江西南昌市第二中学2026-2027学年高三上学期数学周测一

**基本信息** 高三数学周测试卷聚焦立体几何与空间向量，融入《九章算术》“阳马”“鳖臑”及米斗等数学文化素材，通过折叠、动态动点等问题设计，考查空间观念与推理能力，适配高三基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间向量投影、线面位置关系、直观图还原|结合斜二测画法考查原图形判断，强化空间直观| |多选题|3/18|共面定理、向量夹角、坐标对称|设置向量新定义问题，培养创新思维| |填空题|3/15|基底坐标、圆台内切球、线面交点|以圆台内切球表面积计算，提升空间运算能力| |解答题|5/70|空间向量运算、正方体动态问题、阳马证明|通过折叠问题（直角梯形折起）探究面面垂直，体现数学思维严谨性|

2026-2027学年度高三（上）周测一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是(    ) A. B. C. D. 2.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是(    ) A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 3.如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是(    ) A. 面积为的矩形 B. 面积为的矩形 C. 面积为的菱形 D. 面积为的菱形 4.古代数学名著九章算术商功中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，，，与平面交于点，则(    ) A. B. C. D. 6.米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为和侧棱长为则其外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 7.设动点在棱长为的正方体的对角线上，且，当为锐角时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.如图直角梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，则下列结论错误的是       ． A. 平面平面 B. C. 二面角的大小为 D. 与平面所成角的正切值为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下面四个结论中正确的是(    ) A. 若对空间中任一点，有，则，，，四点共面 B. 若，则向量的夹角是锐角 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 已知向量满足，且，则 10.已知，，且，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 11.一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长，其方向同时与向量，垂直如图所示在平行六面体中如图所示，下列结论正确的是(    ) A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若向量，则称为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为          ． 13.若圆台的上、下底面半径分别为，，且，则此圆台的内切球与圆台的上、下底面及侧面都相切的球为圆台的内切球的表面积为          ． 14.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知空间中三点，设． 若，且，求向量；  已知向量与互相垂直，求的值； 若点在平面上，求的值． 16.本小题分 如图，以棱长为的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段上． 当，且点关于轴的对称点为点时，求的长度； 当点是面对角线的中点，点在面对角线上运动时，探究的最小值． 17.本小题分 九章算术中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点． 证明：平面； 证明：平面； 求直线与平面所成角的大小． 18.本小题分 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，记，，． 若，求的值； 求直线与直线所成的角的余弦值． 19.本小题分 如图，在直角梯形中，，，且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图．                         图                                         图 求证：平面 求证：平面平面； 求点到平面的距离。 1.【答案】  【解析】解：由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查线、面位置关系的判断，为基础题． 【解答】 解：若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 若，，则与平面可能平行，也可能在平面内，故B错误； 若，，，与平面可相交，也可能在平面内，故C错误 若，，，则，正确故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查投影与斜二测画法，属于较易题． 根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积． 【解答】 解：由题意可得  ，所以  ， 故在原图中，  ，   ， 所以四边形  为菱形如图所示，  ， 则原图形面积为  ．   故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三棱锥体的外接球和内切球的关系，球的表面积公式，属于基础题． 首先求出三棱锥的外接球半径，进一步利用等体积法求出内切球的半径，即可求解． 【解答】解：设外接球的半径为， 所以，故， 所以， 设内切球的半径为， 利用， 解得， 故， 故外接球与内切球的表面积之比为． 故选：． 5.【答案】  【解析】由题设， 因为， 所以， 又因为，，，四点共面， 所以， 解得，即． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查球的切、接问题，球的表面积 首先根据正四棱台的对称性得到外接球的球心所在位置，根据垂直关系列出方程组，解方程组得外接球半径，最后求出外接球表面积即可． 【解答】 解：由题意，米斗的示意图如下：外接球的球心落在线段上， 则，，， 所以， 设外接球的半径为，，则， 因为垂直于上下底面， 所以，即， 又，即， 联立解得，， 所以该米斗的外接球的表面积为． 故选D． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量夹角的坐标表示，属于基础题． 【解答】 解：如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 所以， ， 显然，不共线，由为锐角得， 即， 所以，即， 解得或， 由题意知，所以故选A． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查命题真假的判断，考查二面角，直线与平面所成角，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题． 在中，推导出，，从而平面，进而得到平面，从而面平面；在中，在平面内的射影为，又四边形为正方形，所以，从而；在中，是二面角的平面角，进而求出二面角的大小为；在中，与平面所成角的正切值为 ，由此可得结论． 【解答】 解：由直角梯形中，，，，为中点， 则，，易知， 又因为以为折痕把折起，使点到达点的位置， 则，， 由， 所以，所以， 又，，，平面， 所以平面，平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面，故A正确； 直线在平面内的射影为， 又四边形为正方形，所以， 故，故B正确； 由平面，易知即为二面角的平面角，又，，所以，故C正确； 由平面，易知为直线与平面所成的角，又，，， 所以，故D错误． 故选D． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积运算，空间向量共面定理，关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标，属于中档题． 根据空间向量基本定理的推理可判断；举出特例判断；根据空间直角坐标系中点的特征判断；根据向量模长的计算以及数量积的运算可判断． 【解答】 解：对于，由于对空间中任一点， 有， 而， 故，，，四点共面，故A正确； 对于，当同向时， ， 此时向量的夹角为，不是锐角，故B错误； 对于，点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； 对于，向量满足，且， 则， 所以，整理得，故D错误． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间中两点间距离公式，属中档题． 由的几何意义可求得其范围，即可得答案． 【解答】 解：因为， 所以表示以原点为球心，半径为的球表面上的点， 又表示到距离的平方， 所以， 且， 则， 所以只有满足条件． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角形面积公式，平面向量的新定义问题，向量的数量积的概念及其运算，棱柱的体积，属于中档题． 根据题意，对各项进行分析判断即可． 【解答】 解：对于，  ，而 ，故  ，正确； 对于，  ，当  ，  有意义 则  ，正确； 对于，  ，  ，  ，  ，  ，错误； 对于，  的模长即为平行六面体底面的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，  就是  在垂直于底面的方向上的投影向量的模长即为高乘以底面的面积，即为体积，正确； 故选ABD． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量基本定理，属于中档题． 结合题意，根据空间向量的线性运算可得，进而求得坐标． 【解答】 解：由题意，， 设， 则，解得 则， 所以在基底下的坐标为． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】如图，设圆台上、下底面圆心分别为，，连接，则圆台内切球的球心为的中点设球与母线相切于点，连接，则，连接，，，因为为球的半径，，所以与全等，所以同理得，所以，所以，所以，所以圆台的内切球半径，所以内切球的表面积为． 14.【答案】  【解析】解：选择作为基底，； ， 由已知点在平面内，即与，共面，可得， 又由是的中点，可得，代换可得： ； 与共线，即，可得：， 即，解得． 故答案为： 15.【答案】解：，因为，所以， 又，故即， 所以或． ， 因为与互相垂直， 故 即，， 故 即． 因为点在平面上，故存在使得， 又，所以，解得． 故．   【解析】本题考查空间向量的平行，垂直及坐标运算，空间向量的数量积，空间向量共面，属于中档题． 先求出的坐标，再根据共线可设，结合模长可求． 利用向量的垂直得到它们数量积为零，从而可求的值． 因为点在平面上，故存在使得，从而可得关于的方程组，故可求的值． 16.【答案】解  由题意知点，，，，当时，得，则，所以． 当点是面对角线的中点时，点，点在面对角线上运动，设点，，则 ，所以当时，取得最小值为，此时点．   【解析】略 17.【答案】解：证明：作的中点，连接， 由得分别为的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面 证明：因为，所以， 因为底面，而底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面，而平面，所以， 因为，， 所以，， 又因为平面， 所以平面； 连接交于点，连接， 因为点分别为的中点，所以， 所以平面， 所以为在平面中的射影， 所以与平面所成角为， 由已知得所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为 ．   【解析】本题考查直线与平面所成的角，线面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题． 18.【答案】解：因为点为的中点， 所以， 所以． 又，所以，， 则． 因为 ， 所以． ， 又， 所以， 所以直线与直线所成的角的余弦值为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：证明：取中点，连结，， 在中，，分别为，的中点， 所以，且， 由已知，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，且平面， 所以平面． 证明：在正方形中，， 因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面． 在直角梯形中，，，， 所以，在中，，， 所以，所以，而平面平面， 得知：平面，即， 因为，，所以，，， 所以，， 设点到平面的距离为，根据，即， ，解得， 即点到平面的距离为．   【解析】详见答案 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $