期中考前满分冲刺之优质压轴题考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（十种类型共60题）2026-2027学年七年级数学上册（浙教版）

**基本信息** 聚焦期中压轴题，以十大专题构建“规律探究-代数应用-几何综合-新定义拓展”的递进式训练体系，融合抽象能力与推理意识，实现方法迁移与逻辑深化。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |个位数字与代数式规律|6题（含探究应用）|循环规律归纳、代数式建模|从具体数字循环到n项通式推导| |绝对值化简与最值|12题（数轴与几何意义）|数轴位置分析法、距离模型|绝对值定义→符号判断→最值几何意义| |阴影部分问题|6题（图形分割与拼接）|整体减空白、代数式表示边长|图形直观→边长关系→面积/周长计算| |数列求和与新定义|12题（裂项/除方）|裂项相消法、除方转乘方|运算规律→公式推导→新定义应用| |数轴动点与估算|12题（t参数/逐步逼近）|动点坐标表示、夹逼法估算|动态过程建模→方程思想→无理数近似|

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、个位数字与代数式的规律(选、填、解) 1．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ） A．6 B．4 C．2 D．8 2．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（     ） A．0 B．3 C．4 D．1 3．观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 4．如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多 _____个．（由含n的代数式表示） 5．【探究】 (1)观察下列算式，并完成填空： ， ， ， ， ______． (2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推． （ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖； （ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． 【应用】 (3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 6．综合与实践． 【问题情境】 在小学我们学习过用图示法求的方法：如图①，从第层至第层，分别有，，，，个小圆圈；将图①旋转后拼成如图②． 【问题呈现】 (1)图②中，每层有小圆圈______个；共有小圆圈______个； (2) ______； (3)数学思考∶如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图③所示三角形数阵型： 第行圆圈中的数为，即；第行两个圆圈中数的和为，即；；第行个圆圈中数的和为 (个)，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为．为了求这个和，他将三角形数阵型经过如图④所示的两次旋转．观察旋转前后三个三角形数阵型，发现三个三角形数阵型中各行同一位置上三个圆圈里面的数的和均为______； (4)图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： ______； (5)求的值． 类型二、绝对值(数轴)化简(选、填、解) 1．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 2．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的值为（   ） A．c B． C．0 D． 3．已知实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的值是______． 4．已知，，是有理数，它们在数轴上对应点，，的位置如图所示，则化简代数式的结果是_______． 5．实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 6．已知有理数在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，互为相反数，，互为倒数，有理数在数轴上对应的点到原点的距离等于，求的值． 类型三、阴影部分问题(选、填、解) 1．在一次综合实践活动课上，同学们将一个边长为1的正方形纸片进行分割，如图所示，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，依次类推，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，把6个宽为a，长为b的小长方形，按不同的方式分别放入长方形和长方形中，记图1中的阴影部分的周长为，图2中的阴影部分的周长为，若，则（     ） A． B． C．3a D．3b 3．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为8cm，宽为7cm）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是__________cm． 4．把两张大小相同的正方形卡片A，B放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的周长为；将卡片B平移至如图2所示的位置时，阴影部分的周长为，则________（填“>”“<”或“=”）． 5．定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 6．小东同学用若干张长为，宽为的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4张该长方形纸片拼成的一个长方形，图3是在长方形中摆放9张长方形纸片．请你仔细观察所拼图形，解答下列问题． (1)观察图2，直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）； (2)观察图3，请你用的代数式表示长方形的周长； (3)观察图3，若已知，求图3中5个阴影图形的周长和． 类型四、绝对值最值问题(选、填、解) 1．已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．若代数式的最小值为m，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 4．在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决．如在数轴上，点A，B分别表示数，则表示点A与点B的距离．由此我们发现，当在到2之间（包括和2）时，的值最小，最小值是3．类似的，式子的最小值为____________． 5．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为．回答下列问题： (1)若x表示一个有理数，则的最小值为______；当取最小值时，x的值为______； (2)已知，则的最大值为______． 6．同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． 类型五、有理数与代数式的应用(解) 1．国庆黄金周到来之际，小明欲开启一段美妙的旅行！为更好地规划行程，他临行前特意查找了某地区一周内（10月1日至10月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 与标准气温的差值（） 0 (1)这七天内平均气温最高的是几号？是多少度？ (2)这七天内平均气温最低的是几号？ (3)若小明希望气温高于时进行户外活动，那么这七天中有几天适合户外活动？请说明理由． 2．2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为 万人； (2)七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 3．某一出租车一天下午以芦湖公园北门为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点多远？在芦湖公园北门的什么方向？ (2)若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ 4．某校举办“诗歌颂祖国”活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 4.5元/个 不超过100个时，20元/个；超过100个时，则超出部分打八折 设需要定制x份奖品． (1)如果选择乙供应商，当x不超过100时，应付总费用为多少元？当x超过100时，应付总费用多少元？（用含x的式子表示，结果需化简） (2)如果需要定制50份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱？ 5．某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：A商品每件进价70元，售价每件100元；B商品每件进价30元，售价每件40元． 方案二：所购商品一律按进价加价销售． (1)某单位购买A商品10件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多2件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 6．为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过度的部分      超过度不超过度的部分      超过度的部分      已知小明家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份                               根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，这个月电费为 元； (2)若小明家某月用电量为度，请用含的代数式表示小明家该月的电费为 元； (3)若小明家月份的用电量为度，请求出小明家月份的电费． 类型六、日历与圈次方问题(解) 1．阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 2．【问题发现】如图①是2026年1月的日历，用“目”字形阴影框中的三个数字均满足“三个数字之和是中间数字的3倍”理由如下：设中间数为，则“目”字框中最上面的数表示为，最下面的数表示为，三个数字之和为，所以“目”字框中三个数之和是中间数的3倍． 【类比联想】请根据上面的探究过程，猜想图②的“”字形阴影框中日历中的五个数，这五个数从小到大依次为． (1)若日历中用“”字形框中五个数，其中最小的数是1，则“”字形框中的五个数之和为_______． (2)在日历中将“”字形框上下左右移动，框中日历表中的五个数字之和能被5整除吗？通过计算说明理由． (3)【类比探究】请你根据上述探究过程，猜想图中由个数字组成的偶数方阵中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为__________________． 3．图1是年月的月历，用图的“”字形覆盖住月历中的五个数，这五个数从小到大依次为，，，，，某数学小组的小梅和小亮想探究这五个数的和是否能被整除． (1)小梅探究时，设，则___________，___________；（用含的代数式表示） (2)小亮思考了一下，他发现设可使计算更简单，请你也来试试，并判断为，，，，这五个数的和是否能被5整除； (3)同组的小明受到启发，在小亮设的基础上改编了一道题目：“代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．”请你来解答． 4．【概念学习】我们把求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做“除方”，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”．【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）关于“除方”，下列说法错误的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数， C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么非零有理数的“除方”运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：．（幂的形式） （3）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式． ________；________；________；________．（为大于2的整数） （4）算一算：． 5．概念学习： 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3⑤，读作“3的圈5次方”；记作，读作“－5的圈6次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 初步探究： （1）直接写出计算结果：______，______． （2）关于除方，下列说法正确的是______． A．任何非零数的圈3次方都等于这个数的倒数 B．对于任何正整数n，－1的圈n次方都等于1 C．7⑤＝5⑦ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 深入思考：有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．同样，有理数的除方运算也可以转化为乘方运算，如下图所示：    （3）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ①写出运算过程：=_____； ②只写最后结果：=______．（，n是大于等于3的正整数） 迁移应用： （4）计算：． 6．概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把，（个a，）记作，读作“a的圈n次方”． (1)初步探究： 除方乘方：幂的形式 ①直接写出计算结果：_______，_______； (2)深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． _______；_______；_______； ②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_______； ③算一算： 类型七、数列求和与分数裂项(解) 1．探究规律： (1)计算： ① ② ③ ④ (2)根据上面结果猜想： ① ② ③ 2．观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 3．北师大版教材中第二章习题中，同学们利用正方形面积通过数形结合完成了的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下： 设．  ① 将①（注意：是前面式子中后一个除以前一个数的值） ．  ② 将得， 所以 ，． (1)完成下列计算：___________； __________；（用幂表示结果） (2)利用上述方法，求出的值； (3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了 块积木，第2级用了块，第3级用了 块，……，按照此规律，直到第12级用了 块．已知每级塔的积木块数都符合 层级数的规律，若 ，求出建造这座“知识塔”总共需要的积木块数（用含 a 的式子表示）． 4．观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； （3）探究并计算： 5．请先阅读下列内容，然后解答问题： 因为：，，，…， 所以：++…+ ＝+++…+ ＝ ＝ （1）猜想并写出：＝　 　；（为正整数） （2）直接写出下面式子计算结果：++…+ ＝　 ； （3）探究并计算：++…+ 6．综合与实践，问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，， 独立思考： (1)解答王老师提出的问题：第个式子为_______，第个式子为______； 实践探究： (2)在（）中找出规律，并利用规律计算：； 问题拓展： (3)数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为，该小组提出下面的问题，请你解答：求； 问题解决： (4)求的值． 类型八、整数、小数部分与估算近似值(解) 1．在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 2．在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出无理数的近似值． 【回归教材】 (1)通过“逐步逼近”的方法来估算的范围： ，，，； ，，，； 请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）； 【问题解决】 (2)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分．又如的整数部分为，小数部分就表示为．请解答： ①如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； ②若的整数部分是，小数部分是，求的平方根． 3．阅读下面一段材料，并解答材料后的问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：的整数部分为3，小数部分为． 再如：，即的整数部分为2，小数部分为． (1)若的整数部分为，小数部分为，则__________，__________； (2)已知，若是整数，且，求的值． 4．【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 5．单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若，且，试用含m和n式子表示的估算值． 6．阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵， ∴， 即． ∴的整数部分为10， ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是， 且． ∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得 ， 当较小时，忽略，得．解得． ∴． 任务一：利用材料一中的方法，的整数部分是________，的小数部分是________； 任务二：利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）； 任务三：结合上述具体实例，已知正整数、满足，且，请估算________（用的代数式表示）．    类型九、数轴动点求t问题(解) 1．【阅读理解】 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合，例如：点表示的数是，点表示的数是，则、两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合． 【问题解决】 请你解决以下问题： 数轴上点、、分别表示数、、，在数轴上的位置如图所示，其中． （1）若，，则，两点之间的距离为_____________； （2）在（1）的条件下，沿数轴上某点折叠，使点、点重合，则折痕处对应的点表示的数为_____________； 【拓展探究】 （3）若，，，在数轴上点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，运动秒后，点表示的数为_____________（用含有的代数式表示），若运动过程中，的值不变，求的值． （4）在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是_____________． 2．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻为t秒，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)此时刻快车头与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 3．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 4．阅读材料： 在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B的右边，则线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．请用这个知识解答下面的问题． 问题解决： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示 (1)点A表示的数为____，点B表示的数为____，点C表示的数为____； (2)若将点A向右移动，则移动后的点A表示的数为____（用含x的代数式表示）； (3)若点B以每秒的速度沿数轴向左运动，同时A、C两点分别以每秒、的速度沿数轴向右运动．设运动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 5．我们知道，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为，根据以上内容解决问题： (1)若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离可用含的式子表示为_____； (2)若，分别表示，点在数轴上对应的数． ①的最小值为_____； 此时的最大值为_____； ②若，求的最大值． (3)点，在数轴上对应的数为和，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间，点在点，之间），运动时间为，点运动到点时，点立即停止运动；点为点，之间一点，且满足，若在点，N运动过程中，点到点的距离总为一个固定的值，求的值． 6．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，线段的长度可用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．已知a，b满足与互为相反数，且点C表示的数为5． (1) ， ； (2)若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B、C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设点A运动的时间为t秒． ① ， （用含t的代数式表示）； ②的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值； (3)若点P、Q、M分别为的中点，在（2）的条件下，直接写出与之间的数量关系及的长度（用含有t的代数式表示）． 类型十、数轴与代数式的新定义(解) 1．【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 2．下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： (1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； (2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（   ）； A．　　B．　　C．　　D． (3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 3．【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为F（n）． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)_________；_________． (2)小方同学发现可以用“整式的加减”知识证明上述【发现】是正确的，请你帮助小方同学证明上述【发现】． (3)若s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数），求的值． 4．在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】 （1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】 （2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值； ②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】 （3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 5．【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 6．综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、个位数字与代数式的规律(选、填、解) 1．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（ ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，乘方运算． 根据尾数的循环性得出结论即可. 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 2．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（     ） A．0 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【分析】先找出的各次幂的个位数字的循环规律，再计算总项数，得到循环组数和剩余项，最后计算出总和的个位数字即可． 【详解】解：∵的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，…… ∴ 的幂的个位数字每个一循环，且一个循环内个位数字的和为，个位为， ∵从到，总项数为 ， ∵ ， ∴ 总和的个位数字等于剩余项的个位数字和的个位， 计算得 ，个位数字为， 因此结果的个位数字是． 3．观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 【答案】 【分析】分别从符号、分子、分母三个方向寻找排列规律，先改写为分数形式，再归纳得到第个数的表达式． 【详解】解：按序号整理给出的数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ 可归纳出规律： 符号规律：第个数的符号为，奇数项为负，偶数项为正； 分子规律：分子为连续奇数，等于； 分母规律：分母为序号的平方加，等于； ∴ 这组数的第个数是． 4．如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第n个图形中三角形的个数比圆的个数多 _____个．（由含n的代数式表示） 【答案】 【详解】每个图形可以看成是1个圆配3个正三角形，再额外加1个三角形，根据其规律，可求其值． 【分析】解：根据题意有， 第1个图形，圆的个数为：1；正三角形的个数为：； 第2个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：； 第3个图形，圆的个数为：3；正三角形的个数为：； ……， 第n个图形，圆的个数为：n；正三角形的个数为：； 则， ∴第n个图形中三角形的个数比圆的个数多个． 5．【探究】 (1)观察下列算式，并完成填空： ， ， ， ， ______． (2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推． （ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖； （ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． 【应用】 (3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3)还需要块正方形地板砖 【分析】（1）根据所给等式，找出规律，即可得出答案； （2）（ⅰ）根据每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……，即可得出答案； （ⅱ）根据（i）中规律解得即可； （3）设可铺设层，根据（2）中规律列出方程，结合（1）中规律解方程求出，根据每层都有块正方形地板砖即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴， ∴． （2）解：（ⅰ）由图形可知，每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……， 第一层包括块正三角形地板砖， 第二层包括块正三角形地板砖， 第三层包括块正三角形地板砖， ∴第层包括块正三角形地板砖， （ⅱ）由（i）规律可得，第层中含有块正三角形地板砖． （3）解：设可铺设层， ∵有块正六边形、块正三角形地板砖， ∴， ∴， 解得：（负值舍去），即共铺设层， ∵每层都有块正方形地板砖， ∴还需要块正方形地板砖． 6．综合与实践． 【问题情境】 在小学我们学习过用图示法求的方法：如图①，从第层至第层，分别有，，，，个小圆圈；将图①旋转后拼成如图②． 【问题呈现】 (1)图②中，每层有小圆圈______个；共有小圆圈______个； (2) ______； (3)数学思考∶如何求？小明同学根据上面的启示设计了如图③所示三角形数阵型： 第行圆圈中的数为，即；第行两个圆圈中数的和为，即；；第行个圆圈中数的和为 (个)，即．这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为．为了求这个和，他将三角形数阵型经过如图④所示的两次旋转．观察旋转前后三个三角形数阵型，发现三个三角形数阵型中各行同一位置上三个圆圈里面的数的和均为______； (4)图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： ______； (5)求的值． 【答案】(1)； (2) (3)； (4) (5) 【分析】根据图形解答即可求解； 根据的结果即可求解； 根据图形解答即可求解； 根据的结果即可求解； 把原式转化为，再利用的结果解答即可求解． 【详解】（1）解：图②中，每层有小圆圈个； ∵每层有小圆圈个，共有层, ∴共有小圆圈个； （2）解：∵图②中共有小圆圈个， ∴图①中共有小圆圈个， 即； （3）解：由图可得，同一位置上三个圆圈里面的数的和均为； （4）解：∵每个位置上三个圆圈中数的和均为， ∴图③、④中三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：； （5）解：∵， ∴， ． 类型二、绝对值(数轴)化简(选、填、解) 1．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴的性质，得，再根据有理数加减和绝对值的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、有理数加减运算的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、数轴的性质，从而完成求解． 2．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的值为（   ） A．c B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、化简绝对值，整式的加减运算等知识．由有理数a、b、c在数轴上对应点的位置可知：，且，可得、，进而化简得出结果． 【详解】解：由题意得：，， ∴、， ∴ ． 故选：D． 3．已知实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的值是______． 【答案】 【分析】根据数轴上对应点的位置，确定式子正负，再根据算术平方根和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ，， ． 4．已知，，是有理数，它们在数轴上对应点，，的位置如图所示，则化简代数式的结果是_______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，整式的加减，数轴的应用是解题关键． 根据数轴得出各部分的取值，再利用绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：由图得，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 5．实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，再化简得到平方根即可； （2）根据算术平方根、立方根、相反数的概念得到，再代入求平方根即可． 【详解】（1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置， 可知，， ， 则的平方根为； （2）解：，则， ，则，即，解得， ，解得， ， 则的平方根为． 6．已知有理数在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，互为相反数，，互为倒数，有理数在数轴上对应的点到原点的距离等于，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】这道题综合考查数轴的应用、绝对值的化简、相反数的性质、倒数的性质、有理数乘方与混合运算． （1）根据数轴上点的位置判断数的正负、式子的正负，进而化简式子． （2）根据互为相反数的两个数和为，互为倒数的两个数积为，数轴上点到原点的距离为的数是，依次计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，，， ∴； （2）解：∵ ，互为相反数，，互为倒数，有理数在数轴上对应的点到原点的距离等于， ∴，，， ∴当，，时，， 当，，时，， ∴的值为或． 类型三、阴影部分问题(选、填、解) 1．在一次综合实践活动课上，同学们将一个边长为1的正方形纸片进行分割，如图所示，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，依次类推，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用乘方的意义解答． 根据图形的规律和乘方的意义，可以得到阴影部分的面积． 【详解】解：部分①的面积是原正方形纸片面积的一半，即为； 部分②的面积是部分①面积的一半，即为； 部分③的面积是部分②面积的一半，即为； …… 依次类推，阴影部分的面积为． 故选：B． 2．如图所示，把6个宽为a，长为b的小长方形，按不同的方式分别放入长方形和长方形中，记图1中的阴影部分的周长为，图2中的阴影部分的周长为，若，则（     ） A． B． C．3a D．3b 【答案】C 【分析】设，，根据图形，结合整式的加减可得，，，，进而可推导出，然后由长方形的周长公式，结合整式的加减可得答案． 【详解】解：设，， 由图知，，， ， ， ∵， ∴，则， ∴ ． 3．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为8cm，宽为7cm）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是__________cm． 【答案】28 【分析】设小长方形卡片的长为，宽为，由题意得，列出阴影部分周长的代数式，再进行计算即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 由题意得：， 两块阴影部分的周长和为：． 4．把两张大小相同的正方形卡片A，B放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的周长为；将卡片B平移至如图2所示的位置时，阴影部分的周长为，则________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】设大正方形的边长为，正方形卡片、的边长为，然后表示出阴影部分的周长，最后进行比较即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，正方形卡片、的边长为， 对于图1，阴影部分的周长包括大正方形的边长和卡片、的部分边长， 水平方向的线段长度之和为：， 竖直方向的线段长度之和为：， 所以； 对于图2，阴影部分的周长包括大正方形的边长和卡片、的部分边长， 水平方向的线段长度之和为：， 竖直方向的线段长度之和为：， 所以， 因为，所以． 5．定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 6．小东同学用若干张长为，宽为的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4张该长方形纸片拼成的一个长方形，图3是在长方形中摆放9张长方形纸片．请你仔细观察所拼图形，解答下列问题． (1)观察图2，直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）； (2)观察图3，请你用的代数式表示长方形的周长； (3)观察图3，若已知，求图3中5个阴影图形的周长和． 【答案】(1) (2)周长为 (3)5个阴影图形的周长和 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求值，理解题意，数形结合是解题的关键． （1）根据图2中长方形的边长，得出答案即可； （2）分别表示出，，再求出长方形的周长即可； （3）分别求出各个部分的周长，然后相加，最后代入数据求值即可． 【详解】（1）解：根据图2可知：与之间满足的关系式为； （2）解：根据图3可知：，， 长方形的周长为； （3）解：图3中5个阴影图形的周长和为： ， 把代入得：（） 答：5个阴影图形的周长和． 类型四、绝对值最值问题(选、填、解) 1．已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上一个动点到两定点的距离之和求解． 【详解】解：表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，当对应的点在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为． 2．若代数式的最小值为m，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用绝对值的几何意义，代数式表示点x到点1、3、5的距离之和，最小值出现在x取中间点3时．本题主要考查绝对值的几何意义的应用，有一定的难度，解答的关键是理解含字母的绝对值表达式的几何意义． 【详解】解：∵ 表示x到1、3、5的距离之和， 当时，距离之和最小， ∴ 最小值 ， 即 ． 3．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【分析】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 4．在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决．如在数轴上，点A，B分别表示数，则表示点A与点B的距离．由此我们发现，当在到2之间（包括和2）时，的值最小，最小值是3．类似的，式子的最小值为____________． 【答案】11 【分析】根据绝对值的几何意义，将原式转化为数轴上点到，，，四个定点的距离和，分组计算每组的最小距离和，再求和得到原式的最小值． 【详解】解：表示数轴上点到点和点的距离之和， ∴当在和之间（含端点）时，该式取得最小值，最小值为； 表示数轴上点到点和点的距离之和， ∴当在和之间（含端点）时，该式取得最小值，最小值为； ∴当在到之间（含端点）时，两个式子同时取到最小值， ∴原式的最小值为． 5．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为．回答下列问题： (1)若x表示一个有理数，则的最小值为______；当取最小值时，x的值为______； (2)已知，则的最大值为______． 【答案】(1)1，2 (2)9 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小为数轴上数表示的点到数2025表示的点的距离，当时，取得最小值； （2）根据绝对值的几何意义得到时，的值最小为3，时，的值最小为3，时，的值最小为4，根据，得到的最大值为，的最小值为时，的值最大，进行求解即可． 【详解】（1）解：表示数轴上表示数的点到数表示的点以及到数2025表示的点的距离和， ∴当时，的值最小为； 同理，当时，取得最小值为； 故答案为：1，2； （2）∵当时，的值最小为， 时，的值最小为， 时，的值最小为， 又∵， ∴，，， ∴当时，的值最大为． 6．同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． 【答案】(1) (2)、、、、 (3)， 【分析】本题主要考查了数轴上的两点距离计算，绝对值的几何意义，熟知绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两个距离计算公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义可知当有理数所对应的点在和所对应的点的之间时，，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，为3，当时，有最小值，为5，则可确定，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且数和数之间的距离为， ∴当有理数所对应的点在和所对应的点的之间时，， ∴， ∴这样的整数有、、、、， 故答案为：、、、、； （3）解：表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和， ∴当有理数所对应的点在和所对应的点的之间时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理可得，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴和能取得最小值， ∴，， ∴当最小，最大时，有最小值，最小值为； 当最大，最小时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 类型五、有理数与代数式的应用(解) 1．国庆黄金周到来之际，小明欲开启一段美妙的旅行！为更好地规划行程，他临行前特意查找了某地区一周内（10月1日至10月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 与标准气温的差值（） 0 (1)这七天内平均气温最高的是几号？是多少度？ (2)这七天内平均气温最低的是几号？ (3)若小明希望气温高于时进行户外活动，那么这七天中有几天适合户外活动？请说明理由． 【答案】(1)平均气温最高的是10月5日，为 (2)平均气温最低的是10月7日 (3)这七天中有3天适合户外活动 【详解】（1）解：∵， ∴平均气温最高的是10月5日， ∵以为标准， ∴10月5日气温是：； （2）解：∵， ∴平均气温最低的是10月7日； （3）解：∵，，且以为标准， ∴10月3日、10月4日、10月5日气温均高于， ∴这七天中有3天适合户外活动． 2．2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为 万人； (2)七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 【答案】(1) (2)，；， (3)约万人 【分析】（1）由题中数据加减计算即可； （2）根据题中数据逐天计算出人数比较即可； （3）结合（2）中求得的数据直接将这八天游客人数相加计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得10月3日的人数为（万人）； （2）解：在9月30日的游客人数为万人， 10月1日比9月30日多万人，为（万人）； 10月2日比10月1日多万人，为（万人）； 10月3日比10月2日少万人，为（万人）； 10月4日比10月3日少万人，为（万人）； 10月5日比10月4日少万人，为（万人）； 10月6日比10月5日少万人，为（万人）； 10月7日比10月6日少万人，为（万人）； 综上所述，七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人．游客人数最少的是10月7日，达到万人； （3）解：结合（2）中数据可得，该风景区在这八天内一共接待游客人数为（万人）． 3．某一出租车一天下午以芦湖公园北门为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点多远？在芦湖公园北门的什么方向？ (2)若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)出租车离出发点，在芦湖公园北门向东 (2)元 【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得计算结果，根据正数和负数，可得方向； （2）利用行程总里程乘以每千米单价，可得营业额． 【详解】（1）解：， 所以出租车离出发点，在芦湖公园北门向东处． （2）解：总路程为， （元）， 答：司机一个下午的营业额是元． 4．某校举办“诗歌颂祖国”活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 4.5元/个 不超过100个时，20元/个；超过100个时，则超出部分打八折 设需要定制x份奖品． (1)如果选择乙供应商，当x不超过100时，应付总费用为多少元？当x超过100时，应付总费用多少元？（用含x的式子表示，结果需化简） (2)如果需要定制50份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱？ 【答案】(1)元；元 (2)选择乙供应商比较省钱 【分析】本题考查代数式的实际应用，关键是要读懂题意，弄清其中的数量关系． （1）分别计算纪念徽章制作费和纪念品费用，然后把两者费用相加，对于纪念品费用，按照和两种情况分别计算； （2）根据（1）的结论及题目给出方案，分别计算50份奖品时两家供应商的费用，然后通过比较选择便宜的一家即可． 【详解】（1）解：如果选择乙供应商，当时，应付总费用为：（元）． 当时，应付总费用为：（元）． （2）解：当需要定制50份奖品时， 如果选择甲供应商，应付总费用为（元）， 如果选择乙供应商，应付总费用为（元）， 因为，所以定制50份奖品时，选择乙供应商比较省钱． 5．某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：A商品每件进价70元，售价每件100元；B商品每件进价30元，售价每件40元． 方案二：所购商品一律按进价加价销售． (1)某单位购买A商品10件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多2件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)选用方案二划算，能便宜240元 (2) 该单位选择方案二更合算． 理由：方案一费用：元， 方案二费用： 元 ， ∵， ∵为正整数， ∴， 即， ∴该单位选择方案二更合算． 【分析】（1）分别计算两种方案的价格，两者比较并相减即可求解． （2）分别计算两种方案的价格，列出代数式，再求差即可． 【详解】（1）解：方案一费用：元， 方案二费用： 元， ∵元， ∴选用方案二划算，能便宜元． （2）略 6．为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过度的部分      超过度不超过度的部分      超过度的部分      已知小明家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份                               根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，这个月电费为 元； (2)若小明家某月用电量为度，请用含的代数式表示小明家该月的电费为 元； (3)若小明家月份的用电量为度，请求出小明家月份的电费． 【答案】(1)， (2) (3)小明家月份的电费为元 【分析】（1）根据正负数的意义可得出小明家用电量最多的月份，进而求出电费； （2）根据阶梯价格列出代数式即可求解； （3）根据“阶梯价格”，即可求解． 【详解】（1）解：观察表格数据可知，小明家用电量最多的是六月份， 这个月电费是（元）； 故答案为：六，； （2）解：当时，小明家该月的电费为：元； 故答案为：； （3）解：∵小明家七月份的用电量超过度， （元）， 答：小明家月份的电费为元． 类型六、日历与圈次方问题(解) 1．阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 【答案】(1)， (2)， ， ， ， (3) 【分析】（1）根据有理数的运算规则运算即可；平移的方框，任选与图1位置不同的位置将值代入运算即可； （2）根据图像将表示出来，再代入进行运算即可； （3）根据（2）将用表示出来，再代入求解即可． 【详解】（1）解：； 当， 则． （2）解：设，则，，． ， ， ， ； 所以，的值为． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 2．【问题发现】如图①是2026年1月的日历，用“目”字形阴影框中的三个数字均满足“三个数字之和是中间数字的3倍”理由如下：设中间数为，则“目”字框中最上面的数表示为，最下面的数表示为，三个数字之和为，所以“目”字框中三个数之和是中间数的3倍． 【类比联想】请根据上面的探究过程，猜想图②的“”字形阴影框中日历中的五个数，这五个数从小到大依次为． (1)若日历中用“”字形框中五个数，其中最小的数是1，则“”字形框中的五个数之和为_______． (2)在日历中将“”字形框上下左右移动，框中日历表中的五个数字之和能被5整除吗？通过计算说明理由． (3)【类比探究】请你根据上述探究过程，猜想图中由个数字组成的偶数方阵中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为__________________． 【答案】(1)45 (2) 解：能，理由如下： 设“”字形框中最小的数为x，则其余四个数字为， 这五个数之和为， ∵是5的倍数， ∴框中日历表中的五个数字之和能被5整除． (3) 【分析】本题考查了整式的加减法运算，以及代数式的化简运算，解决本题的关键是读懂题意并由其中一个数字表示出另外一个数字． （1）根据“”字形框中最小的数是1，可得到其余四个数字，再由加法运算求解即可． （2）设“”字形框中最小的数为x，再表示出其余四个数字，由加法运算后判断即可． （3）由“十”字框的框中心的数字，分别表示出其余四个数字，再由运算求解关系即可． 【详解】（1）解：用“”字形框中五个数，其中最小的数是1， 则这五个数分别为， 故这五个数之和为． 故答案为：45． （2）略 （3）解：“十”字框中框中心的数字， 则框中心上方的数字，框中心下方的数字，框中心左方的数字，框中心右方的数字， ∴“十”字框中的5个数字之和， ∴“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为． 故答案为：． 3．图1是年月的月历，用图的“”字形覆盖住月历中的五个数，这五个数从小到大依次为，，，，，某数学小组的小梅和小亮想探究这五个数的和是否能被整除． (1)小梅探究时，设，则___________，___________；（用含的代数式表示） (2)小亮思考了一下，他发现设可使计算更简单，请你也来试试，并判断为，，，，这五个数的和是否能被5整除； (3)同组的小明受到启发，在小亮设的基础上改编了一道题目：“代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．”请你来解答． 【答案】(1)； (2)这五个数的和能被整除 (3)是定值，为 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）由图可得当时，，，可得设，则；； （2）设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，即可求解； （3）设，则，，，，然后代入运用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：由图可得当时，，， ∴设，则；； 故答案为：，； （2）设，则，，，， ∴， ∵能被整除， ∴这五个数的和能被整除； （3）代数式的值是定值，理由如下： ∵，所以，，，， ∴， ∴代数式的值是定值，为． 4．【概念学习】我们把求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做“除方”，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”．【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）关于“除方”，下列说法错误的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数， C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么非零有理数的“除方”运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：．（幂的形式） （3）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式． ________；________；________；________．（为大于2的整数） （4）算一算：． 【答案】（1），4；（2）C（3），，，；（4）． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，涉及新定义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． （1）根据新定义计算； （2）根据新定义逐个判断即可； （3）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算； （4）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，4； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于两个相等的数相除，商为1，说法正确，不合题意； B．对于任何正整数，，说法正确，不合题意； C．，，，说法错误，符合题意； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不合题意； 故选：C； （3）； ； ； （为大于2的整数）； 故答案为：，，，； （4）由可得，， ∴． 5．概念学习： 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3⑤，读作“3的圈5次方”；记作，读作“－5的圈6次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 初步探究： （1）直接写出计算结果：______，______． （2）关于除方，下列说法正确的是______． A．任何非零数的圈3次方都等于这个数的倒数 B．对于任何正整数n，－1的圈n次方都等于1 C．7⑤＝5⑦ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 深入思考：有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算．同样，有理数的除方运算也可以转化为乘方运算，如下图所示：    （3）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ①写出运算过程：=_____； ②只写最后结果：=______．（，n是大于等于3的正整数） 迁移应用： （4）计算：． 【答案】（1）；（2）AD（3）①；②（4） 【分析】本题考查了新运算，有理数的混合运算等知识，理解新运算的算法，正确计算是解题的关键． （1）根据除方的概念计算即可； （2）根据除方的概念逐项判断即可； （3）根据除方的定义将算式转化为除法，再计算即可； （4）先计算各除方幂，再计算乘法与除法，最后计算减法． 【详解】解：（1）， ； （2）A、∵，所以任任何非零数的圈3次方都等于这个数的倒数，选项A说法正确； B、对于任何正整数n，当n为偶数时，的圈n次方都等于1，当n为奇数时，的圈n次方都等于， 选项B说法错误； C、，，故，选项C说法错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．正确； 故选AD； （3）① ② （4）     ． 6．概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把，（个a，）记作，读作“a的圈n次方”． (1)初步探究： 除方乘方：幂的形式 ①直接写出计算结果：_______，_______； (2)深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． _______；_______；_______； ②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_______； ③算一算： 【答案】(1)①，． (2)①，，；②；③． 【分析】本题考查了新定义运算（除方）及有理数的乘方、混合运算，解题的关键是理解除方的定义，将除方运算转化为乘方运算． （1）①根据除方定义，将除法转化为乘法，再写成幂的形式计算； （2）①仿照示例，把除方转化为倒数的乘方；②归纳得出非零有理数a的圈n次方的幂形式；③先将各除方转化为乘方，再按有理数混合运算顺序计算． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，． （2）解：①；；； 故答案为：，，． ②（）； 故答案为：． ③；；； 原式 ． 类型七、数列求和与分数裂项(解) 1．探究规律： (1)计算： ① ② ③ ④ (2)根据上面结果猜想： ① ② ③ 【答案】(1)①1；②1；③1；④1； (2)①1；②1；③64 【分析】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． （1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： ，计算即可． 【详解】（1）解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = =． 2．观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘法的规律探究，观察等式发现规律是解题关键． （1）利用题中已知等式的规律得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差； （2）将原式变形为，再利用所得规律计算可得； （3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得． 【详解】（1）解：若为大于1的正整数，则根据这些等式的运算规律可得：， 故答案为：； （2） （3） ． 3．北师大版教材中第二章习题中，同学们利用正方形面积通过数形结合完成了的求值，除了数形结合的方法以外，这类式子也有另一种代数求法，解法如下： 设．  ① 将①（注意：是前面式子中后一个除以前一个数的值） ．  ② 将得， 所以 ，． (1)完成下列计算：___________； __________；（用幂表示结果） (2)利用上述方法，求出的值； (3)【新情景】小聪同学用乐高积木块搭建了一个神奇的“知识塔”，塔的第1级用了 块积木，第2级用了块，第3级用了 块，……，按照此规律，直到第12级用了 块．已知每级塔的积木块数都符合 层级数的规律，若 ，求出建造这座“知识塔”总共需要的积木块数（用含 a 的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用同底数幂乘法法则及乘法分配律计算即可； （2）设，则，两式相减并计算即可； （3）根据题意令，则，将两式作差后再利用题干中的方法计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：设，① 将得：，② 得：， ∴， ∴； （3）解：设，① 将得：，② 得：， 由（2）可知， ∴． ∵若， ∴， ∴， ∴． 4．观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； （3）探究并计算： 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】（1）根据题意猜想得到结论，写出即可； （2）①②利用得出的拆项法化简各式，计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法变形，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：； （2）① ； 故答案为：； ② ； 故答案为：； （3） ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，根据题中的等式得出相应的规律是解本题的关键． 5．请先阅读下列内容，然后解答问题： 因为：，，，…， 所以：++…+ ＝+++…+ ＝ ＝ （1）猜想并写出：＝　 　；（为正整数） （2）直接写出下面式子计算结果：++…+ ＝　 ； （3）探究并计算：++…+ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据给出的具体例子，归纳式子特征为：分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，等于这两个连续自然数的倒数差，因此猜想第n项可转化为； （2）按照（1）得出的规律，进行计算即可； （3）观察式子的每一项，归纳出：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项可转化为，依次抵消即可求解 【详解】解：（1）， 故答案为： （2）++…+ = = =， 故答案为： （3）原式＝++…+ ＝…+ ＝ ＝ ＝ 【点睛】考查了与分式混合运算有关的规律性问题，解决这类题目要找出变化规律，消去中间项，只剩首末两项，使运算变得简单 6．综合与实践，问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： ，，，， 独立思考： (1)解答王老师提出的问题：第个式子为_______，第个式子为______； 实践探究： (2)在（）中找出规律，并利用规律计算：； 问题拓展： (3)数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后发现，当分母中的两个因数的差为，该小组提出下面的问题，请你解答：求； 问题解决： (4)求的值． 【答案】(1) ；； ； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据所给的式子的形式进行求解即可； （）利用（）的规律进行求解即可； （）仿照（）的解答方式进行求解即可； （）把各项进行整理，再利用题中的规律进行求解即可； 本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． 【详解】（1）根据，，，， ∴第个式子为，第个式子为， 故答案为：，； （2） ， ， ； （3） ， ， ； （4） ， ， ． 类型八、整数、小数部分与估算近似值(解) 1．在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【答案】(1)2；3 (2)3； (3) 【分析】（1）利用夹逼法即可解答； （2）利用夹逼法求得的取值范围，即可得到的整数部分和小数部分； （3）利用夹逼法求得的整数部分和的小数部分，代入即可解答． 【详解】（1）解：， ，即， ，； （2）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是； （3）解：， ，即， 的整数部分， ，即， 的整数部分为，小数部分， ． 2．在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出无理数的近似值． 【回归教材】 (1)通过“逐步逼近”的方法来估算的范围： ，，，； ，，，； 请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）； 【问题解决】 (2)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分．又如的整数部分为，小数部分就表示为．请解答： ①如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； ②若的整数部分是，小数部分是，求的平方根． 【答案】(1)； (2)①1；② 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）①夹逼法求出，再进行计算即可；②先求出的值，进而求出代数式的值，再开平方即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，，， ∴； （2）解：①∵，， ∴，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 3．阅读下面一段材料，并解答材料后的问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：的整数部分为3，小数部分为． 再如：，即的整数部分为2，小数部分为． (1)若的整数部分为，小数部分为，则__________，__________； (2)已知，若是整数，且，求的值． 【答案】(1)5， (2) 【分析】（1）通过相邻完全平方数确定的取值范围，进而得到其整数部分和小数部分，（2）先确定的范围，得到的范围，结合为整数，确定的值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分为5，小数部分为， ∴； （2）解： 即 即 ，是整数，且， ∴ ∴． 4．【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】(1) 方式一得出的近似值精确度更高 (2) 选择方式一：，选择方式二： 【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解； （2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴更接近6， ∴在方式一中用6代替所产生的误差更小， ∴方式一得出的近似值精确度更高； （2）解：∵， ∴， 方式一：∵， ∴，即， ∴； 方式二：∵， ∴，即， ∴； ∴选择方式一：，选择方式二：． 5．单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若，且，试用含m和n式子表示的估算值． 【答案】(1) 解：∵， ∴，设， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵较小故略去，得， ∴，即； (2) 【分析】（1）首先由得到，设，然后同题干的方法求解； （2）设，然后同题干的方法求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且 ∴设， 如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵较小故略去，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵， ∴， 即． ∴的整数部分为10， ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是， 且． ∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得 ， 当较小时，忽略，得．解得． ∴． 任务一：利用材料一中的方法，的整数部分是________，的小数部分是________； 任务二：利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）； 任务三：结合上述具体实例，已知正整数、满足，且，请估算________（用的代数式表示）．    【答案】任务一： 6， ；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可. （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． （3）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】解：任务一： ， ，即， 的整数部分是6， 的小数部分是. 任务二：∵面积为37的正方形的边长是，且． ∴设，其中，画出边长为的正方形，如图：根据图中面积，得 ， 当较小时，忽略，得．解得． ∴． 任务三：∵，设，， ∴正方形面积为：， ∵， ∴当较小时，忽略，得．解得． ∴. 类型九、数轴动点求t问题(解) 1．【阅读理解】 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合，例如：点表示的数是，点表示的数是，则、两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合． 【问题解决】 请你解决以下问题： 数轴上点、、分别表示数、、，在数轴上的位置如图所示，其中． （1）若，，则，两点之间的距离为_____________； （2）在（1）的条件下，沿数轴上某点折叠，使点、点重合，则折痕处对应的点表示的数为_____________； 【拓展探究】 （3）若，，，在数轴上点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，运动秒后，点表示的数为_____________（用含有的代数式表示），若运动过程中，的值不变，求的值． （4）在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是_____________． 【答案】【问题解决】（1）6；（2）2； 【拓展探究】（3）；；（4）1或3或5 【分析】本题考查了数轴求解两点间距离，数轴表示有理数，解决本题的关键是会应用公式求解数轴上两点间距离． 【问题解决】 （1）根据两点之间的距离公式求解即可； （2）根据将数轴沿表示的点折叠，求解即可； 【拓展探究】 （3）求解出点的运动路程，再根据求解即可；再根据两点之间的距离公式求解与，根据定值不变求解即可． （4）先根据整个线段长为10，再由长度之比为，可得对应的线段长为，再分类讨论；；三种情况求解即可． 【详解】解：【问题解决】 （1）若，，则，两点之间的距离为； 故答案为：6； （2）沿数轴上某点折叠，使点、点重合， 则折痕处对应的点表示的数为； 故答案为：2； 【拓展探究】 （3）∵点表示的点为6， 且点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动， ∴运动秒后，点表示的数为； ∵点表示的点为，点表示的点为1， 又∵点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴运动秒后，点表示的数为， ∴，， ∴， ∵运动过程中，的值不变， ∴，解得， ∴在运动过程中，当时，的值不变． 故答案为：． （4）∵在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段， ∴， 当， 则可知，如图1， ∴点B对应的点为0，点C对应的点为2， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 当， 则可知，如图2， ∴点B对应的点为0，点C对应的点为6， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 当， 则可知，如图3， ∴点B对应的点为4，点C对应的点为6， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 综上，折痕处对应的点所表示的数是1或3或5． 故答案为：1或3或5． 2．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻为t秒，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)此时刻快车头与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)正确，秒，单位长度 【分析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． （1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：，且，， ，， 解得，， 此时刻快车头与慢车头之间相距； 故答案为：； （2）解：由题意可得： ①当快慢车未相遇前相距个单位长度时，则有：（秒）； ②当快慢车相遇后相距个单位长度时，则有：（秒） 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距个单位长度； （3）因为， 当在之间时，是定值， （秒） 此时（单位长度）． 故这段时间为秒，定值是单位长度． 3．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，或； (4)不会改变，值为 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，； （2）解：由题意知，或； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和的点之间的距离和， ， 当表示和之间（含端点）的点时，有最小值， 此时正整数的值为或； （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ，， 由题意知，， 的值不会随着时间的变化而改变，其值为． 4．阅读材料： 在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B的右边，则线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．请用这个知识解答下面的问题． 问题解决： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示 (1)点A表示的数为____，点B表示的数为____，点C表示的数为____； (2)若将点A向右移动，则移动后的点A表示的数为____（用含x的代数式表示）； (3)若点B以每秒的速度沿数轴向左运动，同时A、C两点分别以每秒、的速度沿数轴向右运动．设运动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 的值是不会随着t的变化而改变，理由如下： 点A：，点B：，点C：， ， ， ， 的值为3，是一个常数，不会随着的变化而改变． 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，数轴上点的移动规律，掌握数轴上点的移动规则是解题的关键． （1）根据数轴“左减右加”的移动规则，可直接得出A、B、C三点表示的数； （2）已知点表示的数为，向右移动x个单位，依据“右移加”，在原数基础上加x，即可得到移动后点表示的数； （3）先用含t的式子表示出t秒后各动点坐标，再利用“数轴两点距离右侧数−左侧数”求出，对化简即可． 【详解】（1）解：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：; （2）解：将点A向右移动，则移动后的点A表示的数为， 故答案为： （3）略 5．我们知道，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为，根据以上内容解决问题： (1)若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离可用含的式子表示为_____； (2)若，分别表示，点在数轴上对应的数． ①的最小值为_____； 此时的最大值为_____； ②若，求的最大值． (3)点，在数轴上对应的数为和，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间，点在点，之间），运动时间为，点运动到点时，点立即停止运动；点为点，之间一点，且满足，若在点，N运动过程中，点到点的距离总为一个固定的值，求的值． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）根据题意中的数轴上两点之间距离公式即可列出代数式； （2）①根据绝对值的意义可得表示数轴上表示数的点到表示数和表示数的点的距离之和，即可得的取值范围及的最小值； ②先确定中的取值范围及最小值、中的取值范围及最小值，结合，即可得取最小值，取最小值时，方程成立，即，，从而得出当取最大值，取最大值时，最大，代入数值即可求出最大值； （3）根据题意可得，，可得，根据，可求出，进而得出，根据点运动过程中为一个固定的值，得到，由，即可得出结论。 【详解】（1）解：∵点，在数轴上分别对应的数为，时，，两点间的距离表示为， ∴若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离为， 故答案为：； （2）解：①∵表示数轴上表示数的点到表示数和表示数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为：，此时的最大值为， 故答案为：；； ②由①的方法可知： 当时，有最小值为：， 当时，有最小值为：， ∵， ∴当取最小值，取最小值时，， 此时，， ∴当取最大值，取最大值时，最大，最大值为：； （3）解：根据题意可得： 点的路程为：，点的路程为：，且， 又∵点，在数轴上对应的数为和， ∴， ∵点在点，之间，且， ∴， ∴， ∵点到点的距离总为一个固定的值，即总为一个固定的值， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查数轴上两点之间距离的计算，绝对值的意义，代数式及求代数式的值，整式的混合运算等知识的综合，理解整式的基础知识，掌握两点之间距离的计算，整式的混合运算法则是解题的关键． 6．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，线段的长度可用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．已知a，b满足与互为相反数，且点C表示的数为5． (1) ， ； (2)若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B、C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设点A运动的时间为t秒． ① ， （用含t的代数式表示）； ②的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值； (3)若点P、Q、M分别为的中点，在（2）的条件下，直接写出与之间的数量关系及的长度（用含有t的代数式表示）． 【答案】(1)，1； (2)①；； ②的值不随着时间t的变化而改变，理由： ∴的值不随着时间t的变化而改变； (3)，的长度为． 【分析】本题考查数轴，列代数式，整式的加减运算，非负数的性质，根据非负数性质求出点A、B表示的数是解题的关键． （1）根据相反数的定义得到，再根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）①根据题意表示出t秒后点A，B，C所表示的数，再求出；②计算得出结论； （3）先写出P、Q、M所表示的数，再求出即可． 【详解】（1）解：∵a，b满足与互为相反数， ∴， ∴， 解得， 故答案为：，1； （2）解：①根据题意得：t秒后点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为； ∴； ； 故答案为：；； ②略 （3）解：∵t秒后点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，点P是的中点， ∴点P表示的数为：； ∵点Q是的中点， ∴点Q表示的数为：； ∵点M是的中点， ∴点M表示的数为：； ∴； ∴，的长度为． 类型十、数轴与代数式的新定义(解) 1．【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③ (2)①；②（答案不唯一） (3)，不是对称式 【分析】（1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及单项式的定义即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∵， ∴是对称式； 即其中是对称式的是①③； （2）解：①根据题意得：该单项式是； ②根据题意得：该多项式可以为； （3）解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴所得结果不是对称式． 2．下面是小明关于“完美积式”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 概念理解： 如果一个多项式可以写成两个一次二项式的乘积，即的形式，其中a、b、c、d均为整数，且，，则称这个多项式为“完美积式”． 例如，，因此是一个“完美积式”． 特例构造： 根据定义，可从整数a、b、c、d入手，构造“完美积式”，思路如下： 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为1的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为2的“完美积式”，如； 当，时，取不同的整数b、d，即可得到二次项系数为6的“完美积式”， 以此类推… 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，对于“完美积式”：，其系数之间存在特定的关系． 设二次项系数，一次项系数，常数项． 则，且是完全平方数（一个整数的平方）．因此，“完美积式”的判别式一定是完全平方数． 反过来，对于一个二次三项式，如果是完全平方数，且存在整数分解，那么它就可以表示为两个一次二项式的乘积，即为“完美积式”． 根据以上材料，回答下列问题： (1)当，，b、d互为相反数时，请写出一个符合要求的完美积式：______； (2)下列二次三项式中，是“完美积式”的是（   ）； A．　　B．　　C．　　D． (3)若二次三项式是“完美积式”，且k为正整数，则k的所有可能值的和为_____． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)B (3) 【分析】（1）根据题意不妨取即可； （2）根据“完美积式”的判定为一个整数的平方，逐项判断即可； （3）根据题意可知要为一个整数的平方，再列举即可． 【详解】（1）解：，，b、d互为相反数, ，即， 则“完美积式”式为， 不妨取，则“完美积式”为； （2）解：对于A，，不是一个整数的平方，故A不符合； 对于B，，故B正确； 对于C，，不是一个整数的平方，故C不符合题意； 对于D，，故D不符合题意； （3）解：， 要为一个整数的平方，且k为正整数， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， ，解得（负值已舍去）， 故k的所有可能值的和为． 3．【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为F（n）． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)_________；_________． (2)小方同学发现可以用“整式的加减”知识证明上述【发现】是正确的，请你帮助小方同学证明上述【发现】． (3)若s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数），求的值． 【答案】(1)4，3 (2) 设这个三位数是，交换百位和个位的数字后， ， (3)8 【分析】本题考查新定义题型，数字规律，整式的加减运算，求一个数的绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题目中的定义即可求解； （2）设这个三位数是，交换百位和个位上的数字后，则这两个数的差值，由是正整数，从而求证； （3）根据题目中的定义求出，，由于s，t都是“异数”，然后计算即可． 【详解】（1）解：①、② 故答案为：4，3. （2）略 （3）解：∵s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数）， ∴，且x为正整数且， ∵，都是“异数”，其中x为小于10的正整数 ∴，， ∴． 4．在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】 （1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】 （2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值； ②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】 （3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 【答案】（1） （2）①或；② （3）的值为：，，， 【分析】（1）计算，，进一步结合新定义可得答案． （2）①当时，则，当时，则，再进一步求解即可． ②结合，再画图，可得当表示时，关于点的“完美距离”取最大值，最大值为． （3）结合（2）可得：当为的中点时， ，同理可得：，再进一步分析求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为． （2）①∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，关于点的“完美距离” ∴当时，则， 解得：（不符合题意舍去）， 当时，则， 解得：（不符合题意舍去）， 综上：或． ②∵，如图， ∴的中点对应的数为， ∴当表示时， 关于点的“完美距离”取最大值，最大值为． （3）∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为； 结合（2）可得：当为的中点时， ， ∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为， ∴， 同理可得：， ∴， ∵均是整数， ∴的值为：，，，． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，整式的加减运算的应用，数的整除，绝对值的含义，本题的难度较大，熟练地利用数形结合的方法解题是关键． 5．【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 【答案】（1）①2，；②③；（2）当点在点右侧时，点与点之间的距离为；当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 【分析】本题考查了代数式，数轴上两点之间的距离，理解互为基准变换点是解题的关键； （1）①根据互为基准变换点的定义求解即可； ②根据①中a，b两数可知，； ③根据②即可用含的式子表示． （2）先根据题意求出点表示的数，再根据③的结论即可求出点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：（1）①当时，，当时，， 故答案为：2，． ②由①中的结论可知与之间的数量关系为， 所以． ③当时，． （2）解：由题意可得，点表示的数为． 因为点与点互为基准变换点， 点与点互为基准变换点， 由②可得点表示的数为． 当点在点右侧时，点与点之间的距离为． 当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 点与点之间的距离为或． 6．综合与实践： 【背景知识】 有理数和分别对应数轴上的点和点，定义为数a、b的中点数，定义为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值． 例如：如图1所示，有理数−1和3分别对应数轴上的点P和点，数−1和3的中点数是，点P，Q之间的距离是． 请阅读以上材料，完成下列问题： 【问题情境】 如图2所示，在数轴上原点表示数是0，点在原点的左侧，所表示的数是，点到原点距离为2；点在原点的右侧，所表示的数是，点到点距离为6，点为数轴上任意点，所表示的数是． 【解决问题】 (1)______，______； (2)______，______； (3)已知，求的值； (4)对于数轴上的三点，又给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．现在，点、点分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点A，B的“2倍点”．请直接写出此时的值是______． 【答案】(1)−2，4 (2)1，6 (3) (4)或 【分析】（1）依题意，结合两点距离公式直接求解； （2）依题意，结合数轴上两点之间的距离公式和中点公式直接求解即可； （3）依题意，由，先求得，进一步求解即可； （4）根据各点运动可以得到运动后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，由此得到，，然后根据或得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，4； （2）解：依题意得：，， 故答案为：1，6； （3）解：依题意得：， ，解得：， ， 故答案为：3； （4）解：点以每秒4个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒1个单位长度向右运动，则运动后，点表示的数为：， 点以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，则运动后，点表示的数为， ，， 点恰好是点的 “2倍点”， 或， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或， 综上，点恰好是点的 “2倍点”时，此时的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了数轴，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间的距离公式、数轴上中点坐标公式以、绝对值方程求解及动点问题，读懂题意，数形结合由题意列出方程求解是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $