1.3 集合的基本运算（十一大重点题型精练）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合运算全维度训练，以题型分层构建从概念理解到综合应用的递进式知识逻辑，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |并集运算及求参数|12题|基础运算与参数范围求解|从集合并集概念到含参数问题，体现概念应用深化| |交集运算及求参数|12题|集合交运算及参数值确定|承接并集，强化集合间关系的量化分析| |补集运算及求参数|12题|全集补集运算及参数求解|完善集合运算体系，构建补集与参数的关联| |混合运算及求参数|14题|交并补综合运算及集合确定|整合基础运算，提升综合应用能力| |容斥原理|8题|实际情境中的集合计数|从抽象运算到实际应用，培养数学建模意识| |韦恩图应用|8题|图形语言表示集合关系|通过直观图示转化抽象集合关系，发展几何直观| |新定义问题|4题|集合新运算与性质探究|拓展集合概念，提升创新思维与数学表达能力|

专题1.3 集合的基本运算 目录●重难点题型分布 重难点题型1 并集的概念及运算 1．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据集合并集的运算，合并两个集合的元素取值范围即可得答案. 【详解】集合，， 所以. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】并集的概念及运算 【详解】根据并集的定义，. 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合， 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】并集的概念及运算 【详解】因为， 所以. 4．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.91 【知识点】并集的概念及运算 【详解】集合，，则 5．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，则集合_________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】并集的概念及运算 【详解】已知集合，， ． 6．（25-26高三上·上海·期末）已知集合，，则_____________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故答案为：. 重难点题型2 根据并集的概念及运算，求参数 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 2．（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 3．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由题意，进而有或求参数，注意验证元素的互异性. 【详解】由，即，则或，可得或， 当，在集合中，不满足集合元素的互异性， 当，则，满足题设. 故选：C 4．（25-26高一上·新疆·期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】分析可知，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合或，，且，则，故. 故选：A. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知集合,若,则的取值是___. 【答案】2或3 【难度】0.92 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【详解】因为，且，所以. 由集合中元素的互异性可知，所以或. 6．设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由得集合是集合的真子集，根据集合的包含关系求解即可. 【详解】因为， 所以集合是集合的真子集， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 重难点题型3 交集的概念及运算 1．（2025高一上·安徽·竞赛）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算 【详解】依题意，，，所以． 2．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由绝对值的概念确定集合，再由交集的概念即可求解. 【详解】， ， 所以. 3．（2026·河北邢台·三模）已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先根据集合的表达式求出符合集合范围的元素，再计算两个集合的交集即可. 【详解】首先明确自然数集包含，由集合的定义，设，其中，变形得，， 已知集合，将非负整数依次代入计算： 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，超出集合的元素范围，不满足要求， 因此，故B正确. 4．（25-26高二下·浙江宁波·期末）若集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】由题可知. 5．（25-26高二下·上海·期末）集合 ，集合 ，则 ______ 【答案】 （或区间形式） 【难度】0.95 【知识点】交集的概念及运算 【详解】∵ 集合，集合， ∴求两个集合的交集，则 需同时满足和，取两个范围的公共部分可得， ∴ . 6．（25-26高二下·上海·期中）已知集合，，则____________. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】交集的概念及运算 【详解】已知，， 两个集合的公共元素为和，因此. 重难点题型4 根据交集的概念及运算、求参数 1．（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 3．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】由题可知，， 所以. 故选：A． 4．（25-26高三上·江苏无锡·期末）设集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】因为集合，，且， 所以有，解得. 故选：C. 5．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，若，则______． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【详解】因为，所以， 当时，，此时，即； 当时，，此时，所以成立； 当时，，此时，即. 6．（25-26高三下·上海·阶段检测）集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.66 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据题意，得到，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，所以集合， 又因为集合，，且， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 重难点题型5 全集和补集的概念及运算 1．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】补集的概念及运算 【详解】因为全集，则集合为. 2．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知全集 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】补集的概念及运算 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由全集，集合， 则 . 4．设全集，集合，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据集合及其补集情况分情况讨论即可. 【详解】由已知得， 所以或， 解得， 故选：D. 5．（25-26高一上·上海·期末）已知全集，集合，则________． 【答案】 【难度】0.99 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据全集及补集的定义分析即可. 【详解】因为全集，集合， 所以. 6．（2025·四川巴中·二模）设集合，，则______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算 【分析】计算出集合后利用补集定义即可得. 【详解】，又， 则. 故答案为：. 重难点题型6 根据补集的概念及运算，求参数 1．（2026·天津北辰·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【详解】由，，得， 所以． 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【详解】由全集，且，故，从而. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 4．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据补集运算确定集合或参数、补集的概念及运算 【分析】求出集合后利用补集的定义可求. 【详解】，解得 ，而，故， 故选：D． 5．已知全集，且，则实数的值为__________ 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据补集的定义求解. 【详解】因为全集，且， 所以，得或. 故答案为：或 6．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则______． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据补集定义求出集合A，然后由韦达定理可得. 【详解】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 重难点题型7 交并补混合运算 1．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选题）已知全集，集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的真子集个数是7 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、并集的概念及运算、交集的概念及运算、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】化简集合，根据集合交集运算可判断A；根据集合并集运算可判断B；根据集合补集与并集运算可判断C，根据集合中元素个数与真子集关系计算可判断D. 【详解】集合， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，因为中有3个元素， 所以的真子集个数是7，故D正确. 故选：AD. 2．（2024·全国·二模）（多选题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、并集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】根据根式的性质化简，即可根据集合的交并补定义，结合选项逐一求解. 【详解】，，选项错误； ，选项B错误； ，选项正确； ，选项D正确. 故选：CD 3．设全集，集合，，则_____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算 【分析】确定，再计算并集得到答案. 【详解】，，则， ，则. 故答案为：. 4．已知集合，集合，则______，______. 【答案】 或 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算 【分析】由一元二次不等式化简集合，再由集合的交并补求解即可. 【详解】或，， 则或； ，则. 故答案为：或； 5．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 【答案】(1)，. (2)． 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）利用集合并集、交集的定义求解即可； （2）利用补集、交集的定义求解即可. 【详解】（1）利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图． 则，. （2）依题意：或，或， 所以． 6．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、并集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】（1）根据并集的定义即可求出； （2）根据补集的定义和交集的定义即可求出； （3）根据补集的定义和并集的定义即可求出. 【详解】（1）集合，， 根据并集的定义，得. （2）根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. （3）根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. 重难点题型8 根据集合的交并补混合运算，确定集合或参数 1．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）由题设易得，结合可得，进而求得，可得，，进而求得，再进行检验即可； （2）先求出，再分、、、四种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由题设，显然，又，所以， 所以，解得， 则，因此， 所以，解得， 则，此时，符合题意， 故. （2）若，则， 又，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 当时，，无解. 综上所述，的取值范围是. 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数、并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）当时，求得集合，结合集合并集的定义与运算，即可求解； （2）由，得到，分类讨论，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：当时，集合， 因为，所以. （2）解：由集合，， 因为，可得， 当时，解得；当时，此时方程组无解， 综上可得，实数的值为. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，． (1)当时，求与； (2)若时，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.82 【知识点】交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】（1）分别求出集合A和B，根据交集，并集运算的定义，即可得答案. （2）根据条件，可得，分别讨论和两种情况，根据包含关系，列出不等式组，综合即可得答案. 【详解】（1）由题意，集合， 当时，集合， 所以，. （2）由，得， 当时，，解得，此时满足； 当时，则，解得， 综上，实数m的取值范围为 4．（25-26高一下·广西百色·开学考试）设集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1). (2) 【难度】0.79 【知识点】并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算即可. （2）根据集合的包含关系求出参数的范围即可. 【详解】（1）时，集合，因为集合， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，要使得，则，解得. 综上，实数a的取值范围为. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数 【分析】（1）根据题意，得到且，列出方程组，求得的值，得到集合，利用集合并集的运算即可求解； （2）根据题意，得到，求得的值，验证集合元素的互异性，进而得到答案. 【详解】（1）由集合，， 若，可得且，则，解得， 所以，可得． （2）由集合，，， 若，则，解得或， 当时，，满足； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去. 综上所述，实数的值为． 6．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据补集运算确定集合或参数、交集的概念及运算 【分析】（1）时化简集合A，根据交集的定义写出； （2）根据，得出关于a的不等式，求出解集即可. 【详解】（1）当时，集合，， ∴； （2）∵，（）， ，∴， ∴， 又，解得. ∴实数a的取值范围是：. 7．已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算、交集的概念及运算 【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案； （2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）由题意，可得， 所以，． （2）因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． 8．设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、补集的概念及运算、交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解. （2）求出，，分，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以或，； （2）全集 ，， 或， ， 分，两种情况讨论. （1）当时，如图可得，或， 或； （2）当时，应有：，解得； 综上可知，或， 故得实数 的取值范围. 重难点题型9 容斥原理的应用 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 2．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 3．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 4．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【详解】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）（多选题）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】利用Venn图求集合、容斥原理的应用 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 6．（多选题）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多1人.则（   ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对，都赞成的有21人 D．对，都不赞成的有8人 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可. 【详解】赞成的人数为，赞成的人数为， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合，如图所示， 设对事件，都赞成的学生人数为， 则对，都不赞成的学生人数为， 赞成而不赞成的人数为， 赞成而不赞成的人数为， 依题意，解得. 所以赞成的不赞成的有9人，故A正确； 赞成的不赞成的有12人，故B错误； 对，都赞成的有21人，故C正确； 对，都不赞成的有8人，故D正确. 故选：ACD 7．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【难度】0.72 【知识点】容斥原理的应用 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 8．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】第一天售出商品数减去前两天都售出的商品数即可解决第一空，再求出第三天售出的商品中有多少种商品第二天未售出，要使商品种数最少，则只需第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过，即可得解. 【详解】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 重难点题型10 利用韦恩图求集合 1．（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算 【分析】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果. 【详解】由集合，，得， 由图象可知阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：C 2．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算 【分析】结合图形可得阴影部分表示的集合，然后结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得，所以， 阴影部分表示的集合为， 且或，， 则. 故选：C 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的非空真子集个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用Venn图求集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由阴影部分为，即可求解. 【详解】阴影部分为， ， 所以， 所以， 所以阴影部分表示的集合的非空真子集个数为2， 故选：A 4．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算 【分析】根据阴影部分所表示的集合结合交集及并集定义计算求解. 【详解】因为集合，，所以 则阴影部分所表示的集合为. 故选：C. 5．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）（多选题）已知U是全集，集合A，B的关系如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、补集的概念及运算、交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可. 【详解】对于A，由图可知，故A错误； B、C、D均正确， 故选：BCD 6．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选题）已知非空的集合的关系如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算、补集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【分析】利用集合的文氏图表示意义即可得到判断. 【详解】    由图可得：，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 7．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算、补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 8．1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是__________.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用Venn图求集合、根据集合的包含关系求参数 【分析】由题意与交集不为空，且互不为包含关系，进而可得在与时的正负即可求解. 【详解】由题意与交集不为空，且互不为包含关系， 故或，即无解或. 综上有. 故答案为： 重难点题型11 集合的新定义 1．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 2．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】集合新定义、并集的概念及运算、判断元素与集合的关系 【分析】根据闭集合的定义判断①、②，举反例判断③、④. 【详解】对于①：， 当，时，， 但，不满足闭集合的定义，故①错误； 对于②：， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，故集合为闭集合．故②正确； 对于③：设， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，则集合为闭集合． 由②分析可知也为闭集合． ， 当，时，， 但，即不是闭集合，故③错误； 对于④：设，若，则，， 则都为闭集合，又，且， 不存在，使得，即不存在，使得，故④错误； 故选：B. 3．（25-26高一上·北京·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. ①是一个戴德金分割； ②M没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 上述选项中，可能成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系 【分析】根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项①，因为，，，故①错误； 对选项②，设，，满足戴德金分割，则中没有最大元素，有一个最小元素，故②正确； 对选项③，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，，故③错误； 对选项④，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故④正确. 故选：. 4．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图．下列四个图不为偶图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】集合新定义、并集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】由图形结构特点及新定义逐个判断即可. 【详解】 对于选项A，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，A为偶图. 对于选项B，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，B为偶图. 对于选项C，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点在一个子集内，这显然不符合偶图的定义，C不为偶图. 对于选项D，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，D为偶图. 故选：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 集合的基本运算 目录●重难点题型分布 重难点题型1 并集的概念及运算 1．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合， 则 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海·模拟预测）已知集合，，则集合_________． 6．（25-26高三上·上海·期末）已知集合，，则_____________. 重难点题型2 根据并集的概念及运算，求参数 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 2．（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 4．（25-26高一上·新疆·期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·专题练习）已知集合,若,则的取值是___. 6．设集合，，若，则实数的取值范围是______. 重难点题型3 交集的概念及运算 1．（2025高一上·安徽·竞赛）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邢台·三模）已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江宁波·期末）若集合，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海·期末）集合 ，集合 ，则 ______ 6．（25-26高二下·上海·期中）已知集合，，则____________. 重难点题型4 根据交集的概念及运算、求参数 1．（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏无锡·期末）设集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，若，则______． 6．（25-26高三下·上海·阶段检测）集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 重难点题型5 全集和补集的概念及运算 1．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知全集 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 4．设全集，集合，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海·期末）已知全集，集合，则________． 6．（2025·四川巴中·二模）设集合，，则______ 重难点题型6 根据补集的概念及运算，求参数 1．（2026·天津北辰·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 4．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知全集，且，则实数的值为__________ 6．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则______． 重难点题型7 交并补混合运算 1．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选题）已知全集，集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的真子集个数是7 2．（2024·全国·二模）（多选题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．设全集，集合，，则_____________. 4．已知集合，集合，则______，______. 5．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 6．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 重难点题型8 根据集合的交并补混合运算，确定集合或参数 1．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知集合． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 2．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的值． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设集合，． (1)当时，求与； (2)若时，求实数m的取值范围． 4．（25-26高一下·广西百色·开学考试）设集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，． (1)若，求集合； (2)设，若，求实数a的值． 6．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 7．已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 8．设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 重难点题型9 容斥原理的应用 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 3．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 4．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2025高三·全国·专题练习）（多选题）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 6．（多选题）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多1人.则（   ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对，都赞成的有21人 D．对，都不赞成的有8人 7．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 8．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 重难点题型10 利用韦恩图求集合 1．（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的非空真子集个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．7 4．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）（多选题）已知U是全集，集合A，B的关系如图所示，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选题）已知非空的集合的关系如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    8．1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是__________.    重难点题型11 集合的新定义 1．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 2．（25-26高一上·上海浦东新·期中）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·北京·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割. ①是一个戴德金分割； ②M没有最大元素，有一个最小元素； ③有一个最大元素，有一个最小元素； ④没有最大元素，没有最小元素； 上述选项中，可能成立的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图．下列四个图不为偶图的是（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $