专题1.3 集合的基本运算专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合基本运算，以10类题型构建从基础运算到综合应用的训练体系，覆盖参数求解、容斥原理及新定义问题，强化逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |并集运算|4题|直接计算集合合并结果|从基本概念到运算应用| |并集求参数|4题|结合并集结果反求参数值|运算与方程思想结合| |交集运算|4题|求解集合公共元素|概念深化与运算拓展| |交集求参数|4题|利用交集条件确定参数范围|逻辑推理与集合关系| |补集运算|4题|全集与补集的直接运算|补集概念及集合关系| |补集求参数|4题|通过补集结果推导参数|逆向思维与集合性质| |交并补混合|4题|多运算综合应用|运算顺序与关系转化| |混合求参数|4题|复杂集合关系中的参数求解|综合思维与分类讨论| |容斥原理与Venn图|4题|集合计数与图形表达|数形结合与实际应用| |集合新定义|4题|抽象集合概念的理解应用|数学抽象与创新意识|

专题1.3 集合的基本运算-重难点题型精练 题型01 并集的运算 题型02 利用并集求参数 题型03 交集的运算 题型04 利用交集求参数 题型05 全集与补集的运算 题型06 利用全集与补集求参数 题型07 交并补混合运算 题型08 利用交并补求参数 题型09 容斥原理与Venn图的应用 题型10 集合新定义 题型01 并集的运算 1．（26-27高三上·甘肃庆阳·开学考试）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）设集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南大理·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 题型02 利用并集求参数 5．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）（多选）若集合，，且满足，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广西来宾·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 7．（25-26高一上·广东河源·阶段检测）（多选）已知集合，，若，则a的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 8．（25-26高一上·河南濮阳·阶段检测）已知集合，． (1)若，且，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 题型03 交集的运算 9．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·安徽·开学考试）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型04 利用交集求参数 13．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 14．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 15．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知或 (1)若，⫋，求的取值范围； (2)若或，求的取值范围. 16．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）集合，，若，则实数m的值为（   ） A． B．0 C． D．2 题型05 全集与补集的运算 17．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知集合，，全集. (1)求，； (2)求. 18．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知集合，集合 (1)求 (2)求 (3)求 19．（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则=（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·广西河池·期中）已知集合，集合，求. 题型06 利用全集与补集求参数 21．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 22．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 23．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）设全集，集合． (1)求集合； (2)若，求集合． 24．（25-26高一上·湖北孝感·开学考试）设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 题型07 交并补混合运算 25．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，，求，，，． 26．（26-27高一上·全国·课后作业）全集，，，，，则________，________ 27．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 28．（2026·山东德州·三模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型08 利用交并补求参数 29．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知全集，，，且. (1)求实数，的值； (2)求. 30．（25-26高一上·新疆昌吉·阶段检测）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 31．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 32．（25-26高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型09 容斥原理与Venn图的应用 33．（25-26高三·全国·三轮复习）某社区需要招募志愿者进行连续天的志愿工作，第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有人，后两天都参加的有人，则这三天参加的人数最少为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 35．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    题型10 集合新定义 37．（25-26高一上·陕西·阶段检测）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 38．（25-26高一上·四川凉山·期末）（多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·北京西城·期末）设整数集合，其中，且对，，若，则有． (1)直接写出一个满足条件的集合A； (2)证明：，； (3)求满足条件的集合A的个数． 40．（25-26高一上·四川·阶段检测）若集合具有①，，②若，，则，且时，这两条性质，则称集合是“好集”. (1)判断集合是否是“好集”，并说明理由. (2)设集合是“好集”，求证：若，，则. (3)对任意的一个“好集”，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由. 1．（25-26高二下·北京·学业考试真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·陕西汉中·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东·模拟预测）已知集合，若 ，则 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 8．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 9．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知全集，集合，，且，则（     ） A． B． C．中元素个数为1 D． 10．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）已知集合 ，则（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 12．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）若集合或，则　______，______． 14．（2026·安徽合肥·一模）已知集合，，同时满足，，则___________． 15．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）设全集，已知集合，. (1)当时，求 ①； ②； (2)若满足，求实数m的取值范围. 16．（25-26高一上·河北·阶段检测）设是一个非空有限集合，定义其加权密度函数为，其中表示集合中的元素个数，表示集合中所有元素的和.进一步地，若集合可以划分为两个非空子集和（即且）且满足，则称为可平衡集合. (1)计算集合的加权密度函数； (2)判断集合是否为可平衡集合，并说明理由； (3)已知集合（其中，为正整数，且）是可平衡集合，且划分后的两个非空子集的加权密度函数均为3，求，的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 集合的基本运算-重难点题型精练 题型01 并集的运算 题型02 利用并集求参数 题型03 交集的运算 题型04 利用交集求参数 题型05 全集与补集的运算 题型06 利用全集与补集求参数 题型07 交并补混合运算 题型08 利用交并补求参数 题型09 容斥原理与Venn图的应用 题型10 集合新定义 题型01 并集的运算 1．（26-27高三上·甘肃庆阳·开学考试）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，， 得． 2．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以. 3．（25-26高一下·云南大理·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合，， 得. 4．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据并集的定义，. 题型02 利用并集求参数 5．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）（多选）若集合，，且满足，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的并集性质转化为子集关系，再分情况讨论的可能取值，结合元素互异性验证结果即可得解. 【详解】由已知，则，所以的值可能为,或. 由元素互异性可知，， 当时，解得，此时 或，满足题意. 当时，解得，若， 则集合中会出现重复元素，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 若，则，满足题意. 当时，解得或1，若， 则集合和集合中均会出现重复元素，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 若，则，满足题意. 因此，实数的值可以为. 故选：ACD. 6．（25-26高一上·广西来宾·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可； （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以， 而，所以， 于是有， 所以实数m的取值范围为. 7．（25-26高一上·广东河源·阶段检测）（多选）已知集合，，若，则a的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】∵，则，解得， 由选项可知，的值可以是或或． 故选：ABC 8．（25-26高一上·河南濮阳·阶段检测）已知集合，． (1)若，且，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)0或； (2)或. 【分析】（1）求出，时，满足要求，再分与两种情况，求出答案； （2），分和，结合根的判别式和韦达定理得到不等式或方程，求出答案. 【详解】（1）， ，， 若，则，满足要求； 若，则无解，不合要求； 若，则，解得， 综上，实数的值为0或； （2），， 若，则，解得，满足要求； 若，当时，，，满足要求； 当时，，要想满足，需满足， 即是方程的两个根， 由于，求出； 综上，或. 题型03 交集的运算 9．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】表示集合和集合的交集，是由既属于集合又属于集合的所有元素构成的集合， 又因为集合，，所以. 10．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，集合，，则 11．（26-27高三上·安徽·开学考试）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，又，所以. 12．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题. 题型04 利用交集求参数 13．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 14．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 15．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知或 (1)若，⫋，求的取值范围； (2)若或，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的包含关系，分类讨论建立不等式即可解出结果； （2）根据集合交集得包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1），或，且是的真子集， 当时，则，即时，符合题意； 当时，则或，解得， 综上，的取值范围是； （2）由，可得， 因为或，若或， 当，即时，，满足； 当，即时，或，不满足； 当，即时， 要使，需使，解得． 综上，的取值范围为或. 16．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）集合，，若，则实数m的值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】ABC 【分析】先求出，根据交集结果得到，分，和三种情况，得到方程，求出答案. 【详解】， ，则，若，则，满足要求； 若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数m的值为或0或 故选：ABC 题型05 全集与补集的运算 17．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知集合，，全集. (1)求，； (2)求. 【答案】(1)，. (2)或 【分析】（1）利用集合的交并运算即可求解； （2）利用集合的交并补运算即可求解； 【详解】（1）易知，又， 所以，. （2）已知全集，易知或，， 因此或. 18．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知集合，集合 (1)求 (2)求 (3)求 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以． （2）因为，， 所以． （3）因为， 所以或 19．（25-26高一下·湖南永州·开学考试）已知全集，集合，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，则， 所以. 20．（25-26高一上·广西河池·期中）已知集合，集合，求. 【答案】，，或. 【分析】根据交集、并集及补集的定义求解即可. 【详解】 ； 或. 题型06 利用全集与补集求参数 21．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由全集，且，故，从而. 22．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】由，可得，，故，从而求出的值即可. 【详解】由可得，，故， ，解得， 故选：C. 23．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）设全集，集合． (1)求集合； (2)若，求集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程可得答案；． （2）根据可得代入可得答案. 【详解】（1）． （2），， ，∴解得， ． 24．（25-26高一上·湖北孝感·开学考试）设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出集合，再借助韦达定理求解作答. 【详解】由全集，，得， 即1，4是方程的两个根，于是，解得， 所以m的值等于4. 故选：A 题型07 交并补混合运算 25．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，，求，，，． 【答案】,,, ． 【详解】，，， ， ， ，， ， . 26．（26-27高一上·全国·课后作业）全集，，，，，则________，________ 【答案】 【详解】法一：根据题意作出Venn图如图所示： 由图可知，． 法二：∵， ∴． 又， ∴． ∵，， ∴． 27．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 所以. 28．（2026·山东德州·三模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 所以. 题型08 利用交并补求参数 29．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知全集，，，且. (1)求实数，的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合的混合运算集结果求得，进而得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用（1）中结论，结合集合的交并补运算即可得解. 【详解】（1）因为全集，且， 所以，则， 又，， 所以，解得. （2）由（1）可知，， ， 所以，故. 30．（25-26高一上·新疆昌吉·阶段检测）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解； （2）利用集合混合运算的结果，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）因为，所以或， 又， 所以. （2）因为，， 所以， 又，， 所以与有交集， 则，即实数的取值范围为. 31．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 32．（25-26高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 题型09 容斥原理与Venn图的应用 33．（25-26高三·全国·三轮复习）某社区需要招募志愿者进行连续天的志愿工作，第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有人，后两天都参加的有人，则这三天参加的人数最少为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合，设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，作出维恩图求解即可. 【详解】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合， 设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为， 根据题意可作维恩图如图: 依题意必有均为自然数， 所以, 故这三天参加的志愿者总人数为: 当时，总人数最少，最少人数为. 故选：B. 34．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训3类拓展课程．高一某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为________． 【答案】8 【分析】利用韦恩图来求解即可. 【详解】设3类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和AI技术培训的有人， 列出韦恩图如下，则， 可得，则只参加AI技术培训的人数为人. 故答案为：8.    35．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 36．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    【答案】 【分析】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 题型10 集合新定义 37．（25-26高一上·陕西·阶段检测）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 【答案】15 【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、非空子集个数公式进行求解即可. 【详解】依题意，，， 故，故的非空子集个数为. 故答案为：. 38．（25-26高一上·四川凉山·期末）（多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 39．（25-26高一上·北京西城·期末）设整数集合，其中，且对，，若，则有． (1)直接写出一个满足条件的集合A； (2)证明：，； (3)求满足条件的集合A的个数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，由于，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． (3) 【分析】（1）根据题目条件，令，即可写出一个集合； （2）由反证法即可证明； （3）因为，，所以集合中至多4个元素.设，先通过判断集合中前个元素的最大值可以推出，故集合的个数与集合的子集个数相同，即可求出． 【详解】（1）令，满足， 当，时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合. （2）略 （3）设集合中有个元素，， 由题意，得，， 由（2）知，． 假设，则． 因为， 由题设条件，得， 因为， 所以由（2）可得， 这与为中不超过的最大元素矛盾， 所以， 又因为，， 所以． 任给集合的元子集，令， 以下证明集合符合题意： 对于任意，则． 若，则有， 假设，因为，所以， 这与矛盾； 因此必有， 又因为，所以和都不大于， 根据集合的构造，所以，，从而． 故集合符合题意， 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同， 故满足条件的集合有个． 40．（25-26高一上·四川·阶段检测）若集合具有①，，②若，，则，且时，这两条性质，则称集合是“好集”. (1)判断集合是否是“好集”，并说明理由. (2)设集合是“好集”，求证：若，，则. (3)对任意的一个“好集”，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由. 【答案】(1)不是“好集”，理由为： 集合不是“好集”，理由如下： 因为，，， 所以集合B不是“好集”． (2) 证明：因为集合A是“好集”，所以． 若，，则，即， 所以，即，命题得证． (3)真命题，理由为： 命题“若，，则”为真命题，理由如下： 先证明：若，则. 对任意一个“好集”，任取， 若或时，显然. 且时，由定义可知：. 所以，即.所以. 由（2）可得：，即.同理. 根据性质②若，，则，可得. 所以命题“若，，则”为真命题. 【分析】（1）利用定义，判断集合B不是“好集”； （2）由，若，，则，从而得出； （3）先证：若，则，同理，最后根据性质②可得，即可判断命题为真. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 1．（25-26高二下·北京·学业考试真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 得. 2．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的并集定义求解即可. 【详解】由并集的定义知. 3．（25-26高二下·陕西汉中·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用列举法表示全集，再利用补集的定义进行求解即可 【详解】，所以 4．（2026·山东·模拟预测）已知集合，若 ，则 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由得，进而求得，再验证即可求解. 【详解】由，所以或，解得或， 当时，，所以，满足题意， 当时，，所以，不满足题意， 所以. 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 6．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定全集，再根据集合的运算，确定集合. 【详解】由条件可知，，且， 所以. 故选：B 7．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 8．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用容斥原理求解. 【详解】根据容斥原理得：， 所以：，所以 9．（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知全集，集合，，且，则（     ） A． B． C．中元素个数为1 D． 【答案】BCD 【分析】首先根据韦达定理判断集合中的元素，再通过分类讨论进行判断 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得 解得， 若，将代入方程得 解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：， 若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C： 若，则，只有一个元素； 若则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，， 所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D正确. 10．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 11．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）已知集合 ，则（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【分析】A解即可；B根据列不等式组；C根据，再分类讨论即可；D假设可得，再根据以及即可求出. 【详解】若，则，得，故A正确； 若，则，则，得，故B正确； 若，则， 若为空集，则，得； 若不为空集，则，，，得， 综上，，故C正确； 若，则，，且，由C选项可知，， 假设，则，得，故， 综上，，故D错误； 故选：ABC 12．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 【答案】 44 【分析】利用三集合容斥原理的计数公式，代入已知的各集合元素个数、两两交集元素个数、三者交集元素个数，即可计算得到总人数. 【详解】设集合，，， 根据三集合容斥原理，测绘队总人数为三个集合的并集的元素个数， 对应公式为： 由题意得：，，，，，，， 代入公式计算： 因此这支测绘队共有44人. 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）若集合或，则　______，______． 【答案】 R 【分析】利用集合的交集、并集定义，借助于数轴即可求解. 【详解】因或， 则， 14．（2026·安徽合肥·一模）已知集合，，同时满足，，则___________． 【答案】或 【分析】易知，则，即集合中的元素互为倒数，由题意可求出集合，进而确定集合，根据并集的运算即可求出答案． 【详解】设，若，又，故，此时，与已知矛盾， 故，所以，得，所以， 即集合中的元素互为倒数， 因为， 所以存在，使得且，解得， 又因为， 所以或， 若，则，则； 若，则，则. 综上所述，或． 15．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）设全集，已知集合，. (1)当时，求 ①； ②； (2)若满足，求实数m的取值范围. 【答案】(1)①；②或； (2). 【分析】（1）把代入，①利用交集的定义求解；②利用补集、并集的定义求解. （2）利用给定并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）①当时，，而，所以. ②或，所以或. （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. 16．（25-26高一上·河北·阶段检测）设是一个非空有限集合，定义其加权密度函数为，其中表示集合中的元素个数，表示集合中所有元素的和.进一步地，若集合可以划分为两个非空子集和（即且）且满足，则称为可平衡集合. (1)计算集合的加权密度函数； (2)判断集合是否为可平衡集合，并说明理由； (3)已知集合（其中，为正整数，且）是可平衡集合，且划分后的两个非空子集的加权密度函数均为3，求，的值. 【答案】(1)5 (2)集合是可平衡集合，理由如下： 假设集合是可平衡集合，则集合可划分为两个非空子集，（且）且， 尝试所有可能划分可知，当，时，，，满足条件. 所以集合是可平衡集合. (3)，. 【分析】（1）根据加权密度函数的定义进行求解即可； （2）通过可平衡集合的定义进行尝试，可知：当，时满足条件； （3）解法一：由题意知，可划分为两个非空子集和，通过可平衡集合与权密度函数的定义，逐一验证与的各种情况并验证那种情况符合题意； 解法二：设划分方式为和，设，则，，.进而得到，得，再根据及集合的互异性即可求解. 【详解】（1）已知：，则. （2）集合是可平衡集合. 理由略； （3）解法一：由题意知，可划分为两个非空子集和（即，），且每个子集的加权密度函数均为3. 若，，则需满足且， 此时不满足集合中元素的互异性； 若，，则需满足且. 此时不满足集合中元素的互异性； 若，，则需满足且，显然此时不满足； 若，，需满足且，即，又，为正整数，且，还需满足集合中元素的互异性，故，； 若，，则且，，此时不满足及集合中元素的互异性； 若，，则且，，此时满足，但不满足集合中元素的互异性； 若，，则，，显然此时不满足. 综上，，. 解法二：由题意，可划分为两个子集，且每个子集的加权密度函数均为3. 设划分方式为和. 设，则，，. ， 所以，得， 又，为正整数，且，还需满足集合中元素的互异性， 当，时，集合不满足集合的互异性， 故，. 学科网（北京）股份有限公司 $