精品解析：安徽省亳州市谯城区北片区学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 《水浒传》能成为四大名著之一，主要因其深刻的社会历史内涵、独特的艺术风格及广泛的影响力．如图，用放大镜将《水浒传》的封面手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 2. 已知：，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，，若添加一个条件，使得，则下列条件中不符合要求的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（ ） A. B. C. D. 7. 如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数的值等于；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在中，，，，，是的两条高，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论，①，②，③，④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 延长线段到点C，使得，则的值是_________． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，是一片美丽的枫树叶，叶尖到叶柄底端近似为一条线段，叶面与叶柄的交点B为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为_________． 13. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为8，则像的长为_________． 14. 已知关于x的抛物线（k为常数）． （1）此抛物线顶点的坐标是_________． （2）若，点为该抛物线上一动点，过点A作直线轴，直线与直线相交于点B．当线段的长随a的增大而减小时，a的取值范围是_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 16. 如图，与位似，点O是位似中心，若，与的面积差为，求的面积． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． （1）画出关于y轴的轴对称图形； （2）以点O为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 18. 和均为等腰直角三角形． （1）如图1，当与重合时，_________． （2）如图2，将绕点C逆时针旋转一定的角度，连接，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满20分） 19. 兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）． 20. 如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知，，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，求塔AB的高度． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，点在上，且，，． （1）求线段的长； （2）将沿直线翻折，使点C落在点E处，交边于点F，若，求的值． 七、（本题满分12分） 22. 为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求x的值； （3）如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： （1）如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）； （2）如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 《水浒传》能成为四大名著之一，主要因其深刻的社会历史内涵、独特的艺术风格及广泛的影响力．如图，用放大镜将《水浒传》的封面手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 【答案】C 【解析】 【分析】根据只改变图形大小，不改变形状的两个图形相似即可判断． 【详解】解：放大前后两个图形之间属于相似变换． 2. 已知：，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设， ，，， ， 故选：B． 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键． 4. 如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解． 【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ADC与△ACB的周长比1:2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键． 5. 如图，在和中，，若添加一个条件，使得，则下列条件中不符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、，， ，故该选项不符合题意； B、，， ，故该选项不符合题意； C、，， ，故该选项不符合题意； D、与，与不是对应边，无法判断，故该选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 7. 如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据表格数据确定二次函数对称轴和开口方向，再结合函数值的变化确定方程解的范围． 【详解】解：∵当和时，的值均为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时，， ∴二次函数开口向上，对称轴右侧随增大而增大， ∵时，，时，，可得， ∴一元二次方程的一个解在之间， 根据二次函数的对称性，可得另一个解的取值范围是． 8. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数的值等于；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合系数和图象，正确判断各结论是解题的关键． 先从函数图象上得到一些信息，确定出函数与系数的关系，然后再对各个结论进行判断． 【详解】解：根据函数图象得：，，与x轴交于，两点，对称轴为直线； ， ①，正确； ②当或时，函数的值等于，正确 ∵图象过点， ， ， ，③错误； ④∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ， ，故④错误； 所以正确结论有个． 9. 如图，在中，，，，，是的两条高，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，运用勾股定理计算是解题的关键．设，根据勾股定理得到求出长，进而得到的长，证明，然后证明计算即可． 【详解】解：∵，，， 设，则， ∵是的两条高，即， ∴，即， 解得， ∴，， ∵，是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论，①，②，③，④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，由平行线等分线段定理可知，令，分别作轴，轴，又可得，设，可得到，，再根据可得到，可得，即，根据三角形面积公式，进一步得到，又根据，，通过等量代换，可得到；运用，根据面积关系，可求得，最后可求得，进而判断正确的选项． 【详解】解： 轴，轴，且R为的中点，则令（平行线等分线段定理），作轴，轴，垂足分别为A、B点，同理，设，则，，由得，解得， ，，， ， ①正确； 由，得， ②正确； 由，得，即，，， ， ③错误； ， ④正确， 综上可知①②④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，平行线等分线段定理，反比例函数的几何意义等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 延长线段到点C，使得，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的比例问题，解题的关键是设的长度，根据比例关系表示，再根据线段和表示，最后求比值． 【详解】解：设，则， ， ， 故答案为：． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，是一片美丽的枫树叶，叶尖到叶柄底端近似为一条线段，叶面与叶柄的交点B为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可． 【详解】解：为的黄金分割点，，， ， ． 故答案为：． 13. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为8，则像的长为_________． 【答案】##4厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．通过证明三角形与三角形相似，利用相似三角形的性质，结合已知的线段比例和蜡烛高度，求出像的长度． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， 已知，， ∴， ∴， 故答案为： 14. 已知关于x的抛物线（k为常数）． （1）此抛物线顶点的坐标是_________． （2）若，点为该抛物线上一动点，过点A作直线轴，直线与直线相交于点B．当线段的长随a的增大而减小时，a的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线顶点坐标公式直接求解． （2）当时，先确定抛物线方程，再表示点A的坐标，由轴得出点B的坐标，计算的长度并化简，分析二次函数的增减性确定a的取值范围． 【详解】解：（1）抛物线中， ，，， 顶点横坐标， 代入得， 故顶点坐标为， 故答案为：； （2）当时，抛物线为， 点在抛物线上，故， 轴，与直线相交于点B， B点坐标为， 的长度为， ， 恒成立， ， 令，为开口向上的二次函数， 顶点横坐标， 当时，随a增大而减小，即随a增大而减小， 故a的取值范围为， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 16. 如图，与位似，点O是位似中心，若，与的面积差为，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形以及相似三角形的判定与性质，先由与位似，位似中心是点，得，故，再运用面积比等于相似比的平方，即可作答． 【详解】解：∵与位似，点O是位似中心， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可以假设的面积为，的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． （1）画出关于y轴的轴对称图形； （2）以点O为位似中心，在第一象限中画出，使得与位似，且相似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可； （2）由（1）及位似的性质进行作图即可． 【小问1详解】 解：如图1所示， 则即为所求． 【小问2详解】 解：如图2所示， 则即为所求． 18. 和均为等腰直角三角形． （1）如图1，当与重合时，_________． （2）如图2，将绕点C逆时针旋转一定的角度，连接，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1） （2）第（1）问的结论仍然成立.理由见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质求出，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质易证，由题意得到，推出，进而得到，易证，即可解答． 【小问1详解】 解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 当与重合时，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（1）问的结论仍然成立，理由： ∵， ∴， 又∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满20分） 19. 兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意，求出抛物线表达式为，进而根据题得出，代入进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得抛物线经过点， 设抛物线表达式为，代入得， 解得： ∴抛物线表达式为， ∵当满碗汤面的竖直高度下降时， ∴碗中汤面高度为， 当时， 解得：， ∴碗中汤面的水平宽度为， 20. 如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知，，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，求塔AB的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，证明字模型相似三角形，，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意，得，，，， ，， 又， ， ， ． 故塔的高度为． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，点在上，且，，． （1）求线段的长； （2）将沿直线翻折，使点C落在点E处，交边于点F，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，平行线的性质，翻折变换的性质，熟练掌握以上知识点并找出相似三角形是解题的关键． （1）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，可求出，再根据角角相等判定，然后根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求解； （2）根据翻折的性质可得，，再根据平行线的性质可得，再进行等量代换，然后求出，再根据两角对应相等判定，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，， ， ，即， 或（舍去）． 即：． 【小问2详解】 解：由翻折的性质得，， ， ， ， ， ， ． 七、（本题满分12分） 22. 为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求x的值； （3）如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：，利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【小问1详解】 解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，设y与x的函数关系式为：， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：将代入得：，解得：， 代入得，解得：． 综上，或； 【小问3详解】 解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 八、（本题满分14分） 23. 新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： （1）如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）； （2）如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，过点F作于P，则四边形是矩形，得出，证明，即可得． （2）如图3，平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上，则四边形是矩形．得出，，证明，得出，结合，，即可求出． （3）根据，得出，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，结合，，得出，设，则．求出．根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：． 理由：∵四边形是正方形， ∴， 过点F作于P， 则四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 证明：， 理由如下： 如图3平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上， 则四边形是矩形． ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点D作，过点A作交于点H，延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵， ∴， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． 同（2）得：． 【点睛】该题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $