江西省南昌市第二中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

2026年2月数学练习 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以. 故选：A 2．若复数满足（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 所以， 所以， 所以， 故选：C 3．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】由双曲线可得渐近线方程为， 由题意可得， 所以双曲线的离心率， 故选：B． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴，， 又，则，所以， 故选：A 5．已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，∴， ∴ ， 展开式的通项为， 当时，，即. 所以的展开式中的系数为. 故选：B. 6．如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）.    A．与可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 【答案】D 【详解】    构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为1， 则，，，，， 令且，故， 而，，， 所以，即，故D正确； 显然在由相交线和所成的平面上， 且与该平面有交点， 故在上移动过程中可能与相交，B错误； 若且，则，不存在这样的值，A错误； 若面，则，显然不存在这样的值，故C错误. 故选：D 7．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法种数是（    ） A．270 B．360 C．540 D．630 【答案】C 【详解】若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案； 若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案； 若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案； 综上，不同的安排方法种数是. 故选：C 8．已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知的定义域为R， ，故为偶函数， 当时，， 由于在上单调递增，对勾函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，因此在上单调递增， 构造，，当时，，故在上单调递减， 又，∴，即， 即，∴，即， 故选：A 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲，乙组成的总体样本的方差为 B．一组数据，，，，的经验回归方程为，则当时，残差为 C．一组数据，，，的均值为，标准差为s，则数据，，…，的均值为 D．按从小到大排序的两组数据：甲组数据为；乙组数据为，.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75 【答案】BC 【详解】对于A，记样本甲，乙的平均数分别为，由甲乙组成的总体样本的平均数为， 则甲乙组成的总体样本的方差为，故A不正确； 对于B，由题意，得，， 则，所以． 令，则，所以残差为，故B正确． 对于C， ， 所以数据，，…，的均值为，故C正确． 对于D，因为，所以甲组数据的第30百分位数为31， 乙组数据的第40百分位数是，故D错误. 故选：BC． 10．设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则下列说法中正确的是（    ） A．当为等差数列时， B．当数列满足时， C．数列的通项公式可能为 D．当数列满足时， 【答案】ACD 【详解】由已知可得， 对于A，当为等差数列时，则,故，故A正确； 对于B：由，2，，时，则，所以，故B错误； 对于C：显然，又， ，故C正确； 对于D：令，2，3，，， 则，即，，2，3，，， 于是有，2，3，，，又，，解得，，故D正确． 故选：ACD 11．已知，圆，则（    ） A．存在两个不同的实数，使圆过原点 B．存在三个不同的实数，使圆与轴或轴相切 C．存在正实数，使圆在轴上和在轴上截得的线段相等 D．存在唯一的实数，使圆的周长被直线平分 【答案】ABD 【详解】圆的圆心为，半径为2， 对于A：由圆过原点，所以，方程的解的个数等价于函数的图象与曲线的交点个数， 作函数与圆的图象可得：    所以函数的图象与曲线的交点个数为2， 所以存在两个不同的，使得圆经过坐标原点，故A正确； 对于B：圆C与轴或轴相切等价于或，解得或， 所以存在三个不同的实数，使圆与轴或轴相切，故B正确； 对于C：圆C在轴和轴上截得的线段长相等等价于， 所以，即， 方程的解的个数函数和的零点的个数和相等， 因为，所以在上单调递增，又， 所以函数在区间上存在一个零点，即函数存在一个零点， 又因为，由， 所以在单调递增，在单调递减，又， 所以没有零点， 即存在一个，使得圆C在轴和轴上截得的线段长相等，故C错误； 对于D：圆的周长被直线平分等价于，过圆心， 所以，即，令， 所以，由， 所以在单调递增，在单调递减，又，所以只有一个零点， 所以存在唯一的实数，使圆的周长被直线平分，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．边长为2的等边中，为的中点，在边上且，则 . 【答案】 【详解】如图所示，过作于，则在上的投影向量为， 因为，可得点为的三等分点， 又因为，所以为的三等分点，则， 因为为边长为2的等边三角形，可得，所以， 所以. 故答案为：. 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为 【答案】 【详解】由题意知以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，设交点为A，B， 取弦的中点，连接，如下图所示：    则，，因为，所以， 因为为的中点，是的中点，所以， ，且垂直平分弦， 因为，，所以， 所以， 由椭圆定义可知，，， 所以，解得，， 因为，，所以，， 所以椭圆方程为. 14．已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的范围取值为 ． 【答案】 【详解】因为， 若，等价于或， 即同为最大值点或最小值点， 若，则点；若，则点； 据此可知：若集合恰有五个元素，等价于在内有个最值点， 不妨设，可知最值性相同，与不同， 此时集合B的元素为，符合题意， 因为，且，则， 可得，解得， 所以的范围取值为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知△ABC的内角的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为，，求的周长. 【答案】(1) (2)25 【详解】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又因为，所以； （2）由的面积，解得， 由，可得，即， 故解得，所以的周长为. 16．为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3。现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率。 附：，其中． 【答案】(1)有关，理由见解析 (2) 【详解】（1）零假设 ：高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升无关联； 经计算 因 ， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立，即认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关联，该推断犯错误概率不超过0.001. （2） 定义事件：设 “该学生坚持自主刷题”，“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”， 则 ，，， ,故该学生坚持自主刷题的概率为. 17．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若过原点可以作两条直线与曲线相切，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）由已知得， （2）， 设切点分别为， 则在处的切线方程为， 又切点过原点，所以， 即，同理， 所以为方程两个不同的根， 设，则， 若，则在单调递减，不可能有两个不同的根，不符合题意； 若，令得，在单调递减， 令得在单调递增， 所以， 若，即，则， 此时方程没有两个不同的根，不符合题意； 若，即，， 因为，所以，所以， 令，则， 所以在上单调递增，， 即，又的图象是不间断的曲线， 所以存在满足使得， 所以的取值范围是． 18．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为．已知； (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为． （ⅰ）若，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意，，，，所以，则有， 所以球面三角形ABC面积为． （2）因为平面，平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等， 即为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则，令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面与平面的夹角为. 因为=， 化简得则， 故. 19．已知抛物线:的焦点，直线过且交C于两点，已知当时，中点纵坐标的值为. (1)求的标准方程. (2)令，P为C上的一点，直线，分别交C于另两点A，B.求证：为定值，并求出此定值. (3)过分别作的切线， 与相交于，同时与相交于，求四边形面积取值范围. 【答案】(1) (2)1,证明见解析； (3). 【详解】（1）抛物线的焦点的坐标为， 若直线的斜率为0，则与抛物线只有一个交点，与条件矛盾， 可设直线的方程为，联立，化简得①， 方程①的判别式， 设， 所以， 若，则， 所以， 又中点纵坐标的值为，所以， 解得， 所以抛物线方程为； （2）设点的坐标为，则，直线的方程为， 联立，化简可得②， 方程②的判别式，所以，， 设的坐标为，则，所以，所以， 直线的方程为，联立，化简可得③， 方程③的判别式 设的坐标为，则，所以， 所以，所以； （3）设过点的切线方程为， 联立，化简可得④， 方程④的判别式，解得， 所以， 所以，即的方程为， 同理可得的方程为：， 的方程为：， 联立，又，， 解得，，又，即点的坐标为， 联立，又， 解得，， 又，即点的坐标为， 因为，，所以， 所以点的坐标为， 因为，，所以，所以点的坐标为， 所以直线的方程为， 记直线与直线的交点为点，则点的坐标为， 根据抛物线的对称性，不妨设，则或， 当时，则，， 所以，， 所以四边形的面积， 所以， 设，由已知，则， 所以， 函数在上单调递减， 所以， 当时，则，， 所以，， 所以四边形的面积， 所以， 设，由已知，则， 所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 所以四边形面积取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学期末试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A={xx2<1},B={x|lg2x≤1}，则AUB=() A.(-12] B.(0,1) C.(-o,11 D.(-0,2] 2.若复数z满足(1-i22)(z-)=2（i为虚数单位)，则=（) A.√2 B.√5 C.5 D.3 3.若双自线C-手=1a>06>0的条新近线与直线r+2y1-0重直，则C的洛心李为() A.5 B.5 C.5 2 A.6 B. 5 C.30 D.vi5 6 6 3 5.已知随机变量X-N0o),且P(X≤-)=PX≥3a-,则ac”的展开式中的系数为 () A.-10 B.-20 C.10 D.20 6.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了 国际友谊现有6支救援队前往A,B,C三个受灾点执行救援任务，若每 D C 支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队， 则不同的安排方法种数是() B A.270 B.360 C.540 D.630 7.如图，在正方体ABCD-ABCD中，当点F在线段BC,上运动时，下 F 列结论正确的是() A.AF与BD可能平行 B.AF与BD始终异面 C.AF与平面BDC1可能垂直 D.AF与BD始终垂直 A 分 8.已知函数f)=log,4+1)-x,若a=f(m),b=f(e),c=f(-2):则a,b,c的大小关系为（） A.b>axc B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是() A.样本甲中有m件样品，其方差为s2,样本乙中有n件样品，其方差为s2,则由甲，乙组成 的总体样本的方差为m+”。 m+n m+n B.一组数据(1,3)，(2,8)，(3,10)，（4,14)，(5,15)的经验回归方程为=3x+a,则当x=5时， 残差为-1 C.一组数据x,x2,…,x,的均值为x,标准差为5，则数据x,x,,x的均值为s2+x2 D.按从小到大排序的两组数据：甲组数据为29,31,37,40,41,50；乙组数据为24,30,33,44， 48,52,60,68,70,80.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75 1 10.设随机变量的分布列如下： 1 2 3 5 6 7 8 9 10 P a a, 4 a 4 6 a as a 410 则下列说法中正确的是() A.当{a,}为等差数列时，a+a,=方 B.当数列a}清足a=01=12时，a44,女 11 C.数列{a}的通项公式可能为an= 10mn+1) 11 D.当数列{a,}满足P(5≤)=k产ak=12,,10)时，a10+1 11,已知a∈R，圆C:x-2+(y-e)=4,则() A.存在两个不同的实数4，使圆C过原点 B.存在三个不同的实数a,使圆C与x轴或y轴相切 C.存在正实数a,使圆C在x轴上和在y轴上截得的线段相等 D.存在唯一的实数a,使圆C的周长被直线x-y=0平分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E在边AC上且AE=2EC,则AD.BE= 13已蜘批因C若+若-1的左、右焦点分别为只(50,5.0，菊圆上一点满足 P耳⊥PF,,以C的短轴为直径作圆O,截直线P耳的弦长为√2b,则椭圆的方程为 4已如了)=5(gmo+esma>0叭，来合40若有在m,使得来合 B=(x,y1∫(x)f(y)=4,x,y∈A}恰有五个元素，则ω的范围取值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知△1BC的内角A,B,C的对边为a,b,c,且3(simB-sinC）=3smA-4simC b+c (1)求sinB: 2若△ABC的面积为55，b=12,求△ABC的周长 16.(本小题15分) 为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查， 统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值=0.001的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升 有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中， 数学成绩达到优秀的概率为0.3。现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求 该学生坚持自主刷题的概率 附：X= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(本小题15分) 己知商数f)x+是aeR. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若过原点可以作两条直线与曲线y=f(x)相切，求a的取值范围. 18.(本小题17分) 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R,A、B、C为球 面上三点，设O,表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a,同理，圆O,,O的 劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c,曲面ABC(阴影部分)叫做球面三角形.若设二面角C-OA-B, A-OB-C,B-OC-A分别为a、B、y,则球面三角形的面积为S球ABc=(a+B+y-T)R'.已 知R=V3; A B D 图1 图2 a话a=b=c,∠A0C-5, 求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）： (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，DB⊥平面ABC,AB:AC:BC=√3：V2:1,直线DC与平面 A5C所成的角为号 (i)若M,N分别为直线AD,BC上的动点，求线段MN长度的最小值； (ii)如图(2)，若P,O分别为线段AC,BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当 平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为匝时，求线段BG的长. 19.(本小题17分) 己知抛物线C:y2=2Px的焦点F,直线l过F且交C于两点M、N,己知当MF=3NF时，W 中点纵坐标的值为2 3 (1)求C的标准方程 ②冷P(号小，P为C上的一点，直线FP,F即分别胶C于另两点48求证： AFPF、 PF叫BF 定值，并求出此定值 (3)过A,B,P分别作C的切线，2，l,1与l相交于D,同时与，相交于E,求四边形ABED面积 取值范围。 南昌二中2025-2026学年度上学期高三期末考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 3．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（    ） A． B． C．5 D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 6．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法种数是（    ） A．270 B．360 C．540 D．630 7．如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）. A．与可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 8．已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列说法正确的是（    ） A．样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲，乙组成的总体样本的方差为 B．一组数据，，，，的经验回归方程为，则当 时，残差为 C．一组数据，，，的均值为，标准差为s，则数据，，…，的均值为 D．按从小到大排序的两组数据：甲组数据为；乙组数据为，.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75 10．设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则下列说法中正确的是（    ） A．当为等差数列时， B．当数列满足时， C．数列的通项公式可能为 D．当数列满足时， 11．已知，圆，则（    ） A．存在两个不同的实数，使圆过原点 B．存在三个不同的实数，使圆与轴或轴相切 C．存在正实数，使圆在轴上和在轴上截得的线段相等 D．存在唯一的实数，使圆的周长被直线平分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．边长为2的等边中，为的中点，在边上且，则 . 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则椭圆的方程为 14．已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的范围取值为 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知△ABC的内角的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为，，求的周长. 16.本小题分 为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3。现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率。 附：，其中． 17. 本小题分 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若过原点可以作两条直线与曲线相切，求的取值范围． 18.本小题分 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为．已知；    (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为． （ⅰ）若，N分别为直线AD，BC上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长． 19.本小题分 已知抛物线:的焦点，直线过且交C于两点，已知当时，中点纵坐标的值为. (1)求的标准方程. (2)令，P为C上的一点，直线，分别交C于另两点A，B.求证：为定值，并求出此定值. (3)过分别作的切线， 与相交于，同时与相交于，求四边形面积取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $