04 分数乘法的应用 核心考点举一反三-2026-2027学年六年级上册数学重难考点举一反三（人教版+新教材）

该小学数学讲义通过知识要点梳理框架系统构建分数乘法应用的知识体系，将连续求一个数的几分之几、分率与具体量辨析等七大考点按逻辑递进呈现，用分步解析和关键提示突出单位“1”确定等重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于“典例精讲+牛刀小试”的分层设计，如“分率与具体量辨析”通过绳长不同情况对比，培养学生推理意识，“线段图与看图列式”结合几何直观帮助理解，综合提升训练涵盖多样题型，基础学生可掌握方法，优秀学生能拓展思维，助力教师精准教学和学生自主复习。

04 分数乘法的应用 核心考点举一反三 （七大考点·典例精讲＋牛刀小试 ＋ 综合提升训练） 考点目录 知识要点梳理 1 一、连续求一个数的几分之几（连乘求中间量） 2 二、先求占总量的几分之几（连乘求总分率） 3 三、求比一个数多几分之几的数 4 四、求比一个数少几分之几的数 5 五、分率与具体量的辨析（易错） 5 六、线段图与看图列式（数形结合） 6 七、多次变化与综合新颖情境 7 综合提升训练 8 知识要点梳理 1. 连续求一个数的几分之几：用连乘计算，总量×第一分率×第二分率。关键是每一步都要找准单位“1”：先用总量乘第一分率求出“中间量”，再把中间量看作新的单位“1”乘第二分率。 2. 先求总分率：可以先把两个分率相乘，求出所求量占“总量”的几分之几，再用总量×这个总分率，即总量×（第一分率×第二分率）。 3. 求比一个数多几分之几的数：一个量为a，另一个量比它多 b/c，则另一个量＝a×（1＋b/c）；也可以先算a×b/c 求多出的部分，再加上a。 4. 求比一个数少几分之几的数：一个量为a，另一个量比它少 b/c，则另一个量＝a×（1−b/c）；也可以先算a×b/c 求少掉的部分，再用a减去它。 5. 分率与具体量：不带单位的“几分之几”是分率，要乘单位“1”才得到具体数量，随单位“1”变化；带单位的“几分之几米、几分之几千克”是具体量，大小固定，可直接相加减。 6. 画线段图分析：先画表示单位“1”的线段并按分母等分，再按分子取份；“比多”向右延长、“比少”截去一段。看图列式要先读懂谁是单位“1”、问号对应哪一段。 7. 多次变化问题：每一次都把前一次的结果看作新的单位“1”，用连乘表示。涨价又降价、降价又增加数量时，要分别求出变化后的分率再相乘比较，不能想当然认为“涨降相同就回到原价”。 一、连续求一个数的几分之几（连乘求中间量） 连续两步“求一个数的几分之几”，先用总量乘第一分率求出中间量，再把中间量看作新的单位“1”乘第二分率。两步单位“1”不同，是本类的关键。 【典例精讲】 一个社区居民休闲场所的面积是4800平方米。为开展全民健身运动，将它的开辟为运动健身区域，其中器械类健身区域的面积占运动健身区域的。器械类健身区域的面积是多少平方米？ 【答案】器械类健身区域的面积是720平方米。 【思路引导】这是“连续求一个数的几分之几”的两步问题。第一步把休闲场所总面积4800平方米看作单位“1”，健身区占它的，用4800×求出健身区面积这个“中间量”；第二步单位“1”发生变化，再把健身区面积看作新的单位“1”，器械区占它的，用健身区面积×。两步单位“1”不同，是最容易出错的地方。 【详解】 4800×＝2880（平方米） （先求运动健身区域面积，这里把休闲场所总面积4800平方米看作单位“1”） 2880×＝720（平方米） （再把健身区面积2880平方米看作新的单位“1”，求它的） 综合算式：4800××＝720（平方米） 答：器械类健身区域的面积是720平方米。 【牛刀小试】 海象的寿命大约是40年，海狮的寿命是海象的，海豹的寿命是海狮的。海豹的寿命大约是多少年？ 【牛刀小试】 芍药的花期是32天，玫瑰的花期是芍药的，水仙的花期是玫瑰的。水仙的花期是多少天？ 【牛刀小试】 商店运来120辆自行车，第一天卖出总数的，第二天卖出的辆数相当于第一天的。第二天卖出多少辆？ 二、先求占总量的几分之几（连乘求总分率） 同是连乘问题，也可以先把两个分率相乘，求出所求量占“总量”的几分之几，再用总量乘这个总分率，一步到位。 【典例精讲】 学校劳动实践基地有一块长方形菜地，面积是200平方米，其中种蔬菜，蔬菜地的种白菜。白菜地的面积是多少平方米？ 【答案】白菜地的面积是60平方米。 【思路引导】方法一（分步）：先求蔬菜地面积，再求白菜地。方法二（先求总分率）：蔬菜地占整块地的，白菜地又占蔬菜地的，所以白菜地占整块地的×＝，再用200×。两种方法结果相同，方法二把两层单位“1”合并成“占总量的几分之几”。 【详解】 ×＝ （先求白菜地占整块菜地的几分之几；两个分率单位“1”不同，相乘后统一成以整块地为单位“1”） 200×＝60（平方米） 综合算式：200×（×）＝60（平方米） 答：白菜地的面积是60平方米。 【牛刀小试】 果园里共有果树600棵，其中苹果树占，红富士苹果树占苹果树总棵数的。红富士苹果树有多少棵？ 【牛刀小试】 人体血液在主动脉中的流动速度约是20厘米/秒，在静脉中的流动速度约是主动脉中的，在毛细血管中的流动速度大约只有静脉中的。血液在毛细血管中每秒约流动多少厘米？ 【牛刀小试】 一杯约250毫升的鲜牛奶大约含有克钙质，小华每天喝2杯这样的牛奶。他一个月（按30天算）通过喝牛奶可以摄取钙质多少克？ 三、求比一个数多几分之几的数 已知一个量，求比它多几分之几的量：可以先求多出的部分再相加，也可以先求所求量是单位“1”的（1＋分率），再用单位“1”的量乘。 【典例精讲】 人的心脏每分钟跳动次数因年龄而不同。青少年每分钟心脏跳动约75次，婴儿每分钟心脏跳动的次数比青少年多。婴儿每分钟心脏跳动约多少次？ 【答案】婴儿每分钟心脏跳动约135次。 【思路引导】把青少年每分钟心跳75次看作单位“1”。方法一：先求婴儿比青少年多跳的次数75×，再加上青少年的75次；方法二：婴儿比青少年多，所以婴儿心跳次数是青少年的（1＋）＝，直接用75×。 【详解】 75×＝60（次） （先求婴儿比青少年多跳的次数，单位“1”是青少年的75次） 75＋60＝135（次） 综合算式：75×（1＋）＝75×＝135（次） 答：婴儿每分钟心脏跳动约135次。 【牛刀小试】 某工厂四月份用水160吨，五月份用水量比四月份多。五月份用水多少吨？ 【牛刀小试】 一个饲养场养鸭1200只，养的鸡比鸭多。养的鸡有多少只？ 【牛刀小试】 黄鳍金枪鱼的游速大约是80千米/时，剑鱼的游速比黄鳍金枪鱼还要快。剑鱼的游速大约是多少？ 四、求比一个数少几分之几的数 已知一个量，求比它少几分之几的量：可以先求少掉的部分再相减，也可以先求所求量是单位“1”的（1−分率），再用单位“1”的量乘。 【典例精讲】 李叔叔的餐馆原来每天的厨余垃圾大约是100千克，开展“光盘行动”后，厨余垃圾比原来减少了大约。现在这家餐馆每天的厨余垃圾大约是多少千克？ 【答案】现在这家餐馆每天的厨余垃圾大约是75千克。 【思路引导】把原来每天的厨余垃圾100千克看作单位“1”。方法一：先求减少的质量100×，再用原来的减去减少的；方法二：现在比原来减少，说明现在是原来的（1−）＝，直接用100×。 【详解】 100×＝25（千克） （先求现在比原来减少的质量） 100−25＝75（千克） 综合算式：100×（1−）＝100×＝75（千克） 答：现在这家餐馆每天的厨余垃圾大约是75千克。 【牛刀小试】 某游乐园门票原价每人110元，“六一”当天降价优惠。优惠后每张门票多少元？ 【牛刀小试】 少先队员们采集标本152件，其中是植物标本，其余的是昆虫标本。昆虫标本有多少件？ 【牛刀小试】 六年级男生有180人，女生人数比男生少。女生有多少人？ 五、分率与具体量的辨析（易错） “几分之几”（不带单位）是分率，要乘单位“1”才得到具体数量，随单位“1”变化；“几分之几米、几分之几千克”（带单位）是具体量，大小固定。两者不能直接相加减，必须先分清。 【典例精讲】 两根同样长的绳子，第一根用去全长的，第二根用去米。哪一根绳子用去的长一些？ 【答案】要分三种情况：绳长等于1米时，两根用去的同样长；绳长大于1米时，第一根用去的长；绳长小于1米时，第二根用去的长。 【思路引导】第一根用去的“”是分率，用去长度＝绳长×，随绳长变化；第二根用去的“米”是具体量，固定不变。以绳长1米为分界：绳长＝1米时第一根用去1×＝米，两根相等；绳长＞1米时绳长×＞米，第一根长；绳长＜1米时绳长×＜米，第二根长。 【详解】 设绳长为 a 米。 第一根用去：a×（米）；第二根用去：（米，固定不变）。 当 a＝1 时，a×＝，两根用去的同样长； （分率要乘绳长才能确定具体长度，这是它与具体量米的根本区别） 当 a＞1 时，a×＞，第一根用去的长； 当 a＜1 时，a×＜，第二根用去的长。 答：绳长等于1米时两根同样长，大于1米时第一根长，小于1米时第二根长。 【牛刀小试】 小华和小丽拼同一幅拼图。小丽拼完需要8分钟，小华拼完所用的时间比小丽的还多20秒。小华拼完这幅拼图需要多长时间？ 【牛刀小试】 五年级有学生180人，六年级的人数比五年级的还多15人。六年级有多少人？ 【牛刀小试】 一根绳子长12米，第一次剪去全长的，第二次剪去米。还剩多少米？ 六、线段图与看图列式（数形结合） 先画单位“1”的线段并按分母等分、按分子取份；“比多”向右延长、“比少”截去一段。看图列式的关键是读懂谁是单位“1”、问号对应哪一段。 【典例精讲】 看图列式计算。兰花有60朵，梅花的朵数比兰花多，梅花有多少朵？ 【答案】梅花有80朵。 【思路引导】读图：上面一条线段表示兰花60朵，是单位“1”，平均分成3份；下面梅花的线段比兰花多出1份，即多。所以梅花的朵数是兰花的（1＋），列式60×（1＋）。 【详解】 60×（1＋） ＝60× ＝80（朵） 答：梅花有80朵。 【牛刀小试】 看图列式计算。苹果有160个，桃的个数是苹果的，橘子的个数是桃的，橘子有多少个？ 【牛刀小试】 一件上衣原价200元，现价是原价的。请画出线段图表示原价与现价的关系，并列式求出现价。 【牛刀小试】 看图列式计算。某车间计划生产零件120个，实际生产的个数比计划少，实际生产多少个？ 七、多次变化与综合新颖情境 连续多次变化时，每一次都把前一次的结果看作新的单位“1”，用连乘表示；遇到“涨价又降价”“降价又增加数量”等，要分别求出变化后的分率再相乘比较，不能想当然。 【典例精讲】 一个球从50米的高处自由落下，接触地面后立即弹起，再落下、又弹起，反复多次。每一次弹起的高度都比前一次降低。这个球第三次弹起的高度是多少米？ 【答案】这个球第三次弹起的高度是米，即10.8米。 【思路引导】每次弹起高度比前一次降低，也就是每次弹起高度是前一次的（1−）＝。注意每次的单位“1”都在变：第一次弹起以50米为单位“1”，第二次以第一次弹起高度为单位“1”，第三次以第二次弹起高度为单位“1”，所以要连续乘3个。 【详解】 第一次弹起：50×＝30（米） 第二次弹起：30×＝18（米） 第三次弹起：18×＝＝10.8（米） （每一次都把前一次弹起的高度看作新的单位“1”，所以连乘3个） 综合算式：50×××＝50×＝（米） 答：第三次弹起的高度是米，即10.8米。 【牛刀小试】 一本故事书有120页，小明第一天看了全书的，第二天看了余下页数的。第二天看了多少页？ 【牛刀小试】 一列高铁从A城市到B城市行驶了5小时，一列普通列车所用的时间比高铁多。这列普通列车从A城市到B城市要行驶多少小时？ 【牛刀小试】 “六一”儿童节，某游乐园门票原价每人110元，当天降价优惠；降价后当天入园人数比去年增加了。已知去年“六一”当天入园4万人，今年当天的门票总收入与去年相比，是增加、减少还是不变？ 综合提升训练 一、选择题 1. 果园里有桃树120棵，梨树的棵数比桃树少。求梨树有多少棵，正确的算式是（ ） A．120× B．120− C．120×（1−） D．120×（1＋） 2. 把一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的。两段绳子相比（ ） A．第一段长 B．第二段长 C．同样长 D．无法比较 3. 一件商品先涨价，再降价。现价与原价相比（ ） A．现价与原价相等 B．现价比原价高 C．现价比原价低 D．无法比较 二、填空题 4. 六（1）班有36名学生，其中想当教师的学生占全班的，想当科学家的人数是想当教师人数的。想当科学家的有（ ）名。 5. 一头大象重4吨，一头小象的体重是它的，小象重（ ）吨；一头非洲象比这头大象重，非洲象重（ ）吨。 6. 一堆煤重吨，用去了，还剩（ ）吨。 7. 一个球从50米高处自由落下，每次弹起的高度都是前一次高度的。这个球第二次弹起的高度是（ ）米。 三、看图列式计算 8. 看图列式计算。图书角共有图书240本，第一周借出总数的，第二周借出的本数是第一周的，第二周借出多少本？ 9. 看图列式计算。某车间计划用电180千瓦时，实际比计划节约了，实际用电多少千瓦时？ 四、操作题 10. 果园里有苹果树200棵，梨树的棵数是苹果树的。请画出线段图表示苹果树与梨树的关系，并列式求出梨树有多少棵。 五、解答题 11. 学校图书馆有图书4800本，第一周借出总数的，第二周借出的本数是第一周的。第二周借出图书多少本？ 12. 水果店运来180千克苹果，第一天卖出总数的，第二天卖出余下的。还剩多少千克苹果没有卖出？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 04 分数乘法的应用 核心考点举一反三 （七大考点·典例精讲＋牛刀小试 ＋ 综合提升训练） 考点目录 知识要点梳理 1 一、连续求一个数的几分之几（连乘求中间量） 2 二、先求占总量的几分之几（连乘求总分率） 4 三、求比一个数多几分之几的数 6 四、求比一个数少几分之几的数 7 五、分率与具体量的辨析（易错） 9 六、线段图与看图列式（数形结合） 11 七、多次变化与综合新颖情境 14 综合提升训练 16 知识要点梳理 1. 连续求一个数的几分之几：用连乘计算，总量×第一分率×第二分率。关键是每一步都要找准单位“1”：先用总量乘第一分率求出“中间量”，再把中间量看作新的单位“1”乘第二分率。 2. 先求总分率：可以先把两个分率相乘，求出所求量占“总量”的几分之几，再用总量×这个总分率，即总量×（第一分率×第二分率）。 3. 求比一个数多几分之几的数：一个量为a，另一个量比它多 b/c，则另一个量＝a×（1＋b/c）；也可以先算a×b/c 求多出的部分，再加上a。 4. 求比一个数少几分之几的数：一个量为a，另一个量比它少 b/c，则另一个量＝a×（1−b/c）；也可以先算a×b/c 求少掉的部分，再用a减去它。 5. 分率与具体量：不带单位的“几分之几”是分率，要乘单位“1”才得到具体数量，随单位“1”变化；带单位的“几分之几米、几分之几千克”是具体量，大小固定，可直接相加减。 6. 画线段图分析：先画表示单位“1”的线段并按分母等分，再按分子取份；“比多”向右延长、“比少”截去一段。看图列式要先读懂谁是单位“1”、问号对应哪一段。 7. 多次变化问题：每一次都把前一次的结果看作新的单位“1”，用连乘表示。涨价又降价、降价又增加数量时，要分别求出变化后的分率再相乘比较，不能想当然认为“涨降相同就回到原价”。 一、连续求一个数的几分之几（连乘求中间量） 连续两步“求一个数的几分之几”，先用总量乘第一分率求出中间量，再把中间量看作新的单位“1”乘第二分率。两步单位“1”不同，是本类的关键。 【典例精讲】 一个社区居民休闲场所的面积是4800平方米。为开展全民健身运动，将它的开辟为运动健身区域，其中器械类健身区域的面积占运动健身区域的。器械类健身区域的面积是多少平方米？ 【答案】器械类健身区域的面积是720平方米。 【思路引导】这是“连续求一个数的几分之几”的两步问题。第一步把休闲场所总面积4800平方米看作单位“1”，健身区占它的，用4800×求出健身区面积这个“中间量”；第二步单位“1”发生变化，再把健身区面积看作新的单位“1”，器械区占它的，用健身区面积×。两步单位“1”不同，是最容易出错的地方。 【详解】 4800×＝2880（平方米） （先求运动健身区域面积，这里把休闲场所总面积4800平方米看作单位“1”） 2880×＝720（平方米） （再把健身区面积2880平方米看作新的单位“1”，求它的） 综合算式：4800××＝720（平方米） 答：器械类健身区域的面积是720平方米。 【牛刀小试】 海象的寿命大约是40年，海狮的寿命是海象的，海豹的寿命是海狮的。海豹的寿命大约是多少年？ 【答案】海豹的寿命大约是20年。 【思路引导】先把海象寿命40年看作单位“1”求海狮，再把海狮寿命看作新的单位“1”求海豹，用连乘。 【详解】 40×＝30（年） 30×＝20（年） 综合算式：40××＝20（年） 答：海豹的寿命大约是20年。 【牛刀小试】 芍药的花期是32天，玫瑰的花期是芍药的，水仙的花期是玫瑰的。水仙的花期是多少天？ 【答案】水仙的花期是15天。 【思路引导】先以芍药花期为单位“1”求玫瑰，再以玫瑰花期为单位“1”求水仙。 【详解】 32×＝20（天） 20×＝15（天） 综合算式：32××＝15（天） 答：水仙的花期是15天。 【牛刀小试】 商店运来120辆自行车，第一天卖出总数的，第二天卖出的辆数相当于第一天的。第二天卖出多少辆？ 【答案】第二天卖出35辆。 【思路引导】第一天的单位“1”是总数120辆，第二天的单位“1”是第一天卖出的辆数，分步连乘。 【详解】 120×＝40（辆） 40×＝35（辆） 综合算式：120××＝35（辆） 答：第二天卖出35辆。 二、先求占总量的几分之几（连乘求总分率） 同是连乘问题，也可以先把两个分率相乘，求出所求量占“总量”的几分之几，再用总量乘这个总分率，一步到位。 【典例精讲】 学校劳动实践基地有一块长方形菜地，面积是200平方米，其中种蔬菜，蔬菜地的种白菜。白菜地的面积是多少平方米？ 【答案】白菜地的面积是60平方米。 【思路引导】方法一（分步）：先求蔬菜地面积，再求白菜地。方法二（先求总分率）：蔬菜地占整块地的，白菜地又占蔬菜地的，所以白菜地占整块地的×＝，再用200×。两种方法结果相同，方法二把两层单位“1”合并成“占总量的几分之几”。 【详解】 ×＝ （先求白菜地占整块菜地的几分之几；两个分率单位“1”不同，相乘后统一成以整块地为单位“1”） 200×＝60（平方米） 综合算式：200×（×）＝60（平方米） 答：白菜地的面积是60平方米。 【牛刀小试】 果园里共有果树600棵，其中苹果树占，红富士苹果树占苹果树总棵数的。红富士苹果树有多少棵？ 【答案】红富士苹果树有180棵。 【思路引导】先求红富士占果树总棵数的几分之几：×，再乘总棵数600。 【详解】 ×＝ 600×＝180（棵） 综合算式：600×（×）＝180（棵） 答：红富士苹果树有180棵。 【牛刀小试】 人体血液在主动脉中的流动速度约是20厘米/秒，在静脉中的流动速度约是主动脉中的，在毛细血管中的流动速度大约只有静脉中的。血液在毛细血管中每秒约流动多少厘米？ 【答案】血液在毛细血管中每秒约流动厘米。 【思路引导】连续两级分率，先求毛细血管流速占主动脉的几分之几：×，再乘20。 【详解】 ×＝ 20×＝（厘米） 综合算式：20××＝（厘米） 答：血液在毛细血管中每秒约流动厘米。 【牛刀小试】 一杯约250毫升的鲜牛奶大约含有克钙质，小华每天喝2杯这样的牛奶。他一个月（按30天算）通过喝牛奶可以摄取钙质多少克？ 【答案】他一个月可以摄取钙质18克。 【思路引导】连乘问题，先求每天摄取的钙质（每杯×2杯），再乘30天。 【详解】 ×2＝（克） ×30＝18（克） 综合算式：×2×30＝18（克） 答：他一个月可以摄取钙质18克。 三、求比一个数多几分之几的数 已知一个量，求比它多几分之几的量：可以先求多出的部分再相加，也可以先求所求量是单位“1”的（1＋分率），再用单位“1”的量乘。 【典例精讲】 人的心脏每分钟跳动次数因年龄而不同。青少年每分钟心脏跳动约75次，婴儿每分钟心脏跳动的次数比青少年多。婴儿每分钟心脏跳动约多少次？ 【答案】婴儿每分钟心脏跳动约135次。 【思路引导】把青少年每分钟心跳75次看作单位“1”。方法一：先求婴儿比青少年多跳的次数75×，再加上青少年的75次；方法二：婴儿比青少年多，所以婴儿心跳次数是青少年的（1＋）＝，直接用75×。 【详解】 75×＝60（次） （先求婴儿比青少年多跳的次数，单位“1”是青少年的75次） 75＋60＝135（次） 综合算式：75×（1＋）＝75×＝135（次） 答：婴儿每分钟心脏跳动约135次。 【牛刀小试】 某工厂四月份用水160吨，五月份用水量比四月份多。五月份用水多少吨？ 【答案】五月份用水180吨。 【思路引导】把四月份用水量看作单位“1”，五月份用水量是它的（1＋）。 【详解】 160×（1＋） ＝160× ＝180（吨） 答：五月份用水180吨。 【牛刀小试】 一个饲养场养鸭1200只，养的鸡比鸭多。养的鸡有多少只？ 【答案】养的鸡有2100只。 【思路引导】鸭的只数是单位“1”，鸡的只数是鸭的（1＋）。 【详解】 1200×（1＋） ＝1200× ＝2100（只） 答：养的鸡有2100只。 【牛刀小试】 黄鳍金枪鱼的游速大约是80千米/时，剑鱼的游速比黄鳍金枪鱼还要快。剑鱼的游速大约是多少？ 【答案】剑鱼的游速大约是130千米/时。 【思路引导】金枪鱼的游速是单位“1”，剑鱼游速是它的（1＋）。 【详解】 80×（1＋） ＝80× ＝130（千米/时） 答：剑鱼的游速大约是130千米/时。 四、求比一个数少几分之几的数 已知一个量，求比它少几分之几的量：可以先求少掉的部分再相减，也可以先求所求量是单位“1”的（1−分率），再用单位“1”的量乘。 【典例精讲】 李叔叔的餐馆原来每天的厨余垃圾大约是100千克，开展“光盘行动”后，厨余垃圾比原来减少了大约。现在这家餐馆每天的厨余垃圾大约是多少千克？ 【答案】现在这家餐馆每天的厨余垃圾大约是75千克。 【思路引导】把原来每天的厨余垃圾100千克看作单位“1”。方法一：先求减少的质量100×，再用原来的减去减少的；方法二：现在比原来减少，说明现在是原来的（1−）＝，直接用100×。 【详解】 100×＝25（千克） （先求现在比原来减少的质量） 100−25＝75（千克） 综合算式：100×（1−）＝100×＝75（千克） 答：现在这家餐馆每天的厨余垃圾大约是75千克。 【牛刀小试】 某游乐园门票原价每人110元，“六一”当天降价优惠。优惠后每张门票多少元？ 【答案】优惠后每张门票88元。 【思路引导】原价是单位“1”，现价是原价的（1−）。 【详解】 110×（1−） ＝110× ＝88（元） 答：优惠后每张门票88元。 【牛刀小试】 少先队员们采集标本152件，其中是植物标本，其余的是昆虫标本。昆虫标本有多少件？ 【答案】昆虫标本有57件。 【思路引导】昆虫标本占标本总数的（1−），再乘152。 【详解】 152×（1−） ＝152× ＝57（件） 答：昆虫标本有57件。 【牛刀小试】 六年级男生有180人，女生人数比男生少。女生有多少人？ 【答案】女生有150人。 【思路引导】男生人数是单位“1”，女生人数是男生的（1−）。 【详解】 180×（1−） ＝180× ＝150（人） 答：女生有150人。 五、分率与具体量的辨析（易错） “几分之几”（不带单位）是分率，要乘单位“1”才得到具体数量，随单位“1”变化；“几分之几米、几分之几千克”（带单位）是具体量，大小固定。两者不能直接相加减，必须先分清。 【典例精讲】 两根同样长的绳子，第一根用去全长的，第二根用去米。哪一根绳子用去的长一些？ 【答案】要分三种情况：绳长等于1米时，两根用去的同样长；绳长大于1米时，第一根用去的长；绳长小于1米时，第二根用去的长。 【思路引导】第一根用去的“”是分率，用去长度＝绳长×，随绳长变化；第二根用去的“米”是具体量，固定不变。以绳长1米为分界：绳长＝1米时第一根用去1×＝米，两根相等；绳长＞1米时绳长×＞米，第一根长；绳长＜1米时绳长×＜米，第二根长。 【详解】 设绳长为 a 米。 第一根用去：a×（米）；第二根用去：（米，固定不变）。 当 a＝1 时，a×＝，两根用去的同样长； （分率要乘绳长才能确定具体长度，这是它与具体量米的根本区别） 当 a＞1 时，a×＞，第一根用去的长； 当 a＜1 时，a×＜，第二根用去的长。 答：绳长等于1米时两根同样长，大于1米时第一根长，小于1米时第二根长。 【牛刀小试】 小华和小丽拼同一幅拼图。小丽拼完需要8分钟，小华拼完所用的时间比小丽的还多20秒。小华拼完这幅拼图需要多长时间？ 【答案】小华拼完这幅拼图需要6分20秒（380秒）。 【思路引导】先统一单位，把8分钟化成480秒；求出小丽时间的后，还要再加上具体的20秒。分率与具体量在这里是“先乘后加”。 【详解】 8分钟＝480秒 480×＝360（秒） 360＋20＝380（秒）＝6分20秒 答：小华拼完这幅拼图需要6分20秒。 【牛刀小试】 五年级有学生180人，六年级的人数比五年级的还多15人。六年级有多少人？ 【答案】六年级有115人。 【思路引导】先求五年级人数的（分率部分），再加上多出来的具体人数15人。 【详解】 180×＝100（人） 100＋15＝115（人） 综合算式：180×＋15＝115（人） 答：六年级有115人。 【牛刀小试】 一根绳子长12米，第一次剪去全长的，第二次剪去米。还剩多少米？ 【答案】还剩7米。 【思路引导】第一次剪去的是分率（全长的，要乘12），第二次剪去的是具体量米（直接减），两者处理方式不同。 【详解】 第一次剪去：12×＝4（米） 还剩：12−4−＝8−＝7（米） 答：还剩7米。 六、线段图与看图列式（数形结合） 先画单位“1”的线段并按分母等分、按分子取份；“比多”向右延长、“比少”截去一段。看图列式的关键是读懂谁是单位“1”、问号对应哪一段。 【典例精讲】 看图列式计算。兰花有60朵，梅花的朵数比兰花多，梅花有多少朵？ 【答案】梅花有80朵。 【思路引导】读图：上面一条线段表示兰花60朵，是单位“1”，平均分成3份；下面梅花的线段比兰花多出1份，即多。所以梅花的朵数是兰花的（1＋），列式60×（1＋）。 【详解】 60×（1＋） ＝60× ＝80（朵） 答：梅花有80朵。 【牛刀小试】 看图列式计算。苹果有160个，桃的个数是苹果的，橘子的个数是桃的，橘子有多少个？ 【答案】橘子有80个。 【思路引导】图中先把苹果分4份取3份得到桃，再把桃分3份取2份得到橘子，是连乘问题，单位“1”依次变化。 【详解】 160×× ＝120× ＝80（个） 答：橘子有80个。 【牛刀小试】 一件上衣原价200元，现价是原价的。请画出线段图表示原价与现价的关系，并列式求出现价。 【答案】现价是150元。线段图画法：画一条线段表示原价200元，平均分成4份，取其中的3份表示现价。 【思路引导】把原价画成单位“1”的线段并4等分，现价占其中3份；列式200×。 【详解】 200×＝150（元） 答：现价是150元。 【牛刀小试】 看图列式计算。某车间计划生产零件120个，实际生产的个数比计划少，实际生产多少个？ 【答案】实际生产100个。 【思路引导】计划产量是单位“1”，平均分成6份，实际比计划少1份，即实际是计划的（1−）。 【详解】 120×（1−） ＝120× ＝100（个） 答：实际生产100个。 七、多次变化与综合新颖情境 连续多次变化时，每一次都把前一次的结果看作新的单位“1”，用连乘表示；遇到“涨价又降价”“降价又增加数量”等，要分别求出变化后的分率再相乘比较，不能想当然。 【典例精讲】 一个球从50米的高处自由落下，接触地面后立即弹起，再落下、又弹起，反复多次。每一次弹起的高度都比前一次降低。这个球第三次弹起的高度是多少米？ 【答案】这个球第三次弹起的高度是米，即10.8米。 【思路引导】每次弹起高度比前一次降低，也就是每次弹起高度是前一次的（1−）＝。注意每次的单位“1”都在变：第一次弹起以50米为单位“1”，第二次以第一次弹起高度为单位“1”，第三次以第二次弹起高度为单位“1”，所以要连续乘3个。 【详解】 第一次弹起：50×＝30（米） 第二次弹起：30×＝18（米） 第三次弹起：18×＝＝10.8（米） （每一次都把前一次弹起的高度看作新的单位“1”，所以连乘3个） 综合算式：50×××＝50×＝（米） 答：第三次弹起的高度是米，即10.8米。 【牛刀小试】 一本故事书有120页，小明第一天看了全书的，第二天看了余下页数的。第二天看了多少页？ 【答案】第二天看了30页。 【思路引导】第二天的单位“1”是第一天看完后余下的页数，要先求余下页数（全书的1−），再乘。 【详解】 第一天后余下：120×（1−）＝120×＝90（页） 第二天看：90×＝30（页） 综合算式：120×（1−）×＝30（页） 答：第二天看了30页。 【牛刀小试】 一列高铁从A城市到B城市行驶了5小时，一列普通列车所用的时间比高铁多。这列普通列车从A城市到B城市要行驶多少小时？ 【答案】这列普通列车要行驶12小时。 【思路引导】高铁行驶时间是单位“1”，普通列车时间是它的（1＋）。 【详解】 5×（1＋） ＝5× ＝12（小时） 答：这列普通列车要行驶12小时。 【牛刀小试】 “六一”儿童节，某游乐园门票原价每人110元，当天降价优惠；降价后当天入园人数比去年增加了。已知去年“六一”当天入园4万人，今年当天的门票总收入与去年相比，是增加、减少还是不变？ 【答案】今年与去年门票总收入相同，都是440万元，没有变化。 【思路引导】单价和人数两个量都在变，要分别算出变化后的单价与人数再比较总收入，不能只看降价就认为收入减少。现价是原价的（1−）＝，人数是去年的（1＋）＝，两个分率相乘×＝1，所以总收入不变。 【详解】 去年总收入：110×4＝440（万元） 今年门票单价：110×（1−）＝110×＝88（元） 今年入园人数：4×（1＋）＝4×＝5（万人） 今年总收入：88×5＝440（万元） （单价变为原来的、人数变为原来的，×＝1，两个变化正好抵消） 答：今年和去年门票总收入都是440万元，收入不变。 综合提升训练 一、选择题 1. 果园里有桃树120棵，梨树的棵数比桃树少。求梨树有多少棵，正确的算式是（ ） A．120× B．120− C．120×（1−） D．120×（1＋） 【答案】C 【思路引导】桃树棵数是单位“1”，梨树比桃树少，梨树是桃树的（1−），应用120×（1−）。 【详解】 梨树棵数＝120×（1−）＝120×＝90（棵）。 答：选C。 2. 把一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的。两段绳子相比（ ） A．第一段长 B．第二段长 C．同样长 D．无法比较 【答案】A 【思路引导】第二段占全长的，则第一段占全长的1−＝，＞，所以第一段长。注意第一段给的是具体长度、第二段给的是分率，比较时要统一成占全长的分率。 【详解】 第一段占全长：1−＝。 因为＞，所以第一段长。 答：选A。 3. 一件商品先涨价，再降价。现价与原价相比（ ） A．现价与原价相等 B．现价比原价高 C．现价比原价低 D．无法比较 【答案】C 【思路引导】两次变化的单位“1”不同：涨价以原价为单位“1”，降价以涨价后的价格为单位“1”。设原价为1，现价是（1＋）×（1−）＝＜1，所以现价比原价低。 【详解】 （1＋）×（1−） ＝× ＝＜1。 答：现价是原价的，比原价低，选C。 二、填空题 4. 六（1）班有36名学生，其中想当教师的学生占全班的，想当科学家的人数是想当教师人数的。想当科学家的有（ ）名。 【答案】9 【思路引导】连乘，先求想当教师的人数，再把它看作单位“1”求想当科学家的人数。 【详解】 36×＝12（名） 12×＝9（名） 综合算式：36××＝9（名）。 5. 一头大象重4吨，一头小象的体重是它的，小象重（ ）吨；一头非洲象比这头大象重，非洲象重（ ）吨。 【答案】小象重吨；非洲象重6吨。 【思路引导】小象是大象的，用乘法；非洲象比大象重，体重是大象的（1＋）。 【详解】 小象：4×＝（吨）； 非洲象：4×（1＋）＝4×＝6（吨）。 6. 一堆煤重吨，用去了，还剩（ ）吨。 【答案】 【思路引导】用去，还剩这堆煤的（1−），再乘总质量。 【详解】 ×（1−） ＝× ＝（吨）。 7. 一个球从50米高处自由落下，每次弹起的高度都是前一次高度的。这个球第二次弹起的高度是（ ）米。 【答案】18 【思路引导】第二次弹起以第一次弹起的高度为单位“1”，要连乘两个。 【详解】 50×× ＝30× ＝18（米）。 三、看图列式计算 8. 看图列式计算。图书角共有图书240本，第一周借出总数的，第二周借出的本数是第一周的，第二周借出多少本？ 【答案】第二周借出120本。 【思路引导】连乘问题，先求第一周借出本数，再把它看作单位“1”求第二周。 【详解】 240×× ＝180× ＝120（本） 答：第二周借出120本。 9. 看图列式计算。某车间计划用电180千瓦时，实际比计划节约了，实际用电多少千瓦时？ 【答案】实际用电160千瓦时。 【思路引导】计划用电量是单位“1”，实际用电量是计划的（1−）。 【详解】 180×（1−） ＝180× ＝160（千瓦时） 答：实际用电160千瓦时。 四、操作题 10. 果园里有苹果树200棵，梨树的棵数是苹果树的。请画出线段图表示苹果树与梨树的关系，并列式求出梨树有多少棵。 【答案】梨树有120棵。线段图画法：先画一条线段表示苹果树200棵并平均分成5份，再画一条与其中3份同样长的线段表示梨树。 【思路引导】苹果树棵数是单位“1”，画5份，梨树占3份；列式200×。 【详解】 200×＝120（棵） 答：梨树有120棵。 五、解答题 11. 学校图书馆有图书4800本，第一周借出总数的，第二周借出的本数是第一周的。第二周借出图书多少本？ 【答案】第二周借出图书800本。 【思路引导】连乘问题，第一周的单位“1”是图书总本数，第二周的单位“1”是第一周借出的本数。 【详解】 4800×＝1200（本） 1200×＝800（本） 综合算式：4800××＝800（本） 答：第二周借出图书800本。 12. 水果店运来180千克苹果，第一天卖出总数的，第二天卖出余下的。还剩多少千克苹果没有卖出？ 【答案】还剩60千克苹果没有卖出。 【思路引导】第一天后余下总数的（1−），第二天卖出余下的，则最后剩下余下的（1−），用连乘。 【详解】 第一天后余下：180×（1−）＝180×＝120（千克） 第二天后还剩：120×（1−）＝120×＝60（千克） 综合算式：180×（1−）×（1−）＝60（千克） 答：还剩60千克苹果没有卖出。 学科网（北京）股份有限公司 $