2026−2027学年九年级上学期第一次月考模拟数学试卷（河南信阳适用）

**基本信息** 融合抗战胜利80周年票房、科创机器人等时代素材与杨辉算法文化传承，梯度覆盖一元二次方程、二次函数、统计与几何综合，突出运算推理与模型应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、一元二次方程、抛物线顶点、统计分组|第8题票房增长（社会热点）、第4题统计分组（数据意识）| |填空题|5/15|一元二次方程定义、抛物线与x轴交点、配方法|第14题地球月球重力对比（科学情境）| |解答题|8/75|解方程、统计分析、二次函数图像、实际应用、新定义几何|第21题杨辉算法（文化传承）、第23题“等邻边四边形”（创新应用）|

2026−2027九年级上学期数学月考试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（　　） A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1 3．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3） 4．（3分）某年5个城市的人均生活用电量如表所示： 城市 A B C D E 人均生活用电量/（kW•h） 788 812 847 886 910 根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组．现有四种分组方法，并分别算出四种分法的组内离差平方和，如表所示．正确的分组方法是（　　） 分组 组内离差平方和 第一种：{A}和{B，C，D，E} 5592.75 第二种：{A，B}和{C，D，E} 2310.00 第三种：{A，B，C}和{D，E} 2048.67 第四种：{A，B，C，D}和{E} 5470.70 A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．第四种 5．（3分）二次函数的部分图象如图所示，当x＞0时，y的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为（x+a）2＝b，则下列判断正确的是（　　） A．a＝﹣3 B．a＝3 C．b＝10 D．b＝﹣1 7．（3分）二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 8．（3分）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（　　） A．8.98（1+x）＝12.93 B．8.98（1+x）2＝12.93 C．8.98+8.98（1+x）2＝12.93 D．8.98+8.98（1+x）+8.98（1+x）2＝12.93 9．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，经过多长时间，四边形APQC的面积等于16cm2．（　　） A．2s B．4s C．2s或4s D．无法确定 10．（3分）如图给出了二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于这个函数有下列五个结论：①b2﹣4ac＜0；②ab＞0；③a﹣b+c＝0；④4a+b＝0；⑤当y＝2时，x只能等于0．其中结论正确的是（　　） A．①④ B．③④ C．②⑤ D．③⑤ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是　 　 ． 12．（3分）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，请写出一个符合条件的c的值：　 　 ． 13．（3分）用配方法解方程x2+6x＝2时，方程的两边同时加上 　 　 ，使得方程左边配成一个完全平方式． 14．（3分）物体自由下落的高度h（m）和下落时间t（s）的关系为h＝t2（g为重力加速度）．记地球重力加速度为g1，月球重力加速度为g2．当物体自由下落高度相同时，在地球上的下落时间为t1，在月球上的下落时间为t2．若＝6，则＝　 　 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边BC，AB上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在AC边上．若BC＝5，，则BD的长为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）按指定方法解一元二次方程： （1）x2+3x﹣4＝0（配方法）； （2）3x2﹣x﹣1＝0（公式法）． 17．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+a﹣3＝0，若等腰△ABC的一边长为1，另两边长恰好是这个方程的两个根，求a的值． 18．（9分）加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径．某学校科创社团组装了甲、乙两个投篮机器人，准备从中选一个参加青少年科技创新大赛．为此，该社团对两个投篮机器人分别进行了10组测试（每组测试投篮10次，以投进次数作为测试成绩），并对测试成绩整理、描述、分析如下． 测试成绩统计表 统计量 甲 乙 平均数 7.1 7.1 中位数 a 7 众数 8 b 方差 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中a的值为　 　 ，b的值为　 　 ，　 　 （填“＞”“＝”或“＜”）． （2）你认为科创社团应选哪个投篮机器人参加青少年科技创新大赛？请说明理由． 19．（9分）已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： x … ﹣2 0 2 4 6 … y … 0 m 0 … （1）用配方法求函数图象的顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向； （2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； （3）填空：若﹣2＜x＜8时，则y的范围是　 　 ． 20．（10分）中秋佳节来临，某超市购进了一批月饼进行销售． （1）为增添节日氛围，引导顾客购买月饼，该超市工作人员准备制作一个如图所示的矩形展牌．若该展牌的长比宽多11cm，面积为390cm2，求该展牌的长． （2）经过市场调研，该超市发现，销售蛋黄莲蓉月饼时，当蛋黄莲蓉月饼按每盒80元进行销售，每天可售出100盒；每盒的售价每涨1元，销售量将减少5盒．若蛋黄莲蓉月饼每盒的进价为50元，且该超市当日涨价销售蛋黄莲蓉月饼，并盈利2000元，求该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价． 21．（10分）阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除算法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法： （1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为　 　 步； （2）中间小正方形的面积为　 　 平方步； （3）若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为　 　 ； （4）由（2）（3），求矩形田地的宽为多少步？ 22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点B的坐标为（﹣4，6），P，Q分别为OA，AB上的动点，若点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA向点A运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动． （1）当△PAQ的面积为4时，求点Q的坐标． （2）多边形OPQBC的面积能否为19？请判断并说明理由． （3）当P，Q两点之间的距离为时，直接写出点P的坐标． 23．（11分）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD　 　 （填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点M，N分别在AD，CD上（不含端点），连接BM，BN，若∠MBN＝60°，证明四边形BMDN是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料ABCD，连接AC，，BC＝7，，点E在BC上，且BE＝4，在边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形， 故选：C． 【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．【分析】根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）判断即可． 【解答】解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0， ∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 3．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：由y＝（x﹣1）2﹣3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣3）． 故选：C． 【点评】此题考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 4．【分析】只需比较题目给出的四种分组的组内离差平方和大小，选取最小值对应的分组即可． 【解答】解：比较可得2048.67＜2310.00＜5470.70＜5592.75， ∵分组原则为组内离差平方和最小， ∴第三种分组符合要求． 故选：C． 【点评】本题考查了方差，熟练掌握该知识点是关键． 5．【分析】先观察二次函数的图象，抛物线开口向上，当x＞0时，函数在y轴右侧单调递增，x＝0时 y＝3，所以x＞0时y＞3． 【解答】解：二次函数y＝x2+2x+3，a＝＞0，开口向上， x＝﹣＝﹣＝﹣2， 当x＞0时，y随x增大而增大， 当x＝0，y＝3，因此x＞0时，y＞3， 选项里只有4满足y＞3， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象与增减性．熟练掌握二次函数对称轴和增减性判断是解题的关键． 6．【分析】配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 【解答】解：由题意可知原方程为x2﹣6x＝0， 配方得x2﹣6x+9＝9，即（x﹣3）2＝9， ∴a＝﹣3，b＝9， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 7．【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限． 【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限， ∴﹣m＞0，n＜0， ∴m＜0， ∴一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限， 故选：C． 【点评】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号． 8．【分析】根据题意可得出第二周的票房为8.98（1+x），第三周的票房为8.98（1+x）2，将第三周的票房收入代入即可得出答案． 【解答】解：上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长， 增长率为x，则第二周的票房为8.98（1+x），第三周的票房为8.98（1+x）2， 所以可列方程为8.98（1+x）2＝12.93． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 9．【分析】首先表示出BQ＝2tcm，BP＝（6﹣t）cm，然后根据题意得到，然后代入求解即可． 【解答】解：点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴点P从点A到点B的时间为6÷1＝6（秒），点Q从点B到点C的时间为8÷2＝4（秒）， 设Q运动的时间为ts（0＜t≤4）， ∴AP＝tcm，BQ＝2tcm， ∴BP＝（6﹣t）cm， ∵四边形APQC的面积等于16cm2， ∴， ∴， ∴， 解得，t1＝2，t2＝4， 当t＝4时，点Q和点C重合，不能围成四边形，应舍去， ∴t＝2． ∴经过2s时，四边形APQC的面积等于16cm2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用—动点问题，解题的关键是正确列出方程． 10．【分析】利用二次函数的图象与性质对每个选项的结论进行主要判断即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴①的结论不正确； ∵抛物线的开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴﹣， ∴b＝﹣4a＞0， ∴ab＜0， ∴②的结论不正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴③的结论正确； ∵b＝﹣4a， ∴4a+b＝0， ∴④的结论正确； ∵根据抛物线的对称性可知：当y＝2时，x＝0或4， ∴⑤的结论不正确， ∴其中结论正确的是③④． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列出等式与不等式求解即可． 【解答】解：由题意得|m|+1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1， 故答案为：m＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 12．【分析】抛物线与x轴没有交点，说明对应的一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式得到关于c的不等式，求解得到c的取值范围，在范围内取一个符合条件的值即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x+c与x轴没有交点， ∴一元二次方程x2﹣x+c＝0没有实数根，即b2﹣4ac＜0， 将a＝1，b＝﹣1，常数项为c代入，得 （﹣1）2﹣4×1×c＜0， 解得， ∴一个符合条件的c的值可以取1．（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一，只要满足即可）． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键． 13．【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此即可得到答案． 【解答】解：x2+6x＝2， x2+2×3x+32＝2+32， x2+2×3x+9＝2+9， （x+3）2＝11， 即方程的两边同时加上9，使得方程左边配成一个完全平方式， 故答案为：9． 【点评】本题考查的是解一元二次方程——配方法，此类题型解题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 14．【分析】依据题意，由h＝t2，则t＝（负值舍去），又＝6，从而＝，进而＝＝＝＝＝，故可得解． 【解答】解：由题意，∵h＝t2， ∴t＝（负值舍去）． ∵＝6， ∴＝． ∴＝＝＝＝＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、分式的值，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 15．【分析】由折叠得FD＝BD，由∠C＝90°，根据勾股定理得CD2+CF2＝FD2，而BC＝5，CF＝，则CD＝5﹣BD，所以（5﹣BD）2+（）2＝BD2，求得BD＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F，点F刚好落在AC边上， ∴FD＝BD， ∴与线段BD相等的线段是FD； ∵∠C＝90°， ∴CD2+CF2＝FD2， ∵BC＝5，CF＝， ∴CD＝5﹣BD， ∴（5﹣BD）2+（）2＝BD2， 解得BD＝3， ∴BD的长为3， 故答案为：FD；3． 【点评】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出FD＝BD，进而根据勾股定理正确地列出方程是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先计算根的判别式的值，然后再利用求根公式得到方程的解． 【解答】解：（1）x2+3x﹣4＝0， x2+3x＝4， ， ， ， 所以x1＝1，x2＝﹣4； （2）3x2﹣x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了配方法． 17．【分析】分两种情况讨论：当1为等腰三角形的腰长时，当1为等腰三角形的底边长时． 【解答】解：当1为等腰三角形的腰长时， 把x＝1代入方程x2﹣4x+a﹣3＝0中，得1﹣4+a﹣3＝0， 解得a＝6， 此时方程为x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， 所以等腰三角形的三边长分别是1，1，3， 因为1+1＜3， 所以不能构成三角形，舍去； 当1为等腰三角形的底边长时，腰长是这个方程的两个根，即此方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4×1•（a﹣3）＝0， 解得a＝7， 把a＝7代入方程x2﹣4x+a﹣3＝0中，得x2﹣4x+4＝0， 解得x1＝x2＝2， 此时三边长是1，2，2，能构成三角形， 综上，a的值是7． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，解一元二次方程﹣因式分解法，正确计算是解题的关键． 18．【分析】（1）按照中位数和众数的定义和计算方法即可求得a，b的值，再根据折线统计图可知乙成绩的波动大于甲成绩，进而可判断，的大小； （2）在甲、乙两个投篮机器人测试成绩的平均数，中位数相同的情况下，比较两者方差即可． 【解答】解：（1）将甲的成绩从小到大顺序排列为：6，6，6，7，7，7，8，8，8，8， ∵甲的成绩一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7，7， ∴中位数， ∵乙的成绩为：4，9，6，5，9，9，6，9，7，7，其中9出现的次数最多， ∴b＝9． 根据折线统计图可知：乙成绩的波动大于甲成绩， ∴， 故答案为：7；9；＜； （2）应选甲投篮机器人．理由如下： 因为甲、乙两个投篮机器人测试成绩的平均数相同，中位数相同，但甲的方差小于乙的方差，说明甲投篮机器人的成绩更稳定． 【点评】本题考查了方差、中位数、众数，熟练掌握以上知识点是关键． 19．【分析】（1）利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）利用描点法画出对应的函数图象即可； （3）结合函数图象确定y的取值范围． 【解答】解：（1）y＝x2﹣x﹣3 ＝（x2﹣4x+4﹣4）﹣3 ＝（x﹣2）2﹣4， ∴顶点坐标为（2，﹣4），对称轴为直线x＝2，开口向上； （2）在y＝x2﹣x﹣3中， 当x＝0时，y＝﹣3， 当x＝2时，m＝y＝﹣4， 当x＝4时，y＝﹣3， 画出函数图象： （3）当x＝﹣2时，y＝0；当x＝8时，y＝5， ∴当﹣2＜x＜8时，y的范围是﹣4≤y＜5， 故答案为：﹣4≤y＜5． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，坐标与图形变化—轴对称等等，熟练掌握以上知识点是关键． 20．【分析】（1）设该展牌的长为xcm，则宽为（x﹣11）cm，根据面积为390cm2，建立方程，解方程即可求解． （2）设每盒售价在原价80元基础上上涨了y元，则新售价为（80+y）元，根据题意建立方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设该展牌的长为xcm，则宽为（x﹣11）cm， x（x﹣11）＝390， 解得：x＝26或x＝﹣15（舍去）， 答：该展牌的长为26cm； （2）设每盒售价在原价80元基础上上涨了y元， （80+y﹣50）（100﹣5y）＝2000， 解得：y＝10或y＝﹣20（舍去）， 所以售价为80+10＝90元， 答：当日每盒的售价为90元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 21．【分析】（1）根据矩形田地的长与宽之和为60步及大正方形的构造方法，即可得出大正方形的边长为60步； （2）利用中间小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4×矩形田地的面积，即可求出结论； （3）若设矩形田地的宽为x步，则矩形田地的长为（60﹣x）步，根据中间小正方形的边长＝矩形田地的长﹣矩形田地的宽，可用含x的代数式表示出中间小正方形的边长，再利用正方形的面积公式，即可用含x的代数式表示出小正方形的面积； （4）根据中间小正方形的面积不变，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵长与宽之和为60步， ∴大正方形的边长为60步． 故答案为：60； （2）根据题意得：中间小正方形的面积为60×60﹣864×4＝144（平方步）． 故答案为：144； （3）若设矩形田地的宽为x步，则矩形田地的长为（60﹣x）步， ∴小正方形的边长为60﹣x﹣x＝（60﹣2x）步， ∴小正方形的面积可用含x的代数式表示为（60﹣2x）2平方步． 故答案为：（60﹣2x）2平方步； （4）根据题意得：（60﹣2x）2＝144， 解得：x1＝24，x2＝36， 当x＝24时，60﹣2x＝60﹣2×24＝12＞0，符合题意； 当x＝36时，60﹣2x＝60﹣2×36＝﹣12＜0，不符合题意，舍去． 答：矩形田地的宽为24步． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及数学常识，通过构造正方形，找出关于x的一元二次方程是解题的关键． 22．【分析】（1）由题知经过时间t秒，此时P（﹣t，0），Q（﹣4，2t），表示出，根据面积解方程即可； （2）当多边形面积为19，则△PAQ的面积为5，代入面积中判断解得情况即可； （3）根据（1）中P（﹣t，0），Q（﹣4，2t），应用两点间距离公式求解即可． 【解答】解：（1）经过时间t秒，此时Q（﹣4，2t），P（﹣t，0）， 又当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，所以0≤t≤3， ∴， 解得t＝2， ∴Q（﹣4，4）， （2）因为S矩形AOCB＝4×6＝24， 当多边形OPQBC的面积为19时，△PAQ的面积为5， 由（1）得，即t2﹣4t+5＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0， ∴t2﹣4t+5＝0无解， 所以多边形OPQBC的面积不能为19． （3）由（1）知，P（﹣t，0），Q（﹣4，2t）， 则， 即5t2﹣8t＝﹣2，则5t2﹣8t+2＝0， 解得或， ∴P或， ∴当P，Q两点之间的距离为时，直接写出点P的坐标P或，． 【点评】本题主要考查直角坐标系中点坐标的表示、三角形面积公式及勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 23．【分析】（1）根据等邻边四边形”的定义和正方形的判定可得出结论； （2）如图②中，结论：四边形BMDN是等邻四边形．利用全等三角形的性质证明BM＝BN即可； （3）如图③中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EN⊥AD于N，则四边形AHEN是矩形．分三种情形：①当AP＝AB＝2时，②当PA＝PE时，③当PE＝BE时，四边形ABEP为“等邻边四边形”，分别求解即可． 【解答】（1）解：∵矩形ABCD是“等邻边四边形”， ∴四边形ABCD的邻边相等， ∴矩形ABCD 一定是正方形； 故答案为：一定； （2）证明：连接BD． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°， ∴△ABD，△BDC都是等边三角形， ∴∠BDM＝∠BCN＝60°，DB＝CB， ∵∠MBN＝∠DBC＝60°， ∴∠DBM＝∠CBN， ∴△DBM≌△CBN（ASA）， ∴BM＝BN，DM＝CN， ∴四边形BMDN是等邻四边形； （3）解：如图③中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EN⊥AD于N，则四边形AHEN是矩形． ∵，BC＝7，， ∴AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2， ∴20﹣BH2＝41﹣（7﹣BH）2， ∴BH＝2，AH＝EN＝＝4， ∵BE＝4， ∴AN＝HE＝4﹣2＝2， ①当AP＝AB＝2时，S四边形ABEP＝•（BE+AP）•AH＝×（2+4）×4＝4+8．②当PA＝PE时，设PA＝PE＝x， 在Rt△PEN中，PE2＝NE2+PN2， ∴x2＝42+（x﹣2）2， ∴x＝5， ∴S四边形ABEP＝•（BE+AP）•AH＝×（5+4）×4＝18．③当PE＝BE时，点P与N重合， ∴S四边形ABEP＝（BE+AP）•AH＝×（2+4）×4＝12． 综上：四边形ABEP的面积为4+8或12或18． 故答案为：4+8或12或18． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 学科网（北京）股份有限公司 $