精品解析：江西省南昌市第一中学2025-2026学年高三上学期周测（十五）数学试题

南昌一中2025-2026上学年度高三周练卷（十五） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】依题意，，，或， 由，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 2. 已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据 A. 一样稳定 B. 变得比较稳定 C. 变得比较不稳定 D. 稳定性不可以判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断． 【详解】由题可得：平均值为2， 由，， 所以变得不稳定. 故选：C. 【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题． 3. 若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由表示圆的上半部分，数形结合确定直线到的距离大于3，到的距离小于等于3，再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由表示圆的上半部分，如下图， 当圆心到直线的距离，可得或， 若时，，若时，， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图知，要使曲线存在两个点与直线的距离为3，且，即直线必在的右下方， 所以直线到的距离大于3，到的距离小于等于3， 与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 故选：B 4. 已知是边长为1的正三角形，点在上且，是上一点且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性定理将求出来，然后利用向量的数量积公式求出的值. 【详解】∵，∴，∴三点共线， ∴，  ∴，∴．∴， ∴， 故选：C． 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用累加法，结合等差数列与等比数列的前n项和公式即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，，，……，，以上各式相加得所以 ．又适合上式，所以． 故选：B． 6. 对，不等式恒成立，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求出，再构造函数，利用导数求出的最大值可得答案. 【详解】令，则， 当时，， 当时，，在上单调递增， 无最值，当时，,此时不恒成立. 当时，令，得， 时，，在上在单调递增， 当时，，在上单调递减， 可得， 所以，， 令，则， 由得，单调递增， 由得，单调递减， 可得，所以最大值为. 综上所述，所以最大值为. 故选：C. 7. 已知函数，，且，则当时，的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题及积化和差公式可得，然后由， 可得，最后由正弦函数单调性可得值域. 【详解】， 由和差化积公式可得：. 因，则，因，则， 则，又，则. 则. 注意到时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又， 则，即的值域为. 故选：C 8. 已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，利用导数，结合直线的点斜式方程求出切线的方程，联立切线方程和曲线方程，化简得方程，根据切线与曲线有且只有一个公共点，求出参数的值即可. 【详解】函数，对其求导得. 设切点为，则切线斜率为 又， 所以切线方程为， 化简得. 将切线方程和曲线方程联立得： 整理得， 因式分解得， 解得或， 因为切线与曲线有且只有一个公共点， 所以，解得， 此时切线方程为，对应唯一一条满足条件的直线， 故选：B. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，将的图象上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则（ ） A. 图象关于点对称 B. 图象在上单调递增 C. 在上有且仅有3个解 D. 在上有且仅有3个极大值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意得出，，然后逐一验证即可作出判断. 【详解】依题意，易得， 因为的最小正周期为，所以， 则，又为偶函数，所以， 又，令，可得. 所以，. 对于A：因为，所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B：当时，，因为在上不单调，所以在不单调，故B错； 对于C：， 当时，， 所以，或，或，从而，或，或. 故C正确； 对于D：当时，， 所以当，或，或，有最大值即极大值， 从而，有三个极大值点：，或，或. 故D正确 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定出，. 10. 已知正方体的棱长为分别是的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 二面角的正切值的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用即可判断；对于B，将平面展平到与平面共面时，即可求出的最小值；对于C,建立空间直角坐标系，利用向量的数量积即可判断；对于D,利用向量法求出平面夹角的余弦，利用函数单调性得出余弦最小值，此时夹角最大，求正切值即可判断. 【详解】对于A，因为点到平面的距离为定值，分别是的中点， 所以为定值，则为定值， 由于，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，将平面展平到与平面共面时，连接， 可得， 由于，所以的最小值为，故B正确； 对于C，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则，，. 设，，则点坐标为. ，， 若，则，即，解得， 又，故不存在这样的点，使得，C错误； 对于D，设二面角的平面角为，由图可得， 取平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量，则， 令，则，即 则， 因为当时，为增函数， 故当时，，即夹角最大时，余弦值为， 此时，， 故当时，，即夹角最小时，余弦值为， 此时，， 二面角的正切值的取值范围是,故D正确. 故选：ABD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则（ ） A. 当为线段的中点时，直线的斜率为 B. 若，则 C. D. 若直线的斜率为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由直线与双曲线的关系判断A，设，表示出和，得出，再结合即可判断B，设，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过作差即可判断C，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称可判断D. 【详解】如图， 若直线的斜率为时，直线的方程为， 联立双曲线，可得，， 即直线与双曲线不相交，故A错误； 设，，， ，， 又 ，，故B正确； 设，其中，则，即， ， ， ，， ，，故C错误； ，，，， ，∵直线的斜率为即， 且过点，∴直线的方程为， 又∵，， ， ，即， 又∵点到直线的距离，点到直线的距离，即， ∴点与点关于直线对称，，，故D正确, 故选：BD． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有________种不同的分配方案. 【答案】150 【解析】 【分析】根据不同的人数分配比例分别计算分配方案数，再将两种情况的方案数相加得到总的分配方案数. 【详解】依题意，人数的分配有和两种， 若是，则有种， 若是，则有种，则共有150种不同的分配方案. 故答案为：150. 13. 已知函数，当时，有极大值.写出符合上述要求的一个的值为_________. 【答案】4（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】由极大值的概念及求导法则即可求解 【详解】由题意得， ，令,解得 或， 当即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取极大值， 所以的一个取值可取， 故答案为：4（答案不唯一，满足即可）. 14. 已知的面积为，，分别为，的中点，设则取最大值时，=_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量知识表示出与，再结合三角形面积公式得到关于的表达式，最后根据三角函数性质求出取最大值时的值. 【详解】 设，，. 因为，分别为的中点，则，. 所以.  已知的面积为，由三角形面积公式.  已知，将与代入可得： 根据基本不等式（当且仅当时取等号），则有： 令，则，即. 故，其中. 因为，所以，即. 两边平方可得，，解得，所以. 当取最大值时，，即，此时，. 因为，且，所以.  根据三角函数关系以及，可得. 代入可得：，，，. 因为，所以是锐角，则，即.  故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象得到，进而求得，再由求解； （2）易得，再由得到，然后利用余弦定理及基本不等式得到，最后利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由题图知，， 所以最小正周期为， 所以． 又， 即，，得，， 又因为， 所以． 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 所以． 由， 得． 因为是的内角， 所以， 所以，得． 由余弦定理，得， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的面积为， 即的面积的最大值为． 16. 设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，． （1）求与的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求满足成立的的最大值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列以及等比数列的相关公式，列出方程组，求出等差数列以及等比数列的基本量，即可求得答案. （2）写出的表达式，利用裂项求和法求出，解不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由已知，，，，得， 即， 解得（舍）或， 故． 【小问2详解】 ， 故， 则，即，即， 解得， ，的最大值为，即满足条件的n的最大值为． 17. 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，解出即可求解； （2）直线的方程为：，与椭圆方程联立得，设，得，进而计算弦长，又由点到直线的距离公式计算点到直线的距离，最后由计算即可求解. 【小问1详解】 由题意有：， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 由题意有：左焦点，所以过且倾斜角为的直线的方程为：， 所以， 设， 所以， 所以， 又点到直线的距离为： ， 所以. 18. 如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点. （1）若为线段中点，求证：，，，四点共面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 【答案】（1） 取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，所以， 所以，，，四点共面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用共面判定定理进行证明即可； （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小； （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，由，得， 而平面平面，平面平面平面， 则平面， 过作，则平面，又平面， 于是， 在矩形中，，， 则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，由，得，而， 则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线 分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为， 则， 令，得， 设平面的法向量为， 因为，， 则， 令，得， 设平面和平面的夹角为， 则 令，，则，即， 则当时，有最小值， 所以平面和平面的夹角余弦值的最小值为． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值． （2）讨论的单调性； （3）若，证明：． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）当时， 在上单调递减． 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在与上单调递减， 在上单调递增． （3）要证，即证， 因为，所以． 当时，不等式显然成立． 当时，因为，所以只需证， 即证． 令，则， 由得；由，得．所以在上为增函数，在上为减函数，所以． ，则，易知在上为减函数，在上为增函数，所以， 所以恒成立，即． 【解析】 【分析】（1）利用导数求解极值即可； （2）利用导数分类讨论求解单调性即可. （3）首先将题意转化为证明证，当时，不等式显然成立．当时，转化为证明，再构造函数利用导数求最值即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，得， 2 + 0 - 单调递增 单调递减 所以的极大值为，无极小值． 【小问2详解】 的定义域为， 对于二次方程，有． 当时，恒成立，在上单调递减． 当时，方程有两根， 若， 在上单调递增，在上单调递减； 若， 在与上单调递减， 在上单调递增． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026上学年度高三周练卷（十五） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据 A. 一样稳定 B. 变得比较稳定 C. 变得比较不稳定 D. 稳定性不可以判断 3. 若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是边长为1的正三角形，点在上且，是上一点且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 对，不等式恒成立，则最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，且，则当时，的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，将的图象上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则（ ） A. 图象关于点对称 B. 图象在上单调递增 C. 在上有且仅有3个解 D. 在上有且仅有3个极大值点 10. 已知正方体的棱长为分别是的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 二面角的正切值的取值范围是 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则（ ） A. 当为线段的中点时，直线的斜率为 B. 若，则 C. D. 若直线的斜率为，且，则 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有________种不同的分配方案. 13. 已知函数，当时，有极大值.写出符合上述要求的一个的值为_________. 14. 已知的面积为，，分别为，的中点，设则取最大值时，=_____________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值． 16. 设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，． （1）求与的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求满足成立的的最大值． 17. 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，求的面积. 18. 如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点. （1）若为线段中点，求证：，，，四点共面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值． （2）讨论的单调性； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $