数开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， 答：当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 19．（25-26学年九上·安徽合肥·期中）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量（瓶）与每瓶售价（元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． （1）求与之间的函数关系式； （2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）（10≤x≤15，且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“毛利润=每瓶毛利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得． 【详解】 解：（1）设与之间的函数关系式为（），根据题意，得： ， 解得 ， ∴与之间的函数关系式为（10≤x≤15，且x为整数）； （2）根据题意，得： ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，随的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，有最大值， 即， 答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元． 【点睛】 本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题． 20．（25-26学年九上·安徽池州·期中）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90 售价(元/件) x＋40 90 每天销量(件) 200－2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元． (1)求出y与x的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) y＝ ；(2)该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元． 【分析】 （1）分1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利润=每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式； （2）结合（1）得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大值即可． 【详解】 （1）当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000； 当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000． ∴y＝ （2）当1≤x＜50时，二次函数的图象开口下、对称轴为x＝45， ∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050； 当50≤x≤90时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当x＝50时，y最大＝6000． ∴综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元． 【点睛】 本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据函数的增减性确定最值是解题的关键. 21．（25-26学年九上·安徽马鞍山第七中学·期中）保康县2024年大力推广一种成本为10元/斤的农产品，该产品售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． （1）每日销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式，求y与x之间的函数关系式； （2）若每日销售利润为w（元），当售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ （3）县科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少m元，已知每日最大利润为2592元，求m的值． 【答案】（1）     （2）当售价定为25时，每天销售利润最大，最大利润是1800元     （3）      【分析】 本题考查了一次函数及二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键 （1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每日销售利润为w元，根据x的取值范围，利用二次函数模型即可求出最大利润； （3）设成本每斤减少m元后每日销售利润为Q元，由和确定当时，利润最大，从而得出关于的方程，解出方程即可求得m值． (1) 小问详解： 解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为， 当时，，当时，， ，解得： ， 与x之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 根据题意得：， ， ， 抛物线开口方向向下， 对称轴，， 当时，利润最大， 元； (3) 小问详解： 设成本每斤减少m后每日销售利润为Q元， 则， 抛物线对称轴为， ， ， ， 当时，利润最大， ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：m的值为6． 22．（25-26学年九上·安徽淮南实验中学等学校·期中）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 【答案】（1） （2）在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 【详解】解：（1）设抛物线解析式为 设点，点 由题意： 解得 ∴ （2）方法一： 当时， ∵.6 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 方法二： 当时， ∴ ∵ ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 23．（25-26学年九上·安徽芜湖·期中）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】（1）     （2）能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年九上·安徽安庆·期中）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由： ∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】 解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 25．（25-26学年九上·安徽安庆第四中学·期中）如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）       【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，理解题意确定函数关系式，运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出，顶点坐标为，设石弹运行的函数关系式为， 将点坐标代入求解即可； （2）分别令和，解方程求出的值，再根据题意求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：根据题意得，，顶点坐标为， 设石弹运行的函数关系式为， 把代入得：， 解得 ， 石弹运行的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得， （舍去）， 当时，， 解得， （舍去）， 的取值范围是 ． 26．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）合肥市第四十五中学橡树湾校区九年级社会实践小组利用课余时间对某种农产生产和销售进行了调研，收集了以下素材，请你完成探索任务． 某种农产品的销售方案制定问题 素材1 该种农产品的成本（元）与月份之间成本，近似符合二次函数关系，函数图象如图所示 素材2 该农产品的售价（元）与月份之间满足一次函数关系，已知3月份的售价为6元，9月份的售价为2元 素材3 成员小王同学的爸爸对孩子们的调研很感兴趣，决定在这种农产品每千克的收益最大的月份采购一批农产品进行销售． 任务1：该农产品一年共有___________个月份成本不高于4元． 任务2：求售价（元）与月份之间的函数表达式 任务3：小王爸爸应该在几月份投资？ 【答案】任务1：7；任务2：（，且为正整数）；任务3：小王爸爸应该在5月份投资 【分析】 本题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 任务1：先求出当时，或，再结合函数图象可得当时，，则当时，的所有可能的取值为，由此即可得； 任务2：根据点，，利用待定系数法求解即可得； 任务3：设这种农产品每千克的收益为元，根据求出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】 解：任务1：令，则， 解得或， 即二次函数的图象经过点和， ∵二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴当时，， 又∵为正整数， ∴当时，的所有可能的取值为， ∴该农产品一年共有7个月份成本不高于4元． 故答案为：7． 任务2：设售价（元）与月份之间的函数表达式为， 将点，代入得： ， 解得 ， 所以售价（元）与月份之间的函数表达式为（，且为正整数）． 任务3：设这种农产品每千克的收益为元， 则 ， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大， 答：小王爸爸应该在5月份投资． 27．（25-26学年九上·安徽合肥第四十五中学·期中）图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为米（即米），拱桥顶点到桥面的距离米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 （1）求的值； （2）求支柱的高． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，关键是特定点坐标的确定； （1）由已知可得点的坐标，代入解析式即可求出的值； （2）由已知可得点的横坐标，代入解析式可得其纵坐标，因此的高即可求得． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 即：， ∵点在抛物线上， ∴， 即：； (2) 小问详解： 由（1）可知， ∵， ∴点的横坐标是 当时，， 当时，，即， ∵， ∴，即：点的纵坐标是， ∴． 28．（25-26学年九上·安徽六安第九中学·期中）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】 解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 29．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． (1) 小问详解： ∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 30．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】 解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·安徽合肥第一六八中学·期中）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【分析】 本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】 解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 32．（25-26学年九上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，C、D均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（b、c为常数）． （1）求点B的坐标； （2）若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键； （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出的值，进而求出点的坐标即可； （2）求出点和点的纵坐标，进而求出点和点的横坐标即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∵，，，， ∴， ∴， 将点代入，得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点B的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵与之间的距离为， ∴点E与点F的纵坐标为. 令，得， 解得，， ∴，即水面的宽度为； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $