期中考前满分冲刺之解答题考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（78题）（二十六种覆盖训练）2026-2027学年七年级数学上册（浙教版）

**基本信息** 聚焦期中解答题，覆盖26个核心模块，以题组训练构建从基础运算到综合应用的知识网络，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数混合运算|3题|多步骤计算题|从运算法则到符号处理，培养运算准确性| |数轴表示与大小比较|3题|作图与排序题|数形结合，巩固数与数轴的对应关系| |实数分类|3题|集合填空题|概念辨析，建立实数体系认知| |化简求值|3题|先化简再代入题|代数式变形与代入计算，强化代数推理| |电费水费问题|3题|分段计费应用题|模型意识，联系生活实际解决问题| |分数裂项|3题|规律探究计算题|从特殊到一般，培养归纳推理能力| |数轴动点|3题|动态几何题|数形结合，提升空间观念与动态思维|

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一有理数的混合运算 1．计算 (1) (2) (3) 2．计算下列各题： (1) (2) (3) 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 覆盖二 数轴上表示数并比较大小 4．将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“”连接起来． ，，，，． 5．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，， 6．在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，0，． 覆盖三实数的分类 7．把下列各数中属于各集合的数填入相应的括号内：，，，，，，，，． 整数：{ }； 负分数：{ }； 非负整数：{ }． 8．把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 9．把下列各数的序号填在相应的大括号内：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧；⑨（每两个2之间依次增加1个0）； 整数{                     } 分数{                     } 有理数{                     } 无理数{                     } 覆盖四解一元二次方程一选考 10．解方程： (1) (2) 11．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 12．解下列方程： (1)． (2)． 覆盖五化简求值 13．先化简，再求值：，其中，． 14．先化简，再求值：，其中x，y满足． 15．先化简，再求值：，其中． 覆盖六整式AB型化简应用 16．已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 17．已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 18．已知多项式． (1)若，求的值． (2)若多项式的值与字母的值无关，求的值， 覆盖七相反数、绝对值、倒数的应用 19．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是绝对值等于5的数． (1)完成填空：______，______，______． (2)求的值． 20．已知与互为相反数，与互为倒数，． (1)求的值； (2)若，求的值． 21．若a，b互为相反数，且a，b均不为0，c，d互为倒数，m到原点的距离为2个单位长度． (1)的值为______； (2)求的值． 覆盖八平方根与立方根的综合应用 22．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 23．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 24．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 覆盖九算24点 25．“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 26．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 27．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） ________________；________________； (2)如果表示正，表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的算式（写出2个）：________________；________________； (3)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是________． ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数   ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                  ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 覆盖十绝对值的分类讨论 28．若， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 29．[特例观察] ，；，． [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： 互为相反数的两个数的绝对值_________；互为相反数的两个数的平方_________． [知识应用] （2）已知，，且，求的值； （3）已知a是最大的负整数，b与c互为相反数，，求的值． 30．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 覆盖十一有理数的混合应用 31．为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？请说明理由； (2)本次练习中守门员共跑了多少米？若每跑10米奖守门员2个苹果，则守门员可得到多少个苹果？ 32．近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加，轩轩家购买了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程 (1)请求出轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，求轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用． 33．开学前，学校聘请一名工人用5天把七年级教师办公室墙面进行了粉刷出新．预计每天粉刷50平方米，下表为工人每天实际粉刷情况，其中大于用“”表示 时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 粉刷面积（单位：） 4 4.5 2 1.5 3 (1)工人哪天粉刷面积最多？5天合计粉刷的面积是多少？ (2)据统计，工人用了80升刷墙漆，已知刷墙漆每升64元，在结算工钱时，有以下几种结算方案： ①按每天400元计付；②按刷墙漆总费用4折计付；③按粉刷面积每平方米10元计付，用哪种方案最省钱？ 覆盖十二代数式的化简与几何应用 34．如图，实验中学有一块长为，宽为的长方形空地，计划在这块空地上修一个长方形和一个半圆形的花坛，剩余部分种植草皮，根据图中标注的长度，解答下列问题．（单位：m） (1)用含的式子表示种植草皮的面积；（结果保留） (2)若取3，求种植草皮的面积． 35．吕阿姨买了一套新房，她准备将地面全铺上地板砖，这套新房的平面图如图所示（单位：），请解答下列问题： (1)用含a，b的代数式表示这套新房的面积； (2)若地板砖的费用为90元，当时，这套新房铺地板砖所需的总费用是多少元？ 36．如图，一块长方形铁皮的长为米．宽为米．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为米的正方形．然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)求裁剪后剩余铁皮的周长（用含，的代数式表示，要求化简）； (2)求这个盒子底部的周长（用含，的代数式表示，要求化简）； (3)将盒子的外部表面进行喷漆．若，．每平方米喷漆的费用为元．求喷漆共需要的费用． 覆盖十三 网格作图 37．阅读材料，并完成下列问题： 寻找无理数：小明把两个面积为1的小正方形（图1①）分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形（图1②），从而找到无理数．问题再发现： (1)小刚受到小明的启发，把图2①剪拼成图2②后，找到无理数，请你在图2①中画出裁剪线（用虚线） (2)参考小明、小刚的做法，请你将图3中长为5，宽为2的长方形裁剪成若干块，拼成一个正方形； ①求该正方形的边长； ②请在图中画出一种满足条件的裁剪线（用虚线）并在图网格中画出拼成的正方形． 38．【问题】两个正方形的边长分别是1，2，剪一剪，并拼成一个大的正方形． 【理解问题、拟定计划】 （1）拼成的大正方形的边长为 ． （2）借助方格纸，在方格纸中进行剪拼． 【实施计划】 （1）摆：如图1，在方格纸中，画出边长分别是1，2的两个正方形． （2）剪：如图2，沿线段，线段剪开． （3）拼：如图3，将直角三角形平移到直角三角形的位置，将直角三角形平移到直角三角形的位置，则得到要求的正方形． 【反思】请仿照以上方法，解决以下问题： （1）借助方格纸，把边长为2和3的两个小正方形，剪拼成一个大正方形． （2）把边长为a和b的两个正方形，剪拼成一个大正方形，则剪拼成的大正方形的边长为 ． 39．观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． 覆盖十四电费、水费问题 40．某市居民用电电费目前实行梯度价格表． 每月用电量 单价 不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超出180千瓦时不超出400千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 (1)若月用电240千瓦时，应交电费______元； (2)若居民王大爷家12月用电量为千瓦，请计算他们家12月应缴电费______元（用含的代数式表示）： (3)若居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电千瓦时（），求李大爷11、12月共交电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 41．某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量度 第二档 200度月用电量400度 第三档 月用电量400度 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：（元）． (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费______元； (2)如果小华家2014年10月份的用电量为度（其中），则需缴电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含的代数式表示，并化简） 42．为倡导节约用水，泉州市居民生活用水执行阶梯制（不含污水处理费），价目标注如下（水费按月缴纳）： 梯度 价目 第一梯度 月用水量不超过吨的部分，每吨元； 第二梯度 月用水量超过吨但不超过吨部分，每吨元； 第三梯度 月用水量超过吨的部分，每吨元． (1)某用户年月用水量为吨，应缴纳水费______元；月用水量为吨，应缴纳水费______元． (2)设某用户月用水量为（）吨，请用含的式子表示该用户当月应缴纳的水费，并求出当时应缴纳的水费． 覆盖十五打折问题 43．学校准备在商店订购一批某品牌排球和篮球，已知排球每个售价50元，篮球每个售价100元． (1)若要购买个排球，个篮球，则需花费______元； (2)商店开展打折促销活动，推出两种促销方案： 方案一：排球和篮球的单价均按九折优惠出售； 方案二：排球单价按照原价出售，买个篮球，每个篮球的售价为元，篮球售价最低为80元/个． 记方案一的花费为，方案二的花费为． ①若要购买5个排球和5个篮球，判断与的大小关系，并说明理由； ②若要购买个排球，个篮球，求，并化简． 44．七星商场冬季新款到货，A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元．由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 (1)小天一次性购买物品的原价为750元，则方案一实际付款为 元；则方案二实际付款为 元； (2)小七去七星商场购物，商品原价为a（）元，试用含a的式子表示出小七选择方案二应付的费用；（结果需化简） (3)已知小天选择方案一购物，小七选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小七所购物品的原总价m元，且高于小天．两人实际付款一共多少元（请用含m的代数式表示并化简）？为使消费者获利更多，店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，如果两人组合购买，实际付款多少元？ 45．小华一家计划元旦期间去某城市旅游，准备在某平台提前购买两个景点的门票，两个景点门票的原价分别为元，元．该平台现有两种购票优惠活动． 活动：原价购买景点门票一张，则可以享受折（即原价乘）购买景点门票一张的优惠； 活动：同时购买两个景点门票各一张，则可以享受每张都打折（即原价乘）的优惠． (1)若购买两个景点门票各一张，活动票价共计__________元，活动票价共计__________元；（用含的代数式表示） (2)小华计算后发现，若购买两个景点门票各一张，活动比活动的票价共计便宜元，求的值． 覆盖十六日历问题 46．如图是2024年10月份的月历，“阶梯”框型（阴影部分）在月历中移动，必须覆盖其中6个数：    (1)如果用表示6个数字中最小的数，用含的代数式按从小到大的顺序依次表示其余被覆盖的5个数； (2)试说明“阶梯”框型覆盖的6个数字之和能被3整除； (3)在此月历中，直接写出（1）中的最大值． 47．月历中有很多奥妙，下面就让我们一起来探索吧! (1)图1是某月的月历，方框中的9个数的和为_____，恰好是方框正中心的数15的9倍．因此，方框正中心的数15是方框中的9个数的平均数； (2)不改变方框的大小，将方框移动到其他位置，如图2，设方框正中心的数为，则_____，_____，方框中的9个数的和为_____（均用含的代数式表示）．因此，方框正中心的数恰好是方框中的9个数的平均数； (3)仿照上述探究的方法，如图3，在月历中画出一个“”形．将“”形移动到其他位置，设“”形中7个数的和为，中间的数为，如图4，与的关系，并通过运算说明理由． 48．综合与实践 实践主题：探索月历中数的排列规律，体会代数表示与规律推导的数学思想． 实践任务：探究方框中9个数的和与中心数的规律． (1)计算分析（图1）：图1中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：9个数的和是中心数的________倍． (2)验证迁移（图2）：图2中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：（1）中的关系在（2）中________（是、否）成立． (3)规律推广：假设中心数为n，那么以上这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？请写出你的猜想，并证明． 覆盖十七实数的新定义运算 49．本学期第七章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写表格： 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ； （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ① ； ② ； ③ ； 【拓展应用】______． 50．对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 51．定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；． (1)_____________，_____________． (2)如果，求的算术平方根． 覆盖十八 实数的规律问题 52．根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 53．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … (1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：① ；② ； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则 ． 54．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 覆盖十九有理数的圈次方 55．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方． 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”写作，读作“的圈4次方” 一般地，把记作：，读作“的圈次方”别地，规定：． 【初步探究】a的圈n次方 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)若为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有_____；（横线上填写序号） A．任意非零数的圈2次方都等于1 B．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 E．互为相反数的两个数的圈次方互为相反数 F．互为倒数的两个数的圈次方互为倒数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)请把有理数的圈次方写成幂的形式：=________； (4)比较：______；（填“>”或“=”） (5)计算： 56．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个）（）记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）关于除方，下列说法错误的是________： A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？    （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式， 的圈4次方＝________ 5的圈5次方＝________； 的圈6次方＝________ （2）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 57．概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（）写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ； ； （2）下列关于除方说法中，错误的有 ；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； D．圈n次方等于它本身的数是1或． 深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）归纳：请把有理数（）的圈（）次方写成幂的形式为： ； （4）比较： ．（填“”“”或“”） 覆盖二十绝对值中的最值问题 58．【阅读理解】的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，那么可以看作是数轴上表示数a的点与表示1的点的距离，＋可以看作是数轴上表示数a的点与表示1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究＋的最小值，我们先看a的三种可能情况：如图，①；②；③． ①) ②) ③) 由图可以看出，当时，＋>1；当时，＋＝1；当时，＋＞1． 那么我们可以得到当时，＋有最小值的结论． 【问题解决】 (1)＋＋的几何意义是________________； (2)＋＋的最小值是________，并在如图所示的数轴上描出得到最小值时a所在的位置． 【深入探究】通过材料的阅读和问题的解决，你现在对求＋＋＋…的最小值问题有所了解吗？在数轴上找到表示数a的点的位置可以帮助我们顺利解决问题 (3)请你结合数轴算一算＋＋＋＋的最小值； (4)求＋＋＋…＋的最小值． 59．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用、表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点，之间的距离是______，如果，那么是______； (2)式子的最小值是______； (3)的最小值是______； (4)灵活应用：某市环形线路上顺次有4个站点，分别记为、、、，各站点分别配备了物资9份、12份、7份、16份，、、、之间的路程分别为，，，，且每份物资每千米运费为100元，现为使各站点的物资数相等，各向相邻站点移交装备若干份，且要使移交的运费最少，则各站点分别向相邻的站点移交了多少份物资？移动的总运费是多少？ 60．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，则表示x与两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6两点之间的距离为__________； (2)若数轴上表示点的数满足，那么__________； (3)若数轴上表示点的数满足，则的值为__________； (4)的最小值是__________． 覆盖二十一分数裂项 61．观察下列等式的规律，解答下列问题： ； ； (1)按以上规律，第个等式为______；第个等式为______（用含的代数式表示，为正整数）； (2)按此规律，计算：； (3)探究计算：． 62．观察下列等式：，，， (1)猜想并写出：第个等式为______；______；______； (2)直接写出结果：______； (3)探究并计算：． 63．观察下列各等式，并回答问题：，，，…（n是正整数）． （1）填空：＝　　　　； （2）计算：＝　　　　； （3）若|ab﹣3|与|b﹣1|互为相反数，求的值． 覆盖二十二 幻方幻圆问题 64．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 65．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 66．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．            【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍． 例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ， ； 【深入思考】 （2）在图4所示的三阶幻方中，， ①若，求F所表示的代数式； ②若为常数），且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 覆盖二十三数轴动点求t 67．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空：①两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ． ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 ；点表示的数为 ． (2)当时，求两点之间的距离． (3)若为的中点，为的中点，在点的运动过程中，两点之间的距离是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出两点之间的距离． 68．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． (1)请在图2中表示出、、三点的位置； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点、从点、点分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为秒． ①两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒时，点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化说明理由：若不变，请求出的值． 69．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 覆盖二十四整数部分与小数部分问题 70．阅读材料：实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别： ①对于正实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为. ②对于负实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为. 依照上面规定解决下面问题： (1)已知的整数部分为，小数部分为，求、的值. (2)若、分别是的整数部分与小数部分，求的值. (3)设，是的小数部分，是的小数部分，求的值. 71．阅读理解：怎样表示无理数的小数部分？ 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是我们用来表示的小数部分，这是因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．求的整数部分和小数部分的过程如下： 的整数部分是2，小数部分为 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值 (3)已知，其中是整数，且，求的值． 72．大家知道圆周率π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)设的小数部分为的整数部分为，求的值． (3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①的取值范围是_____． ②当是6的倍数时，且，则n的值为_____． 覆盖二十五数轴的新定义 73．对于数轴上给定两点M、N以及一条线段PQ，给出如下定义：若线段MN的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点M与点N关于线段PQ“中位对称”．如图为点M与点N关于线段PQ“中位对称”的示意图． 已知：点O为数轴的原点，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2 (1)若点C、D、E表示的数分别为﹣3，1.5，4，则在C、D、E三点中，　 　与点A关于线段OB“中位对称”；点F表示的数为t，若点A与点F关于线段OB“中位对称”，则t的最大值是　 　； (2)点H是数轴上一个动点，点A与点B关于线段OH“中位对称”，则线段OH的最小值是　 　； (3)在数轴上沿水平方向平移线段OB，得到线段O'B'，设平移距离为d，若线段O'B'上（除端点外）的所有点都与点A关于线段O'B'“中位对称”，请你直接写出d的取值范围． 74．在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     75．对于数轴上的点P、Q、T给出如下定义：记点P到点T的距离为m，点Q到点T的距离为n，如果点P、Q分别在点T的两侧且，那么称点P和点Q是数轴上关于点T的对称点． (1)图1所示点A、B、C、D中，关于点E对称点的是______；若点T表示的数是8，则点A关于点T的对称点表示的数是______；如果图2所示点M、N是关于点T的对称点，则点T表示的数是______； (2)设点P表示的数为a，点Q表示的数为．且点P、Q是关于点T的对称点，则点T表示的数是______；（用含a的代数式表示） (3)点F表示的数为，点G表示的数为． ①若点F和点G是数轴上关于原点的对称点，求a的值； ②若点F和点G是关于正半轴上某一点的对称点，直接写出a的取值范围______； 覆盖二十六代数式的新定义 76．定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 77．定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 78．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一有理数的混合运算 1．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 2．计算下列各题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是遵循“先算乘方，再算乘除，最后算加减”的运算顺序，有括号先算括号内的． （1）按照从左到右的顺序依次计算有理数的加减运算； （2）先算乘法与除法，再算减法； （3）先算乘方运算，再算乘除运算，最后算加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）先计算绝对值，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可； （3）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算即可； （4）先计算绝对值，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 覆盖二 数轴上表示数并比较大小 4．将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“”连接起来． ，，，，． 【答案】各数在数轴上的表示如下： ． 【分析】先对原式中的带符号数进行化简，再将各数对应标注在数轴上，利用数轴上右边的数总大于左边的数的性质比较大小，按要求用“”连接即可． 【详解】解：，， 数轴表示略； ∴． 5．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，， 【答案】数轴见解析，． 【详解】解：∵，， 在数轴上表示如图： ∴用“”连接为：． 6．在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，0，． 【答案】 在数轴上表示下列各数如图： 【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，先化简各数，再表示在数轴上，再结合数轴上右边的数总是大于左边的数即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：，, 由数轴可得：． 覆盖三实数的分类 7．把下列各数中属于各集合的数填入相应的括号内：，，，，，，，，． 整数：{ }； 负分数：{ }； 非负整数：{ }． 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】先化简含绝对值的数，再根据整数、负分数、非负整数的定义对各数进行分类即可． 【详解】解：， 整数包括正整数、、负整数， 整数集合：； 负分数是小于的分数，有限小数可化为分数，属于分数范畴， 负分数集合：； 非负整数包括和正整数， 非负整数集合： 8．把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 【答案】(1)，，，（两个1之间依次增加一个7） (2)， (3)，， (4)，，（两个1之间依次增加一个7） 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 9．把下列各数的序号填在相应的大括号内：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧；⑨（每两个2之间依次增加1个0）； 整数{                     } 分数{                     } 有理数{                     } 无理数{                     } 【答案】整数：{①}，分数：{③⑤⑥⑧}，有理数：{①③⑤⑥⑧}，无理数：{②④⑦⑨} 【详解】解：，， 整数：{①}， 分数：{③⑤⑥⑧}， 有理数：{①③⑤⑥⑧}， 无理数：{②④⑦⑨}． 覆盖四解一元二次方程一选考 10．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得，． 11．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据去分母、移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项得，． （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． 12．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以6，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以，得． 覆盖五化简求值 13．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 14．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】化简为，求值为12 【分析】先去括号、合并同类项化简代数式；再利用平方和绝对值的非负性：，，两个非负数相加等于，则各自为求出、的值，最后代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ， ，且， ， 解得：，， 把，代入： 原式． 15．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对原式去括号、合并同类项得到最简结果，再利用平方和绝对值的非负性求出的值，代入最简结果计算即可得到最终答案． 【详解】解：原式 ， ∵，，且， ∴，， 解得， 将，代入， 得． 覆盖六整式AB型化简应用 16．已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入A、B计算，合并同类项后，根据不含项即项的系数为0，求解的值； （2）将（1）得到的代入，计算，合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ， ∵不含项， ， 解得． （2）解：当时， ， ， ． 17．已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解； （2）先对整式进行化简运算，然后再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 18．已知多项式． (1)若，求的值． (2)若多项式的值与字母的值无关，求的值， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减，合并同类项，进行化简代数式，即可． （1）先根据非负性，求出，；再将多项式化简为，最后把，的值代入计算即可； （2）将多项式化简为，再根据多项式的值与字母的值无关，即可计算出的值． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴，， ∵， ∴当，时，； （2）解：由（1）得：， ∵的值与字母的值无关， ∴， ∴． 覆盖七相反数、绝对值、倒数的应用 19．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是绝对值等于5的数． (1)完成填空：______，______，______． (2)求的值． 【答案】(1)0，1， (2)24 【分析】本题考查了相反数、倒数和绝对值的性质和已知式子的值求代数式． （1）根据相反数、倒数和绝对值的性质求出、、m的值即可； （2）由（1）中计算的、、m的值代入原式进行计算，其中需分情况讨论m的值，最终计算出原式的值． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴，， 又∵m是绝对值等于5的数， ∴， ∴， 故答案为：0，1，． （2）解：由（1）知，，，， ∴原式 ， 当时，， 当时，， ∴原式的值为24． 20．已知与互为相反数，与互为倒数，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握相反数和绝对值以及倒数的定义是解题的关键． （）根据与互为相反数，得到，根据与互为倒数，得到，于是得到； （）由题知，根据题意得到，再根据绝对值的定义得到．于是得到结论． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∵与互为倒数， ∴， ∴； （2）解：由题知， ∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 若，则； 若，则， ∴的值为或． 21．若a，b互为相反数，且a，b均不为0，c，d互为倒数，m到原点的距离为2个单位长度． (1)的值为______； (2)求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查代数式求值，倒数、相反数、绝对值的意义，熟练理解相关定义，能据此得出式子的值是解题关键． （1）利用相反数的概念和有理数除法的计算法则即可解答； （2）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：a，b互为相反数，且a，b均不为0， ， 故答案为：； （2）解：a，b互为相反数，c，d互为倒数，m到原点的距离为2个单位长度， ， ， ． 覆盖八平方根与立方根的综合应用 22．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 23．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 24．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根，掌握以上定义是解题的关键． （）根据立方根和算术平方根的定义可得，，解方程即可求解； （）由（）求出的值，进而根据平方根的定义解答即可； 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 覆盖九算24点 25．“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 26．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 27．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） ________________；________________； (2)如果表示正，表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的算式（写出2个）：________________；________________； (3)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是________． ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数   ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                  ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)； (2)； (3)① 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）利用24点游戏规则列出算式即可； （2）利用24点游戏规则列出算式即可； （3）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）根据题意得：；； 故答案为：；； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 覆盖十绝对值的分类讨论 28．若， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8或 (2)2或8 【分析】（1）根据可知，符号相同，分情况讨论，及，时，的值，即可计算的值； （2）根据可得，由题意列出满足的条件时，，的值，即可计算的值． 【详解】（1）解：，， ，， 又， ，符号相同， 当，时， ，，， 当，时，， ，， 的值为8或． （2）解：，， ，， 又， ， 当，时，满足条件，此时， 当，时，满足条件，此时， 当时，都不满足条件，故， 的值为2或8． 【点睛】本题考查了绝对值，平方根及代数式求值，熟练掌握平方根，绝对值的运算及列出所有满足题意的，的值是解题关键． 29．[特例观察] ，；，． [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： 互为相反数的两个数的绝对值_________；互为相反数的两个数的平方_________． [知识应用] （2）已知，，且，求的值； （3）已知a是最大的负整数，b与c互为相反数，，求的值． 【答案】（1）相等；相等； （2）9或； （3）3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据特例，结合相反数和绝对值的意义解答即可； （2）根据绝对值的意义可得，根据平方根的意义得，然后根据，分两种情况进行计算即可解答； （3）根据最大负整数、相反数、绝对值、平方的意义可得，，，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：（1）互为相反数的两个数的绝对值相等；互为相反数的两个数的平方相等． 故答案为：相等；相等． （2）因为，， 所以，， 因为， 所以当，时，； 所以当，时，； 综上所述，的值为9或； （3）因为a是最大的负整数，b与c互为相反数，， 所以，，， 所以． 30．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或10 【分析】此题考查了绝对值的性质，绝对值的化简，已知字母的值求式子的值，正确掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）先代入，再根据绝对值的意义化简即可； （2）先得到，继而确定，或，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以，或，， 所以，或． 覆盖十一有理数的混合应用 31．为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？请说明理由； (2)本次练习中守门员共跑了多少米？若每跑10米奖守门员2个苹果，则守门员可得到多少个苹果？ 【答案】(1)守门员最后回到了初始位置． (2)本次练习中守门员共跑了60米，可得到12个苹果． 【分析】（1）计算所有跑动记录的代数和，根据和是否为0，即可判断是否回到初始位置； （2）先计算所有跑动记录的绝对值之和得到总路程，再结合奖励规则计算苹果数量即可． 【详解】（1）解：守门员最后回到了初始位置，理由如下： ，即守门员最后回到了初始位置． （2）解：总路程为各段跑动距离的绝对值之和：（米） ， 苹果数量： （个）． 答：守门员共跑了60米，可得到12个苹果． 32．近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加，轩轩家购买了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程 (1)请求出轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，求轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用． 【答案】(1)轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米 (2)轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用为元 【分析】（1）将表格中的数据相加，再加上这7天的标准总路程即可得； （2）先求出总的耗电量，再乘以每度电的费用即可得． 【详解】（1）解：由题意得： （千米）， 答：轩轩家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：由题意得： （元）， 答：轩轩家新能源汽车这7天的行驶费用为元． 33．开学前，学校聘请一名工人用5天把七年级教师办公室墙面进行了粉刷出新．预计每天粉刷50平方米，下表为工人每天实际粉刷情况，其中大于用“”表示 时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 粉刷面积（单位：） 4 4.5 2 1.5 3 (1)工人哪天粉刷面积最多？5天合计粉刷的面积是多少？ (2)据统计，工人用了80升刷墙漆，已知刷墙漆每升64元，在结算工钱时，有以下几种结算方案： ①按每天400元计付；②按刷墙漆总费用4折计付；③按粉刷面积每平方米10元计付，用哪种方案最省钱？ 【答案】(1) 工人第2天粉刷面积最多，5天合计粉刷 (2) 选择方案①结算最省钱 【分析】（1）以每天计划粉刷的为基准，结合表格偏差值计算每天实际面积与5天总面积； （2）分别计算三种方案的工钱，比较大小得出最省钱方案． 【详解】（1）解：由题意得，每天实际粉刷面积为计划量加当天偏差值， 第1天：； 第2天：； 第3天：； 第4天：； 第5天：， ∵， ∴第2天粉刷面积最多， ∴5天合计粉刷面积：． （2）解：分别计算三种方案的工钱： 方案①：（元）； 方案②：（元）； 方案③：（元）， ∵， ∴选择方案①最省钱． 覆盖十二代数式的化简与几何应用 34．如图，实验中学有一块长为，宽为的长方形空地，计划在这块空地上修一个长方形和一个半圆形的花坛，剩余部分种植草皮，根据图中标注的长度，解答下列问题．（单位：m） (1)用含的式子表示种植草皮的面积；（结果保留） (2)若取3，求种植草皮的面积． 【答案】(1) (2)种植草皮的面积为 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，代数式求值： （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积，再减去半圆的面积，即可得出结果； （2）把取3，代入（1）中代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：种植草皮的面积： ； （2）解：当取3时， 种植草皮的面积为：， 故种植草皮的面积为． 35．吕阿姨买了一套新房，她准备将地面全铺上地板砖，这套新房的平面图如图所示（单位：），请解答下列问题： (1)用含a，b的代数式表示这套新房的面积； (2)若地板砖的费用为90元，当时，这套新房铺地板砖所需的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)4770元． 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，解题的关键是将新房的面积拆分为规则图形面积的和，准确列出面积的代数式，并代入数值计算． （1）将新房拆分为边长为的正方形、长为宽为的长方形、长为宽为的长方形、长为宽为的长方形，分别计算各部分面积后相加． （2）将，代入（1）中得到的面积代数式，计算出面积后，再乘以每平方米地板砖的费用90元，得到总费用． 【详解】（1）解：根据题意，得， 所以这套新房的面积为； （2）解：当时，， 因为地板砖的费用为90元，所以（元）． 答：这套新房铺地板砖所需的总费用为4770元． 36．如图，一块长方形铁皮的长为米．宽为米．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为米的正方形．然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)求裁剪后剩余铁皮的周长（用含，的代数式表示，要求化简）； (2)求这个盒子底部的周长（用含，的代数式表示，要求化简）； (3)将盒子的外部表面进行喷漆．若，．每平方米喷漆的费用为元．求喷漆共需要的费用． 【答案】(1) (2) (3)费用元 【分析】本题考查了整式加减的应用，代数式求值； （1）根据裁剪后剩余铁皮的周长等于原来长方形铁皮的周长，即可求解； （2）根据题意分别求得盒子底部的长和宽，进而即可求解； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：裁剪后剩余铁皮的周长为 （2）解：这个盒子底部的长为． 这个盒子底部的宽为． ∴盒子底部的周长为 （3）解： ； 当，时． 答：喷漆的费用为元． 覆盖十三 网格作图 37．阅读材料，并完成下列问题： 寻找无理数：小明把两个面积为1的小正方形（图1①）分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形（图1②），从而找到无理数．问题再发现： (1)小刚受到小明的启发，把图2①剪拼成图2②后，找到无理数，请你在图2①中画出裁剪线（用虚线） (2)参考小明、小刚的做法，请你将图3中长为5，宽为2的长方形裁剪成若干块，拼成一个正方形； ①求该正方形的边长； ②请在图中画出一种满足条件的裁剪线（用虚线）并在图网格中画出拼成的正方形． 【答案】(1) 依题意，如图所示， (2)①； ②依题意，如图所示： 如图所示： 【分析】本题考查无理数的表示方法，算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据面积不变，正方形面积求解即可； （2）①首先根据题意得到拼成的正方形的面积为10，进而求解即可； ②根据求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：①∵长为5，宽为2的长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积为10 ∴该正方形的边长为； ②略． 38．【问题】两个正方形的边长分别是1，2，剪一剪，并拼成一个大的正方形． 【理解问题、拟定计划】 （1）拼成的大正方形的边长为 ． （2）借助方格纸，在方格纸中进行剪拼． 【实施计划】 （1）摆：如图1，在方格纸中，画出边长分别是1，2的两个正方形． （2）剪：如图2，沿线段，线段剪开． （3）拼：如图3，将直角三角形平移到直角三角形的位置，将直角三角形平移到直角三角形的位置，则得到要求的正方形． 【反思】请仿照以上方法，解决以下问题： （1）借助方格纸，把边长为2和3的两个小正方形，剪拼成一个大正方形． （2）把边长为a和b的两个正方形，剪拼成一个大正方形，则剪拼成的大正方形的边长为 ． 【答案】理解问题、拟定计划：（1）；反思： （1）摆：如图4，在方格纸中，画出边长分别是2，3的两个正方形 剪：如图5，沿线段，线段剪开． 拼：如图6，将直角三角形平移到直角三角形的位置，将直角三角形平移到直角三角形的位置，则得到要求的正方形． （2） 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，正方形的面积计算公式，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键． 理解问题、拟定计划：（1）根据拼成的大正方形面积等于两个小正方形的面积之和求出拼成的大正方形面积，再根据正方形面积公式可得答案； 反思：（1）类似题干的拼接方法求解即可； （2）根据拼成的大正方形面积等于两个小正方形的面积之和求出拼成的大正方形面积，再根据正方形面积公式可得答案． 【详解】解：理解问题、拟定计划：（1）拼成的大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，即为， ∴拼成的大正方形的边长为； 反思：（1）略． （2）拼成的大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，即为， ∴拼成的大正方形的边长为． 39．观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． 【答案】(1)； (2)； (3)点、点即为所求； (4)正方形即为所作． 【分析】（1）根据网格构造直角三角形，利用各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （3）利用图的结论，作出，再以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点即可； （4）根据算术平方根的意义求出正方形面积，再由网格画出正方形即可． 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长均为， ∴， ∴阴影正方形的边长为． 故答案为：；； （2）∵，，， ∴， 即， 故答案为：；； （3）由（1）知：阴影正方形的边长为，它的相反数是， 如图，设原点为点，作长为，宽为的长方形，以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点， ∴，点所表示的数是，点所表示的数是； （4）如图，取格点、、、，再顺次连接， 由（1）知：四边形为正方形， ∵每个小正方形的边长均为， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，正方形的面积及等积变换等知识点，理解算术平方根的定义是解题的关键． 覆盖十四电费、水费问题 40．某市居民用电电费目前实行梯度价格表． 每月用电量 单价 不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超出180千瓦时不超出400千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 (1)若月用电240千瓦时，应交电费______元； (2)若居民王大爷家12月用电量为千瓦，请计算他们家12月应缴电费______元（用含的代数式表示）： (3)若居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电千瓦时（），求李大爷11、12月共交电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1) (2) (3)11、12月共交电费元 【分析】本题主要考查了整式加减的实际应用，列代数式及有理数乘法的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出题中等量关系以及不同情况下的收费标准，进行分类讨论． （1）月用电240千瓦时，超过了180千瓦时，前面180千瓦时按照元/千瓦时收费，超过部分按照元/千瓦时收费，即可求解； （2）按照收费标准，列出代数式即可； （3）设11月用电a千瓦时，则12月用电千瓦时，根据，得到，再根据单价列式即可． 【详解】（1）解： 月用电240千瓦时，应交电费：（元）； （2）解：∵王大爷家12月份用电量超过了400千瓦时， ∴王大爷家12月份应缴电费为： 元， 则他们家12月应缴电费为元； （3）解：设11月用电a千瓦时，则12月用电千瓦时， ∵， ∴， ∴11、12月共交电费为：元． 41．某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量度 第二档 200度月用电量400度 第三档 月用电量400度 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：（元）． (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费______元； (2)如果小华家2014年10月份的用电量为度（其中），则需缴电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1)50 (2)元 (3)元或310元 【分析】本题考查了列代数式及整式加减的应用，读懂图表信息是解题的关键． （1）根据题意选择第一阶梯电价列代数式求解即可； （2）根据题意选择第一阶梯和第二阶梯列代数式求解即可； （3）根据题意，先进行判断的取值范围，根据三种情况列代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（元） 故答案为：50； （2）解：根据题意得， 元， 答：用电量为度（其中），则需缴电费元； （3）解：∵12月份的用电量比11月份多， ∴，根据题意分以下几种情况： ①当时，共需缴费为 元； ②当时，共需缴费为 （元）； ③当时，共需缴费为 （元）； 综上，小华家这两个月共需缴电费元或310元． 42．为倡导节约用水，泉州市居民生活用水执行阶梯制（不含污水处理费），价目标注如下（水费按月缴纳）： 梯度 价目 第一梯度 月用水量不超过吨的部分，每吨元； 第二梯度 月用水量超过吨但不超过吨部分，每吨元； 第三梯度 月用水量超过吨的部分，每吨元． (1)某用户年月用水量为吨，应缴纳水费______元；月用水量为吨，应缴纳水费______元． (2)设某用户月用水量为（）吨，请用含的式子表示该用户当月应缴纳的水费，并求出当时应缴纳的水费． 【答案】(1)， (2)元，应缴纳水费元. 【分析】本题考查了分段计费问题、列代数式、代数式求值，关键是理清题意列出正确的代数式； （1）根据表格提供的第一、第二梯度的计费方式计算即可； （2）根据表格提供的第三梯度的计费方式计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：；； （2）解：某用户月用水量为（）吨，该用户当月应缴纳的水费为： （元）， 当时，应缴纳水费为：（元）. 答：该用户当月应缴纳的水费为：元，当时，应缴纳水费元． 覆盖十五打折问题 43．学校准备在商店订购一批某品牌排球和篮球，已知排球每个售价50元，篮球每个售价100元． (1)若要购买个排球，个篮球，则需花费______元； (2)商店开展打折促销活动，推出两种促销方案： 方案一：排球和篮球的单价均按九折优惠出售； 方案二：排球单价按照原价出售，买个篮球，每个篮球的售价为元，篮球售价最低为80元/个． 记方案一的花费为，方案二的花费为． ①若要购买5个排球和5个篮球，判断与的大小关系，并说明理由； ②若要购买个排球，个篮球，求，并化简． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，． 【分析】本题考查了列代数式，有理数混合运算的应用，整式的加减混合运算，理解题意，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据费用单个售价数量列式即可； （2）①根据两种促销方案分别计算并比较大小即可； ②分两种情况求解：和，根据两种促销方案分别求出、，再作差即可． 【详解】（1）解：排球每个售价50元，篮球每个售价100元， 要购买个排球，个篮球，则需花费元， 故答案为： （2）解：①若要购买5个排球和5个篮球， 则，， ， ； 若要购买个排球，个篮球， 当时，，， ； 当时，，， ． 44．七星商场冬季新款到货，A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元．由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 (1)小天一次性购买物品的原价为750元，则方案一实际付款为 元；则方案二实际付款为 元； (2)小七去七星商场购物，商品原价为a（）元，试用含a的式子表示出小七选择方案二应付的费用；（结果需化简） (3)已知小天选择方案一购物，小七选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小七所购物品的原总价m元，且高于小天．两人实际付款一共多少元（请用含m的代数式表示并化简）？为使消费者获利更多，店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，如果两人组合购买，实际付款多少元？ 【答案】(1)555；570 (2)当时，应付的费用为元；当时，应付的费用为元 (3)或或元；960元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）直接根据两种活动方案求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，求解即可； （3）根据小七所购物品的原总价高于小天，可得，然后分当时，当时，当时，三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：方案一实际付款为元； 方案二实际付款为元； 故答案为：630；570 （2）解：当时，元； 当时，元； 综上所述，当时，应付的费用为元；当时，应付的费用为元； （3）解：∵小七所购物品的原总价m元， ∴小天所购物品的原总价是元， ∵小七所购物品的原总价高于小天， ∴，且， ∴， ∴， ∵小天选择方案一购物，小七选择方案二购物， 当时，， 小天实际付款为元，小七实际付款为元， 此时两人实际付款一共元； 当时，， 小天实际付款为元，小七实际付款为元， 此时两人实际付款一共元； 当时，， 小天实际付款为元，小七实际付款为元， 此时两人实际付款一共元； 综上所述，两人实际付款一共或或元； 两人组合，一次性购买所有物品， 按照方案一实际付款为：元， 按照方案二实际付款为： ∵， ∴两人组合购买，实际付款为960元． 45．小华一家计划元旦期间去某城市旅游，准备在某平台提前购买两个景点的门票，两个景点门票的原价分别为元，元．该平台现有两种购票优惠活动． 活动：原价购买景点门票一张，则可以享受折（即原价乘）购买景点门票一张的优惠； 活动：同时购买两个景点门票各一张，则可以享受每张都打折（即原价乘）的优惠． (1)若购买两个景点门票各一张，活动票价共计__________元，活动票价共计__________元；（用含的代数式表示） (2)小华计算后发现，若购买两个景点门票各一张，活动比活动的票价共计便宜元，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据（）所得代数式列出等式，再进行化简即可求解； 本题考查了列代数式，整式的加减的应用，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：若购买两个景点门票各一张，活动票价共计元，活动票价共计元， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， ∴， 即， ∴． 覆盖十六日历问题 46．如图是2024年10月份的月历，“阶梯”框型（阴影部分）在月历中移动，必须覆盖其中6个数：    (1)如果用表示6个数字中最小的数，用含的代数式按从小到大的顺序依次表示其余被覆盖的5个数； (2)试说明“阶梯”框型覆盖的6个数字之和能被3整除； (3)在此月历中，直接写出（1）中的最大值． 【答案】(1)，，，， (2) 证明： 所以，“阶梯”框型覆盖的6个数字之和能被3整除； (3)14 【分析】本题考查列代数式，整数的混合运算，列代数式的应用，读懂题意是关键． （1）由日历可发现：第一行后面的数比前面的数多1，第二行第一个数比最小的数多8，第二个数比最小的数多9，第三行第一个数比最小的数多16，第二个数比最小的数多17，据此即可解答； （2）将6个数相加即可得出结论； （3）根据最大的数与最小的数相差17可得结论． 【详解】（1）解：由日历可发现：第一行后面的数比前面的数多1，第二行第一个数比最小的数多8，第二个数比最小的数多9，第三行第一个数比最小的数多16，第二个数比最小的数多17， 所以，其余被覆盖的5个数为：，，，， （2）略 （3）解：因为，且这个月有31天， 所以，， 所以，最大的数是14． 47．月历中有很多奥妙，下面就让我们一起来探索吧! (1)图1是某月的月历，方框中的9个数的和为_____，恰好是方框正中心的数15的9倍．因此，方框正中心的数15是方框中的9个数的平均数； (2)不改变方框的大小，将方框移动到其他位置，如图2，设方框正中心的数为，则_____，_____，方框中的9个数的和为_____（均用含的代数式表示）．因此，方框正中心的数恰好是方框中的9个数的平均数； (3)仿照上述探究的方法，如图3，在月历中画出一个“”形．将“”形移动到其他位置，设“”形中7个数的和为，中间的数为，如图4，与的关系，并通过运算说明理由． 【答案】(1)135 (2)，， (3)解：，理由如下： 由题意得：这7个数依次是， ∴这7个数的和为． 【分析】本题主要考查整式的加减运算，解题的关键是理解题意； （1）由图1可把方框中的数相加即可； （2）由题意易得方框中的9个数依次是，然后问题可求解； （3）由题意易得这7个数依次是，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图1可得：； 故答案为135； （2）解：由题意得：， ∴方框中的9个数依次是， ∴这九个数的和为； 故答案为，，； （3）略 48．综合与实践 实践主题：探索月历中数的排列规律，体会代数表示与规律推导的数学思想． 实践任务：探究方框中9个数的和与中心数的规律． (1)计算分析（图1）：图1中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：9个数的和是中心数的________倍． (2)验证迁移（图2）：图2中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：（1）中的关系在（2）中________（是、否）成立． (3)规律推广：假设中心数为n，那么以上这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？请写出你的猜想，并证明． 【答案】(1)11，99，9 (2)16，144，是 (3) 解：以上这个结论对于任何一个月的月历都成立，猜想：设9个数字的和为， 则 证明：中心数为 其余8个数分别为：，，，，，，，． ． 【分析】此题考查了列代数式、有理数的运算、整式的加减，解决本题的关键是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． （1）根据图1中数字可求解； （2）根据图2中数字可求解； （3）设中心数为n，根据日历中数字特点，用n表示出其它8个数，利用整式的加法运算可得结论． 【详解】（1）解：由图1知，方框的中心数为11， 框内9个数的和为． 结论：9个数的和是中心数的9倍 故答案为：11，99，9； （2）解：由图2知，方框的中心数为16， 框内9个数的和为． 结论：9个数的和是中心数的9倍 故答案为：16，144，是； （3）略 覆盖十七实数的新定义运算 49．本学期第七章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写表格： 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ； （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ① ； ② ； ③ ； 【拓展应用】______． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根；（2），，0，没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；拓展应用： 【分析】本题考查类比探究类问题，类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 拓展应用：根据四次方根的定义求解即可． 【详解】解：类比探索： （1）填写表格： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根． 故答案为：，，；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根． （2）根据列表可得： ①1的四次方根是； ②16的四次方根是； ③ 0的四次方根是0； ④没有四次方根． 根据平方根的性质归纳如下： ①一个正数有两个四次方根，它们互为相反数； ②0的四次方根是0； ③负数没有四次方根； 故答案为：，，0，没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数，0的四次方根是0，负数没有四次方根． 拓展应用： ； 故答案为：． 50．对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数计算，绝对值和完全平方非负性等． （1）根据题意展开计算即可； （2）根据题意先利用非负性求出，再利用题意展开计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：22； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ． 51．定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；． (1)_____________，_____________． (2)如果，求的算术平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根． （1）利用算术平方根估算，即可求解； （2）先利用算术平方根估算和，得出a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ，， ， ， ∴的算术平方根是． 覆盖十八 实数的规律问题 52．根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 【答案】(1)①1；②3；③6；④10；55 (2) (3)24 【详解】（1）解：①；②；③；④， ∴； （2）解：由（1）得 ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∵是整数，则是两个连续的整数， ∴或（舍）． 53．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … (1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：① ；② ； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则 ． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位． (2) (3) 【分析】（1）观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解； （2）根据（1）中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解； （3）根据前面的规律，被开立方数与立方根之间的关系，即可求解． 【详解】（1）解：探究发现：观察被开方数和算术平方根小数点的位置，可以的得到：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位． （2）解：∵ ∴ ∵ ∴； 故答案为：0.1435；14.35； （3）解：∵ ， 故答案为：12.60． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是从小数点移动的位数来考虑． 54．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 覆盖十九有理数的圈次方 55．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方． 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”写作，读作“的圈4次方” 一般地，把记作：，读作“的圈次方”别地，规定：． 【初步探究】a的圈n次方 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)若为任意正整数，下列关于除方说法中，正确的有_____；（横线上填写序号） A．任意非零数的圈2次方都等于1 B．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．圈次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 E．互为相反数的两个数的圈次方互为相反数 F．互为倒数的两个数的圈次方互为倒数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)请把有理数的圈次方写成幂的形式：=________； (4)比较：______；（填“>”或“=”） (5)计算： 【答案】(1)１； (2) (3) (4)> (5) 【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可． （2）利用a的圈n次方的意义，进行判断． （3）利用圈n次方的意义，进行计算即可． （4）利用（3）的结论，进行计算即可． （5）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【详解】（1） ； （2）A、因为a② 任意非零数的圈2次方都等于1，符合题意； B、a③ , 任意非零数的圈3次方都等于它的倒数,符合题意； C、圈次方等于它本身的数是1或，符合题意； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，符合题意 E．（）② ，2② ，不符合题意 F．互为倒数的两个数的圈次方互为倒数2③，③ ，符合题意． （3） （4） ， ， >． （5）原式 ． 56．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个）（）记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）关于除方，下列说法错误的是________： A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？    （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式， 的圈4次方＝________ 5的圈5次方＝________； 的圈6次方＝________ （2）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；（2）C；深入思考（1），；（2）（3） 【分析】初步探究（1）分别按公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； 深入思考：（1）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； （2）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则的圈n次方； （3）将（2）中规律代入计算，注意运算顺序． 【详解】初步探究 （1）， 故答案为：； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同的非零数相除，所以都等于1；故选项A说法正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，1的圈次方都等于1； C、，则，故选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．故选项D说法正确； 故答案为：C； 深入思考： （1）由题意可得： 5的圈5次方； 圈6次方 故答案为：，； （2）的圈次 故答案为：； （3） 【点睛】本题考查了新定义运算．解决问题的关键是掌握有理数的混合运算法则，理解新定义运算的规则． 57．概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（）写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ； ； （2）下列关于除方说法中，错误的有 ；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； D．圈n次方等于它本身的数是1或． 深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）归纳：请把有理数（）的圈（）次方写成幂的形式为： ； （4）比较： ．（填“”“”或“”） 【答案】（1） ，；（2）D；（3）（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可解答； （2）利用a的圈n次方的意义，逐一判断即可解答； （3）仿照上边的例题，把有理数的除方运算转化为乘方运算，进行计算即可解答； （4）利用（3）的结论，进行计算即可解答； 【详解】（1）； ； 故答案为：1；； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故A不符合题意； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故B不符合题意； C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故C不符合题意； D．圈n次方等于它本身的数是1，的圈偶数次方等于1，的圈奇数次等于，故D符合题意； 故选：D； （3）， 故答案为：； （4）∵， ， ∴， 故答案为：； 覆盖二十绝对值中的最值问题 58．【阅读理解】的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，那么可以看作是数轴上表示数a的点与表示1的点的距离，＋可以看作是数轴上表示数a的点与表示1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究＋的最小值，我们先看a的三种可能情况：如图，①；②；③． ①) ②) ③) 由图可以看出，当时，＋>1；当时，＋＝1；当时，＋＞1． 那么我们可以得到当时，＋有最小值的结论． 【问题解决】 (1)＋＋的几何意义是________________； (2)＋＋的最小值是________，并在如图所示的数轴上描出得到最小值时a所在的位置． 【深入探究】通过材料的阅读和问题的解决，你现在对求＋＋＋…的最小值问题有所了解吗？在数轴上找到表示数a的点的位置可以帮助我们顺利解决问题 (3)请你结合数轴算一算＋＋＋＋的最小值； (4)求＋＋＋…＋的最小值． 【答案】(1)数轴上表示数a的点与表示1，2，3三个点的距离之和 (2)2，图见解析 (3)6 (4)1019090 【分析】（1）根据对绝对值的意义的理解解答即可； （2）先确定中间数，即可解答； （3）当a为中间数时，即时计算即可； （4）根据（3）解答即可． 【详解】（1）解：的几何意义是数轴上表示数a的点与表示1，2，3三个点的距离之和； （2）解：当a取中间数，绝对值最小，的最小值是． 如图所示． （3）解：当a取中间数，绝对值最小，的最小值是； （4）解：根据题意，得当时，取得最小值，最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了绝对值意义的理解，数轴、有理数的运算，理解根据绝对值求最小值的方法是解题的关键． 59．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用、表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点，之间的距离是______，如果，那么是______； (2)式子的最小值是______； (3)的最小值是______； (4)灵活应用：某市环形线路上顺次有4个站点，分别记为、、、，各站点分别配备了物资9份、12份、7份、16份，、、、之间的路程分别为，，，，且每份物资每千米运费为100元，现为使各站点的物资数相等，各向相邻站点移交装备若干份，且要使移交的运费最少，则各站点分别向相邻的站点移交了多少份物资？移动的总运费是多少？ 【答案】(1)；1或 (2)4 (3)6 (4)由，，，移交的运费最少，移动的总运费是1700元． 【分析】此题考查了利用数形结合法解决含绝对值的计算问题，关键是能利用数轴确定算式的结果． （1）利用两点距离公式即可解答； （2）表示数轴上的点到，2和3距离的和，据此求解即可； （3）分当时，当时，当时1，当时，当时去绝对值，去绝对值．合并同类项，再确定每种情况的代数式最小值即可； （4）统筹思想在实际生活的应用． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点，之间的距离是， 如果，则那么是1或； 故答案为：；1或； （2）解：表示：数轴上的点到，2和3距离的和， 当在数2所对应的点时值最小，有最小值是4． 故答案为：4； （3）解：当时，； 当时，， ； 当时，； 当时，， 的最小值是6； 故答案为：6； （4）解：（份， 方法一：，运费为元； ，运费为元； ，运费为元； 方法一的总运费为元； 方法二：，运费为元； ，运费为元； ，运费为元； 方法二的总运费为元； ， ∴由，，，移交的运费最少，移动的总运费是1700元． 60．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，则表示x与两点间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6两点之间的距离为__________； (2)若数轴上表示点的数满足，那么__________； (3)若数轴上表示点的数满足，则的值为__________； (4)的最小值是__________． 【答案】(1)8 (2)3或 (3)7 (4)11 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是熟练运用距离公式和绝对值的性质进行计算． （1）利用数形结合思想和题干中的结论解答即可； （2）根据题意可得表示x与1两点间的距离为2，据此解答可得； （3）根据题意可知：表示x到3两点间的距离与x到两点间的距离之和，再由，解答可得； （4）根据题意可得表示x到3，，间的距离之和，据此解答可得． 【详解】（1）解：数轴上表示和6两点之间的距离为； 故答案为：8 （2）解：根据题意得：表示x与1两点间的距离为2， ∴x的值为3或； 故答案为：3或 （3）解：根据题意得：表示x到3两点间的距离与x到两点间的距离之和， ∵， ∴x在3与之间， ∴的值为； 故答案为：7 （4）解：根据题意得：表示x到3，，间的距离之和， ∴当时，取得最小值，最小值是． 故答案为：11 覆盖二十一分数裂项 61．观察下列等式的规律，解答下列问题： ； ； (1)按以上规律，第个等式为______；第个等式为______（用含的代数式表示，为正整数）； (2)按此规律，计算：； (3)探究计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据所给式子的规律即可得出答案； （2）将原式变形为，再进行计算即可； （3）将原式变形为，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，第个等式为， 第个等式为； （2）解：原式；； （3）解：原式. 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用该规律进行计算是解题的关键． 62．观察下列等式：，，， (1)猜想并写出：第个等式为______；______；______； (2)直接写出结果：______； (3)探究并计算：． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据题中的拆项规则求解； （2）先把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解； （3）先把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解． 【详解】（1）解：第个等式为：；；， 故答案为：；；； （2） ， （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化类，掌握拆项法是解题的关键． 63．观察下列各等式，并回答问题：，，，…（n是正整数）． （1）填空：＝　　　　； （2）计算：＝　　　　； （3）若|ab﹣3|与|b﹣1|互为相反数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）仿照题目中的例子可以写出所求式子的结果； （2）根据题目中的式子的特点和题目中的例子，可以求得相应的结果； （3）根据|ab﹣3|与|b﹣1|互为相反数，可以求得ab、a、b的值，从而可以求得所求式子的值． 【详解】(1)=， 故答案为：； (2) =1 =1﹣ =， 故答案为：； (3)∵|ab﹣3|与|b﹣1|互为相反数， ∴|ab﹣3|+|b﹣1|=0， ∴ab﹣3=0，b﹣1=0， 解得，a=3，b=1，ab=3， ∴ = = = = =． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、非负数的性质、数字的变化类，掌握相邻整数积的倒数等于两整数的倒数的差的规律是关键． 覆盖二十二 幻方幻圆问题 64．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 【答案】(1) 补充完整的三阶幻方如图所示： (2) 补充完整的新的三阶幻方如图所示： (3)或11 【分析】本题考查了有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）由题意求出每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （2）由题意求出新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （3）根据题意求出每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和，再求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意可知：每行、列和对角线上的数字之和都相等， 和对角线上的数字之和， 第三行第三列上的数字为， 第一行第二列上的数字为， 第一行第一列上的数字为， 第二行第一列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， （2）解：根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列上的数字为， 第二行第二列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， 第三行第一列上的数字为， 第三行第三列上的数字为 （3）解：根据题意得：每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和为： ， ，，， 解得：，，或， 或11． 65．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3 (2)6，5，4 (3)；或 【分析】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或． 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，, 故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，， 故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 故答案为：；或． 66．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．            【探究发现】 在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍． 例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍． 【尝试运用】 （1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为 ， ； 【深入思考】 （2）在图4所示的三阶幻方中，， ①若，求F所表示的代数式； ②若为常数），且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和． 【答案】（1）；．（2）①；②，幻方和为． 【分析】本题考查了三阶幻方的性质（幻方和是中心数的3倍），解题的关键是利用幻方和与中心数的关系，结合行列和相等列算式求解． （1） 根据幻方和是中心数的3倍求幻方和，再利用列和相等求； （2） ①利用幻方和的性质，结合列与对角线和相等推导的代数式；②根据幻方和与无关，令的系数为0求及幻方和． 【详解】（1） 解：中心数为，故幻方和为； 由中间列和为，得， ． 故答案为：；． （2） ①解：幻方和为，由第1列：，代入，，，得， ，即． 由一列之和等于一对角线之和得：， ∴． ②解：设幻方和为，由题意得， 前二式相加再减去第三式得，， 上式代入，，得，， 整理得，， 因幻方和与t的取值无关，令的系数为0，得，则， 则． 即幻方和为. 覆盖二十三数轴动点求t 67．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空：①两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ． ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 ；点表示的数为 ． (2)当时，求两点之间的距离． (3)若为的中点，为的中点，在点的运动过程中，两点之间的距离是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出两点之间的距离． 【答案】(1)①15；4.5；②； (2)两点之间的距离是5 (3)两点之间的距离不会发生变化，距离是7.5 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、列代数式，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）①根据两点间的距离公式以及线段中点公式进行计算即可；②根据题意列出代数式可； （2）先求出当时，点表示的数及点表示的数，再根据两点间的距离公式计算即可； （3）先表示出点表示的数是，点表示的数是，再根据两点间的距离公式计算即可． 【详解】（1）解：①数轴上点表示的数为，点表示的数为12， ， 线段的中点表示的数为：， 故答案为：15；4.5． ②点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， 秒后，点表示的数为；点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：当时，点表示的数是，点表示的数是， 两点之间的距离， 两点之间的距离是5； （3）解：在点的运动过程中，两点之间的距离不会发生变化， 点表示的数是，点表示的数是， 两点之间的距离， 在点的运动过程中，两点之间的距离不会发生变化，距离是7.5． 68．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． (1)请在图2中表示出、、三点的位置； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点、从点、点分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为秒． ①两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒时，点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化说明理由：若不变，请求出的值． 【答案】(1) 在图2中表示出三点的位置如下： ． (2)①3；②，，；③的值不随着时间的变化而变化，其值为12 【分析】本题考查了数轴、整式加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先根据数轴的性质求出点表示的数，再在数轴上表示出它们的位置即可得； （2）①根据数轴的性质求解即可得； ②根据点的运动方向和速度，结合数轴的性质求解即可得； ③根据（2）②的结论可求出，再计算整式的加减即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）解：①∵点表示的数是，点表示的数是1， ∴， 故答案为：3； ②∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数为， ∵点从点分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，，； ③的值不随着时间的变化而变化，其值为12，理由如下： ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴ ， 所以在移动的过程中，的值不随着时间的变化而变化，其值为12． 69．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．    (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值； (3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或或11或17 【分析】（1）根据绝对值与偶次方的非负性可分别求出a和c的值，又由a，b互为相反数即可求出b的值； （2）分别用含有t的式子表示出、的长度，再根据列式计算即可； （3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，即， ， 解得， 又∵a，b互为相反数， ， 综上所述：； （2）解：经过t秒后，，，， 由（1）知， ， ， 整理得， 的值始终保持不变， ， 解得； （3）解：图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度，且a，b互为相反数， ， P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有五种情况， 由题意得：P在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； Q在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； ①：P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ②P在，Q在上运动时， ，， ， 解得：； ③P在，Q在上运动时， ， ， 解得：； ④P在，Q在上运动时， ， ， 解得：， ⑤当P在，Q在上时， ，， ， ． 综上所述，当或或11或17时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【点睛】本题重点考查如何表示线段的长度，根据题目要求正确列出方程求解是解题的关键，另外还要注意运动过程中速度的变化． 覆盖二十四整数部分与小数部分问题 70．阅读材料：实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别： ①对于正实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为. ②对于负实数，如实数，在整数之间，则整数部分为，小数部分为. 依照上面规定解决下面问题： (1)已知的整数部分为，小数部分为，求、的值. (2)若、分别是的整数部分与小数部分，求的值. (3)设，是的小数部分，是的小数部分，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先估算，继而求得的值； （2）先估算，继而求得的值，代入代数式进行计算即可求解； （3）先估算，的大小，然后根据题意写出的值，代入代数式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵，是的小数部分，是的小数部分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小、代数式求值、实数的混合运算，解决本题的关键是理解阅读材料并运用． 71．阅读理解：怎样表示无理数的小数部分？ 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是我们用来表示的小数部分，这是因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．求的整数部分和小数部分的过程如下： 的整数部分是2，小数部分为 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值 (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】（1）（2）仿照题干方式求解整数部分和小数部分即可； （3）先求出的范围，再确定，的值，即可代数式求值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵ ∴ ∴的整数部分是，小数部分是， ∴； （3）解：∵ ∴ ∴ 即， ∵是整数，且 ∴是的整数部分， ∴， ∴， ∴． 72．大家知道圆周率π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)设的小数部分为的整数部分为，求的值． (3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①的取值范围是_____． ②当是6的倍数时，且，则n的值为_____． 【答案】(1)3， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，平方根的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）估算的范围后求解即可； （2）估算和，求出和的值后代入运算即可； （3）①根据题意可得的整数部分是5，即可得到；②根据是6的倍数，结合①可得，代入，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； 故答案为：3，； （2）解：， 的整数部分是， ∴， ， 的整数部分是，即， ； （3）解：①∵是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分， ∴的整数部分是5， ∴； ②是6的倍数，且， ， ， ． 故答案为：①；②． 覆盖二十五数轴的新定义 73．对于数轴上给定两点M、N以及一条线段PQ，给出如下定义：若线段MN的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点M与点N关于线段PQ“中位对称”．如图为点M与点N关于线段PQ“中位对称”的示意图． 已知：点O为数轴的原点，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2 (1)若点C、D、E表示的数分别为﹣3，1.5，4，则在C、D、E三点中，　 　与点A关于线段OB“中位对称”；点F表示的数为t，若点A与点F关于线段OB“中位对称”，则t的最大值是　 　； (2)点H是数轴上一个动点，点A与点B关于线段OH“中位对称”，则线段OH的最小值是　 　； (3)在数轴上沿水平方向平移线段OB，得到线段O'B'，设平移距离为d，若线段O'B'上（除端点外）的所有点都与点A关于线段O'B'“中位对称”，请你直接写出d的取值范围． 【答案】(1)D、E；5 (2)0.5 (3) 【分析】（1）根据“中位对称”的定义求出中点再去判断即可； （2）根据“中位对称”的定义求出中点再去判断即可； （3）分别表示出表示的数，再分别求与点A关于线段O'B'“中位对称”，对称时的d值即可，需要注意向左或右两种情况． 【详解】（1）点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2，点C、D、E表示的数分别为﹣3，1.5，4 ∴线段AC的中点表示的数为-2，不在线段OB上，不与点A关于线段OB“中位对称”； 线段AD的中点表示的数为0.25，在线段OB上，D与点A关于线段OB“中位对称”； 线段AE的中点表示的数为1.5，在线段OB上，E与点A关于线段OB“中位对称”； ∴D、E与点A关于线段OB“中位对称”； ∵点F表示的数为t ∴线段AF的中点表示的数为 ∴若点A与点F关于线段OB“中位对称”， ∴点F在线段OB上， ∴当AF中点与B重合时 t最大，此时，解得，即t的最大值是5 （2）∵点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2 ∴线段AE的中点表示的数为0.5， ∵点A与点B关于线段OH“中位对称”， ∴0.5在线段OH上 ∴线段OH的最小值是0.5 （3）当向左平移时，表示的数是，表示的数是 线段的中点表示的数为,线段的中点表示的数为, 当与点A关于线段O'B'“中位对称”时， ∴线段的中点在上， ∴ ∴ 当与点A关于线段O'B'“中位对称”时，线段的中点在上， ∴ ∴ ∵线段O'B'上（除端点外）的所有点都与点A关于线段O'B'“中位对称” ∴当向左平移时， 同理，当向右平移时，d不存在 综上若线段O'B'上（除端点外）的所有点都与点A关于线段O'B'“中位对称” 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是根据“中位对称”的定义进行解题，同时熟记数轴上中点公式也是解题的关键点． 74．在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     【答案】(1)①0；；② (2)或0 (3)，2 【分析】本题考查了新定义，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）①根据共点联系点的定义求解即可； ②设点A、点B到点P的距离为m，根据共点联系点的定义表示出a，b，然后相加即可； （2）先根据题意表示出b，再根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可； （3）先判断M或与N距离最大和M或与N距离最小的位置，再表示出M或与N，然后根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：①当时，由题意，得 ∴； 当时，由题意，得 ∴． 故答案为：①0；； ②设点A、点B到点P的距离为m， 由题意，得 ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，或， ∴或， 解得或． 故答案为：或0； （3）解：假设M在的左侧，由题意知，当M到大P之前时，与N距离最小；当M从6表示的点返回后，与N距离最大． 当到大P之前时，， 由题意，得 ， 解得； 当M从6表示的点返回后，， 由题意，得 ， 解得； 故答案为：，2． 75．对于数轴上的点P、Q、T给出如下定义：记点P到点T的距离为m，点Q到点T的距离为n，如果点P、Q分别在点T的两侧且，那么称点P和点Q是数轴上关于点T的对称点． (1)图1所示点A、B、C、D中，关于点E对称点的是______；若点T表示的数是8，则点A关于点T的对称点表示的数是______；如果图2所示点M、N是关于点T的对称点，则点T表示的数是______； (2)设点P表示的数为a，点Q表示的数为．且点P、Q是关于点T的对称点，则点T表示的数是______；（用含a的代数式表示） (3)点F表示的数为，点G表示的数为． ①若点F和点G是数轴上关于原点的对称点，求a的值； ②若点F和点G是关于正半轴上某一点的对称点，直接写出a的取值范围______； 【答案】(1)点A和点C；11；2； (2)； (3)①；②． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，理解对称点的定义是解题关键． （1）根据对称点的定义，结合数轴求解即可； （2）根据对称点的定义求解即可； （3）①根据对称点的定义，得到，求解即可； ②根据对称点的定义，得到，求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，点A、C分别在点E的两侧,且距离均为1， 关于点E对称点的是点A和点C； 由数轴可知，点A在点T的左侧，且距离为3， 点A关于点T的对称点表示的数是； 由数轴可知，点M、N表示得分数分别为、， 点M、N是关于点T的对称点， 点T表示的数是， 故答案为：点A和点C；11；2； （2）解：设点P表示的数为a，点Q表示的数为．且点P、Q是关于点T的对称点， 则点T表示的数是， 故答案为： （3）解：①点F表示的数为，点G表示的数为， 若点F和点G是数轴上关于原点的对称点， 则， 解得：， 即a的值为； ②若点F和点G是关于正半轴上某一点的对称点， ， 解得：， a的取值范围为． 覆盖二十六代数式的新定义 76．定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 【答案】(1)不是 (2) (3)任意一个“和倍数”都能被整除，理由如下： 设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，， ∴， ∴ ， ∵，都是整数， ∴是整数， ∴是的倍数； 故任意一个“和倍数”都能被整除． 【分析】（1）计算是否为的倍即可判断； （2）根据“和倍数”的定义即可得出结果； （3）由，可得，符合的倍数的特征，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， 故三位数不是“和倍数”； （2）解：根据“和倍数”的定义， 即三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍， 可得； （3）略 77．定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是， 理由如下：多项式是关于，的“卓越多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，），则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数）， 则多项式也是关于，的“卓越多项式”． 【分析】本题考查了新定义“卓越多项式”，理解定义是解题的关键． （1）根据“卓越多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“卓越多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， ②多项式的系数和为， 该多项式不是“卓越多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， 故答案为：①③； （2）略 78．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2) (3) 是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“青一多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是的整数倍， ∴多项式也是关于x，y的“青一多项式”． 【分析】（1）根据“青一多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于青一多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于青一多项式”； ∵， ∴属于青一多项式”； 故属于“青一多项式”的是①③， 故答案为：①③． （2）∵关于x的“青一多项式”的“青一和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）略 【点睛】本题考查了多项式的系数，整倍数的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $